數學史古代希臘數學上第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日從公元前2000年左右到公元前30年，古代希臘人以巴爾干半島、愛琴海諸島和小亞細亞沿岸為中心，在包括北非、西亞和意大利半島南部及西西里島的整個地中海地區建立起了一系列奴隸制國家。

第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日希臘人在文明史上首屈一指，在數學史上至高無上。他們雖也取用了周圍其他文明世界的一些東西，但希臘人創造了他們自己的文明和文化，這是一切文明中最宏偉的，是對現代西方文化的發展影響最大的，是對今日數學的奠基有決定作用的。

——《古今數學思想》第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日奴隸制城邦海濱移民他們具有典型的開拓精神，對于所接觸的事物，不愿因襲傳統；其次，他們身處與兩大河谷毗鄰之地，易于汲取那里的文化。第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日通常把希臘開創的初等數學時期分為兩個階段。一是希臘早期數學，即古典時期的希臘數學。這個階段大約從公元前六世紀開始到公元前三世紀。二是希臘后期數學，即亞歷山大時期的希臘數學。這一時期大約從公元前三世紀到公元六世紀。第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日1愛奧尼亞學派和演繹證明以演繹證明為基本特征的數學，最早誕生于古希臘愛奧尼亞地區的海濱城市米利都。“希臘科學之父”——泰勒斯

古希臘第一個數學學派——愛奧尼亞學派米利都同時也是希臘哲學和科學的誕生地第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日1愛奧尼亞學派和演繹證明泰勒斯的五個命題：⑴圓被任一直徑二等分；⑵等腰三角形的兩底角相等；⑶兩條直線相交，對頂角相等；⑷兩個三角形，有兩個角和一條邊對應相等，則這兩個三角形全等；⑸內接于半圓的角必為直角。其中最后一個定理被人們稱為“泰勒斯定理”。第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日1愛奧尼亞學派和演繹證明從泰勒斯開始，人們已不再僅僅利用直觀和實驗來尋求數學結論了。換句話說，實際上泰勒斯已經將邏輯學中的演繹推理引入了數學，奠定了演繹數學的基礎，這使得他獲得了第一位數學家和論證幾何學家鼻祖的美譽。關于泰勒斯，還有一些其他的零星傳說。理性思維的觀念，正是希臘科學精神的精髓之所在。第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”

畢達哥拉斯是古希臘哲學家、數學家、天文學家和音樂理論家，出生與愛琴海中的薩摩斯島。第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”意大利半島南部的克羅多內一個集政治、宗教和學術研究于一體的秘密會社，這就是著名的畢達哥拉斯學派。相傳希臘文中“哲學”和“數學”這兩個詞就是由畢達哥拉斯學派創造的。第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”基本信條“萬物皆數”萬物的本原就是數數是由單子或1產生的，因此將1命名為“原因數”，每一個數都被賦予了特定的屬性，而一切數中最神圣的是10，他們信奉和崇拜10，認為它是完美、和諧的標志。這種“萬物皆數”的觀念從另一側面強調了數學對客觀世界的重要作用，這也是數學化思想的最初表述形式。第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”畢達哥拉斯學派還定義了完全數、過剩數和不足數。6是最小的完全數，下一個完全數是28，等等。親和數的概念也被歸功于畢達哥拉斯學派。最小的一對親和數是220和284。第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”畢達哥拉斯學派關于“形數”的研究，強烈地反映了他們將數作為幾何思維元素的精神。三角形數N=1+2+3+…+n(n+1)/2

正方形數N=1+3+5+7+…+(2n-1)

五邊形數N=1+4+7+…+(3n-2)=n(3n-1)/2

六邊形數N=1+5+9+…+(4n-3)=2n2-n高階等差序列第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”形數（figurednumbers）理論可以上溯到畢達哥拉斯（Pythagoras,569B.C.～500B.C.）本人。用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，等等，畢達哥拉斯學派在世界數學史上首次建立了數和形之間的聯系。早期畢達哥拉斯學派似乎已經熟悉利用小石子或點來構造三角形數和正方形數；晚期的畢達哥拉斯學派成員尼可麥丘（Nicomachus,60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon,約2世紀上半葉）則討論了各種平面數（包括三角形數、正方形數、長方形數、五邊形數、六邊形數等等）和立體數（包括立方數、棱錐數等等）。第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”后期畢達哥拉斯學派數學家尼可麥丘在《算術引論》中將多邊形數推廣到立體數。前四個三棱錐數為11+31+3+61+3+6+10第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”

前四個四棱錐數為

11+41+4+91+4+9=16

第n個四棱錐數為第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日“形數”體現了數與形的結合。數形結合的另一個典型例子是由給出的畢達哥拉斯三元數組。2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”“美是和諧與比例”最美的圖形在平面上是圓，在空間是球，整個地球、天體和宇宙是一個圓球。宇宙中的各種物體都作均勻的圓周運動。音樂理論畢達哥拉斯不僅把“美是和諧與比例”的科學美學思想用于音樂和天文學，還十分廣泛地將其應用到建筑、雕刻、地學、生物學、醫學等領域。第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”畢達哥拉斯學派掌握了正多邊形和正多面體的一些性質正多邊形覆蓋平面立方體填滿空間正十二面體、正五邊形“黃金分割”五角星作為學派的標志第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”畢達哥拉斯定理（勾股定理）中國人、巴比倫人、埃及人和印度人都早就知道這個定理的特殊情況，不過只有希臘人才以一般的形式得到了證明。百牛傳說第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”“萬物皆數”：任何量都可以表示成兩整數之比（即某個有理量）。“可公度量”畢達哥拉斯學派曾經發現正方形的對角線和其一邊構成不可公度線段，其證明與我們現在的中學數學教科書中證明√2是無理數的方法相同。希帕索斯歐多克斯第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日2畢達哥拉斯學派與“萬物皆數”證明√2是無理數矛盾。第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派畢達哥拉斯學派發現的不可公度向希臘數學提出了一個難題，這就是如何處理離散與聯系、有限與無限的關系。大多數希臘數學家回避了這個問題，轉而去研究幾何量之間的關系去了。但來自盧卡尼亞的一位哲學家芝諾，針對當時對無限、運動和聯系等人們認識模糊不清的概念，提出了45個違背常理的悖論，把這些矛盾暴露出來，在希臘數學界引起了巨大的震動。第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派亞里士多德《物理學》記載的四個悖論⑴二分法⑵阿基里斯追龜⑶飛箭靜止（飛矢不動）⑷運動場第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派芝諾的這些悖論在當時是十分困難的，因為他的問題已經涉及到對于當時的希臘數學家而言還是很模糊的無限與連續的概念。更重要的是，人們明知他的悖論是不符合常理的，卻又不能駁倒他，這就促使人們開始思考一個理論能否自圓其說的問題。毫無疑問，這也成為公理化思想方法產生的一個重要原因。同時，芝諾悖論與不可公度的困難一起，成為希臘數學追求邏輯精確性的強力激素。第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派正當芝諾的那些悖論讓古希臘人傷透腦筋的時候，巧辯學派所提出的三大著名幾何作圖問題，又讓他們陷入了困惑。巧辯學派創立、活動于雅典。這個學派中聚集了各方面的學者大師，如文法、修辭、辨證法、人文，以及幾何、天文和哲學方面的學者，他們研究的主要目標之一是用數學來探討宇宙的運轉。第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派三大尺規作圖問題是化圓為方、倍立方體、三等分角。圍繞這三大作圖問題，希臘數學家們表現出了杰出的數學思想和方法。許多數學成果都是研究這三個問題的副產品。如希波克拉底的化月牙形為方，希比亞斯的割圓曲線等。第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派最早研究化圓為方問題的是安納薩哥拉斯。公元前5世紀下半葉開奧斯的希波克拉底（HippociatesofChios）解決了與化圓為方有關的化月牙形為方。第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派巧辯學派的代表人物安提豐（Antiphon，約公元前480—前411），則首先提出了用圓內接正多邊形逼近圓面積的方法來化圓為方。“窮竭”安提豐古希臘“窮竭法”的始祖。第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派希波克拉底指出倍立方體問題可以化為求一線段與它的二倍長線段之間的雙重比例中項問題：a：x=x：y=y：2a。比他稍晚的一些希臘數學家則借助某些特殊曲線作出了可作為倍立方體問題解的比例中項線段，其中最重大的成就是柏拉圖學派的梅內赫莫斯（Menaechmus，公元前4世紀中）為解決倍立方體問題而發現了圓錐曲線。第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派希比亞斯割圓曲線第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派巧辯學派及其他希臘學者，把作圖工具只限于直尺和圓規，反映了他們對數學的這樣一個認識：在研究一個概念之前必須先證明它的存在，只有從真理出發，依靠演繹推理才能獲得真理。在他們看來，直線和圓客觀上是存在的，所以只有用直線和圓構作出來的圖形才能保證在邏輯上沒有矛盾。這樣的思想促進了希臘數學的嚴密化。另一方面，這些觀念也禁錮了人們的思想，抑制了創造性。第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學派2000多年來，三大問題的研究，花費了人們的大量心血。1831年，法國數學家萬采爾首先證明倍立方體和三等分任意角問題不能用尺規作圖來解決，接著德國數學家林德曼于1882年又證明了π的超越性，因而否定了用尺規化圓為方的可能性，這三大問題才徹底得以解決。第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日4柏拉圖學派柏拉圖（Plato，公元前427——347年）是古希臘哲學家和教育家，出生于雅典的貴族家庭。公元前407年，柏拉圖20歲時曾拜年逾六旬的蘇格拉底為師。他是蘇格拉底最杰出的學生，深受蘇格拉底邏輯思想的影響。不過，蘇格拉底的主要興趣是國家，以及如何更好地為國家服務，數學對他的吸引力極小。與此相反，柏拉圖對倫理學和政治性的問題興趣不大。第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日4柏拉圖學派柏拉圖及一些希臘人重視抽象觀念，并要把數學思想當作進入哲學的階梯。數學家所處理的抽象觀念跟其他的抽象觀念，比如善良和公正，是同一類的，而了解這兩者乃是柏拉圖哲學的目標。數學是認識理想世界的準備工具。公元前399年，在蘇格拉底被雅典重建的民主政權處死后，柏拉圖被迫開始了為期12年的游歷生涯，他先后去了麥加拉、埃及等地，后回到雅典。

第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日拉斐爾《雅典學園》第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日4柏拉圖學派公元前387年，柏拉圖在雅典創建了歐洲歷史上第一所綜合性的、傳授知識、培養上層統治者的學校，學校兼收女生，并實行分層教育。柏拉圖對于數學科學在培養人的思維能力方面的作用有比較充分的認識。據說在他學校的門口甚至掛上“不懂幾何者不得入內”的告示。可以說，柏拉圖的哲學成了數學的哲學，這對他的同時代人和他的繼承者有著深遠的影響。

第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日4柏拉圖學派柏拉圖學派特別強調要用數學來解釋宇宙，因而特別重視對立體幾何的研究。他們研究了棱柱、棱錐、圓柱、圓錐，而且知道正多面體只有五種。第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日4柏拉圖學派在其老師蘇格拉底邏輯思想的影響下，柏拉圖還明確提出了數學的演繹證明應遵循的邏輯規則。他指出：“首先我假定某個我認為是最有力的假設，然后肯定凡與之相符合的就是真的，無論是關于原因還是別的什么，只要與之不符合的，我就認為它是不真的。”這里柏拉圖明確提出，數學證明是以某些自明的假設即公理作為出發點，然后經過一系列嚴格的邏輯推理，他稱之為“假設法”。顯然這正是公理化方法的開端，對于歐幾里得幾何學的公理演繹系統和推進希臘數學的發展具有極為重要的意義。可以說，這是古希臘方法論的最高成就。這也表明至少從柏拉圖時代起，數學已經有了公理化的思想。第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日4柏拉圖學派柏拉圖學派中最杰出的數學家應首推歐多克索斯（Eudoxus，約公元前4世紀），有人認為，古希臘數學家中，他的地位僅次于阿基米德。他的數