第三章函數第10講一次函數（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一一次函數的相關概念考點二一次函數的圖象與性質考點三一次函數與方程（組）、不等式考點四一次函數的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一一次函數的定義題型01一次函數的定義及其參數問題題型02求一次函數的自變量或函數值命題點二一次函數的圖像題型01判斷一次函數的圖像題型02根據一次函數圖象解析式判斷象限題型03已知函數經過的象限求參數的值或取值范圍題型04一次函數與坐標軸交點問題題型05一次函數的平移問題命題點三一次函數的性質題型01判斷一次函數增減性題型02根據一次函數增減性判斷參數取值范圍題型03根據一次函數增減性判斷自變量的變化情況題型04求一次函數解析式題型05一次函數的規律探究問題命題點四一次函數與方程（組）、不等式題型01已知直線與坐標軸的交點求方程的解題型02由一元一次方程的解判斷直線與x軸交點題型03利用圖象法解一元一次方程題型04兩直線的交點與二元一次方程組的解題型05求兩直線與坐標軸圍成的圖形面積題型06由直線與坐標軸交點求不等式的解集題型07根據兩條直線交點求不等式的解集命題點五一次函數的實際應用題型01分配問題題型02最大利潤問題題型03行程問題題型04現實生活相關問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測一次函數的相關概念結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次函數的表達式；10年7考一次函數的圖象與性質是中考數學中比較重要的一個考點，也是知識點牽涉比較多的考點.各地對一次函數的圖象與性質的考察也主要集中在一次函數表達式與平移、圖象的性質、圖象與方程不等式的關系以及一次函數圖象與幾何圖形面積等五個方面，年年考查，總分值為5-10分左右，也因為一次函數是一個結合型比較強的知識點，所以其圖象和性質也是后續函數問題學習的一個基礎.故考生在復習這塊知識點時，需要特別熟記對應考點的方法規律..一次函數的圖象與性質解正比例函數；能畫一次函數的圖象，根據圖象和表達式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0時圖象的變化情況.會運用待定系數法確定一次函數的表達式.10年8查一次函數與方程（組）、不等式體會一次函數與二元一次方程的關系.10年8考一次函數的應用能用一次函數解決實際問題10年10考考點一一次函數的相關概念正比例函數定義：一般地，形如y=kx（k為常數，k≠0）的函數，叫做正比例函數，k叫做比例系數.一次函數定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數.當一次函數y=kx+b中b=0時，y=kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.一次函數的一般形式：y=kx+b（k，b是常數，k≠0）.1.一次1.一次函數一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次數為1；3）常數b可以取任意實數.2.正比例函數是一次函數，但是一次函數不一定是正比例函數.3.一次函數本身對自變量沒有取值范圍的要求，但是如果一次函數中的自變量x出現在分母，根號內，則需考慮以下情況：1）整個分母不能等于0；2）根號里的整個式子要大于或等于0.4.判斷一個函數是不是一次函數，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.考點二一次函數的圖象與性質一、一次函數的圖象特征及性質圖象特征正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）必過點（0,0）、（1，k）.一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）必過點（0，b）、（-，0）增減性k>0k<0從左向右看圖像呈上升趨勢，y隨x的增大而增大從左向右看圖像呈下降趨勢，y隨x的增大而減少圖象b>0b=0b<0b>0b=0b<0經過象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四與y軸交點位置b＞0，交點在y軸正半軸上；b=0，交點在原點；b＜0，交點在y軸負半軸上二、一次函數圖象圖象關系一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到：當b>0時，向上平移b個單位長度；當b<0時，向下平移|b|個單位長度平移口訣：左加有減，上加下減圖象確定因為一次函數的圖象是一條直線，由兩點確定一條直線可知畫一次函數圖象時，只要取兩點即可，1）畫一次函數的圖象，只需過圖象上兩點作直線即可，一般取(0，b)，(，0)兩點；2）畫正比例函數的圖象，只要取一個不同于原點的點即可.三、k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關系在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=

，即直線y=kx+b與x軸交于(,0)令x=0，則y=b，即直線y=kx+b與y軸交于(0，b)1）當>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．2）當=0，即b=0時，直線經過原點．3）當<0，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．四、兩個一次函數表達式（直線l1：y1=k1x＋b1與l2：y2=k2x＋b2）的位置關系：1）當k1=k2，b1=b2時，兩直線重合；2)當k1=k2，b1≠b2時，兩直線平行；3）當k1≠k2，b1=b2時，兩直線交于y軸上的同一點（0，b）；4）當k1k2=-1時，兩直線垂直；5）當k1≠k2時，兩直線相交.五、用待定系數法確定一次函數解析式確定一次函數解析式的方法：1）依據題意中等量關系直接列出解析式；2）待定系數法.用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟：1）設出函數的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據已知條件(自變量與函數的對應值)代入表達式得到關于待定系數的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數的一般形式中，從而得到一次函數解析式.六、正比例函數與一次函數的聯系與區別正比例函數一次函數區別一般形式y=kx+b（k是常數，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）圖象經過原點的一條直線一條直線k，b符號的作用k的符號決定其增減性，同時決定直線所經過的象限k的符號決定其增減性；b的符號決定直線與y軸的交點位置；k，b的符號共同決定直線在直角坐標系的位置求解析式的條件只需要一對x，y的對應值或一個點的坐標需要兩對x，y的對應值或兩個點的坐標聯系1）正比例函數是特殊的一次函數．2）正比例函數圖象與一次函數圖象的畫法一樣，都是過兩點畫直線，但畫一次函數的圖象需取兩個不同的點，而畫正比例函數的圖象只要取一個不同于原點的點即可．3）一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個單位長度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．4）一次函數與正比例函數有著共同的性質：①當k>0時，y的值隨x值的增大而增大；②當k<0時，y的值隨x值的增大而減小．QUOTE11.正比例函數y=kx中，|k|越大，直線y=kx越靠近y軸；反之，|y|越小，直線y=kx越靠近x軸.2.判斷一次函數的增減性，只看k的符號，與b無關.3.一次函數y=kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實數而且圖像是一條直線，因此沒有最大值與最小值.但實際問題得到第一次函數解析式，自變量的取值范圍一般受到限，學生做題時要注意具體問題具體分析.4.一次函數y=kx+b（k≠0）與x軸交于(,0)，與y軸交于(0，b)，且這兩個交點與坐標軸原點構成的三角形面積為s=QUOTE.考點三一次函數與方程（組）、不等式一、一次函數與一元一次方程思路：由于任何一個一元一次方程可以轉化為ax+b=0(a、b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求自變量的值.從“數”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解?函數y=ax+b（a≠0）中，y=0時對應的x的值從“形”上看：方程ax+b=0(a≠0）的解?函數y=ax+b（a≠0）的圖像與x軸交點的橫坐標.二、一次函數與二元一次方程組思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a、b為常數，且a≠0）的形式.因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程也對應一條直線，進一步可知，一個二元一次方程組對應兩個一次函數，因而也對應兩條直線.從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標.二、一次函數與一元一次不等式思路：關于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直線y=kx+b和x軸的交點為分界點，x軸上(下)方的圖象所對應的x的取值范圍.從函數的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數圖像的角度看：就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的橫坐標滿足的條件.1）二元一次方程組的圖解法的定義：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解，這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法1）二元一次方程組的圖解法的定義：畫出兩個一次函數的圖像，找出它們的交點坐標，即得相應的二元一次方程組的解，這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法考點四一次函數的實際應用一次函數的實際應用：1）一次函數應用問題的求解思路：①建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答；②利用函數并與方程(組)、不等式(組)聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用。2）建立函數模型解決實際問題的一般步驟：①審題，設定實際問題中的變量，明確變量x和y；②根據等量關系，建立變量與變量之間的函數關系式，如：一次函數的函數關系式；③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；④利用函數的性質解決問題；⑤寫出答案。3）利用一次函數的圖象解決實際問題的一般步驟：①觀察圖象，獲取有效信息；②對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；③選擇適當的數學工具(如函數、方程、不等式等)，通過建模解決問題。【提示】時刻注意根據實際情況確定變量的取值范圍。4）求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較．【提示】一次函數本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數表達式→確定函數增減性→根據自變量的取值范圍確定最值．命題點一一次函數的定義?題型01一次函數的定義及其參數問題1．（2024·廣東·模擬預測）下列函數中，y是x的一次函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數的定義，一般地，形如（k，b為常數，且）的函數稱為一次函數，據此逐項判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數，符合題意；B、不是一次函數，不符合題意；C、不是一次函數，不符合題意；D、不是一次函數，不符合題意．故選：A2．（2023·湖南長沙·一模）函數的圖像經過點，則k的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】將圖像上的點代入解析式求解即可．【詳解】一次函數的圖像經過點，，解得．故選B．【點睛】本題考查函數圖像的性質，圖像上的點的橫縱坐標符合解析式方程．將點的坐標代入解析式方程求解參數是解題的關鍵．3．（2024·四川南充·三模）若是y關于x的一次函數，則其圖象不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本題考查根據一次函數的定義求參數，判斷直線經過的象限，根據是y關于x的一次函數，得到，求出的值，進而判斷直線經過的象限即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：，∴直線解析式為：，∴直線經過一、二、四象限，不經過第三象限；故選C．4．（2022·四川成都·二模）若函數是一次函數，則的值為（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由一次函數的定義：比例系數不為零，自變量的指數為1，可得答案．【詳解】解：由題意可得，m-1≠0，∴m=-1，故選A【點睛】本題考查一次函數的定義，準確掌握定義的要點是解題的關鍵．?題型02求一次函數的自變量或函數值5．（2024·湖北武漢·模擬預測）小華在畫一次函數的圖象時列出了如下表格：x…012y…41…小勤看到后說有一個函數值求錯了，這個錯誤的函數值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了待定系數法求出一次函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，根據點的坐標（任取兩個），利用待定系數法求出一次函數解析式，再逐一驗證其它三點坐標即可得出結論．【詳解】解：設該一次函數的解析式為（），將，代入得，，解得：，∴一次函數的解析式為．當時，；當時，；當時，．故選：B．6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知一次函數，是常數，且，若，則該一次函數的圖象必經過點（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，牢記“直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式”是解題的關鍵．由，可得出，再利用一次函數圖象上點的坐標特征，即可得出該一次函數的圖象必經過點．【詳解】解：，即，一次函數，是常數，且的圖象必經過點．故選：A7．（2024·廣西桂林·二模）已知一次函數的圖象經過點，則a的值為（

）A．8 B． C．1 D．0【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數圖像的性質，掌握一次函數圖像上的點滿足函數解析式成為解題的關鍵．將點代入求解即可．【詳解】解：將點代入可得：．故選D．8．（2024·陜西西安·模擬預測）點，是一次函數（為常數，且）的圖象上的兩點，且，則的值為（

）A． B． C．3 D．6【答案】C【分析】本題考查一次函數的性質．熟練掌握一次函數的性質，將，代入得，是解題的關鍵．【詳解】解：將，代入得，，，∵，∴，∴，故選：C．命題點二一次函數的圖像?題型01判斷一次函數的圖像9．（2024·安徽·模擬預測）已知與是一次函數．若，那么如圖所示的個圖中正確的是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數的圖象，其圖象是直線，要求學生掌握通過函數的解析式，判斷直線的位置及與坐標軸的交點．聯立方程，得出兩直線的交點為，依次分析選項可得答案．【詳解】解：聯立方程，可解得，故兩直線的交點為，選項中交點縱坐標是0，即，但根據圖象可得，故選項不符合題意；而選項中交點橫坐標是負數，故選項不符合題意；選項中交點橫坐標是負數，選項不符合題意；選項中交點橫坐標是正數，縱坐標是正數，即，根據圖象可得，故選項符合題意；故選：．10．（2024·江蘇南通·一模）在平面直角坐標系中，點，點，點在同一個函數圖象上，則該圖象可能是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了函數的圖象．由點，點，點在同一個函數圖象上，可得與關于軸對稱；當時，隨的增大而增大，繼而求得答案．【詳解】解：，點，與關于軸對稱，即這個函數圖象關于軸對稱，故選項A不符合題意；，點，當時，隨的增大而增大，故選項B符合題意，選項C、D不符合題意．故選：B．11．（2024·陜西西安·三模）若為常數且，則一次函數的圖象可能是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數圖象的性質，熟練掌握一次函數圖象的相關性質是解題的關鍵．根據一次函數圖象的性質進行分析即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴一次函數的圖象在第一、二，四象限．故選：B．12．（2024·陜西寶雞·二模）在平面直角坐標系中，一次函數的大致圖像是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數的圖像，分和兩種情況分類討論進行解題即可.【詳解】當時，一次函數圖象經過一、三、四象限，當時，一次函數圖象經過一、二、四象限，故選A.?題型02根據一次函數圖象解析式判斷象限13．（2023·貴州六盤水·一模）一次函數的圖象如圖所示，則點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據圖象分布，確定k，b的符號，后確定位置即可．本題考查了一次函數圖像：一次函數、為常數，圖像分布與k，b得關系是解題的關鍵．【詳解】解：∵圖象分布在二、三、四象限，∴，∴在第三象限；故選C．14．（2024·上海·模擬預測）無論實數m為何值，直線與的交點不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本題考查了兩條直線相交或平行問題，熟知一次函數的圖象與系數的關系是解答此題的關鍵．根據一次函數的圖象與系數的關系即可得出結論．【詳解】∵直線中，，，∴直線過第一、三、四象限，∴無論為何實數，直線與的交點不可能在第二象限，故選：B．15．（2018·陜西西安·模擬預測）直線與直線在同一坐標系中的大致圖象可能是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數的圖象．若過第一、三象限，則，所以過第二、四象限，可對、進行判斷；若過第二、四象限，則，，，所以過第一、三象限，與軸的交點在軸下方，則可對、進行判斷．【詳解】解：A、過第一、三象限，則，所以必過二、四象限，所以A選項錯誤；B、過第二、四象限，則，，，所以必過一、三象限，與軸的交點在軸下方，所以B選項錯誤；C、過第二、四象限，則，，，所以必過一、三象限，與軸的交點在軸下方，所以C選項正確；D、過第一、三象限，則，所以必過二、四象限，所以D選項錯誤．故選：C．16．（2023·河南平頂山·二模）在平面直角坐標系中，已知函數（為常數）的圖象經過點，則下列敘述正確的是（

）A．函數圖象經過點B．函數值隨的增大而減小C．函數圖象不經過第三象限D．函數圖象與坐標軸圍成三角形的面積為【答案】A【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．先根據待定系數法求出的值，得出函數解析式，再根據一次函數的圖象和性質依次進行求解判斷即可．【詳解】解：將點代入到函數（為常數）中，則，解得：故函數解析式為．A.當時：，故A是正確的；B.∵，∴函數值隨的增大而增大，故B是錯誤的；C.∵，∴函數圖象為上升的直線，∴函數圖象必然經過第三象限，故C是錯誤的；D.由解析式可得函數圖象與坐標軸的交點為：，，∴函數圖象與坐標軸圍成三角形的面積為，故D是錯誤的；故選：A．?題型03已知函數經過的象限求參數的值或取值范圍17．（2024·福建福州·模擬預測）已知一次函數的圖象如圖所示，則點所在的象限為

(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由圖象經過第一、三、四象限可知求出，再根據不等式的性質得到，即可判斷所處象限．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數圖像與系數的關系，解一元一次不等式，點的坐標特征，不等式的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．18．（2023·遼寧沈陽·中考真題）已知一次函數的圖像如圖所示，則，的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了一次函數的圖像與性質，解題的關鍵是數形結合．根據一次函數的圖像所在的象限并結合一次函數的性質即可求解．【詳解】解：一次函數的圖像過一、三象限，，一次函數的圖像與軸交于負半軸，，故選：B．19．（2022·陜西寶雞·模擬預測）已知關于的一次函數的圖象經過第一、二、四象限，則代數式可化簡為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的性質，明確題意、利用一次函數的性質得到m的取值范圍是解題的關鍵．根據一次函數的圖象經過第一、二、四象限，可以得到m的取值范圍，然后取絕對值后計算即可．【詳解】解：∵一次函數的圖象經過第一、二、四象限，∴，解得：，∴．故答案為：5．20．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數與（其中，，，，為常數）的圖象分別為直線，．下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是一次函數的圖象與性質，直接利用一次函數的圖象經過的象限以及與軸的交點位置再判斷即可．【詳解】解：由一次函數：的圖象可得：，，由一次函數：的圖象可得：，，∴，，，，正確的結論是A，符合題意，故選A．?題型04一次函數與坐標軸交點問題21．（2024·青海·中考真題）如圖，一次函數的圖象與x軸相交于點A，則點A關于y軸的對稱點是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數與坐標軸的交點坐標，點的對稱，屬于簡單題，求交點坐標是解題關鍵．先求出點的坐標，再根據對稱性求出對稱點的坐標即可．【詳解】解：令，則，解得：，即點為，則點A關于y軸的對稱點是．故選：A．22．（2024·陜西榆林·三模）在平面直角坐標系中，若直線與軸交于點，與直線交于點，則交點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題是兩條直線相交問題，考查一次函數圖象上點的坐標特征及待定系數法求得一次函數的解析式．先求出的值，再聯立方程組求解即可．【詳解】解：直線與軸交于點，，解得：，直線，直線，，解得：，，故選：C．23．（2024·陜西西安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線與直線關于軸對稱，則直線與軸的交點坐標為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了待定系數法求一次函數，一次函數與坐標軸交點問題，先得出直線與軸交于點，，根據軸對稱的性質得出直線過點，，待定系數法的求得解析式，進而即可求解．【詳解】∵直線、關于軸對稱，直線與軸交于點，∴直線過點，設直線的解析式為，∴將點，代入中得，解得，∴，令，解得，∴與軸的交點坐標為．故選：C．24．（2024·山西晉城·三模）如圖，函數的圖象分別與軸，軸交于點，，的平分線與軸交于點，則點的縱坐標為（

）A．4 B． C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了一次函數圖象與坐標軸的交點問題，勾股定理，角平分線的性質，過點作于點先求出，的長，然后根據勾股定理求出的長，再根據角平分線的性質證得，然后根據列方程即可求出的長，進而得到答案．【詳解】解：過點作于點，的圖象分別與軸、軸交于點、，當，當點坐標為，點坐標為，，，在中，，平分，，，，，，即，解得：，點的縱坐標為，故選：A．?題型05一次函數的平移問題25．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像分別與軸，軸交于，兩點，將直線向左平移后與軸，軸分別交于點，點．若，則直線的函數解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數圖像的平移，掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．先利用一次函數解析式求出點坐標，再證明，得到，即得點的坐標，最后根據一次函數平移的性質即可求出直線的函數解析式．【詳解】解：對于直線，當時，，∴，∵直線向左平移后與軸，軸分別交于點，點，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴點的坐標為，∴平移以后的函數解析式為．故選：．26．（2024·陜西·模擬預測）在同一平面直角坐標系中，直線向上平移個單位長度后，與直線的交點可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數圖象的平移，正確求出平移后的直線解析式是解題的關鍵．先根據平移規律求出直線向上平移m個單位的直線解析式，再把各選項點坐標代入與，驗證即可．【詳解】解：直線向上平移個單位后，得到，A．把代入得，，∴交點不可能是，故A不合題意；B．把代入得，，∴交點不可能是，故B不合題意；C．把代入得，，把代入，求得，∴交點可能是，故C符合題意；D．把代入得，，把代入，求得，∴交點不可能是，故D不合題意；故選：C．27．（2024·陜西咸陽·模擬預測）將直線向下平移2個單位長度后得到直線，將直線向左平移1個單位長度后得到直線．若直線和直線恰好重合，則k的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本題考查了直線的平移．直線的平移規律遵循：上加下減，左加右減，據此分別求出平移后直線、的解析式，結合與直線恰好重合可得關于的方程，解方程即得答案．【詳解】解：直線向下平移2個單位長度后得到直線，直線的解析式為，將直線向左平移個單位長度后得到直線，直線的解析式為，直線和直線恰好重合，，解得：，故選：A．28．（2023·四川南充·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數交于點A，將直線沿軸向上平移個單位長度，交x軸于點C，若，則的值為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合問題，相似三角形的判定和性質．熟練掌握函數圖象平移以及平移性質，反比例函數與一次函數的交點，是解題的關鍵．解析式聯立，解方程組求得A的縱坐標，根據平移和相似三角形性質求得B的縱坐標，代入反比例函數的解析式求得B的坐標，代入即可求得b的值．【詳解】解：分別過點A，B作軸于點D，軸于點E，則,∵直線與反比例函數的圖象交于點A，∴，解得，，或（舍去），∴，∴，由平移知，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴B的縱坐標為4，把代入，得，，解得，，∴，∵將直線沿軸向上平移b個單位長度得到直線，∴把B的坐標代入得，，解得，，故選：D．命題點三一次函數的性質?題型01判斷一次函數增減性29．（2024·湖南衡陽·模擬預測）對于一次函數，下列結論正確的是（

）A．它的圖象與軸交于點 B．隨的增大而增大C．當時， D．它的圖象經過第一、二、三象限【答案】A【分析】本題考查了一次函數的圖象性質，根據一次函數，且，得出隨的增大而減小，令，得出一次函數與軸交于點，它的圖象經過第一、二、四象限，當時，則，即可作答．【詳解】解：∵一次函數，且，∴隨的增大而減小，故B選項不符合題意；令時，則，即一次函數與軸交于點，故A選項符合題意；則一次函數經過第一、二、四象限，故D選項不符合題意；∵一次函數的隨的增大而減小，∴令時，則，∴當時，則，故C選項不符合題意；故選：A．30．（2024·廣東廣州·模擬預測）關于一次函數，下列說法正確的是（

）A．圖象過點B．其圖象可由的圖象向下平移2個單位長度得到C．隨著的增大而增大D．圖象經過第一、二、四象限【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象與幾何變換，一次函數的性質以及一次函數圖象與系數的關系，根據一次函數圖象上點的坐標特征，平移的規律以及一次函數的性質逐個判斷即可．【詳解】A、當時，，一次函數的圖象經過點，選項A錯誤，不符合題意；B、由的圖象向下平移2個單位長度得到，故選項B錯誤，不合題意C、，隨的增大而減小，選項C錯誤，不符合題意；D、，，一次函數的圖象經過第一、二、四象限，選項D正確，符合題意；故選：D．31．（2024·廣東廣州·一模）關于函數，下列結論成立的是（

）．A．函數圖象經過點 B．隨的增大而增大C．當時， D．函數圖象不經過第一象限【答案】C【分析】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．將代入解析式求出函數值，即可判斷A選項；根據一次函數的增減性，即可判斷B選項；根據一次函數與坐標軸的交點坐標，即可判斷C選項；根據一次函數的系數，即可判斷D選項．【詳解】解：A．當時，，即函數圖象經過點，原結論錯誤，不符合題意；B．，即隨的增大而減小，原結論錯誤，不符合題意；C．函數過點，即當時，，原結論正確，符合題意D．函數圖象經過一、二、四象限，原結論錯誤，不符合題意；故選：C．32．（2023·廣東東莞·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．函數，y隨x增大而增大B．直線經過第一、二、三象限C．函數，y隨x增大而減小D．函數的圖象向右平移2個單位后，函數解析式為【答案】C【分析】根據一次函數的性質分析判斷A，B，再根據反比例函數的性質判斷C，最后根據二次函數的平移規律判斷D即可．【詳解】因為函數中，，可知函數值y隨著x的增大而減小，所以A不符合題意；因為直線中，，，可知直線經過第一、三、四象限，所以B不符合題意；因為函數中，，可知圖象位于第一象限，函數值y隨著x的增大而減小，所以C符合題意；因為函數的圖象向右平移2個單位長度后，函數解析式為，所以D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了函數的性質，掌握系數與不同函數之間的關系是解題的關鍵．?題型02根據一次函數增減性判斷參數取值范圍33．（2024·湖南益陽·二模）一次函數，函數值y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的增減性，對應一次函數，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，據此求解即可．【詳解】解：∵一次函數，函數值y隨x的增大而增大，∴，∴，故選：C．34．（2022·貴州遵義·中考真題）若一次函數的函數值隨的增大而減小，則值可能是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據一次函數的性質可得，即可求解．【詳解】解：∵一次函數的函數值隨的增大而減小，∴．解得．觀察各選項，只有D選項的數字符合故選D．【點睛】本題考查了一次函數的性質，掌握一次函數的性質是解題的關鍵．35．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知是一次函數圖象上的兩點，則m和n的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，根據一次函數的增減性即可判斷，掌握一次函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴一次函數中y隨x的增大而減小，∵，∴，故選：D．36．（2024·浙江溫州·三模）若直線經過和，若，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查一次函數的增減性，由時，，可得y隨x的增大而減小，進而可得一次項系數，解不等式即可．【詳解】解：，，，，故選D．?題型03根據一次函數增減性判斷自變量的變化情況37．（2024·內蒙古呼倫貝爾·一模）已知點，在直線上，且，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了利用一次函數的性質比較自變量的大小，對于一次函數來說，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，熟練掌握一次函數的增減性是解題的關鍵．根據直線中，得到隨的增大而減小，由即可得到的取值范圍．【詳解】解：對于直線來說，∵，∴隨的增大而減小．∵，∴．故選：A38．（2024·陜西渭南·二模）已知點和點都在一次函數的圖象上，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的增減性，根據解析式可得y隨x增大而減小，再由，即可得到．【詳解】解：∵在中，，∴y隨x增大而減小，∵，∴，故選：C．39．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，為直線上的三個點，且，則以下判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】先分析出一次函數的增減性，再根據不同情況進行分類討論．【詳解】解：直線是一次函數，是小于0的，隨的增大而減小．，．若，則與同號，但不能確定、的正負，故選項A不符合題意；若，則與異號，但不能確定、的正負，故選項B不符合題意；若，則與異號，則與同時為負，故、同時為正，故，選項C符合題意；若，則與同號，但不能確定、的正負，故選項D不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查一次函數圖象和性質，掌握一次函數的增減性性質是解題關鍵．40．（2023·湖北十堰·中考真題）已知點在直線上，點在拋物線上，若且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設直線與拋物線對稱軸左邊的交點為，設拋物線頂點坐標為，求得其坐標的橫坐標，結合圖象分析出的范圍，根據二次函數的性質得出，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，設直線與拋物線對稱軸左邊的交點為，設拋物線頂點坐標為聯立解得：或∴，由，則，對稱軸為直線，設，則點在上，∵且，∴點在點的左側，即，，當時，對于，當，，此時，∴，∴∵對稱軸為直線，則，∴的取值范圍是，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的性質，一次函數的性質，數形結合熟練掌握是解題的關鍵．?題型04求一次函數解析式41．（2024·山西·中考真題）生物學研究表明，某種蛇在一定生長階段，其體長是尾長的一次函數，部分數據如下表所示，則y與x之間的關系式為（）尾長6810體長45.560.575.5A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查用待定系數法求一次函數關系式，一次函數圖象上點的坐標特征，根據題意可設，利用待定系數法求出k，b即得x、y之間的函數關系式．【詳解】解：∵蛇的體長是尾長的一次函數，設，把時，；時，代入得，解得，∴y與x之間的關系式為．故選：A．42．（2024·廣東·模擬預測）在平面直角坐標系中，點A的坐標為，把點A先向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到點B，則直線的表達式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一次函數解析式的求解，根據題干信息得出，再利用待定系數法求解．【詳解】解：點A的坐標為，把點A先向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到點，設直線的表達式為，則，解得：，，故選：B．43．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）已知一次函數經過點，則下列結論正確的是（）A．函數值隨增大而增大B．圖象經過第一、二、三象限C．圖象與軸交于點D．當時，【答案】C【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數的圖象上點的坐標特征、一次函數的性質，求得一次函數的解析式是解題的關鍵．先將點代入一次函數解析式求得值，再根據一次函數的圖像與性質逐項判斷即可．【詳解】解：將點代入一次函數解析式得，解得：一次函數的解析式為A、因為，所以函數值隨的增大而減小，故A選項不符合題意；B、函數圖象如圖所示，所以此函數圖象經過第一、二、四象限，故B選項不符合題意．C、令得，，解得，所以函數圖象與軸的交點坐標為，故C選項符合題意；D、當時，，故D選項不符合題意．故選：C．44．（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線與軸、軸分別交于點A、B，若的面積為3，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數與坐標軸的交點，待定系數法，先求出再利用的面積為3求出得出，代入函數解析式即可求出的值．【詳解】解：當時，，∴，即，∵，∴，，將點代入，得．故選A．?題型05一次函數的規律探究問題45．（2024·湖北武漢·模擬預測）正方形，，，…按如圖所示的方式放置，點，，，…和點，，，…分別在直線和軸上．已知點，點，，則的坐標是()A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知縱坐標為1，的縱坐標為2，的縱坐標為4，的縱坐標為8，，即可得到，，，，的縱坐標，根據圖象得出，，，即可得到，，，，在一條直線上，直線的解析式為，把的縱坐標代入即可求得橫坐標．【詳解】∵，點，∴，∴，過作x軸于M，過作y軸于N，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，，同理可求得：縱坐標為1，的縱坐標為2，的縱坐標為4，的縱坐標為8，，和，和，和，和的縱坐標相同，，，，，，的縱坐標分別為1，2，4，8，16，，根據圖象得出，，，直線的解析式為，的縱坐標為，把代入，解得，的坐標是，當時，，故選：D．【點睛】此題考查了點的坐標規律探究，待定系數法求一次函數的解析式、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形和正方形的性質，找到規律是解題的關鍵．46．（2023·山東煙臺·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點在軸的正半軸上，在第一象限，且是等邊三角形．在射線上取點，分別以為邊作等邊三角形使得在同一直線上，該直線交軸于點．若，則點的縱坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，點的坐標規律，等邊三角形性質，解答本題的關鍵是尋找點的坐標規律．利用待定系數法求得直線的解析式，利用等邊三角形的性質分別求出，，，的坐標，然后找到點坐標的變化規律，即可求出的縱坐標．【詳解】解：是等邊三角形，，的橫坐標為，，設，則，解得：或，點在第一象限，，的解析式為，，，是等邊三角形，，，，，，的橫坐標為，的縱坐標為，同理，，，，∴的縱坐標是．故選：D．47．（2023·遼寧阜新·二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與兩坐標軸交于、兩點，以為邊作等邊，將等邊沿射線方向作連續無滑動地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉，使點落在直線上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點順時針旋轉，使點落在直線l上……當等邊三角形翻滾次后點的對應點坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先令，求得點與點的坐標，從而求出、、的長度，然后結合圖形的翻轉知道點經過次旋轉后重新落在直線：上，第次旋轉點的位置不變，再結合次一循環得到翻滾次后點的坐標．【詳解】解：∵直線l：與兩坐標軸交于、兩點，∴，，∴，，，∴，∴，如圖，等邊經過第次翻轉后，，過點作軸于點，則，

∵，∴，，等邊經過第次翻轉后，，等邊經過第次翻轉后，點仍在點處，∴每經過次翻轉，點向右平移個單位，向上平移個單位，∵，第次與第次翻轉后點處在同一個點，∴點經過次翻轉后，向右平移了個單位，向上平移了個單位，∴等邊三角形翻滾次后點的對應點坐標是，故選：D．【點睛】本題考查了圖形的翻轉，一次函數圖象上點的坐標特征，解直角三角形，解題的關鍵是通過實際操作理解等邊經過第次翻轉與第次翻轉后點處在同一個點．48．（2020·廣東廣州·一模）如圖，直線y＝x+1與x軸和y軸分別交于B0，B1兩點，將B1B0繞B1逆時針旋轉135°得B1B0′，過點B0'作y軸平行線，交直線y＝x+1于點B2，記△B1B0B2的面積為S1；再將B2B1繞B2逆時針旋轉135°得B2B1'，過點B1'作y軸平行線，交直線y＝x+l于點B3，記△B2B1'B3的面積為S2…以此類推，則△BnBn﹣1'Bn+1的面積為Sn＝（

）A．（）n B．（）n﹣1 C．2n D．2n﹣1【答案】D【分析】根據直線與x軸的成角和已知，可以判斷∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，再由旋轉的性質得到B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′，可以B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，根據三角形面積公式即可求解．【詳解】解：直線l1：y＝x+1與x軸正半軸夾角45°，由題意可知B′0B1∥x軸，B1′B2∥x軸，…，Bn′Bn+1∥x軸，B′0B2∥y軸，B′1B3∥y軸，…，B′n﹣1Bn+1∥y軸，∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，∴B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′由直線l1：y＝x+1可知，B0（﹣1，0），B1（0，1），∴OB0＝1，∴B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，∴△BnBn﹣1'Bn+1的面積為Sn＝（）2＝2n﹣1故選：D．【點睛】本題考查一次函數圖象及性質，直角三角形的性質；利用直線與x軸的成角，平行線的性質，在直角三角形中利用角的關系得到邊的關系是解題的關鍵．命題點四一次函數與方程（組）、不等式?題型01已知直線與坐標軸的交點求方程的解49．（2021·廣東佛山·一模）如圖，一次函數的圖象經過點，則下列說法正確的是（

）A． B．C．方程的解是 D．隨的增大而減小【答案】C【分析】利用函數的圖象結合一次函數的性質進行解答即可．【詳解】解：∵圖象過第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，y隨x的增大而而增大，故ABD錯誤；又∵圖象與x軸交于（?2，0），∴kx＋b＝0的解為x＝?2，故C正確；故選：C．【點睛】此題主要考查了一次函數與一元一次方程，關鍵是正確從函數圖象中獲取信息，掌握一次函數的性質．50．（2024·陜西渭南·一模）如圖，一次函數（為常數且）和的圖象相交于點，根據圖象可知關于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數圖象的交點問題，一次函數與一元一次方程．根據圖象，兩直線的交點的縱坐標為4，將其代入得即可．【詳解】解：由圖象知，兩直線的交點的縱坐標為4，將其代入得．故選：A．51．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知一次函數的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是（

）A．， B．方程的解是C．當時， D．隨的增大而減小【答案】B【分析】本題考查一次函數的圖象與系數的關系，以及一次函數的性質．根據圖象可得，該一次函數的圖象過一、二、三象限，進而可得k、b的值，以及與軸交點，函數的增減性，即可得出答案．【詳解】解：圖象過一、二、三象限，且與軸交于正半軸，，，故A錯誤，不符合題意；圖象與軸交于點，方程的解是，故B正確，符合題意；由圖知，當時，，故C錯誤，不符合題意；，隨的增大而增大；故D錯誤，不符合題意；故選：B．52．（2021·廣西賀州·中考真題）直線（）過點，，則關于的方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】關于的方程的解為函數的圖象與x軸的交點的橫坐標，由于直線過點A(2,0)，即當x=2時，函數的函數值為0，從而可得結論．【詳解】直線（）過點，表明當x=2時，函數的函數值為0，即方程的解為x=2．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數與一元一次方程的關系，即一元一次方程的解是一次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，要從數與形兩個方面來理解這種關系．?題型02由一元一次方程的解判斷直線與x軸交點53．（2024·廣東·模擬預測）若關于x的方程的解是，則直線一定經過點（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查的是一次函數與一元一次方程的關系，掌握一次函數與一元一次方程的關系是解題的關鍵；根據方程可知當時，，從而可判斷直線經過點即可．【詳解】解：由方程的解可知：當時，，即當時，，直線一定經過點，故選：C．54．（2023·陜西西安·模擬預測）直線關于x軸對稱后，與y軸的交點為，則a的值為（

）A．0 B．2 C．－2 D．－1【答案】A【分析】先求出直線關于x軸對稱后的解析式，然后把代入即可求出a的值．【詳解】解：∵對于直線，當時，，∴直線與y軸的交點為，∵關于x軸的對稱點為．∴直線關于x軸對稱后的解析式為，把代入得，，∴．故選A．【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形變化-軸對稱，以及待定系數法求函數解析式，表示出直線關于x軸對稱后的解析式為是解答本題的關鍵．55．（2021·河南安陽·一模）在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移4個單位長度，則平移后的圖象與x軸交點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據“上加下減”的原則求得平移后的解析式，令y=0，解得即可．【詳解】解：由“上加下減”的原則可知，將函數y=-2x的圖象向上平移4個單位長度所得函數的解析式為y=-2x+4，∵此時與x軸相交，則y=0，∴-2x+4=0，即x=2，∴與x軸交點坐標為(2，0)，故選：C．【點睛】本題考查的是一次函數的平移，以及一次函數與坐標軸的交點，熟知“上加下減”的原則是解答此題的關鍵．56．（2021·安徽合肥·二模）若是關于的方程的解，則一次函數的圖象與軸的交點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線y=mx+n與x軸的交點的橫坐標就是函數值為0時的方程的解，根據題意得到一次函數y=mx+n的圖象與x軸的交點為（2，0），進而得到一次函數y=-mx-n的圖象與x軸的交點為（2，0），由于一次函數y=-mx-n的圖象向右平移一個單位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函數y=-m（x-1）-n的圖象與x軸的交點坐標．【詳解】解：∵方程的解為x=2，∴當x=2時mx+n=0；∴一次函數y=mx+n的圖象與x軸的交點為（2，0），∴一次函數y=-mx-n的圖象與x軸的交點為（2，0），∵一次函數y=-mx-n的圖象向右平移一個單位得到y=-m（x-1）-n，∴一次函數y=-m（x-1）-n的圖象與x軸的交點坐標是（3，0），故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數與一元一次方程的關系．任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值．?題型03利用圖象法解一元一次方程57．（2024·陜西西安·二模）如圖，已知直線（為常數，），則關于的方程的解是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數和一元一次方程的綜合應用，正確解得直線函數解析式是解題關鍵．首先根據待定系數法解得直線解析式，再令，解得的值，即可獲得答案．【詳解】解：由圖像可知，直線經過點，，將點，代入，可得，解得，∴該直線解析式為，令，可得，解得，∴關于的方程的解是．故選：A．58．（2024·貴州遵義·一模）如圖，一次函數與的圖象相交于點，則關于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次方程的解與一次函數圖象的交點坐標．先求出點P的坐標為，由圖象可以知道，當時，兩個函數的函數值是相等的，即可求解．【詳解】解：根據題意得：點P的縱坐標為7，把代入，得：，解得：，∴點P的坐標為，∵一次函數與的圖象相交于點，∴關于的方程的解是．故選：D．59．（2022·湖北武漢·模擬預測）關于的方程有兩個實數根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將的解看成函數的圖象與直線的交點的橫坐標，函數的圖象是定折線，直線過定點，繞定點旋轉，計算旋轉過程中有交點和沒交點的臨界狀態，判斷即可【詳解】解：方程的實數根，即為函數的圖象與直線的交點的橫坐標如圖，分別畫出兩函數的圖象：等價于過定點當直線與平行時：當直線過點時解得：觀察圖象可知：當時，直線與函數的圖象有兩個交點故選：C【點睛】本題考查一元一次方程一元一次函數，分段函數，圖像與系數的關系；本題的關鍵是將方程問題轉化為函數圖像的交點問題60．（2020·山西·一模）數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題可迎刃而解，且解法簡潔．如圖，直線y＝3x和直線y＝ax+b交于點（1，3），根據圖象分析，方程3x＝ax+b的解為（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3【答案】A【分析】根據方程的解即為函數圖象的交點橫坐標解答．【詳解】解：∵直線y＝3x和直線y＝ax+b交于點（1，3）∴方程3x＝ax+b的解為x＝1．故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數與一元一次方程．函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解．?題型04兩直線的交點與二元一次方程組的解61．（2024·廣東河源·一模）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）

A．B．隨x的增大而增大C．當時，D．關于x，y的方程組的解為【答案】C【分析】本題考查了一次函數與方程、不等式的關系．根據一次函數與方程、不等式的關系求解．【詳解】解：A、由圖象得：，，所以，故本選項不符合題意；B、由圖象得隨的增大而減小，故本選項不符合題意；C、由圖象得：當時，，故本選項符合題意；D、由圖象得：的解為，故本選項不符合題意．故選：C．62．（2024·廣東深圳·二模）在同一直角坐標系中，一次函數的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（

）A．隨x的增大而減小 B．C．當時， D．方程組的解為【答案】C【分析】本題主要考查一次函數的圖象和性質，一次函數與二元一次方程組，一次函數與一元一次不等式．從函數圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關鍵．結合圖象，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、由圖可知，隨的增大而減小，故選項A正確，不符合題意；B、由圖象可知，一次函數與y軸的交點在的上方，即，故選項B正確，不符合題意；C、把代入得，解得，故與的交點為，由圖象可知：當時，，故選項C錯誤，符合題意；D、由圖象可知，兩條直線的交點為，∴關于，的方程組的解為，故選項D正確，不符合題意．故選：C．63．（2023·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（

）

A．隨的增大而增大B．C．當時，D．關于，的方程組的解為【答案】C【分析】結合圖象，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、隨的增大而增大，故選項A正確；B、由圖象可知，一次函數的圖象與軸的交點在的圖象與軸的交點的下方，即，故選項B正確；C、由圖象可知：當時，，故選項C錯誤；D、由圖象可知，兩條直線的交點為，∴關于，的方程組的解為；故選項D正確；故選C．【點睛】本題考查一次函數的圖象和性質，一次函數與二元一次方程組，一次函數與一元一次不等式．從函數圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關鍵．64．（2023·陜西西安·一模）如圖，一次函數與的圖象相交于點，則關于，的二元方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用直線確定點坐標，然后根據方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標得到答案．【詳解】解：把代入得，解得，即點坐標為，所以二元一次方程組的解為．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數的值，而這一對未知數的值也同時滿足兩個相應的一次函數式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標．?題型05求兩直線與坐標軸圍成的圖形面積65．（2024·陜西西安·模擬預測）在平面直角坐標系中，O為坐標原點．若直線分別與x軸、直線交于點A、B，則的面積為（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了兩直線與坐標軸圍成圖形的面積，求出交點坐標是解題的關鍵．根據方程或方程組得到，，根據三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：如圖，

在中，令，得，解得，，∴，，∴的面積，故選：B．66．（2024·陜西漢中·二模）已知一次函數（k、b為常數，且）的圖象是由正比例函數的圖象向右平移3個單位長度后得到的，若一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為9，則k的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數與坐標軸圍成的圖形面積，一次函數圖象的平移問題，先根據平移方式求出平移后的解析式為，進而求出一次函數與x軸的交點為，與y軸的交點為，再根據一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為9，列出方程求解即可．【詳解】解：∵一次函數（k、b為常數，且）的圖象是由正比例函數的圖象向右平移3個單位長度后得到的，∴，∴在中，當時，，當時，，∴一次函數與x軸的交點為，與y軸的交點為，∵一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為9，∴，∴，故選：C．67．（2022·陜西西安·三模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線與直線都經過，且，設與軸交于點，則的面積為A． B． C． D．【答案】B【分析】過作y軸于C，由即可得到，進而求得，然后根據三角形面積公式即可求得的面積．【詳解】過作y軸于C∵∴∴∴∵∴∴∴∴∴，故選：B．【點睛】本題是考查一次函數與相似綜合問題，三角形的面積等，利用相似求出的長是解題的關鍵．68．（2023·內蒙古包頭·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸相交于點A，與軸相交于點，四邊形是平行四邊形，直線經過點，且與軸相交于點與相交于點，記四邊形，的面積分別為，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】求出點A的坐標為，點B的坐標為，根據平行四邊形性質得出點的坐標為，求出直線的解析式為，得出點D的坐標為，求出直線的解析式為：，的解析式為，求出點E的坐標為，得出，求出，，即可求出結果．【詳解】解：把代入得：，解得：，∴點A的坐標為，∴，把代入得：，∴點B的坐標為，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴點的坐標為，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為，把代入得：，解得：，∴點D的坐標為，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，∵，∴的解析式為，聯立，解得：，∴點E的坐標為，∴，∴，∴，∴，即，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了求一次函數的解析式，一次函數與x軸，y軸的交點問題，直線圍成的三角形的面積，平行四邊形的性質，解題的關鍵是求出點E的坐標．?題型06由直線與坐標軸交點求不等式的解集69．（2024·四川眉山·二模）如圖，直線交坐標軸于、兩點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的性質，求的解集，即為，就是求函數值小于0時，x的取值范圍，解題時應結合函數和不等式的關系找出正確的答案．【詳解】∵要求的解集，即為求的解集，∴從圖象上可以看出等時，，故選：C．70．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，一次函數（k、b為常數，且）與x軸，y軸分別交于兩點，則關于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是一次函數與一元一次不等式，能利用數形結合求出不等式的解集是解答此題的關鍵．由一次函數的圖象過點，且隨的增大而增大，從而得出不等式的解集．【詳解】由一次函數的圖象可知，隨的增大而增大，∵一次函數的圖象與軸交于點，∴當時，有．故選：C．71．（2024·貴州銅仁·模擬預測）如圖，直線l是一次函數的圖象，當時，y的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數與不等式之間的關系，求一次函數解析式，求一次函數值，先根據待定系數法求出函數解析式，再求出當時，，據此結合函數圖象可得答案．【詳解】解：由圖可知，一次函數的圖象與坐標軸的交點分別為，∴，解得，∴一次函數的解析式為，∴當時，∴當時，y的取值范圍是．故選：A．72．（2024·山東臨沂·模擬預測）在同一平面直角坐標系中，一次函數與的圖象如圖所示．則下列結論中：①隨的增大而增大；②；③．當時，；④關于，的方程組的解為，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據一次函數的性質，結合圖象，逐一進行判斷即可．【詳解】解：①、隨的增大而增大，故選項①正確；②．由圖象可知，一次函數的圖象與軸的交點在的圖象與軸的交點的下方，即，故選項②正確；③．由圖象可知：當時，，故選項③錯誤；④．由圖象可知，兩條直線的交點為，∴關于，的方程組的解為；故選項④正確；故正確的有①②④共三個，故選：C．【點睛】本題考查一次函數的圖象和性質，一次函數與二元一次方程組，一次函數與一元一次不等式．從函數圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關鍵．?題型07根據兩條直線交點求不等式的解集73．（2024·云南昆明·模擬預測）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．為了了解關于x的不等式的解集，某同學繪制了與（m，n為常數，）的函數圖象如圖所示，通過觀察圖象發現，該不等式的解集在數軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，在數軸上表示不等式的解集，能利用數形結合求出不等式的解集是解題的關鍵．直接根據一次函數的圖象即可得出結論．【詳解】解：由一次函數的圖象可知，當時，一次函數的圖象在一次函數的圖象的下方，∴關于的不等式的解集是．在數軸上表示的解集，只有選項C符合，故選：C．74．（2024·陜西咸陽·模擬預測）在同一平面直角坐標系中，若直線與直線相交于點，則關于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數圖象的平移問題，一次函數與不等式之間的關系，根據題意可得直線與直線的交點坐標為，再根據一次函數的增減性即可得到答案．【詳解】解：直線與直線分別可以看作由直線與直線向左平移2個單位長度得到．∵直線與直線相交于點，直線與直線的交點坐標為，∵在中，在中，∴在中，y隨x增大而減小，在中y隨x增大而增大，∴不等式的解集為．故選C．75．（2024·貴州·模擬預測）如圖，一次函數和一次函數的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．當時，【答案】C【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，兩條直線的交點，解決問題的關鍵是掌握一次函數圖象和性質．根據一次函數的性質即可判斷A、B；根據兩條直線交點的橫坐標即可判斷C、D．【詳解】解：A．∵一次函數的圖象經過二、三、四象限，∴，故A錯誤；B．∵一次函數的圖象經過一、二、三象限，∴，故B錯誤；C．∵兩條直線交點的橫坐標為，∴，∴，即，故C正確；D．∵當時，一次函數的圖象在一次函數的圖象上面，∴時，，故D錯誤．故選：C．76．（2024·貴州遵義·三模）已知一次函數和的圖象如圖所示，有下列結論：①；②；③；④、是直線上不重合的兩點，則．其中正確的是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本題考查了一次函數的性質，一次函數與一元一次不等式的關系，解題關鍵是利用數形結合的思想解決問題．根據一次函數中的，與其圖象間的關系，利用數形結合的思想以及一次函數與一元一次不等式的關系，可解決此題．【詳解】解：①的圖象過第二、三、四象限，觀察圖象可知，，．所以．故①正確．②將分別代入和得，，．觀察圖象不難發現點在點的上方，所以．故②不正確．③觀察圖象發現，與交點的橫坐標為．當時，兩者的函數值相等．，故③正確．④，是直線上不重合的兩點，由的圖象可知，當時，，則．當時，，則．故④不正確．故選：B．命題點五一次函數的實際應用?題型01分配問題77．（2024·廣東梅州·模擬預測）五華，這片土地孕育了深厚的足球文化．從亞洲球王李惠堂到近年來唯一的縣級中超球隊梅州客家，他們的存在不僅彰顯了五華足球的歷史，更推動了當地體育事業的蓬勃發展．五華某校致力于發展足球運動，決定加大投入購買足球和足球錐形桶．在商場發現若購買20個足球和40個足球錐形桶需要花費1800元，且購買1個足球錐形桶比1個足球少花30元．(1)求每個足球和足球錐形桶的單價；(2)根據學校計劃，該中學需足球、足球錐形桶共120個，且足球的數量不少于足球錐形桶數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【答案】(1)每個足球的價格是50元，每個足球錐形桶的價格是20元(2)當購買40個足球，80個足球錐形桶時，總費用最少，最低費用為3600元【分析】本題考查了二元一次方程的應用，一次函數的應用等知識．（1）設每個足球的價格是x元，每個足球錐形桶的價格是y元，根據“買20個足球和40個足球錐形桶需要花費1800元，且購買1個足球錐形桶比1個足球少花30元”列出方程組，解方程組即可求解；（2）設學校購買了足球a個，需要的總費用為W元，根據題意列出函數關系式，根據題意得到，根據一次函數性質即可得到當時，，問題得解．【詳解】（1）解：設每個足球的價格是x元，每個足球錐形桶的價格是y元．依題意，得，解得：，答：每個足球的價格是50元，每個足球錐形桶的價格是20元；（2）解：設學校購買了足球a個，需要的總費用為W元，則，由題意得：，∴，∵，∴W隨a的增大而增大，∴當時，，（個）．答：當購買40個足球，80個足球錐形桶時，總費用最少，最低費用為3600元．78．（2024·河南駐馬店·一模）今年元宵節期間，20余萬名游客歡聚南京夫子廟觀燈，景區內某知名小吃店計劃購買甲、乙兩種食材制作小吃，賓饗游客．已知購買甲種食材和乙種食材共需49元，購買甲種和乙種食材共需53元．(1)求甲、乙兩種食材的單價；(2)該小吃店計劃購買兩種食材共，其中甲種食材的質量不少于乙種食材的3倍，當甲，乙兩種食材分別購買多少時，總費用最少？并求出最小總費用．【答案】(1)甲種食材單價19元/千克，乙種食材單價15元/千克．(2)甲種食材36千克，乙種食材12千克，總費用最少，為864元．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式得應用；（1）設甲種食材單價x元/千克，乙種食材單價y元/千克，根據題意列二元一次方程組即可；（2）設甲種食材購買m千克，則乙種食材購買千克，總費用為w元，根據題意得出，根據一次函數的性質求解即可【詳解】（1）設甲種食材單價x元/千克，乙種食材單價y元/千克，由題意可得：解得答：甲種食材單價19元/千克，乙種食材單價15元/千克．（2）設甲種食材購買m千克，則乙種食材購買千克，總費用為w元．由題意得：．∴w隨m的增大而增大．又，∴．∴當時，w有最小值為（元）．答：甲種食材36千克，乙種食材12千克，總費用最少，為864元．79．（2024·廣東廣州·一模）人工智能與實體經濟融合能夠引領產業轉型，提升人們生活品質．某科創公司計劃投入一筆資金購進、兩種型號的芯片．已知購進2片型芯片和1片型芯片共需900元，購進1片型芯片和3片型芯片共需950元．(1)求購進1片型芯片和1片型芯片各需多少元？(2)若該科創公司計劃購進、兩種型號的芯片共10萬片，根據生產的需要，購進型芯片的數量不低于型芯片數量的4倍，問該公司如何購買芯片所需資金最少？最少資金是多少萬元？【答案】(1)購進1片型芯片需元，購進1片型芯片需元；(2)該公司購買型芯片8萬片，型芯片2萬片所需資金最少,最少資金是萬元【分析】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的實際應用，正確理解題意，找出數量關系是解題關鍵．（1）設購進1片型芯片需元，購進1片型芯片需元，根據“購進2片型芯片和1片型芯片共需900元，購進1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程組求解即可；（2）設購進型芯片的數量為萬片，則購進型芯片數量為萬片，根據“購進型芯片的數量不低于型芯片數量的4倍”列不等式，求出的取值范圍，令購買芯片所需資金為，根據題意得到關于的一次函數，利用一次函數的增減性求解即可．【詳解】（1）解：設購進1片型芯片需元，購進1片型芯片需元，由題意得：，解得：，答：購進1片型芯片需元，購進1片型芯片需元；（2）解：設購進型芯片的數量為萬片，則購進型芯片數量為萬片，由題意得：，解得；，令購買芯片所需資金為，則，，隨的增大而增大，當時，最小，最小值為萬元，萬片，答：該公司購買型芯片8萬片，型芯片2萬片所需資金最少,最少資金是萬元?題型02最大利潤問題80．（2024·廣東廣州·模擬預測）年4月日點分，神舟十八號載人飛船在酒泉發射中心發射升空，某中學組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元購進A款和用元購進B款的文化衫的數量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知畢業班的同學一共有人，要求購買的A款文化衫的數量不少于B款文化衫數量的兩倍，學校應如何設計采購方案才能使得購買費用最低，最低費用為多少？【答案】(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元(2)購買A款文化衫件，B款文化衫件，費用最低，為元【分析】本題考查了分式方程的應用，一次函數的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：找準等量與不等量關系，正確列出分式方程和不等式．（1）設B款文化衫每件元，則A款文化衫每件元，依題意得，，計算求解，然后作答即可；（2）設購買A款文化衫件，則B款文化衫件，費用為元，依題意得，，可求，由題意知，，然后根據一次函數的圖象與性質求解作答即可．【詳解】（1）解：設B款文化衫每件元，則A款文化衫每件元，依題意得，，解得，，經檢驗，是原分式方程的解，且符合要求；∴，∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；（2）解：設購買A款文化衫件，則B款文化衫件，費用為元，依題意得，，解得，，由題意知，，∵，∴當時，費用最低為（元），∴購買A款文化衫件，B款文化衫件，費用最低，為元．81．（2024·廣東深圳·模擬預測）寶安公明臘腸是深受當地民眾喜愛的一種美食，其制作技藝至今已有百余年歷史，該項目2017年被列入寶安區區級非物質文化遺產保護名錄．某臘腸制作坊計劃購買A，B兩種香料制作臘腸．已知購買1千克A種香料和1千