2024學年江西省宜春市靖安中學高二上數學期末復習檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知A，B，C是橢圓M：上三點，且A（A在第一象限，B關于原點對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點D，交BC于點E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.2．雙曲線的焦點坐標為（）A. B.C. D.3．設正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.4．已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知數列滿足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1046．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條7．函數的圖象大致為（）A B.C D.8．對任意實數，在以下命題中，正確的個數有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.9．如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長為2的等邊三角形，是底面圓的內接正三角形．則（）A. B.C. D.10．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結論中正確的為（）A.與互為對立事件 B.與互斥C與相等 D.11．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.12．若雙曲線的一個焦點為，則的值為（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的通項公式為，，設是數列的前n項和，若對任意都成立，則實數的取值范圍是__________.14．已知拋物線：，斜率為且過點的直線與交于，兩點，且，其中為坐標原點（1）求拋物線的方程；（2）設點，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值15．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂到基座所在的直線的距離）．由于河流上游降雨，導致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時橋洞中水面的寬度為______米16．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內部）以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的封閉圖形.（1）設，，求這個幾何體的表面積；（2）設G是弧DF的中點，設P是弧CE上的一點，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.18．（12分）如圖，正方體的棱長為4，E，F分別是上的點，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，點P為線段MC上的點（1）若平面PAB，試確定點P的位置，并說明理由；（2）若，，，求三棱錐的體積20．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由21．（12分）冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行．為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，廣安市某中學校從全校隨機抽取50名學生參加冬奧會知識競賽，并根據這50名學生的競賽成績，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學生競賽成績的眾數和中位數．（結果保留一位小數）22．（10分）已知圓，直線過定點.（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點，且，求此時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】設出點，,的坐標，將點，分別代入橢圓方程兩式作差，構造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點在軸上，且為的中點,則.【題目詳解】設，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點在軸上，且為的中點即，則正確.故選：C.2、C【解題分析】把雙曲線方程化為標準形式，直接寫出焦點坐標.【題目詳解】，焦點在軸上，，故焦點坐標為.故選：C.3、D【解題分析】建立空間直角坐標系，根據空間向量所學點到面的距離公式求解即可.【題目詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以，，即，設，所以，，即，設點到平面的距離為，所以，故選：D.4、B【解題分析】根據雙曲線的幾何性質和平行四邊形的性質可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進而轉化為，的不等式，結合可得離心率的取值范圍【題目詳解】解：因為經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因為，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故選：B5、D【解題分析】根據等比數列的定義，結合等比數列的通項公式進行求解即可.【題目詳解】因為，所以有，因此數列是公比的等比數列，因為，所以，故選：D6、B【解題分析】過的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【題目詳解】易知過點，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個公共點.當直線的斜率存在時，設直線方程為，與聯立得，當時，方程有一個解，即直線與擾物線只有一個公共點.故滿足題意的直線有2條.故選：B7、A【解題分析】利用導數求得的單調區間，結合函數值確定正確選項.【題目詳解】由，可得函數的減區間為，增區間為，當時，，可得選項為A故選：A8、B【解題分析】直接利用不等式的基本性質判斷.【題目詳解】①因為，則，根據不等式性質得，故正確；②當時，，而，故錯誤；③因為，所以，即，故正確；④當時，，故錯誤；故選：B9、B【解題分析】先求出，再利用向量的線性運算和數量積計算求解.【題目詳解】解：由題得,,故選：B10、D【解題分析】利用互斥事件和對立事件的定義分析判斷即可【題目詳解】因為拋擲兩枚質地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以ABC錯誤，D正確，故選：D11、D【解題分析】根據互相垂直兩直線的斜率關系進行求解即可.【題目詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以，故選：D12、B【解題分析】由題意可知雙曲線的焦點在軸，從而可得，再列方程可求得結果【題目詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，，所以，解得，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】化簡數列將問題轉化為不等式恒成立問題，再對n分奇數和偶數進行討論，分別求解出的取值范圍，最后綜合得出結果.【題目詳解】根據題意，，.①當n是奇數時，，即對任意正奇數n恒成立，當時，有最小值1，所以.②當n是正偶數時，，即，又，故對任意正偶數n都成立，又隨n增大而增大，當時，有最小值，即，綜合①②可知.故答案為：.14、（1）（2）為定值6【解題分析】（1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達定理可知：，，，，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；（2）由直線的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.試題解析：（1）直線的方程為，聯立方程組得，設，，所以，，又，所以，從而拋物線的方程為（2）因為，，所以，，因此，又，，所以，即為定值點睛：定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.15、【解題分析】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則根據點在拋物線上，可得拋物線的方程，設水面與橋的交點坐標為，求出，進而可得水面的寬度.【題目詳解】以橋的頂點為坐標原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為：16、【解題分析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【題目點撥】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個扇形、兩個矩形和一個圓柱形側面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據條件得到面，通過平移將異面直線轉化為同一個平面內的直線夾角即可【小問1詳解】上下兩個扇形的面積之和為：兩個矩形面積之和為：4側面圓弧段的面積為：故這個幾何體的表面積為：【小問2詳解】如下圖，將直線平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點，則由于上下兩個平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則則直線與直線的夾角為18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】(1)在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方體，又是空間垂直問題，∴易采用向量法，∴建立如圖所示的空間直角坐標系，欲證，只須證，再用向量數量積公式求解即可.【小問1詳解】在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，又，，，∴；【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，直線、、分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.則∴，，∴，∴.19、（1）點P為MC中點，理由見解析（2）【解題分析】（1）根據平面PAB，得到線線垂直，再得到點P的位置；（2）根據平面PAB，將問題轉化為計算即可.【小問1詳解】∵平面PAB，平面ABP，∴又∵在中，，∴P為MC中點．∴若平面PAB，則點P為MC中點【小問2詳解】當P為中點時，在中，，，∴，同理可得∴在中，，∵由（1）知平面PAB，∴∴三棱錐的體積為20、（1）（2）存在，M與S重合【解題分析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，設平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.21、（1）（2）眾數；中位數【解題分析】（1）根據頻率分布直方圖矩形面積和為1列式即可；（2）根據眾數即最高矩形中間值，中位數左右兩邊矩形面積各為0.5列式即可.【小問1詳解】由,得【小問2詳解】50名學生競賽成績的眾數為設中位數為,則解得所以這50名學生競賽成績的中位數為76.422、（1）或；（2）或.【