線性系統的根軌跡法第1頁，課件共40頁，創作于2023年2月4-1根軌跡法的基本概念第2頁，課件共40頁，創作于2023年2月一、根軌跡的概念根軌跡是開環系統的某一參數從零變化到無窮時，閉環系統特征方程式的根在S平面上變化的軌跡。第3頁，課件共40頁，創作于2023年2月舉例：-令K*（由0到∞）變動，s1、s2在s平面的移動軌跡即為根軌跡。第4頁，課件共40頁，創作于2023年2月第5頁，課件共40頁，創作于2023年2月因此利用根軌跡，可以分析系統穩定性、穩態性能和動態性能。（1）穩定性：根軌跡都在S左半平面，閉環系統穩定。（2）穩態性能：（3）動態性能：0<K*<1，兩個不等負實根，過阻尼系統；K*＝1，兩個相等負實根，臨界阻尼系統；K*>1，一對共軛復根，欠阻尼系統；特征方程的根運動模態系統動態響應（穩定性、系統性能）第6頁，課件共40頁，創作于2023年2月二、根軌跡方程相角條件是確定根軌跡的充分必要條件。相角條件滿足稱為180o根軌跡。相角條件：模值條件：第7頁，課件共40頁，創作于2023年2月4-2繪制根軌跡的基本法則

第8頁，課件共40頁，創作于2023年2月一、基本法則1、根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點；如果開環零點個數少于開環極點個數，則有（n-m)條根軌跡終止于無窮遠處。

起點：終點：第9頁，課件共40頁，創作于2023年2月2、根軌跡的分支數及對稱性和連續性（1）根軌跡分支數＝特征根個數。（2）由于閉環特征根是實根或共軛復根，故根軌跡對稱于實軸。（3）由于K*連續變化，故根軌跡具有連續性。第10頁，課件共40頁，創作于2023年2月3、根軌跡的漸近線：n-m條根軌跡沿著漸近線趨向無窮遠處，漸近線與實軸交點和夾角為：

第11頁，課件共40頁，創作于2023年2月4、實軸上的根軌跡實軸上某一區域其右方開環實數的零點數和極點數的總和為奇數，該區域為根軌跡。第12頁，課件共40頁，創作于2023年2月5、根軌跡的會合點和分離點：若干根軌跡在復平面上相遇后又分開的點稱為分離點或會合點。分離點坐標d的求解：證明：第13頁，課件共40頁，創作于2023年2月第14頁，課件共40頁，創作于2023年2月若無開環零點，則：第15頁，課件共40頁，創作于2023年2月注意：

一般說來，若實軸上兩相鄰開環極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環零點（其中一個可為無窮遠零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。如果實軸上根軌跡在開環零點與開環極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。第16頁，課件共40頁，創作于2023年2月例題：單位反饋系統的開環傳遞函數為：試繪制閉環系統的根軌跡

2、實軸上根軌跡為[-3,-2]，[-1，0]

3、求漸近線：漸近線與實軸交點為：

漸近線與實軸夾角為：解：1、開環零點z1=-1，開環極點p1=0，p2=-2，p3=-3，根軌跡分支數為3條，有兩個無窮遠的零點。第17頁，課件共40頁，創作于2023年2月4、求分離點：第18頁，課件共40頁，創作于2023年2月6、根軌跡的起始角和終止角：根軌跡的起始角是根軌跡離開開環復數極點處切線與正實軸的夾角：在離開p1附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應滿足相角條件：當時，即為離開根軌跡上的起始角，，則：第19頁，課件共40頁，創作于2023年2月根軌跡的終止角是根軌跡進入開環復數零點處切線與正實軸的夾角：第20頁，課件共40頁，創作于2023年2月例題：已知單位反饋系統的開環傳遞函數為繪制系統的根軌跡，并求系統有超調響應時K*的取值范圍。2、漸近線與實軸重合的，實軸上根軌跡（-，-2]。解：1、一個開環零點，兩個開環極點；兩條根軌跡分支；有一個無窮遠處的零點。3、初始角：

第21頁，課件共40頁，創作于2023年2月4、求分離點：說明：由相角條件可以證明復平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為（-2，j0)，半徑為2。第22頁，課件共40頁，創作于2023年2月分離點處，

系統有超調響應時的K*取值范圍。

第23頁，課件共40頁，創作于2023年2月7、根軌跡和虛軸的交點：（1）利用勞思判據（2）將s=jω代入D(S)=0第24頁，課件共40頁，創作于2023年2月例題：已知單位反饋系統的開環傳遞函數為，試繪制閉環系統的根軌跡。

解：（1）實軸上根軌跡為(-∞,-3]，[-2，0]（2）漸近線與實軸夾角為：漸近線與實軸交點為：（3）根軌跡與虛軸交點用勞思判據，閉環特征方程為：第25頁，課件共40頁，創作于2023年2月S3160S25

S1

S0

第26頁，課件共40頁，創作于2023年2月（4）求分離點：

第27頁，課件共40頁，創作于2023年2月8、根之和當時，第28頁，課件共40頁，創作于2023年2月4-3廣義根軌跡法第29頁，課件共40頁，創作于2023年2月一、參數根軌跡以非開環增益K*為可變參數的根軌跡，稱為參數根軌跡。閉環特征方程：等效開環傳遞函數：等效開環傳遞函數求取后，繪制方法與前面相同。引入等效開環傳遞函數的概念注意：在此的等效意義是在特征方程相同，或者是閉環極點相同的前提下成立；而此時閉環零點是不同的。第30頁，課件共40頁，創作于2023年2月例題：求Tm從0→∞時的根軌跡R(s)(-)C(s)j0P1P2-K原系統的閉環特征方程為

Tms2+s+K=0整理可得等效開環傳函或由

s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程為

s2+(s+K)/Tm=0則新的等效開環傳函為第31頁，課件共40頁，創作于2023年2月在一些復雜系統中，包含了正反饋內回路，有時為了分析內回路的特性，則有必要繪制相應的根軌跡，相角條件滿足2kπ，稱為零度根軌跡。二、零度根軌跡第32頁，課件共40頁，創作于2023年2月幅值條件相角條件與常規根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。所以零度根軌跡的繪制的規則只要考慮相角條件所引起的某些規則的修改。第33頁，課件共40頁，創作于2023年2月法則3：漸近線與實軸交點不變，夾角為：法則4：實軸上根軌跡。實軸上某一區域其右方開環實數的零點數和極點數的總和為偶數，該區域為根軌跡。法則5：根軌跡的起始角：終止角：零度根軌跡與180根軌跡的區別體現在：1.實軸上的根軌跡；2.漸近線與實軸的夾角；3.起始角與終止角。第34頁，課件共40頁，創作于2023年2月解：（1）系統的開環零極點分布為z1=-2，p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，有三條根軌跡分支，實軸上的根軌跡（-，-3]，[-2，）。例題：

設具有正反饋回路系統的內回路傳遞函數分別為試繪制該回路的根軌跡圖。（2）根軌跡的漸近線（n-m)=2條，漸近線夾角第35頁，課件共40頁，創作于2023年2月（3）確定出射角（4）確定分離點第36頁，課件共40頁，創作于2023年2月（5）確定臨界開環增益，顯然根軌跡過坐標原點，坐標原點對應的開環增益為第37頁，課件共40頁，創作于2023年2月1、附加適當的開環零點可以改善系統的穩定性。設開環傳遞函數為

z1是附加的開環實數零點，其值可在s左半平面內任意選擇，當z1→∞時，表明不存在有限零點。三、附加開環零點的作用第