2024學年上海外國語大學附屬中學高二數學第一學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓C：的焦點在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.82．當我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩了，這用到了（）A.三點確定一平面 B.不共線三點確定一平面C.兩條相交直線確定一平面 D.兩條平行直線確定一平面3．直線在軸上的截距為（）A.3 B.C. D.4．設實數x，y滿足，則目標函數的最大值是（）A. B.C.16 D.325．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數到與一般的等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列．如數列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數列2，3，4，新數列2，3，4為等差數列、這樣的數列稱為二階等差數列．現有二階等差數列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23則該數列的第100項為（）A.4862 B.4962C.4852 D.49526．已知曲線與直線總有公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）A. B.C. D.8．已知數列的首項為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是A. B.C. D.10．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數學、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學、生物中選擇2門，一名同學隨機選擇3門功課，則該同學選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.11．若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為（）A. B.C. D.12．丹麥數學家琴生（Jensen）是世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，在上恒成立，則稱函數在上為“凹函數”.則下列函數在上是“凹函數”的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在點處的切線方程是_________14．已知向量，向量，若，則實數的值為________.15．若雙曲線的漸近線為，則其離心率的值為_______.16．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個圓位置關系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個條件分別作答，按第一個作答計分18．（12分）已知數列滿足且（1）求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和為.19．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.20．（12分）已知三角形的三個頂點，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程21．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經過點，.（1）求圓C的標準方程；（2）過斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點，求弦MN的長.22．（10分）如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC的中點，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據橢圓的離心率，即可求出，進而求出長軸長.【題目詳解】由橢圓的性質可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【題目點撥】本題主要考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.2、B【解題分析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車穩定,此時自行車與地面的三個接觸點不在同一條線上.【題目詳解】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時三個接觸點不在同一條線上,所以可以確定一個平面，即地面，從而使得自行車穩定.故選B項.【題目點撥】本題考查不共線的三個點確定一個平面，屬于簡單題.3、A【解題分析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【題目詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為3.故選：A4、C【解題分析】求的最大值即求的最大值，根據約束條件畫出可行域，將目標函數看成直線，直線經過可行域內的點，將目標與直線的截距建立聯系，然后得到何時目標值取得要求的最值，進而求得的最大值，最后求出的最大值.【題目詳解】要求的最大值即求的最大值.根據實數，滿足的條件作出可行域，如圖.將目標函數化為.則表示直線在軸上的截距的相反數.要求的最大值，即求直線在軸上的截距最小值.如圖當直線過點時，在軸上的截距最小值.由，解得所以的最大值為，則的最大值為16.故選：C.5、D【解題分析】根據題意可得數列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進一步即可得到的值【題目詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項減前項可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D6、D【解題分析】對曲線化簡可知曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【題目詳解】由，得，因為，所以曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點，如圖所示設曲線與軸的兩個交點分別為，直線過定點，為曲線上一動點，根據圖可知，若曲線與直線總有公共點，則，得，設直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D7、A【解題分析】由余弦定理計算求得角,根據三角形面積公式計算即可得出結果.【題目詳解】由余弦定理得，,∴，∴，故選：A8、C【解題分析】由題意，得到，利用疊加法求得，結合由，轉化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【題目詳解】因為，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，當時，，不等式可化為恒成立，所以；當時，，不等式可化為恒成立；當時，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實數的取值范圍是.故選：C.9、D【解題分析】，∵函數在區間單調遞增，∴在區間上恒成立．∴，而在區間上單調遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點：利用導數研究函數的單調性.10、A【解題分析】先由列舉法計算出基本事件的總數，然后再求出該同學選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個數，基本事件個數比即為所求概率.【題目詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學隨機選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個基本事件；該同學選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個基本事件；該同學選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【題目點撥】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎題型.11、D【解題分析】先根據已知條件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【題目詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，若直線被截得弦長為，說明圓心在直線：上，即，即，∴，當且僅當，即時，等號成立故選：D.【題目點撥】本題主要考查利用基本不等式求最值，本題關鍵是求出，屬常規考題.12、B【解題分析】根據“凹函數”的定義逐項驗證即可解出【題目詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求得函數的導數，得到且，再結合直線的點斜式，即可求解.【題目詳解】由題意，函數，可得，則且，所以在點處切線方程是，即故答案為：.14、2【解題分析】根據，由求解.【題目詳解】因為向量，向量，且，所以，解得，故答案為：215、【解題分析】利用漸近線斜率為和雙曲線的關系可構造關于的齊次方程，進而求得結果.【題目詳解】由漸近線方程可知：，即，，，（負值舍掉）.故答案為：.【題目點撥】本題考查根據雙曲線漸近線方程求解離心率的問題，關鍵是利用漸進線的斜率構造關于的齊次方程.16、3【解題分析】根據拋物線焦點弦性質求解，或聯立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【題目詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解題分析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進行比較即可；(2)根據點到直線的距離公式，先計算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C圓心為，半徑為因為兩圓的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因為兩圓的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因為點C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長為18、（1）證明見解析，；（2）.【解題分析】（1）對遞推公式進行變形，結合等差數列的定義進行求解即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】因為，且，所以即，所以數列是公差為2的等差數列.又，所以即；【小問2詳解】由（1）得，所以.故.19、（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點.【解題分析】(1)連接，根據給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，利用空間向量計算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，如圖，因，，則，假設在線段上存在符合要求的點P，設其坐標為，則有，設平面的一個法向量，則有，令得，而平面的一個法向量，依題意，，化簡整理得：而，解得，所以在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點，使平面和平面所成角的余弦值為.20、；【解題分析】根據兩點式方程和中點坐標公式求解，并化為一般式方程即可.【題目詳解】解：過的兩點式方程為，整理得即邊所在直線的方程為，邊上的中線是頂點A與邊中點M所連線段，由中點坐標公式可得點M的坐標為，即過，的直線的方程為，即整理得所以邊上中線所在直線的方程為21、（1）（2）【解題分析】（1）由圓的性質可得圓心在線段的垂直平分線上，由題意求出的垂直平分線方程，從而得出圓心坐標，再求出半徑，得到答案.（2）由題意先求出滿足條件的直線方程，求出圓心到直線的距離，由垂經定理可得圓的弦長.【小問1詳解】由題意設圓C的標準方程為設的中點為，則,由圓的性質可得則,又，所以則直線的方程為，即則圓C的圓心在直線上，即，故所以圓心,半徑所以圓C的標準方程為【小問2詳解】過斜率為的直線方程為：圓心到該直線的距離為所以22、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】(1)由結合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點M，連接，FM，證明平面平面，再建立空間直角坐標系，借助空間向量推理、計算作答.【小問1詳解】在中，因為E，F分別是AC，BC的中點，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點M，連接，FM，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面