第六章圓第24講圓的相關概念及性質（6~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一圓的相關概念考點二圓的性質04題型精研·考向洞悉命題點一圓的相關概念?題型01理解圓的相關概念?題型02圓的周長與面積相關計算?題型03求一點到圓上一點的距離最值命題點二圓的性質?題型01利用垂徑定理求解?題型02利用垂徑定理的推論求解?題型03垂徑定理的實際應用?題型04利用弧、弦、圓心角關系判斷正誤?題型05利用弧、弦、圓心角關系求角度?題型06利用弧、弦、圓心角關系求線段長?題型07利用圓周角定理求解?題型08直徑所對的圓周角為90°問題?題型0990°所對的圓周角為直徑?題型10已知圓內接四邊形求角度?題型11垂直定理的綜合問題?題型12圓的基礎性質的綜合問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測圓的相關概念①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念.了解等圓、等弧的概念.10年7考在廣東中考數學中，圓的基本性質在小題中通常考察圓的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內接四邊形等基礎考點，難度一般在中檔及以下，而在簡答題中，圓的基本性質還可以和相似、三角形函數、特殊四邊形等結合出題，難度中等或偏上.在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在3-13分左右，屬于中考中的中檔考題.所以，考生在復習這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質的各個概念、性質以及推論，才能在后續的結合問題中更好的舉一反三.圓的性質圓的對稱性理解圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.10年4考垂徑定理及推論探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.10年8考弧、弦、圓心角的關系探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等.10年考圓周角定理及推論了解并證明圓周角定理及其推論.10年10考圓內接四邊形的性質理解圓內接四邊形的對角互補.10年5考考點一圓的相關概念定義內容補充說明圓在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫圓.以點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O.由圓的定義可知，確定圓的兩個條件①圓心，它確定圓的位置.②半徑，它確定圓的大小.圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形.弦連結圓上任意兩點的線段叫做弦.①在一個圓上可以畫無數條弦和直徑.

②直徑是弦，但弦不一定是直徑.

③直徑是最長的弦.直徑經過圓心的弦叫做直徑.弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號：“”表示.以為端點的弧記作，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.①半圓是弧,但弧不一定是半圓.②弧有長度和度數,規定半圓的度數為180°,劣弧的度數小于180°,優弧的度數大于180°.半圓圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優弧大于半圓的弧叫做優弧.劣弧小于半圓的弧叫做劣弧.同圓圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.①在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數或長度相等的弧不一定是等弧.②同圓或等圓的半徑相同.等圓半徑相等的圓叫做等圓.同心圓圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距.圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.兩個特征：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可．圓內接四邊形如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形.這個圓叫做這個四邊形的外接圓.考點二圓的性質1.圓的對稱性內容補充圓的軸對稱性經過圓心任意畫一條直線，并沿此直線圓對折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸.①圓的旋轉不變性是其他中心對稱圖形所沒有的性質.②圓的對稱軸不是直徑，而是直徑所在的直線.③圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質都可以由它的對稱性推出.圓的中心對稱性將圓繞圓心旋轉180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.將圓繞圓心旋轉任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉不變性.2.垂徑定理及推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過圓心②AB⊥CD③CE=DE④⑤【總結】垂徑定理及其推論實質是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優弧（5）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應靈活運用該定理.常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度；2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.【易錯點】求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側，兩弦在圓心的異側．3.弧、弦、圓心角的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等.【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的弦相等，所對的圓心角、圓周角也都相等．運用這些相等關系，可以實現線段相等與角相等之間的相互轉化．4.圓周角定理圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角=）推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑.【補充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應的圓周角有無數個，但圓周角的度數只有兩個，這兩個度數和為180°【解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進行角的轉化.2）在證明圓周角相等或弧相等時，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.3）當已知圓的直徑時，常構造直徑所對的圓周角．4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質進行轉化．比如圓心角與圓周角間的轉化；同弧或等弧的圓周角間的轉化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化等．1）圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化.1）圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化.2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉化.3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.命題點一圓的相關概念?題型01理解圓的相關概念1．（2024·黑龍江大慶·二模）下列說法正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸C．相等的圓心角所對的弧相等D．等弧所對的弦必相等【答案】D【分析】此題考查了圓心角、弧、弦的關系，圓是軸對稱圖形以及垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，相等的圓心角，所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距也相等．根據圓的相關性質逐一判斷即可．【詳解】解：A．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故該選項錯誤；B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故該選項錯誤；平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以B選項錯誤；C．在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，故該選項錯誤；D．同弧或等弧所對的圓周角相等，故該選項正確；故選：D．2．（2023·廣東陽江·三模）有下列四個命題：①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等②經過三個點一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各邊的距離都相等；④三角形的內心到三角形各頂點的距離相等．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】D【分析】本題考查了圓的相關定義，根據圓周角定理，確定圓方法，內心和外心的性質：“根據三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，三角形的內心到三角形各邊的距離都相等”，逐個進行判斷即可．【詳解】解：①根據圓心角定理可得出，同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等，故此選項正確；②根據經過三個不在一條直線的點一定可以作圓，故此選項錯誤；③根據三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，故此選項錯誤；④三角形的內心到三角形各邊的距離都相等，故此選項錯誤；故正確的有①，共1個．故選：D．3．（23-24九年級上·江蘇常州·階段練習）下列說法中，正確的是（

）A．弦的垂直平分線必經過圓心B．三點確定一個圓C．平分弦的直徑垂直于這條弦D．長度相等的弧是等弧【答案】A【分析】本題考查了等弧的定義、確定圓的條件、垂徑定理等知識；熟練掌握等弧的定義、確定圓的條件、垂徑定理、三角形的內心性質是解題的關鍵．由等弧的定義、確定圓的條件、垂徑定理分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A.弦的垂直平分線必經過圓心，故該選項正確，符合題意；B.不在同一條直線上的三點確定一個圓，故該選項不正確，不符合題意；C.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，故該選項不正確，不符合題意；D.在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故該選項不正確，不符合題意；故選：A．4．（2023·上海普陀·二模）下列關于圓的說法中，正確的是（

）A．過三點可以作一個圓 B．相等的圓心角所對的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸【答案】D【分析】利用圓的有關定義及性質分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、過不在同一直線上的三個點一定能作一個圓，故錯誤，不符合題意；B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤，不符合題意；C、平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，故錯誤，不符合題意；D、圓的直徑所在的直線是它的對稱軸，正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了確定圓的條件及圓的有關性質，解題的關鍵是了解有關性質及定義，難度不大．?題型02圓的周長與面積相關計算5．（2023·福建泉州·二模）適時的休閑可以緩解學習壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個同心圓，像素，，那么周圍圓環面積約為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】圓環的面積等于大圓面積減去小圓面積，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，設同心圓的圓心為，連接，則大圓的半徑為，小圓的半徑為，

∴設小圓的半徑為，大圓的半徑，∵像素，，∴，在中，，即，∴，∵，∴，故選：．【點睛】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握圓環面積的計算方法是解題的關鍵．6．（2019·廣東佛山·一模）某公園計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池，后來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無法確定【答案】C【分析】根據圓的周長公式，將每個圓的周長計算出來，找到和周長L的關系即可．【詳解】設大圓的直徑是D，圖（2）中三個小圓的直徑分別為：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根據圓周長公式，得圖（1）中，需要2D；圖（2）中，需要D+d1+d2+d3=D+(d1+d2+d3)=2D故選：C．【點睛】注意：第二個圖中，計算三個小圓的周長時候，提取，所有的直徑之和是大圓的直徑．7．（2019·江蘇宿遷·中考真題）如圖，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】圖中陰影部分面積等于6個小半圓的面積和﹣（大圓的面積﹣正六邊形的面積）即可得到結果．【詳解】解：6個月牙形的面積之和，故選A．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓的面積的計算，正六邊形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．8．（2023·河北衡水·二模）設計師想用長的木材做一個花園邊界，有如圖1、圖2、圖3三種可能的設計：

其中合理的設計方案有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】分別計算出3個圖形的周長進行判斷即可．【詳解】解：圖1的周長為：，所以這個設計是合理的；圖2的周長為：，所以這個設計是合理的；圖3的周長為：，所以這個設計是合理的；∴合理的設計方案有3個，故選：D．【點睛】本題主要考查了圖形的周長計算，正確掌握計算方法是解答本題的關鍵．?題型03求一點到圓上一點的距離最值9．（2024·貴州畢節·模擬預測）如圖，是內一點，且的半徑為5，，則經過點的弦的長度最短為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵是明白：過與垂直的弦是圓的最短的弦，直徑是圓的最長的弦．連接，過作弦，此時是過的最短的弦，由垂徑定理得到，由勾股定理求出，得到，過的最長的弦是圓的直徑是10，于是得到經過點的弦長的取值范圍，即可得到答案．【詳解】解：連接，過作弦，此時是過的最短的弦，，圓的半徑為5，，，，過的最長的弦是圓的直徑是10，經過點的弦的長，過點的弦的長度最短為8．故選：B．10．（2024·山東淄博·一模）如圖，的半徑為4，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于兩點．若點A、點B關于原點O對稱，則的最大值為（

）A．12 B．24 C．14 D．28【答案】D【分析】本題主要考查了坐標與圖形，勾股定理，直角三角形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，找出取得最大值的位置．連接，根據直角三角形的性質得出，說明要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長交于點，當點P位于位置時，取得最大值，過點M作軸于點Q，根據勾股定理求出，得出答案即可．【詳解】解：連接，如圖所示：，，點A、點B關于原點O對稱，，，若要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長交于點，當點P位于位置時，取得最大值，過點M作軸于點Q，則，，又，，．故選：D．11．（2023·江蘇宿遷·中考真題）在同一平面內，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過點作于點，連接，判斷出當點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，，，當點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，最大距離為，故選：B．【點睛】本題考查了圓的性質，正確判斷出點到直線的距離最大時，點的位置是解題關鍵．12．（2023·安徽六安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A，的坐標分別為，，點為坐標平面內任意滿足的點，點為線段的中點，連接，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】作點關于軸的對稱點為，連接，則，當取最大值時，的值最大，點在以點A為圓心，1為半徑長的圓上，過點A時最長，此時，則．【詳解】解：如圖，作點關于軸的對稱點為，連接，∵為的中點，點為線段的中點，∴，∴當取最大值時，的值最大，點在以點A為圓心，1為半徑長的圓上，連接并延長交于點C，當點P在點C處時，最大，∵，∴，∵，∴，∴的最大值為，∴，即的最大值為3，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中兩點間的距離公式，中位線定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，根據中位線定理，將求的最大值轉換為求的最大值．命題點二圓的性質?題型01利用垂徑定理求解13．（2025·廣東廣州·一模）如圖，都是的半徑，交于點．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．根據垂徑定理得到，根據勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：都是的半徑，，，，，，，，故選：B．14．（2024·廣東廣州·二模）如圖，是的弦，點P在弦上，，，則⊙O的半徑為（）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，過O作于H，連接，由垂徑定理得到，由勾股定理求出，，得到圓的半徑長．【詳解】解：過O作于H，連接，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∴的半徑長是5．故選：A．15．（2024·陜西西安·二模）如圖，把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則截面的半徑等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應用、勾股定理的應用、矩形的判定與性質等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，設球的平面投影圓心為O，過點O作于點N，延長交于點M，連接由垂徑定理得設，則，然后在中，由勾股定理求出的長即可，【詳解】解：設球的平面投影圓心為O，過點O作于點N，延長交于點M，連接，如圖所示∶則，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，設，則，∴在中，由勾股定理得∶，即∶’，解得∶即截面的半徑長是．故選∶C．?題型02利用垂徑定理的推論求解16．（2023·廣東佛山·二模）如圖，的半徑為，弦，是弦上的一個動點，則的長度范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用垂徑定理得到，再利用勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過O點作于C，∵，∴，∴，∵P點在上運動，∴即故選：D．【點睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧，同時涉及到了垂線段最短等知識，解題關鍵是牢記相關概念或定理．17．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，的直徑經過弦的中點E，連接，，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形內角和定理應用，先根據垂徑定理得出，再根據同弧所對的圓周角相等，得出，即可求出結果．【詳解】解：∵的直徑經過弦的中點E，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．18．（2024·陜西咸陽·二模）如圖，四邊形內接于，連接，，若，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再根據垂徑定理的推論得到，繼而，再對運用內角和定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形內接于，∴，∴，∵，經過圓心，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，以及等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．19．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，在中，點為弦的中點，連接、，點是上任意一點，若，則的大小為是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理的推論和圓內接四邊形，作所對的圓周角，如圖，先利用等腰三角形的性質得到平分，則，再根據圓內接四邊形性質得到即可，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】作所對的圓周角∠APB，如圖，

∵點為弦的中點，∴，∴，∵四邊形是圓內接四邊形，∴，∵，∴，∴，故選：．20．（2023·廣東河源·一模）如圖，為⊙O的直徑，是⊙O的弦，點是上的一點，且．若，，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交于，根據垂徑定理推論，再由垂徑定理，再由勾股定理計算，的長，從而求得的長，此題考查了圓周角定理，垂徑定理和勾股定理的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：連接，交于，

∵，∴點是的中點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，故選：．?題型03垂徑定理的實際應用21．（2023·廣西·中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故選B

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關鍵．22．（2023·福建南平·一模）我國古代數學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個木材，鋸口深寸，鋸道尺（1尺寸），則這根圓柱形木材的直徑是（

）A．12寸 B．13寸C．24寸 D．26寸【答案】D【分析】延長，交于點，連接，由題意知過點，且，由垂徑定理可得尺寸，設半徑，則，在中，根據勾股定理可得：，解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑．【詳解】解：延長，交于點，連接，由題意知過點，且，為半徑，∴尺寸，設半徑，∵，∴在中，根據勾股定理可得：解得：，∴木材直徑為26寸；故選：D．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧及勾股定理是解題的關鍵．23．（2025·廣西柳州·一模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理．由垂徑定理求出，的長，設，由勾股定理得到，求出的值，得到的長，由勾股定理求出長，即可求出紙杯的直徑長．【詳解】解：如圖，，過圓心，連接，，，∵，，，，設，，，，，，，，，紙杯的直徑為．故選：B．24．（2024·浙江紹興·二模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理．由垂徑定理求出，的長，設，由勾股定理得到，求出的值，得到的長，由勾股定理求出長，即可求出紙杯的直徑長．【詳解】解：如圖，，過圓心，連接，，

，∵，，，，設，，，，，，，，，紙杯的直徑為．故選：B．?題型04利用弧、弦、圓心角關系判斷正誤25．（2024·上海長寧·二模）如圖，已知點、、、都在上，，，下列說法錯誤的是()A．弧弧 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系；根據題意和垂徑定理，可以得到，，，然后即可判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，∴，，故A正確；，∴，,∴，故B正確；,∴，故C錯誤；∵，∴，故D正確；故選：C．26．（2024·廣東揭陽·三模）如圖，在中，，那么（

）A． B．C． D．與的大小關系無法比較【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理．可過作半徑于，由垂徑定理可知，因此只需比較和的大小即可；易知，在中，是斜邊，是直角邊，很顯然，即，由此可判斷出和的大小關系，即可得解．【詳解】解：如圖，過作半徑于，連接；由垂徑定理知：，；；在中，，則；，即；故選：A．27．（2024·吉林長春·一模）如圖，已知小于，在射線上取一點C，以點О為圓心，長為半徑作交于點D，連結．以點D為圓心，長為半徑作弧，交于點P，再以點P為圓心，長為半徑繼續作弧，交于點Q，連結，．根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查作圖—基本作圖、圓心角、弧、弦的關系、圓周角定理，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．連接，由題意可知，，則，可得；根據圓周角定理可得，進而可得，；由題意可知，則，【詳解】解：連接，

由題意可知，，∴，∴，故A選項正確，不符合題意；由圓周角定理得，，∴，故B選項正確，不符合題意；由圓周角定理得，，故D選項正確，不符合題意；∵，∴，故C選項不正確，符合題意．故選：C．28．（2024·山東濟南·二模）已知，作圖．步驟1：以點D為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點M，N；再分別以點M，N為圓心，大于長為半徑畫弧交于點E，畫射線．步驟2：在上任取一點O，以點O為圓心，長為半徑畫半圓，分別交，，于點P，Q，C；步驟3：連接，．則下列結論不正確的是（

）A． B． C．垂直平分 D．【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理的推論，平行線的判定和性質，根據四量關系定理求出，根據垂徑定理的推論得出垂直平分，根據圓周角定理得出，根據平行線的判定得出即可．【詳解】解：．由作圖可知：，，垂直平分，故選項A、C正確，不符合題意；B．為半圓的直徑，，，，，選項B正確，不符合題意；D．的度數未知，和互余，不一定等于，不一定等于，故選項D錯誤，符合題意．故選：D．?題型05利用弧、弦、圓心角關系求角度29．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，點A，B，C在上，C為的中點．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關系等知識．根據C為的中點得到，即可求出，根據圓周角定理可以求出．【詳解】解：∵C為的中點，∴，∴，∴．故選：A30．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，是的兩條直徑，E是的中點，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理等知識，連接，根據圓周角定理求出，根據直角三角形的性質求出，再根據圓周角定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵是的直徑，∴，∵，∴，∵E是的中點，∴，∴，故選：B．31．（2022·廣東茂名·二模）如圖，在中，點是的中點，點在上，連接、、、．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，再根據“弧，弦，圓心角的關系”求出，然后根據圓周角定理得出答案．【詳解】解：連接，

∵點B是的中點，∴．∵，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了弧，弦，圓心角的關系，圓周角定理等，理解定理是解題的關鍵．即圓周角定理：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．32．（2022·內蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點，連接，．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進而根據圓周角定理可求解．【詳解】解：連接OE，如圖所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中點，∴，∴；故選C．【點睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握圓周角定理及垂徑定理是解題的關鍵．?題型06利用弧、弦、圓心角關系求線段長33．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，內接于，點B是弧的中點，是的直徑．則的長為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，弧與弦之間的關系，直徑所對的圓周角是直角，連接，先求得，進而得到，再利用直角三角形的性質求得，又由點是的中點得，進而利用勾股定理即可得解．【詳解】解：如圖，連接，

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵點是的中點，∴，∵，∴即，解得，故選：C．34．（2025·陜西·模擬預測）如圖，在半徑為5的中，弦所對的圓心角分別是．若，則弦的長等于（

）A．8 B．9 C．9.6 D．10【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，弧與圓心角之間的關系，作出直徑是解題的關鍵．作直徑，連接，則，導角得到，則，則，再對運用勾股定理求解．【詳解】解：如解圖，作直徑，連接，則，∵，而，∴.∴.∴，∵的半徑為5，∴，∴.故選：A．35．（2024·陜西西安·一模）如圖，是的外接圓，點在圓上，若，，若的半徑為，則弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，弧弦圓心角之間的關系，勾股定理，由圓周角定理可得，即可由得到，再利用勾股定理即可求解，掌握圓周角定理是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：．36．（2024·山東德州·一模）如圖，A，B，C，D是上的點，，與交于點E，，，，的半徑為（）A．6 B． C．5 D．【答案】A【分析】連接，易得，即可求出，連接，由垂徑定理可得，再根據勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∵，即A是的中點，∴，，在中，，∴，∴，在中，，∴，解得．故選：A．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，三角形相似的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．?題型07利用圓周角定理求解37．（2025·廣東揭陽·一模）如圖，為的直徑，C，D為上的兩個點，交于點E，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理．連接，根據圓周角定理求得，，再求得，利用等邊對等角結合三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：B．38．（2025·廣東佛山·一模）如圖，點、、、在上，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，則，由平行線的性質以及等腰三角形得到，再由三角形內角和定理求出，再由角度和差計算即可．【詳解】解：連接，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，正確添加輔助線是解題的關鍵．39．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在中，是直徑，是弦，于點E，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查垂徑定理，圓周角定理，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，求出的度數，再根據垂徑定理以及等弧所對的圓周角相等，求出的度數即可．【詳解】解：∵，∴，∵是直徑，是弦，于點E，∴，∴；故選D．40．（2024·廣東·三模）如圖，內接于⊙O，過點O作交⊙O于點D，連接，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質，掌握垂徑定理和圓周角定理是解題的關鍵.根據等腰三角形的性質，結合三角形內角和定理求出的度數，根據垂徑定理深圳市出的度數，根據圓周角定理得出結果.【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴．又∵，∴，∴，∴．故選：C．

?題型08直徑所對的圓周角為90°問題41．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，已知是的直徑，C是圓上一點，點D是弧中點，若．則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，三角形內角和定理，先由直徑所對的圓周角是直角得到，則由三角形內角和定理得到，再由同弧或等弧所對的圓周角相等得到，據此可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是直徑，∴，

∵，∴，∴，∵點D是弧中點，∴，∴，∴，故選：C．42．（2023·廣東陽江·一模）如圖，為的直徑，點C，D在上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理以及推論，連接，根據圓周角定理求出的度數，根據直徑所對的圓周角是直角求出的度數，然后根據角的和差關系求解即可．【詳解】解：連接，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴，故選：B．43．（2024·廣東珠?！と＃┤鐖D，是的外接圓，是的直徑，點在上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握等弧所對的圓周角相等．根據圓周角定理得到，然后利用互余計算出的度數，根據圓周角定理，從而得到的度數．【詳解】解：是的直徑，，，，．故選．44．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點E，連接，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對的圓周角相等得到，再由直徑所對的圓周角是直角得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選D．

【點睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，正確求出的度數是解題的關鍵．?題型0990°所對的圓周角為直徑45．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質，根據直徑所對的圓周角是直角求得根據圓內接四邊形的性質得出，再根據直角三角形的兩個銳角互余即可求解，熟記圓周角定理及圓內接四邊形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形為圓的內接四邊形，∵是半圓的直徑，故選：B．46．（2023·廣東深圳·一模）如圖，在邊長為正方形中，點在以為圓心的弧上，射線交于，連接，若，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設射線交于點，連接，證明，勾股定理得出，進而根據，列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，設射線交于點，連接，∵，∴是的直徑，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了直角所對的弦是直角，正弦的定義，正方形的性質，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．47．（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，內接于，點在上，連接，若，則的直徑為（

）A．12 B． C．6 D．【答案】A【分析】本題主要考查圓周角定理和直角三角形的性質，連接，由，可得為的直徑，當，可得，在中，，則，故可得解．【詳解】解：連接，如圖，∵，即，∴為的直徑，∵所對的圓周角是，∴在中，，，故選：A．48．（2024·山東臨沂·一模）如圖，四邊形內接于，，，，C為的中點，則的長為（

）

A． B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理、三角形的內角和定理、解直角三角形，先根據90度的圓周角所對的弦是直徑判斷出是直徑，再根據圓周角定理求得，，，進而利用銳角三角函數求解即可．【詳解】解：∵四邊形內接于，，∴是直徑，則，∵C為的中點，∴，則，∵，∴，在中，，∴，在中，，故選：D．?題型10已知圓內接四邊形求角度49．（2025·河南安陽·模擬預測）如圖，是的直徑，，是上的點，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質，圓內接四邊形的性質，由圓周角定理得，即得，再根據圓內接四邊形的性質即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，故選：．50．（2025·陜西·模擬預測）如圖，四邊形是的內接四邊形，，連接．若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】該題主要考查了圓內接四邊形，解題的關鍵是掌握內接四邊形的性質．根據內接四邊形性質求出，再根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是的內接四邊形，，∴，∴，∵，∴，故選：B．51．（2025·陜西·模擬預測）如圖，四邊形內接于，為直徑，點為上一點．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理．連接，根據圓周角定理求出，進而求出，然后根據圓內接四邊形的對角互補求解即可．【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵四邊形內接于，∴，∴，故選：B．52．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，四邊形內接于，連接，，已知是等邊三角形，是的平分線，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是等邊三角形的性質、圓內接四邊形的性質，熟記圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．根據等邊三角形的性質、圓內接四邊形的對角互補計算即可．【詳解】解∶是等邊三角形，，是的平分線，，，四邊形內接于，，，故選∶C．?題型11垂直定理的綜合問題53．（2025·安徽馬鞍山·一模）如圖，在中，為弦，為直徑，于E，于F，與相交于G．，若，，求的半徑．【答案】的半徑為．【分析】本題考查了圓的基本性質，垂徑定理，勾股定理等；連接，設，可得，由線段和差得，由垂徑定理得，由勾股定理得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設，，，，，為直徑，，，在中，，，解得：（舍去），，故的半徑為．54．（2025·陜西西安·一模）如圖，在中，直徑與弦交于點，且．(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，正確理解題意是解題的關鍵：（1）連接并延長交于H點，如圖，利用垂徑定理的推論得到垂直平分，則根據等腰三角形的性質得到平分，即，然后利用得到結論；（3）利用垂徑定理得到，則利用勾股定理可計算出，設的半徑為r，則，，在中，利用勾股定理得到，解得，所以，接著在中，計算，在中，計算，然后證明，利用相似三角形的性質得到，然后利用比例的性質可計算出的長．【詳解】（1）證明：連接并延長交于H點，如圖，∵，∴，∴垂直平分，∴平分，即，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，，設的半徑為r，則，，在中，，解得，∴，在中，，在中，，∵，∴，∴，∴，∴．55．（2025·陜西·模擬預測）如圖，已知直線與相切于點，點是上一點，連接并延長，分別交于兩點，連接，過點作，交于點，連接，與的延長線交于點．(1)求證：；(2)若的半徑為5，，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握圓的切線的性質定理是解題關鍵．（1）先根據圓周角定理可得，再根據平行線的性質可得，然后根據圓的切線的性質定理可得，根據平行線的判定可得，最后根據平行線的性質即可得證；（2）先根據垂徑定理可得，根據勾股定理可得，再證出，根據相似三角形的性質可得的長，最后根據求解即可得．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵直線與相切于點，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵的半徑為5，∴，由（1）已得：，即，∴（垂徑定理），∴，由（1）已證：，∴，∴，即，解得，∴．56．（2025·上海徐匯·模擬預測）如圖1所示的圓弧形混凝土管片是構成圓形隧道的重要部件．管片的橫截面（陰影部分）是同心圓環的一部分，左右兩邊沿的延長線交于圓心，(1)如圖1，，的延長線交于圓心O，若甲組測得，，，求的長；(2)如圖2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個完全相同的長方體木塊固定，管片與地面的接觸點L為弧的中點，若丙組測得，，求：該混凝土管片的外圓弧半徑．【答案】(1)(2)【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，垂徑定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵，（1）由，，推出，即可證得，再根據相似三角形對應邊成比例解答即可；（2）連接、、、、與相交于點，由垂徑定理可得，再結合勾股定理得到，據此解答即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，設，則，∴，解得：，經檢驗，是原方程的根，即．答：的長為；（2）解：如圖，設圓心為點，連接、、、、與相交于點，則，，設外半徑為，則，在中，由勾股定理可得：，即，解得：，答：該混凝土管片的外圓弧半徑為．?題型12圓的性質的綜合問題57．（2024·北京石景山·一模）如圖，是的直徑，是的弦，于點，點在上且，連接．(1)求證：；(2)連接．若，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）由垂徑定理可得，則，，進而可得．（2）如圖，連接，連接，設的半徑為，由是的直徑，可得，由，可得，，則，證明，則，即，可求，則，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴．又∵，∴．∴．∴．（2）解：如圖，連接，連接，設的半徑為，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，即．解得，∴，，由勾股定理得，，∵是的直徑，，∴，由勾股定理得，，∴的長為．【點睛】本題考查了垂徑定理，同弧或等弧所對的弦長相等，直徑所對的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識．熟練掌握垂徑定理，同弧或等弧所對的弦長相等，直徑所對的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質，勾股定理是解題的關鍵．58．（2025·廣東揭陽·一模）如圖，為的直徑，為上一點，為延長線上一點，為上一點，延長交于點，已知，為的切線．(1)求的度數；(2)過點作，垂足為，若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，設，，則，，根據切線的性質以及直徑所對的圓周角是直角，以及三角形內角和定理推導出，根據垂直平分線的性質可得，進而可得是等腰直角三角形，根據同弧所對的圓周角相等，即可求解；（2）延長交于點，根據（1）可得是等腰直角三角形，進而得出是的中位線，得出，，延長至使得，連接，證明，得出是等腰直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，設，，則，∵，∴，∵是的切線，∴，則，又∵是直徑，，∴，即，∴，又∵，∴，在中，，∴，又∵是直徑，，∴垂直平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）解：如圖所示，延長交于點，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴垂直平分，則，∴是的中點，∴，∴，，∵，，則，∴，如圖所示，延長至使得，連接，∵四邊形是圓內接四邊形，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴是等腰直角三角形，∴．【點睛】本題考查了切線的性質，等腰直角三角形的性質與判定圓周角定理及其推論，垂直平分線的性質，三角形內角和定理的應用，全等三角形的性質與判定，中位線的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵59．（2023·廣東江門·二模）如圖，點A、、在上，是直徑，的角平分線與交于點，與交于點，且，連接，交于點．(1)證明：；(2)試猜想與之間的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據，證得，進而根據垂徑定理證得；（2）先證明是的中位線，得出，進而得出結論．【詳解】（1）證明：平分，，，；（2）解：猜想．，，．，，是的中位線，，．．，，，．．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理以及全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的定理和性質．60．（2023·廣東·一模）如圖所示，在⊙中，為直徑，已知，，是的切線，點H為上一動點（不與點A，M重合），直線交于點C．連接，過點B作于點D，延長交于點E．(1)求的長度．(2)若H為的中點，求證：．(3)是否是一個定值，若是，求出這個定值，若不是，說明理由．【答案】(1)的長度為：．(2)證明見解析(3)是一個定值，為．【分析】（1）如圖，連接，先求解，再利用弧長公式進行計算即可；（2）如圖，連接，由（1）得：，H為的中點，可得，，，，再求解，從而可得結論；（3）證明為等邊三角形，可得，，證明，結合，可得，再利用相似三角形的性質可得答案．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵為直徑，已知，∴，∵，∴，∴的長度為：．（2）如圖，連接，由（1）得：，H為的中點，∴，，，，∵是的切線，∴，，∴，∴，∴；（3）∵，，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，而，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是弧與圓心角，圓周角之間的關系，弧長的計算，切線的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，熟練的證明是解（3）的關鍵．基礎鞏固單選題1．（2021·廣東湛江·一模）下列命題中，是真命題的個數有（

）直徑是弦；弦是直徑；半圓是??；弧是半圓．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據圓的弦、弧的概念判斷即可．【詳解】解：直徑是弦，是真命題；弦是直徑，是假命題；半圓是弧，是真命題；弧是半圓，是假命題；故選：．【點睛】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，解題的關鍵是要熟悉圓的有關概念．2．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，在中，半徑垂直弦于D，，，則長為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】此題主要考查了勾股定理，垂徑定理和圓周角定理，解題的關鍵是正確得出是等腰直角三角形．利用垂徑定理得，由圓周角定理得，得出是等腰直角三角形，進而得出答案．【詳解】解：半徑弦于點，，，，是等腰直角三角形，，，，∴．故選A．3．（2024·廣東茂名·一模）如圖，為的直徑，點為圓上兩點，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弦、弧、圓心角之間的關系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，連接，由可得，進而得到，又由為的直徑，可得，利用直角三角形兩銳角互余即可求解，掌握圓的有關性質定理是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，故選：．4．（2024·廣東·模擬預測）如圖，，為的兩條弦，過點的切線交延長線于點，若，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了切線的性質和圓周角定理．連接，根據圓周角定理求出，根據切線的性質得到，根據直角三角形的性質即可求得．【詳解】解：連接，

與相切于，，，，，，故選：B．5．（24-25九年級上·全國·假期作業）如圖，的半徑為2，四邊形是圓內接四邊形，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理和弧長公式，熟練掌握圓內接四邊形的性質，圓周角定理和弧長公式是解題的關鍵．先根據圓內接四邊形的性質求出，再根據圓周角定理得，再代入弧長公式計算即可．【詳解】解：，，，的長為：．故選：C．二、填空題6．（2024·廣東珠海·一模）如圖，點C是的中點，弦米，半徑米．則米．【答案】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據點C是的中點，得到，，結合，求解即可得到答案；【詳解】解：∵點C是的中點，，∴，，

∵，∴，解得：，故答案為：．7．（2023·湖南·中考真題）如圖，點A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點D，連接，則的長度為．【答案】1【分析】連接，利用圓周角定理及垂徑定理易得，則，結合已知條件，利用直角三角形中角對的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查圓與直角三角形性質的綜合應用，結合已知條件求得是解題的關鍵．8．（2020·廣東佛山·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠ABC＝63°，則∠D的度數是．【答案】27°【分析】根據題意易得∠ACB＝90°，然后根據圓的性質及直角三角形的兩個銳角互余可求解．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，∴∠D＝∠A＝27°．故答案為27°．【點睛】本題主要考查圓的基本性質，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵．三、解答題9．（2023·廣東清遠·一模）如圖，在⊙O中，直徑，弦，連接．(1)尺規作圖：過點O作弦的垂線，交于點E，交于點D，且點D在劣弧間．(2)連接，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）分別以點A、C為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點F，連接，交于點D，交于點E；（2）根據垂徑定理得到，再求出半徑，根據三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖，OD為所作；作法：分別以點A、C為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點F，連接，交于點D，交于點E；證明：連接、、，由作圖得，由圓的性質得，∴點都在線段的垂直平分線上，∴是線段的垂直平分線，∴；（2）解：∵，∴，∵直徑，∴，∴的面積＝．【點睛】本題考查了作線段的垂線，垂徑定理等知識，會作線段的垂直平分線，熟知垂徑定理是解題關鍵．10．（2022·廣東湛江·一模）如圖，在中，是的直徑，是的弦，，．

(1)求的半徑；(2)連接，過圓心向作垂線，垂足為，求的長．【答案】(1)的半徑為(2)的長【分析】（1）如圖，連結，根據垂徑定理可得的長，設的半徑為，在中，由勾股定理即可求解；（2）如圖所示，連結，根據垂徑定理可得，可得是的中位線，可得，在中，根據勾股定理可求出的長，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連結，

∵，，∴，設的半徑為，，則，在中，由勾股定理得，，即，∴，即的半徑為．（2）解：如圖所示，連結，

∵，∴，又∵，∴是的中位線，∴，在中，，∴，∴，∴的長．【點睛】本題主要考查圓與幾何圖形的綜合，掌握圓的基礎知識，勾股定理，三角形的中位線的性質等知識是解題的關鍵．能力提升一、單選題1．（2024·廣東肇慶·二模）如圖，是的直徑，弦交于點，連接．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理；連接，根據直徑所對的圓周角是直角得出，等弧所對的圓周角相等可得，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴∵，∴，∴故選：B．2．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，弦的長為，點在上，，．所在的平面內有一點，若，則點與的位置關系是（

）A．點在上 B．點在內 C．點在外 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數，掌握圓的相關性質是解題關鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結合特殊角的正弦值，求出的半徑，即可得到答案．【詳解】解：如圖，令與的交點為，為半徑，為弦，且，，，在中，，，，，，即的半徑為4，，點在外，故選：C．3．（2024·廣東深圳·模擬預測）月亮門是中國古典園林、住宅中常見的圓弧形洞門（如圖1），因圓形如月而得名．月亮門因其寓意美好且形態優美，被廣泛使用．圖2是小智同學家中的月亮門示意圖，經測量，水平跨徑為米，水平木條和鉛錘木條長都為米，點恰好落在上，則此月亮門的半徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質，解題的關鍵是正確作出輔助線．過點作于點，過點作于點，由垂徑定理得，證明四邊形是矩形，得到米，米，設該圓的半徑為米，然后根據題意列方程組即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，則米，，，，四邊形是矩形，米，米，設該圓的半徑為米，根據題意得：，解得：，即此月亮門的半徑為米，故選：C．4．（2022·廣東東莞·一模）如圖，四邊形內接于，已知，，且，若點為的中點，連接，則的大小是（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】連接AC，則由，可得，由圓內接四邊形對角互補可得出，再由三角形內角和即可得出，進而可知，由為的中點，等弧所對的圓周角相等，計算求解即可．【詳解】解：連接AC，∵四邊形內接于，，，，，，，∵點為的中點，．故選C．【點睛】本題考查了圓的內接四邊形對角互補，三角形內角和，圓中弧、弦、圓心角、圓周角之間的關系等知識，正確做出輔助線，熟練掌握圓中弧、弦、圓心角、圓周角之間的關系是解題關鍵．5．（2024·廣東·模擬預測）如圖，直徑為的經過點和點，是軸右側上一點，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了圓周角定理、銳角三角函數的知識．連接，結合圓周角定理及勾股定理可知，由圓周角定理可知，結合余弦的定義即可求解．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．【詳解】解：如圖，連接，，為的直徑，，，，在中，由勾股定理得，，，，，故選：D．6．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖，在中，，點O為上一點，以5為半徑作分別與相切于D，E兩點，與交于點M，連接交于點F，連接．若D為的中點，給出下列結論∶①平分；②E為的中點；③；④的長度為．其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】如圖，連接，根據切線的性質得到，根據角平分線的性質得到圓心在的平分線上，故①正確；根據平行線的判定定理得到，于是得到，故點為的中點，故②正確；由①知，，得到，求得，故③正確；根據弧長公式得到的長度為，故④正確．【詳解】解：如圖，連接，∵以5為半徑作分別與，相切于兩點，∴，∴圓心在的平分線上，∴平分，故①正確；∵點為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴點為中點，∵，∴，∴，∴，故點為的中點，故②正確；由①知，，，∴，故③正確；由③可知，∵，∴的長度為，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質，相似三角形的性質和判定，角平分線的性質，圓周角定理，弧長的計算等知識點，正確地作出輔助線是解題的關鍵．二、填空題7．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，為的直徑，為的切線，，則的度數為．【答案】/56度【分析】本題主要考查了切線的性質，圓周角定