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(2)當(dāng)時(shí)如何求k=?又由條件知射擊都能中靶,圓盤靶子的半徑為2故所以當(dāng)時(shí)(3)當(dāng)x>2時(shí)故隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為易知F(x)為連續(xù)函數(shù),對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得且容易看出有下式成立在這種情況我們稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,下面給出一般定義即F(x)恰是非負(fù)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間上的積分一.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度
1.定義2.2
設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x),使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,均有則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)是X的概率密度或密度函數(shù),簡(jiǎn)稱密度。連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)和密度函數(shù)f(x)統(tǒng)稱為X的概率分布,簡(jiǎn)稱X的分布。2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)(2)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.v.X的概率密度函數(shù)的充要條件.
f(x)xo面積為1(3)P(a<Xb)=F(b)F(a)
證明:兩邊取極限,有(4)在f(x)的連續(xù)點(diǎn)
處,有(5)設(shè)x為
f(x)的連續(xù)點(diǎn),當(dāng)x>0且較小時(shí),則有
P(x<Xx+x)=F(x+x)-F(x)=密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)
x處
的值,反映了X在x附近單位區(qū)間內(nèi)取值的概率的大小。反映了概率在x點(diǎn)的密集程度。f(x)較大,說明了X在x點(diǎn)的概率密集程度較大,隨機(jī)變量在x點(diǎn)的附近取值的概率較大;反之,若f(x)較小,說明X在x點(diǎn)的密集程度較低,隨機(jī)變量在x點(diǎn)附近取值的概率較小。(6)P(X=x0)=F(x0)
F(x00)=0對(duì)連續(xù)型r.vX,有進(jìn)一步有如注意:是一個(gè)概率為0的事件,而不一定是不可能事件例2
設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求(1)常數(shù)k;(2)X的分布函數(shù);(3)P(1<X<7/2).解:(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)(2)當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)x>4時(shí),故隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為(3)例3
設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求(1)常數(shù)C值;(2)X取值于(0.3,0.7)內(nèi)的概率;(3)X的密度函數(shù)的表達(dá)式。解:(1)由連續(xù)性知:即C=1(2)(3)由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系知二幾種常見的分布
(1)若隨機(jī)變量X的概率密度為
1.均勻分布(Uniform)則稱X在[a,b]上服從均勻分布,記為X~U[a,b]
(3)對(duì)于ac<d
b(2)分布函數(shù)為(3)表明,若X~U[a,b],則X取值與[a,b]上的任意小區(qū)間上的概率,與小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比,而與小區(qū)間的位置無關(guān).
一般地,設(shè)D是數(shù)軸上一些不相交的區(qū)間之和,若X的概率密度為
則稱X在D上服從均勻分布。
2指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為其中常數(shù)>0
,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,相應(yīng)的分布函數(shù)為
指數(shù)分布的一個(gè)最常見的應(yīng)用是使用它來做各種壽命分布的近似。例如:電子元件的壽命,動(dòng)物的壽命都可以近似的用指數(shù)分布來描述。服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X有下面的性質(zhì)對(duì)任意的s,t這個(gè)性質(zhì)稱為指數(shù)分布的“永遠(yuǎn)年青性”或“無記憶性”比如說;某元件的壽命服從指數(shù)分布,那么已知它使用了s小時(shí)無損壞的條件下,在使用t小時(shí)以上的概率,和從一開始使用時(shí)算起,它能使用t小時(shí)以上的概率是一樣的。指數(shù)分布描述了無老化時(shí)的壽命分布。但“無老化”是不可能的,因而只是一種近似,對(duì)于一些壽命長(zhǎng)的元件,在初期階段老化現(xiàn)象很小,這一階段指數(shù)分布比較確切地描述了其壽命分布情況。比如人的壽命,一般,在50歲以前,由于生理的老化而死亡的因素是次要的。若排除意外因素的影響,人的壽命在這個(gè)階段接近指數(shù)分布若考慮老化,則X服從威布爾分布
3.正態(tài)分布的定義
若r.v
X的概率密度為記作其中和都是常數(shù),任意,>0,則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.X的分布函數(shù)為
a.正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于
對(duì)稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小,中間大,左右對(duì)稱”.f(μ+c)=f(μ-c)4.正態(tài)分布密度函數(shù)圖形的特點(diǎn)b.決定了圖形的中心位置,決定了圖形中峰的陡峭程度.稱為位置參數(shù)稱為形狀參數(shù)c.在x=μ處達(dá)到最大值:d.這說明曲線f(x)向左右伸展時(shí),越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。當(dāng)x→∞時(shí),f(x)→0,e.為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x=μσ
年降雨量、同齡人身高、在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)——如零件的尺寸;纖維的強(qiáng)度和張力、農(nóng)作物的產(chǎn)量,小麥的穗長(zhǎng)、株高、測(cè)量誤差、射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差、信號(hào)噪聲等等,都服從或近似服從正態(tài)分布.
設(shè)X~,X的分布函數(shù)是5.正態(tài)分布的分布函數(shù)6.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用
和
表示:注意:Φ(0)=0.5Φ(x)=1Φ(x)
若X~N(0,1)7.正態(tài)分布的計(jì)算
對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,
x2(x1<x2),有例4設(shè)X~N(,2),求P(|X-|<k)的值,k=1,2,3解:查表得即為“3”原則質(zhì)量控制中的3原則。設(shè)在正常生產(chǎn)的情況下,某零件的尺寸X服從正態(tài)分布N(,2),為了在生產(chǎn)過程中隨時(shí)檢查有無系統(tǒng)性誤差出現(xiàn),人們畫了一個(gè)質(zhì)量控制圖。每隔一定時(shí)間,對(duì)產(chǎn)品尺寸進(jìn)行檢查,測(cè)量的產(chǎn)品的尺寸應(yīng)落在上、下控制線之內(nèi)。如果點(diǎn)超出控制線,則很有可能是生產(chǎn)出現(xiàn)了異常情況,應(yīng)該暫停生產(chǎn)進(jìn)行檢查。當(dāng)然也可能虛報(bào),但虛報(bào)的可能性比較小。
例5某市高校高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考,假定考生成績(jī)X~N(,2).現(xiàn)已知80分以上者占總?cè)藬?shù)的33%,40分以下者占總?cè)藬?shù)的8%,求考生的及格率.解:由題意知:又因?yàn)椴楸淼媒獾眉案衤蕿?/p>
一橋長(zhǎng)60m,以橋的中點(diǎn)為原點(diǎn),沿著橋的方向引入坐標(biāo)軸.一架飛機(jī)沿著坐標(biāo)軸俯沖投彈轟炸此橋,假定彈著點(diǎn)的坐標(biāo)X~N(0,100
2).(1)求投擲一枚炸彈,命中此橋的概率;(2)問獨(dú)立投擲多少枚炸彈,才能使至少有一枚彈命中此橋的概率大于0.99.例6解:(1)由題意得(2)設(shè)投n枚炮彈才能滿足要求每枚炮彈只有兩個(gè)可能的結(jié)果,即命中與不命中且命中率為p=0.2358故n發(fā)炮彈命中橋的次數(shù)Y~B(n,p)
解得n>8.562,故n=9問題的提出§2-5隨機(jī)變量函數(shù)的分布
在實(shí)際問題中,我們常常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)感興趣。例如,在一些試驗(yàn)中,所關(guān)心的隨機(jī)變量不能由直接測(cè)量得到,而它卻是某個(gè)能夠直接測(cè)量的隨機(jī)變量的函數(shù)。如,考察一批圓軸的截面面積Y,我們能夠直接測(cè)量的是直徑X,且當(dāng)直徑X取x值時(shí),截面面積Y的取值為
一般地,設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,y=g(x)是一個(gè)已知函數(shù),如果當(dāng)X取值x時(shí),Y取值為g(x),則稱Y是隨機(jī)變量X
的函數(shù)。記為Y=g(X)
問題是:如何由已知的隨機(jī)變量X
的概率分布去求得它的函數(shù)Y=g(X)的概率分布一離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例7設(shè)X求Y=(X–1)2
的分布律.~解:Y所有可能的取值為:0,1,4故Y的分布律為把(2)和(4)合并得P(Y=1)=0.7一般地,若X
的分布列為
Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……則Y=g(X)的分布列為
Yg(x1)g(x2)……g(xk)……Pp1p2……pk……如果g(xk
)中有一些是相同的,把它們作適當(dāng)并項(xiàng)(即概率相加)即可.二連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例8設(shè)X~求Y=2X+8的概率密度.解:設(shè)X,Y的分布函數(shù)為FY(y),F(xiàn)X(x)FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函數(shù)故當(dāng)8<y<16時(shí),
當(dāng)y8或y16時(shí),
1.當(dāng)y=g(x)是單調(diào)函數(shù)
定理
若連續(xù)型隨機(jī)變量X只在(a,b)上取值,它的概率密度為fX(x),又y=(x)是嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù),則Y=(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中x=(y)是y=(x)的反函數(shù),(,)是y=(x),a<x<b的值域。
假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布,試求Y=1-e-2X
的分布。
例9解:當(dāng)x>0時(shí),對(duì)于有為x的單調(diào)增函數(shù)且所以即Y~U(0,1)2.當(dāng)y=g(x)是非單調(diào)函數(shù)法一:用基本方法(從分布函數(shù)出發(fā))法二:變成幾個(gè)單調(diào)區(qū)間,在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上用公式結(jié)果在求和
假設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x),-<x<+,求Y=X2的概率密度。
例10當(dāng)y>0時(shí),
注意到Y(jié)=X2
0,故當(dāng)y0時(shí),F(xiàn)
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