C2不可壓縮無粘性流體平面勢流

1ppt課件C2.1引言粘性流體圓錐管內流動流動參數為x，r均勻流體繞流機翼(展弦比大)流動參數為x,yV

V

OXYXO不可壓縮無粘性流體:散度、粘度為零﹑且無旋性。平面流:流體在流動中,其參數僅是二個空間坐標的函數。如考慮時間,有二維定常流和二維不定常流。2ppt課件C2.2無粘性流體無旋流動一般概念無粘性流體：無剪應力，只有法線方向的壓強p：其動量方程（即歐拉運動方程）：C2.2.1歐拉運動方程3ppt課件上式為蘭姆—葛羅米柯方程,無旋流動時,旋度〖討論〗①歐拉和葛羅米柯方程都是忽略了粘性，所以只適用于理想流體；②它們即適用于可壓無粘流,也適用于不可壓無粘流；③對于氣體，方程中體積力和壓力相比很小，可略去,對液體不能略；④對無旋運動,用葛羅米柯方程較方便,旋度為0,方程簡化。4ppt課件C2.2.2無旋流動的伯努利方程①如流動為無旋流動，則：所以，蘭姆—葛羅米柯方程為：②如體積力僅為重力，則：③如流動為定常流動，則：上式兩邊同乘，得：5ppt課件上式兩邊積分得：說明：該式稱為歐拉積分，它表明無旋定常流動中，總的機械能（動能+位置勢能+壓強勢能）守恒。對不可壓縮流體，=常數，得：說明：該式同沿流線的伯努利方程相同。6ppt課件Vcosα

dl

α

V

l

zyxC2.2.3有關無旋流動的幾個概念速度環量Γ：在速度場中沿封閉周線的線積分.Γ=∮lV·dl

（V=ui+vj+wk，dl=dxi+dyj+dzk）

=∮lVcosαdl=∮l(udx+vdy+wdz)環量積分方向：取逆時針方向為正，順時針方向為負。1.速度環量7ppt課件〖Stokes定理〗速度環量等于在封閉周線L上任意曲面的渦通量。曲面的法向n由右手法則確定。〖開爾文定理或湯姆遜定理〗在體積力有勢﹑無粘性流體是正壓的條件下,沿任一封閉的流體線的速度環量不隨時間變化。2.斯托克斯定理3.環量守恒定理8ppt課件C2.3速度勢與流函數C2.3.1速度勢函數1.速度勢的引入yx如上圖所示，xy平面上的流動為無旋流動：速度的旋度為0，即：則一定存在一函數Φ(x,y,t)：式子自然成立9ppt課件速度：函數Φ(x,y,t)稱為速度勢函數，簡稱速度勢。結論：無旋流動一定存在速度勢。在柱坐標系(r,,z)中Ozyxθrziθizir哈密頓算子：10ppt課件速度勢Φ(x,y,t)的全微分：速度分量：2.勢函數等勢線：勢函數Φ(x,y,t)的等值線(dΦ=0)稱為等勢線。結論：由上式可知，速度矢量與等勢線處處垂直。繞z軸的旋度:Ozyx等勢線速度矢量11ppt課件3.速度勢函數的應用定常不可壓理想流體：連續方程（速度散度）為：理想流體為無旋流動，因此存在速度勢函數：連續方程可寫為：即定常不可壓縮理想流體速度勢滿足拉普拉斯方程。12ppt課件C2.3.2流函數1.流函數的引入不可壓縮流體的連續性方程（速度散度）為：則u，-v一定可表示為某一函數(x,y)的函數：式子自然成立該函數(x,y)稱為流函數。13ppt課件2.流函數等值線(=C):在極坐標r平面：不可壓縮流體連續性方程(速度散度)為：當d=0時，得：14ppt課件ψ3ψ2ψ1VRQPoxydydxvu〖流函數的物理意義〗流函數的等值線又代表流量。證明：如下圖所示，在二維流動中，有兩條流函數的等值線1、2，在兩等值線（流線）上任取兩點Q，P，過Q、P兩點分別作垂直于x,y軸的直線相交于R點，則：通過QR邊流出的流量：udy；通過PR邊流入的流量：vdx；通過PQ邊流入的流量：

udy-vdx=dψ=ψ2-ψ1所以，流經P,Q兩點任意連線的流量等于這兩點流函數值之差。15ppt課件〖說明〗①流函數的等值線(=C)就是流線；給出一組常數C值，可得到流線族，通常是以零流線(=0)代表物體表面。（例C2.4.4證明零流線并不過駐點，所以用零流線表示物體表面并不正確。）②僅在二維流動中存在流函數，對三維流動，不存在流函數，但流線仍然存在。③一切平面流動,不論是理想流體或是粘性流體,或是有旋流體,或是無旋流體,都存在流函數；但勢函數只有無旋流動才存在。故對平面流動，流函數有更普遍的性質。16ppt課件④無旋流動流函數滿足拉普拉斯方程⑤如流動既存在勢函數，又存在流函數，則流函數的等值線與勢函數的等勢線正交。17ppt課件例C2.1等勢線流線xyo【例】有一平面流動,它的勢函數為ф(x,y)=a(x2-y2)/2。求流場上的速度分布,壓強分布,并作流線和等勢線的網圖。解：兩速度分量為：

u=?ф/?x=ax，v=?ф/?y=-ay流線方程為：dx/u=dy/v積分得：xy=C流線是等邊雙曲線族，以x，y軸為其漸近線。等勢線族為：a(x2-y2）=C等勢線也是等邊雙曲線族，以x=y和x=-y兩直線為其漸近線。流場中各點的壓強可用伯努利方程求出：

p=p0-ρ(v)2/2=p0-ρa2(x2+y2)/218ppt課件例C2.2【例】已知二維定常不可壓流動的速度分布為u=ax，v=-ay，a為常數。流線方程及勢函數ф

。解：由流線的微分方程dx/u=dy/v，得：

dx/x=-dy/y積分得流線方程：xy=C流線是等邊雙曲線族，以x，y軸為其漸近線。由無旋:?v/?x-?u/?y=0-0=0可知流場存在速度勢函數ф。由u=?ф/?x=ax，v=?ф/?y=-ay分別對x,y進行積分,得:ф=ax2/2+f1(y),ф=ay2/2+f2(x)有:f1(y)=ay2/2,f2(x)=ax2/2則速度勢函數ф為:ф=1/2a(x2-y2）等勢線族為：a(x2-y2）=C等勢線也是等邊雙曲線族,以x=y和x=-y兩直線為其漸近線。19ppt課件C2.4平面勢流與基本解

勢流定義：滿足無旋條件的流動必存在速度勢，所以，這樣的流動稱為勢流。平面勢流定義：本書中平面勢流是指定常、不可壓縮平面無旋流動。根據平面勢流：無旋條件和定常不可壓流得：即存在平面速度勢Ф,也存在流函數，流函數關系式：20ppt課件即平面勢流的流函數滿足拉普拉斯方程：同樣，平面勢流的勢函數也滿足拉普拉斯方程：拉普拉斯方程為線型偏微分方程，可以線型疊加。21ppt課件設均流速度U沿x軸正向,速度分布：C2.4.1基本數學模型介紹

均直流定義：全流場等速分布的直線流動稱為均流，均流中各點速度大小相同，方向一致。可以證明：均勻流場無旋，因此,存在速度勢函數：解得：均勻流場為二維流動，存在流函數：解得：22ppt課件Ф=C=Cyxo解得：在平面上做一系列的等、值的曲線，如右圖所示。一般勻直流〖例〗勻直流，速度為V∞，與x軸的夾角為，則：速度勢函數：23ppt課件解得：在平面上做一系列的等、值的曲線，如右圖所示。同理，流函數：Ф=C=Cyxo速度勢極坐標：速度勢和流函數的極坐標表達式：流函數極坐標：24ppt課件點源和點匯定義：流體從一點流出，沿徑向均勻地向各個方向的流動，稱為點源；流體沿徑向均勻地從各個方向流入一點的流動稱為點匯，流量Q稱為點源(Q>0)或點匯(Q<0)的強度。=CФ=CVrxyo=CФ=CVrxyo25ppt課件設點源或點匯為極坐標系(r,)的坐標原點，則流量為：點源或點匯速度：勢函數：所以：流函數：所以：點源或點匯求解26ppt課件討論：（1）等勢線為以點源或點匯為圓心的同心圓，流線為以圓心為起點或終點的射線；（2）當點源或點匯不在原點時，r應取為相對于點源或點匯的距離，應取為相對點源或點匯的幅角。（3）在點源或點匯匯處：r→0，Vr→∞，故該點是數學上的奇點。=CФ=CVrxyo=CФ=CVrxyo27ppt課件點渦定義：一根無限長的直渦線，在與其垂直的平面內誘導的流場稱為點渦場，又稱為勢渦或環流。在該流動中流體繞固定點作圓周運動，且速度與圓周半徑成反比。=CФ=CVxyo點渦求解設渦線位于極坐標系(r,)原點，渦線的渦量為常數，沿圓周的速度環量=const（逆時針為正），所以：28ppt課件點渦速度：勢函數：所以：流函數：所以：29ppt課件討論：（1）流線為以點渦為圓心的同心圓，等勢線為從圓心為發出的射線；（2）當點渦不在原點時，r應取為相對于點渦的距離，應取為相對點渦的幅角。（3）在點源或點匯匯處：r→0，V→∞，故該點是數學上的奇點。=CФ=CVxyo（4）旋度：所以，點渦為無旋流動。30ppt課件偶極子定義：等強度的一個點源和一個點匯無限靠近時所構成的流場為偶極子流(無旋有勢)。偶極子求解設點匯位于極坐標系(r,)原點，點源位于(-,0)處，強度都為Q，在流場中任一點(r,)的流函數：yxoP(r,)r131ppt課件當0時：一般偶極矩（從點匯指向點源為正）：M=Q=常數同理，利用點源與點匯的勢函數相疊加并取極限，可得偶極子的勢函數：得流函數：32ppt課件ψ=C1

ψ=C2

Φ=C1

Φ=C2

y

x

偶極子的在直角坐標系的等勢線和流線如下圖所示。在直角坐標系中流函數：勢函數：流場速度：討論：（1）等勢線是圓心在x軸上的圓，且都過原點；流線是圓心在y軸上的圓，且都過原點。33ppt課件平面無旋流動的疊加原理由于定常不可壓理想流體無旋流動基本方程：

?2Ф/?x2+?2Ф/?y2+?2Ф/?z2=0是線性的，因而可把一些流動“疊加”起來。即如果已知兩個或更多的流動，其速度勢函數分別為ф1,ф2,…фn，并且對每一流動都分別滿足拉普拉斯方程,那么由這些流動疊加而得的流動ф=ф1+ф2+…+фn也必然滿足拉普拉斯方程。因此疊加而得的流動也是不可壓和無旋流動，而且該流動自動滿足參加疊加的各流動加在一起所給出的邊界條件。34ppt課件例題1例C2.4.4

蘭金半體繞流：均直流+點源：已知：位于原點的強度為Q(Q>0)的點源與沿x方向速度為U的均流疊加成一平面流場。求：(1)流函數與速度勢函數；(2)速度分布式；(3)流線方程；(4)畫出代表物面的流線及部分流線圖。解：(1)在極坐標系中，點源的流函數和勢函數為：yxoAψ=Cψ=Q/2b35ppt課件直勻流的流函數與勢函數為：所以，蘭金半體繞流的流函數與勢函數為：(2)蘭金半體繞流的速度分布式為：(3)蘭金半體繞流的流線方程為：36ppt課件(4)在輪廓線上點A(b,)為駐點：所以，代表物面的流線方程：將A點代入流線方程，得：即：所以：37ppt課件例C2.4.4A

蘭金卵體繞流：均直流+點源+點匯：已知：在xy坐標系中分別位于(-a,0),(a,0)兩點，強度分別為±Q(Q>0)的點源和點匯與沿x方向速度為U的均直流疊加成一平面流場(圖見書P51頁)。求：(1)流函數與速度勢函數；(2)速度分布式；(3)流線方程；(4)畫出代表物面的流線及部分流線圖。解：(1)在極坐標系中，點源、點匯的流函數和勢函數為：例題238ppt課件直勻流的流函數與勢函數為：所以，蘭金卵體繞流的流函數與勢函數為：(2)在直角坐標系中，蘭金卵體繞流的速度分布式為：39ppt課件(3)蘭金卵體繞流的流線方程為：(4)在最前面的點(-l,0)處：代表物面的流線：所以：將該點代入流線方程，求得：40ppt課件C2.5繞圓柱的平面勢流xV∞

y

o

=0=0Vr

Va

BAC2.5.1無環量圓柱繞流無環量的圓柱繞流可采用“直勻流+偶極子”模擬：直勻流的方向與x軸相同,偶極流與x軸方向相反。復合流動的流函數為：r=a時，=0，所以：41ppt課件C2.5繞圓柱的平面勢流xV∞

y

o

=0=0Vr

Va

BAC2.5.1無環量圓柱繞流無環量的圓柱繞流可采用“直勻流+偶極子”模擬：直勻流的方向與x軸相同,偶極流與x軸方向相反。復合流動的流函數為：42ppt課件所以，無環量繞圓柱流動流函數：類似可得勢函數為：對應速度分布為：在駐點A(a,)處，速度V=0，所以：43ppt課件在圓柱表面(r=a)的速度為：在圓柱表面的壓強：ACDBCpθ〖討論〗直勻流繞不帶環流的圓柱流動時，圓柱體所受到流體的作用力的合力為0。〖推廣〗直勻流繞任意物體流動時,當忽略粘性,流動即未分離也未產生旋渦,該物體所受到阻力為0。44ppt課件C2.5.2有環量圓柱繞流有環量的圓柱繞流可采用“直勻流+偶極子+點渦”模擬：直勻流的方向與x軸相同，偶極流與x軸方向相反，點渦環量為順時針方向，得有環量圓柱繞流流函數和勢函數為：1.速度分布45ppt課件在圓柱表面(r=a)的速度為：在圓柱表面駐點A處：AB

cr在圓柱表面的壓強：46ppt課件AB

駐點位置隨環量的增大，駐點位置臨界角cr=3/2時：在圓柱表面的壓強：圓柱表面所受壓強合力：有環量圓柱繞流，不存在x向的作用力(阻力),但卻產生y向的作用力(升力)。47ppt課件C2.6繞機翼的平面勢流C2.6.1儒可夫斯基升力定理庫塔-儒可夫斯基定理：當理想流體繞有環流的圓柱體或旋轉的圓柱體流動時，作用在單位長度柱體上的力等于來流速度與環量及密度三者的乘積，方向為來流方向沿與環量相反方向旋轉90角。表達式為：C2.6.2繞翼型流動的庫塔條件機翼展長—機翼兩端面的距離；翼型—機翼的剖面形狀稱為翼型。48ppt課件翼型①后緣：翼型上的后尖點。②前緣：翼型上最前點，即距后緣最遠的點。③翼弦C：連接前后緣的直線段，其長度為弦長。④中弧線（中線）：翼型內部做一系列與上下翼面相切的內切圓，其圓心的連線。⑤翼型厚度：上下翼面到弦線距離差，常用相對厚度。⑥最大彎度(簡稱彎度)：翼型中線與翼弦之間的最大垂直距離。⑦迎角(或攻角):翼弦與來流方向之間的夾角。

cABb49ppt課件庫塔條件：運動翼型上的后駐點與后緣重合,沿上下翼面的流動速度在后緣平滑銜接，即流體光滑流過后緣