，將函數在某個區間上直接展開成指定點的泰勒級數的方法．2．間的冪級數．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2(x1)n1n1,0x2，所以ln[1(x1)2](1)n(cosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnn，將函數在某個區間上直接展開成指定點的泰勒級數的方法．2．間的冪級數．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2(x1)n1n1,0x2，所以ln[1(x1)2](1)n(cosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnnnnn解：⑴由于nn本章重點是判斷數項級數的斂散性，冪級數與傅里葉級數的展開與求和．1．數項級數定義定義：設u是一個數列，則稱表達式uuuLunL為一個數項級數，簡稱級數，其中第n項u稱為級數的通項或一般項，Snu稱為級數的前n項部分和．2．級數收斂的定義為此級數的和．當limS不存在時，則稱級數利用級數收斂的定義，易知當q1⑴SL1時，幾何級數qn收斂，和為11nn 1nn 域為[1,1]．（5）此級數中的x的冪次不是按自然順依次遞增而s(0)0（4）S(x)e2x2xe2t2dt，x；（5）ta2b22(a2b2)cosnxn1特別當x0時F(0)f1,2,L)1,2,L)nxla,b叫f(x)的傅里葉系數．nnnn域為[1,1]．（5）此級數中的x的冪次不是按自然順依次遞增而s(0)0（4）S(x)e2x2xe2t2dt，x；（5）ta2b22(a2b2)cosnxn1特別當x0時F(0)f1,2,L)1,2,L)nxla,b叫f(x)的傅里葉系數．nnnnnnn⑴LL12L12nnnn二、級數的基本性質及收斂的必要條件評注：若評注：若u收斂，v都發散，則v發散，則nnn2．設k為非零常數，則級數u與3．改變級數的前有限項，不影響級數的斂散性；4．級數收斂的必要條件：如果u收斂，則limu5．收斂的級數在不改變各項次序前提下任意加括號得到的新級數仍然收斂且和不變．評注：若某級數添加括號后所成的級數發散，則原級數亦發散．評注：若某級數添加括號后所成的級數發散，則原級數亦發散．解：⑴由于2n發散，所以發散，所以12n⑵11 1．正項級數收斂的基本定理定理：設S是正項級數u的部分和數列，則正項級數u收斂的充要條件是數列(1)n1（2）n1n211111nsin2n460n1解：數絕對收斂，所以收斂半徑R3；假設收斂半徑R3，由收斂半徑的401x4n由于級數()2n1x在區間[n,n1]上單減，所xdxn1n1sintsint sintdt的斂散性sintn(1)n1（2）n1n211111nsin2n460n1解：數絕對收斂，所以收斂半徑R3；假設收斂半徑R3，由收斂半徑的401x4n由于級數()2n1x在區間[n,n1]上單減，所xdxn1n1sintsint sintdt的斂散性sintnnunnnnnnuun1pnnn．（和級數）2．正項級數的比較判別法⑵若u發散，則都是正項級數，并設limnv評注：用比較判別法的比較對象常取評注：用比較判別法的比較對象常取p級數與等比級數及3．正項級數的比值判別法定理：設u是正項級數，若limn故(2n（3）n11)261(2n1)21242 8．五、其3n(2)n(1)n:數3n(2)n(1)n發散；當t和級數勒公式，有12!f()x2．2由于f(x)在點x0的某一鄰域在[l,l]上的表達式，且f(x)是以2l為周期的函數，要將故(2n（3）n11)261(2n1)21242 8．五、其3n(2)n(1)n:數3n(2)n(1)n發散；當t和級數勒公式，有12!f()x2．2由于f(x)在點x0的某一鄰域在[l,l]上的表達式，且f(x)是以2l為周期的函數，要將11n2⑶11nnu5．利用通項關于無窮小的階判定正項級數的斂散性un⑵如果正項級數通項中含有階乘，一般用比值判別法判定該級數的斂散性；unnnuu4．正項級數的根值判別法un1n收斂；當k1時，正項級數u發散．⑴1⑵11⑷nnnnun11nnn213，所以由比值判別法可得，原級數收斂；n1n 321．交錯級數定義定義：若級數的各項是正項與負項交錯出現，即形如!n(4n)!(1)n1x4(n1)令(x)1可得，x(,)1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數在[0用來作比較的級數，此時一般利用通項關1n解：（1）考查lim散解：由于級數v收斂，所以根據收斂的必要條件可得limvn11nnnnnnnnn!n(4n)!(1)n1x4(n1)令(x)1可得，x(,)1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數在[0用來作比較的級數，此時一般利用通項關1n解：（1）考查lim散解：由于級數v收斂，所以根據收斂的必要條件可得limvn11nnnnnnnnnnnu2．交錯級數的萊布尼茲判別法0)滿足條件nn0)收斂，其和Su其余項SSnu．un1．條件收斂、絕對收斂若un收斂，則稱u絕對收斂；若un發散但u收斂，則稱評注：絕對收斂的級數不因改變各項的位置而改變其斂散性與其和．評注：絕對收斂的級數不因改變各項的位置而改變其斂散性與其和．2．任意項級數的判別法定理：若級數u收斂，則級數[例1.4]判斷下列級數是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還是條件收斂解：⑴記unnnnnu1n13所以級數u收斂，故原級數收斂且為絕對收斂；n發散，所以級數u發散n3nn22n（3）(1)nx2n1（4）[(1)nsinn成以6為周期的傅里葉級數．a3f(x)cosdx[0(2x1(x)在區間I上有定義，xI，若存在冪級數nn0x)n，使得2n1n04)n,66x2，x2[例7.2.17]解：f(xnnn2n12n2n12nn2nn3nn22n（3）(1)nx2n1（4）[(1)nsinn成以6為周期的傅里葉級數．a3f(x)cosdx[0(2x1(x)在區間I上有定義，xI，若存在冪級數nn0x)n，使得2n1n04)n,66x2，x2[例7.2.17]解：f(xnnn2n12n2n12nn2n12nnn，則下列級數中肯定收斂的是（C）nn若取un1un2n12nnuu12n1從而3522n12n（A）u；（B）nn12n1n12n事實上，若0uu2收斂．從而（A）u一定收斂，（B）u一定發散上所述，當x，即原級數發散．1時，級數收斂；當x1時，級數發x1)n12n1(n1),1x31(x1)n12n1n1，[，利用級數的性質可知，原級數發散．（4）顯然判定數列nsin此級數n0(A)絕對收斂(B)發散(C)條件收斂(D)斂散性2n1然收斂，即2nnn上所述，當x，即原級數發散．1時，級數收斂；當x1時，級數發x1)n12n1(n1),1x31(x1)n12n1n1，[，利用級數的性質可知，原級數發散．（4）顯然判定數列nsin此級數n0(A)絕對收斂(B)發散(C)條件收斂(D)斂散性2n1然收斂，即2nnnnSn2nnnnunnuun（C）u不一定收斂（D）limu0n解：假設u收斂，則根據級數斂散的性質，不改變各項的次序加括號后得到的新級數仍u一定發散．應選（B1必（A）收斂（B）發散（C）斂散性不定（D）可能收斂也可能發散解：由于級數v收斂，所以根據收斂的必要條件可得limv1nn則上述命題中正確的個數為（A）1（B）2（C）3（D）4vnnnn3n(2)ntnn的收斂半徑為R3n(2)n(1)n，由于nn1n3nn1則xS(x)dx0(n1)3nxnn1，x[snxbsinnx],x[,]n1二、填空題1．設冪級數n1分111x1x算性質寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]nnnnnn3n(2)ntnn的收斂半徑為R3n(2)n(1)n，由于nn1n3nn1則xS(x)dx0(n1)3nxnn1，x[snxbsinnx],x[,]n1二、填空題1．設冪級數n1分111x1x算性質寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]nnnnn2nnn2（2）n（4）n1n2（5）nnnn2nn2nnn2nw都收斂，所以由“比較判別法”知u收斂．故應選（An）；評注：評注：⑴若一般項中含有階乘或者n的乘積形式，通常選用比值判別法：⑵若一般項中含有以n為指數冪的因式，通常采用根值判別法：⑶若一般項中含有形如n（為實數）的因式，通常采用比較判別法．⑷如果以上方法還行不通時，則可考慮用斂散的定義判定．2n3nn2（3）（6）n2n22nnn23112n1分析：f(x)是抽象函數，F(x)也不可能得到具體的解1[例7.2.15]求級數的和．n1解：由于n1令n(n1)，arctannn1a,必收斂．21．因為axk1在[0，1數a(xx)n在則稱上述R為冪級數a(xx)n的收斂半徑．稱nnn2n1分析：f(x)是抽象函數，F(x)也不可能得到具體的解1[例7.2.15]求級數的和．n1解：由于n1令n(n1)，arctannn1a,必收斂．21．因為axk1在[0，1數a(xx)n在則稱上述R為冪級數a(xx)n的收斂半徑．稱nnn115n4nnn3n取k3，上述極限值為所以原級數與3n取vuvnn1n4取v1nnuvnnn1nnn2評注：在考研題中遇到該類問題應評注：在考研題中遇到該類問題應①先看當n時，級數的通項u是否趨向于零（如果不易看出，可跳過這一步），若不趨于零，則級數發散；若趨于零，則②再看級數是否為幾何級數或p級數，因為這兩種級數的斂散性已知．如果不是幾何級數或p級數，則③用比n1n換成連續變量x，再用羅必達法則，1361茲nn2故由級數斂散的性質可得，原級數發散．（3）不難得到un1)內連續，G(x)的傅里葉級數的和函數S(x)滿足F(0x)n0的函數項級數為x處的n0冪級數．x0時的冪級數為2．零，即對任意的xI，都有limR(x)0．八、函數展開成冪級k茲nn2故由級數斂散的性質可得，原級數發散．（3）不難得到un1)內連續，G(x)的傅里葉級數的和函數S(x)滿足F(0x)n0的函數項級數為x處的n0冪級數．x0時的冪級數為2．零，即對任意的xI，都有limR(x)0．八、函數展開成冪級knnuunnnunnxnn取k2，上述極限值為1n2nann!nnn分析：此例中兩個級數的通項都含有參數．一般說來，級數的斂散性與這些參數的取值有關．對這種情況通常由比值判別法進行討論．nuunlima1neuunenuunn散；當1時，比值判別法失效．這時un，由p級數的斂散性知，當1時，級，利用已知的常用冪級數展開式把冪級數的和函數寫出來．證明：（1．泰勒級數與麥克勞林級數的定義0f(n)(x)0n!(xxI上能展開成x處的冪級數n0n0則其展開式是唯一的，且af(n1n1n1b)發散(D)設n1nn收斂，則a2，b2均收斂0，利用已知的常用冪級數展開式把冪級數的和函數寫出來．證明：（1．泰勒級數與麥克勞林級數的定義0f(n)(x)0n!(xxI上能展開成x處的冪級數n0n0則其展開式是唯一的，且af(n1n1n1b)發散(D)設n1nn收斂，則a2，b2均收斂0n1 n110xn散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大．常用的方法是利用積分的性質對積分進行估0nnnn2nn21n2n法一：利用萊布尼茲定理；法二：判定通項取絕對值所成的正項級數的斂散性，若收斂則原級數絕對收斂；法四：將級數并項，若并項后的級數發散，則原級數發散．評注：法二、法三和法四適應于評注：法二、法三和法四適應于u不單調減少或判定單調很困難的交錯級數．nf(n)]收斂．nn（Ⅱ）由于f(x)存在，且f(x)0，所1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數在[0以2l為周期的函數，就變成了前一種情況．這兩種情形的解題方法xn1)dx 12n(n1)!xnx2n1()n1e22e2f(n)]收斂．nn（Ⅱ）由于f(x)存在，且f(x)0，所1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數在[0以2l為周期的函數，就變成了前一種情況．這兩種情形的解題方法xn1)dx 12n(n1)!xnx2n1()n1e22e2nn2n2n不單調．而nn時，級數的通項u是否趨向于零，若不趨于零，則級數發散；若趨于零，則②按正令f(x)111x 1nn1nnnnn1即加括號后得到的新級數發散，利用級數的性質可知，原級數發散．但2n對任意項級數u，主要研究它絕對收斂性和條件收斂性．解題的一般思路：①先看當n下列冪級數的收斂半徑和收斂域（1）n!(xen)nn1（2）；x22令(x)1，可得x2，所以收斂半徑為R2，此級數發散8x)ln(1x),1x1；13ln25．10．（1）2lncosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnnnnnnnun下列冪級數的收斂半徑和收斂域（1）n!(xen)nn1（2）；x22令(x)1，可得x2，所以收斂半徑為R2，此級數發散8x)ln(1x),1x1；13ln25．10．（1）2lncosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnnnnnnnunnnn項級數斂散性的判別法，判定u是否收斂，若收斂，則級數u絕對收斂；若發散，；（nn)nnuunn所以利用比較判別法的極限形式可得，當0時級數發散，又因為u總是非增的趨于零，故由交錯級數的“萊布尼茲判別法”知，級數u收斂，且為條件收 2n，所以nn233 §7.2冪級數本節重點是求冪級數的收斂域、求冪級數的分111x1x算性質寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]式）設u,v都是正項級數，并設unn1n1v,(nN)，則⑴則運算性質寫出f(x)的展開式．[例7.2.18]將f(x)nnb收斂，且ann233 §7.2冪級數本節重點是求冪級數的收斂域、求冪級數的分111x1x算性質寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]式）設u,v都是正項級數，并設unn1n1v,(nN)，則⑴則運算性質寫出f(x)的展開式．[例7.2.18]將f(x)nnb收斂，且annn1nnnann又因為an1由于級數2發散，所以級數n 因為原級數為交錯級數，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數為條件收斂．（3）這是任意項級數．考慮每三項加一括號所成的級數(11 五、關于數項級數斂散性的證明題證明某個未給出通項具體表達式的級數收斂或發散這類題，一般用級數收斂的定義、比又由于c11n（Ⅱ）級數n存在；a11nnnn2n不論取何值，總有limu級數發散；limnsin0，故當是整對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數；（2）(n12．正項級數的比較判別法定理：（正項級數比較判別法的非極限形x0展開為2為周期的傅里葉級數．16．把f(x)10x,5xn又因為不論取何值，總有limu級數發散；limnsin0，故當是整對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數；（2）(n12．正項級數的比較判別法定理：（正項級數比較判別法的非極限形x0展開為2為周期的傅里葉級數．16．把f(x)10x,5xn又因為annnM12n2nnaa，a1nn分析：已知條件中出現高階導數，可考慮使用泰勒公式完成．xx12由于f(x)在點x0的某一鄰域內連續，故存在M0，使得在x0的某小鄰域內由比較判別法可知，級數（當n充分大時）xn0，又v1，所以nlimS，故級數u發散，故應選（B）．nL等情形中的一種）；②求冪級數axk(n)的和函數S(x)，都絕對收斂，顯然集合2,3,4,e中的點都滿足不等式x32，R，則ax2n的收斂半徑為．n1n14n0，又v1，所以nlimS，故級數u發散，故應選（B）．nL等情形中的一種）；②求冪級數axk(n)的和函數S(x)，都絕對收斂，顯然集合2,3,4,e中的點都滿足不等式x32，R，則ax2n的收斂半徑為．n1n14．已知冪級數a(x1)nn1nnnnnnnnnn1由根值判別法知，級數(1級數u發散又u是一交錯級數，u1ln(1n)0(n)，且uu里葉系數，寫出F(x)的傅里葉級數；④利用狄里赫萊又ba0aln(1t)0t0[例7.2.26]設f(x)arctanx3n3又因為f(x)傅里葉級數的和函數S(x)滿足：115132x1L級數u發散又u是一交錯級數，u1ln(1n)0(n)，且uu里葉系數，寫出F(x)的傅里葉級數；④利用狄里赫萊又ba0aln(1t)0t0[例7.2.26]設f(x)arctanx3n3又因為f(x)傅里葉級數的和函數S(x)滿足：115132x1L2n1n1nn2nnn困難．不妨先假設級數通項a0(n)，再看由遞推公式兩端取極限時能否導出矛n0 2n32n3解：⑴當x1時，原級數為1茲判別法”的條件，故收斂；12L1L1 2xL1nx，這是交錯級數，且滿足“萊布尼12x11Lnx考察級數[1 所以根據正項級數的“比較判別法”的極限形式知，級數[1綜上所述，當x1時，級數收斂；當x1時，級數發散．分析：該級數的通項以遞推公式給出，這給級數類型的判定以及通項a是否收斂于零帶來n盾．一旦產生矛盾，便可確定級數發散．nn實數S(x)，使得S(x)u(x)成立．定義域為I的函數S(1x2n1，則xS(t)dt02n3nn1()n 11x21n1n1n1b)發散(D)設n1nn收斂，則a2，b2均收斂0,n1,2,,L，所以該級數也收斂；當x1時，對應的級數為n21 x2nnnnnnn1實數S(x)，使得S(x)u(x)成立．定義域為I的函數S(1x2n1，則xS(t)dt02n3nn1()n 11x21n1n1n1b)發散(D)設n1nn收斂，則a2，b2均收斂0,n1,2,,L，所以該級數也收斂；當x1時，對應的級數為n21 x2nnnnnnn11x2nnn2a3n從而an13nn32n32nn14232n11an111n1aa11收斂，故級數12（Ⅰ）求anY12(Xn（Ⅱ）由題意S2a2n12a2114a所以S1 433 本節重點是求冪級數的收斂域、求冪級數的和函數、將函數展開成冪級數．7x112x2(x4)112所以f(x)n0)(x(x4)n(x)是以2為周期的連續函數，其傅里葉系數Bn1F(x)si數展開成冪級數反三角型函數f(x)展開成冪級數的一般思路：①證明：由于f(x)在點x0連續，且limx0f(x)x0，所00nnn007x112x2(x4)112所以f(x)n0)(x(x4)n(x)是以2為周期的連續函數，其傅里葉系數Bn1F(x)si數展開成冪級數反三角型函數f(x)展開成冪級數的一般思路：①證明：由于f(x)在點x0連續，且limx0f(x)x0，所00nnn00010002n1．函數項級數的定義2．收斂域3．和函數評注：求函數項級數收斂域時，主要利用收斂域的定義及有關的數項級數的判別法．評注：求函數項級數收斂域時，主要利用收斂域的定義及有關的數項級數的判別法．1．冪級數的定義02．阿貝爾定理⑴如果該冪級數在點x收斂，則對滿足xx的一切的x對應的級數⑵如果該冪級數在點x發散，則對滿足xx0xx的一切的x對應的級數(x)xx21,(x2)，則f(x)0所以單調減少，由萊布尼，利用級數的性質可知，原級數發散．（4）顯然判定數列nsin1x2)]展開成x的冪級數．1，而(1)n13L(2n1)2）由于an1故數列a有下界．1(a1n2n則可知，lima存n00(x)xx21,(x2)，則f(x)0所以單調減少，由萊布尼，利用級數的性質可知，原級數發散．（4）顯然判定數列nsin1x2)]展開成x的冪級數．1，而(1)n13L(2n1)2）由于an1故數列a有下界．1(a1n2n則可知，lima存n000000000x處收斂，也不是在整個數軸上收斂，則必定存在一個正數R，它具有下述性質：0x處收斂，定義R．則稱上述R為冪級數a(xx)n的收斂半徑．稱開區間(xR,xR)為冪級數法一：⑴求極限x)n的收斂半徑R00nx000nxm010．求下列數項級數的和（1）(1)n1n(2n1)3n（2(x)在xnf(k)(x)0nk0的余項R(x)在I上收斂到，收斂半徑R3．又因為級數a(x3)n在x0處收斂，在x6處出現高階導數，可考慮使用泰勒公式完成．f(x)x0，證明級數10．求下列數項級數的和（1）(1)n1n(2n1)3n（2(x)在xnf(k)(x)0nk0的余項R(x)在I上收斂到，收斂半徑R3．又因為級數a(x3)n在x0處收斂，在x6處出現高階導數，可考慮使用泰勒公式完成．f(x)x0，證明級數n⑴解：⑴1anna則收斂半徑為Rm；n法三；⑴求極限000xxm0則收斂半徑為Rm．n收斂半徑Rnan⑵nnn11⑵收斂半徑Rlimnn當x51時，對應級數為n11n1nn1nnx22201收斂半徑為R；122義：設函數項級數u(x)的收斂域為I，則任給xI，存在唯一的1[例1.4]判斷下列級數是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還較判別法”得u2收斂．從而(1)nu2收斂，故應選（D）．(1a2，所以根據級數的性質可得22n1n1a)從而3522n0nnnn義：設函數項級數u(x)的收斂域為I，則任給xI，存在唯一的1[例1.4]判斷下列級數是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還較判別法”得u2收斂．從而(1)nu2收斂，故應選（D）．(1a2，所以根據級數的性質可得22n1n1a)從而3522n0nnnn00xx01024 2n04．冪級數在其收斂區間內可以逐項求導，且求導后所得到的冪級數的收斂半徑仍為R．即有5．冪級數在其收斂區間內可以逐項積分，且積分后所得到的冪級數的收斂半徑仍為R．即有00n000⑵x4n100x 14n 1在一個正數b,使得ab(aa)（n=1,2,…）,試證明nn茲nn2故由級數斂散的性質可得，原級數發散．（3）不難得到u六、其它[例7.1.16]設正項數列a單調減少，且(1)na1n1n1在一個正數b,使得ab(aa)（n=1,2,…）,試證明nn茲nn2故由級數斂散的性質可得，原級數發散．（3）不難得到u六、其它[例7.1.16]設正項數列a單調減少，且(1)na1n1n1則上述命題中正確的個數為（A）1（B）2（C）3（00000000nn1．函數展開成冪級數的定義n2．展開形式的唯一性則其展開式是唯一的，且七、泰勒級數與麥克勞林級數1．泰勒級數與麥克勞林級數的定義00002．函數展開成泰勒級數的充要條件處的泰勒公式八、函數展開成冪級數的方法葉系數為a(n0,1,2L),b(n11,2,3L)．求F(22-22-2+n的斂散性．其中an4．設a為單調減少的正項另一發散，則原級數發散；法四：將級數并項，若并項后的級數發散較法．取v所以原級數發散．1n，因為limnuvlimn1n02n 葉系數為a(n0,1,2L),b(n11,2,3L)．求F(22-22-2+n的斂散性．其中an4．設a為單調減少的正項另一發散，則原級數發散；法四：將級數并項，若并項后的級數發散較法．取v所以原級數發散．1n，因為limnuvlimn1n02n nnnn (n10(x)n利用泰勒級數的定義及泰勒級數收斂的充要條件，將函數在某個區間上直接展開成指定2．間接法通過一定的運算將函數轉化為其它函數，進而利用新函數的冪級數展開將原來的函數展用的冪級數展開式是下列一些常用函數的麥克勞林展開公式．冪級數常用的七個展開式xn11解：由于n15展開成以10為周期的傅里葉級數17．將f(x)x2(0x級數收斂的基本定理定理：設S是正項級數u的部分和數列，則正項對收斂．現x2顯然不滿足n02，故級數a(xn0nnn1n14n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnn12n12015展開成以10為周期的傅里葉級數17．將f(x)x2(0x級數收斂的基本定理定理：設S是正項級數u的部分和數列，則正項對收斂．現x2顯然不滿足n02，故級數a(xn0nnn1n14n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnn12n1202n滿足：對一切x2的x值，級數2xn2nnn1212絕對收斂．現x2顯然不滿足（A）條件收斂（B）絕對收斂（C）發散（D）不定2點收斂，根據阿貝爾定理當x2時，對應的冪級數都絕對收斂，所以當x1時，對應的冪級數絕對收斂，而此時對應級數為a．所以應選（B）nn假設R4．由收斂半徑的定義知x1R時，對應的級數都絕對收斂，所以級數在x3處應絕對收斂，矛盾．所以R4．因此收斂半徑R4．求冪級數收斂半徑的方法我們在常考知識點中介紹過，如果冪級數中的冪次是按自然數an4n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnx)n0的函數項級數為x處的n0冪級數．x0時的冪級數為2．)na是交錯級數，若lima0，由萊布尼茲判別法可知，該級數收斂，但u發散，所以不正確；關于命題（4），因為wuv(n1002n（4）n2xn4n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnx)n0的函數項級數為x處的n0冪級數．x0時的冪級數為2．)na是交錯級數，若lima0，由萊布尼茲判別法可知，該級數收斂，但u發散，所以不正確；關于命題（4），因為wuv(n1002n（4）n2xn2n23Rnnnnnnnn，這是交錯級數，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂；n如果冪級數中的冪次不是按自然數順序依次遞增的（如缺少奇數次冪或缺偶次冪等），這時知識點中介紹的法一與法三）求出冪級數的收斂半徑．x)n的收斂半徑為R．為了求冪級數的收斂域還需判別在xx0R與xxR處級數（2）（5）(1)n1e的冪次是按自然數順序依次遞增的，其收斂半徑可直接按公式計算：aann2nn311nn2nn31nctanxx11x2x21展開成x的冪級數．f(x)11x2(x)是以2為周期的連續函數，其傅里葉系數Bn1F(x)siL00當x0時，稱冪級數f(n)(0)n!xnf(0)f(0函數，n1冪級數xn1通項的系數是n的有理分式，應利用逐項求nnn2n2（1）若ab，則Rctanxx11x2x21展開成x的冪級數．f(x)11x2(x)是以2為周期的連續函數，其傅里葉系數Bn1F(x)siL00當x0時，稱冪級數f(n)(0)n!xnf(0)f(0函數，n1冪級數xn1通項的系數是n的有理分式，應利用逐項求nnn2n2（1）若ab，則R在x2在x1處，級數成為1nnbnb33在x1處，級數成為1．解：設冪級數xnR1a，R2b．因此冪級數的收斂半徑為R1．1若冪級數a(x2)n在x1處收斂，問此級數在x4處是否收斂，式，將ln(1axk)與ln(1bxl)展開；③利用冪級數的數1LL在哪些x處收斂？在哪些x1L1 2x1111L345，發散；⑶當1時，斂散性不確定．n或為，則級數u有4．正項級若冪級數a(x2)n在x1處收斂，問此級數在x4處是否收斂，式，將ln(1axk)與ln(1bxl)展開；③利用冪級數的數1LL在哪些x處收斂？在哪些x1L1 2x1111L345，發散；⑶當1時，斂散性不確定．n或為，則級數u有4．正項級b1n2unnnn2an2a1a1 b．1．1n2nn時，對應的冪級數絕對收斂，所以收斂半徑R3；而633R，所以級數a(x3)n在x6處絕對收斂，與已知矛盾．故R3．綜上可得，收斂半徑R3．nnn評注：函數項級數評注：函數項級數u(x)求收斂域有時也利用變量代換化為冪級數，利用冪級數求收斂域的方法來完成，或者利用數項級數其它判別法、及性質完成．02a4a[(n2)(n1)a2na4a]xnn1所以a2a知f()收斂，所以根據正項級數的比較判別法知，級數f(n1)（1）；（2）解：將f(x)作偶延拓，得到[,(1)n1；n性判別法各項為非負（u0）的級數u稱為正項級數．n11．正項nx202a4a[(n2)(n1)a2na4a]xnn1所以a2a知f()收斂，所以根據正項級數的比較判別法知，級數f(n1)（1）；（2）解：將f(x)作偶延拓，得到[,(1)n1；n性判別法各項為非負（u0）的級數u稱為正項級數．n11．正項nx2 3nx3n求下列函數項級數的收斂域x2221nnnn以0n1exdxnendxenn由于limn2n2lim12單．對于y(x)的表達式想通過解方程得到非常困難，因為所給方1n12點收斂，根據阿貝爾定理當x2時，對應的冪級數都絕對收ln(1t)0t0[例7.2.26]設f(x)arctanx133以0n1exdxnendxenn由于limn2n2lim12單．對于y(x)的表達式想通過解方程得到非常困難，因為所給方1n12點收斂，根據阿貝爾定理當x2時，對應的冪級數都絕對收ln(1t)0t0[例7.2.26]設f(x)arctanx133n23n2n1n2n1n23n2313n從而冪級數313111求冪級數和函數的基本方法：⑴求出其收斂域；⑵利用冪級數的四則運算性質、逐項求數；⑶對所得到的和函數做相反的分析運算，便得原冪級數的和函數．評注：評注：①若冪級數通項的系數是n的有理分式，一般可用逐項求導來求和函數；②若冪級數通項的系數是n的有理整式，一般可用逐項積分來求和函數．分析：冪級數(2n1)xn通項的系數是n的有理整式，故應利用逐項積分來求和函數，冪級數xn1通項的系數是n的有理分式，應利用逐項求導來求和函數．123．設b0，若級數[ab收斂，證明級數n124．若f(x02n10n111由性質5的“注”可知級數(12n1110n所以必有f(x)0，即級數f(n)是正項級數．n1根據拉格朗R2b．因此冪級數的收斂半徑為R1．min(R,R)121m1123．設b0，若級數[ab收斂，證明級數n124．若f(x02n10n111由性質5的“注”可知級數(12n1110n所以必有f(x)0，即級數f(n)是正項級數．n1根據拉格朗R2b．因此冪級數的收斂半徑為R1．min(R,R)121m1=x212101x所以和函數為S(x)2（2）limnn12，所以收斂半徑為R212nn2n，則xS(x)21故S(x)n2n1x12x2．解：收斂半徑為Rlimnnt)cos(nu)]du2A01 1 1212由上述類似方R2b．因此冪級數的收斂半徑為R1．min(R,R)121m2)x2n3(2n)!,x(,)．14．[n014(1)n(因為limnnuvlimnn1n4所以原級數收斂．（5）用比 xnt)cos(nu)]du2A01 1 1212由上述類似方R2b．因此冪級數的收斂半徑為R1．min(R,R)121m2)x2n3(2n)!,x(,)．14．[n014(1)n(因為limnnuvlimnn1n4所以原級數收斂．（5）用比 xnxxx2n12n令顯然又 11 xx 而0 xe222244xe22xe2e2（Ⅰ）求此級數的收斂域2n（Ⅱ）證明此級數滿足微分方程yy1（Ⅲ）求此級數的和函數n 2n0（Ⅲ）容易求得上述方程的通解為yCex121)n()4n1,2x2所以f(x)f(0)(1)n11x4037．（1）(2,4)；（2）[3,3)；（3）[2,2]的冪級數．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2，arctannn1a,必收斂．1)n()4n1,2x2所以f(x)f(0)(1)n11x4037．（1）(2,4)；（2）[3,3)；（3）[2,2]的冪級數．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2，arctannn1a,必收斂．21．因為axk1在[0，12nnn1n（Ⅰ）證明an2分析：用已知條件推證（Ⅰ）比較簡單．對于y(x)的表達式想通過解方程得到非常困難，因為所給方程超出我們所學范圍，不過可以通過（Ⅰ）把a的具體表達式求出來，利用已知的常用冪級數展開式把冪級數的和函數寫出來．y0011111 1x2n1xex2求數項級數a和的方法之一是利用冪級數的和函數．此方法是：①根據a的特點，滿足：S(2)S(2)14nxn2224nxn1四、利用函數以及通項a是否收斂于零帶來n盾．一旦產生矛盾，便可確定級數發收斂域求冪級數收斂半徑的方法我們在常考知識點中介紹過，如果冪22（C）1,2,116．設f(x)以2為周期的函數，f(x（2）（滿足：S(2)S(2)14nxn2224nxn1四、利用函數以及通項a是否收斂于零帶來n盾．一旦產生矛盾，便可確定級數發收斂域求冪級數收斂半徑的方法我們在常考知識點中介紹過，如果冪22（C）1,2,116．設f(x)以2為周期的函數，f(x（2）（3）x221n+12n02n 3所以S(x)[33x2]6x x2n22n01122n+102n，則xS(x)()n，從而n1[xS(x)]()n1221[例7.2.15]求級數的和．n1解：由于n1令n(n1)(x)sinnx,(0n1x)，(1)k12k11418．當算性質、逐項求導、逐項積分、或變量代換，將冪級數化為常用展開n221112n，則xS(x)()n，從而n1[xS(x)]()n1221[例7.2.15]求級數的和．n1解：由于n1令n(n1)(x)sinnx,(0n1x)，(1)k12k11418．當算性質、逐項求導、逐項積分、或變量代換，將冪級數化為常用展開n2211112n12式的和；②將各個部分分式用或的冪級數展開式展開；③利用冪級數的四則運nn1解：由于令n12nn03031所以S(x)11111311120)F(0)211 22(1)故應選（C）．二、將函數在[l其余項SSn．五、任意項級數及其絕對收斂nn11．條件收斂、列命題中正確的是(A)設正項級數a發散，則a(nN)n1(B2.23]將f(x)xarctanxln解：由于f(x)ar2n110)F(0)211 22(1)故應選（C）．二、將函數在[l其余項SSn．五、任意項級數及其絕對收斂nn11．條件收斂、列命題中正確的是(A)設正項級數a發散，則a(nN)n1(B2.23]將f(x)xarctanxln解：由于f(x)ar2n11將322n1 1112的一般方法是將所給函數在指定區間上展開成傅里葉級數，看它是不x)xx(x)的傅里葉級數展開式為(acosnxn1則其中系延拓的方法，在區間[l,l]外擴充f(x)的定義，使它延拓為.2.19]將函數f(x)lnxx1，在x1處展開成冪級數．的一般方法是將所給函數在指定區間上展開成傅里葉級數，看它是不x)xx(x)的傅里葉級數展開式為(acosnxn1則其中系延拓的方法，在區間[l,l]外擴充f(x)的定義，使它延拓為.2.19]將函數f(x)lnxx1，在x1處展開成冪級數．2xx1x2n1Ⅳ反三角型函數展開成冪級數2，故收斂半徑為R于是冪級數的收斂域為(,)．0x4．[例7.,2,3,L)，所以0uwvw，因為v與n1w都收斂，所以由xn的收斂半徑為2，則冪級數a(x3)n，故收斂半徑為R于是冪級數的收斂域為(,)．0x4．[例7.,2,3,L)，所以0uwvw，因為v與n1w都收斂，所以由xn的收斂半徑為2，則冪級數a(x3)n在下列點處必收斂n0(x)dx01(1x)2，x1xx(1,1)，1,1)．1224n14n24Ⅴ其它形式的函數展開成冪級數1(1)n11x2n+(1)n1(1)n1(1)k111(1)n1(1)n11 所以且=x21展開成x的冪級數．xnnn()k換成連續變量x，再用羅必達法則，limxsin(n112n1x2n 1x2nn1n1所以且n1f(x)1+2數的收斂域為[3,3]．（4）此級數缺少x的奇次冪．故需利用()由比較判別法可知，級數n1（當n充分大時）f()絕對收斂nnnn()k換成連續變量x，再用羅必達法則，limxsin(n112n1x2n 1x2nn1n1所以且n1f(x)1+2數的收斂域為[3,3]．（4）此級數缺少x的奇次冪．故需利用()由比較判別法可知，級數n1（當n充分大時）f()絕對收斂n在x0的冪級數展開式為yx26xnn解：依題意有設y在x0展開成冪級數y 1n2n茲nn2故由級數斂散的性質可得，原級數發散．（3）不難得到unkk12．收斂域定義：設u(x)是定義在D上的一個函數項級xx2(2(acosnxbsinnx)，則n1其中的系數b的．[例7.1.15]若f(x)滿足：⑴在區間[0,f(x)0解：由于n茲nn2故由級數斂散的性質可得，原級數發散．（3）不難得到unkk12．收斂域定義：設u(x)是定義在D上的一個函數項級xx2(2(acosnxbsinnx)，則n1其中的系數b的．[例7.1.15]若f(x)滿足：⑴在區間[0,f(x)0解：由于n22nxxn0的冪級數展開式nnn nnnn211分析：證明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推論．1n2n對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數；（2）(n1級數為交錯級數，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數為條件收1x2)(axn)xaxn1n0即a[(n2)a(n1)a])sinxdx；（3）L(a0)．解：（1）usinn2ns對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數；（2）(n1級數為交錯級數，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數為條件收1x2)(axn)xaxn1n0即a[(n2)a(n1)a])sinxdx；（3）L(a0)．解：（1）usinn2ns1n2則三角級數0bnn1n2n1逐項積分的結果呢？于是問題的關鍵就是如何將被積函數展開成t的冪級數．x xn01n22n．本節重點是傅里葉級數的狄里赫萊定理、將函數展開成傅里葉級數．abnbl徑為Rm．[例2.2]求下列冪級數的收斂域n2nn!收斂半徑有下述性質：