考點（特色難度大）32：中考動態問題重要考點知識解讀1.動態問題：點動、線動、形動構成的問題稱之為動態幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為每年中考試題的熱點。從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養學生解決問題的能力．圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數學“動點”探究題的基本思路,這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質。2.動態問題共同特性：（1）代數、幾何的高度綜合（數形結合）；著力于數學本質及核心內容的考查;四大數學思想：數學結合、分類討論、方程、函數．（2）以形為載體，研究數量關系；通過設、表、列獲得函數關系式；研究特殊情況下的函數值．3.命題角度：動態幾何特點----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置）.動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值。中考典例解析【例題1】（2021浙江杭州）如圖，設點P是直線l外一點，PQ⊥l，點T是直線l上的一個動點，連結PT，則（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【例題2】（2021遼寧本溪）如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，動點P沿折線AD→DB運動到點B，同時動點Q沿折線DB→BC運動到點C，點P，Q在矩形邊上的運動速度為每秒1個單位長度，點P，Q在矩形對角線上的運動速度為每秒2個單位長度．設運動時間為t秒，△PBQ的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（）A．B． C．D．【例題3】（2021湖南衡陽）如圖1，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，P、Q兩點同時從O點出發，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動．點P的運動路線為O﹣A﹣D﹣O，點Q的運動路線為O﹣C﹣B﹣O．設運動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示，當點P在A﹣D段上運動且P、Q兩點間的距離最短時，P、Q兩點的運動路程之和為厘米．【例題4】（2021湖南永州）如圖1，AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上一動點，且不與A，B兩點重合，∠EAB的平分線交⊙O于點C，過點C作CD⊥AE，交AE的延長線于點D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：AC2＝2AD?AO；（3）如圖2，原有條件不變，連接BE，BC，延長AB至點M，∠EBM的平分線交AC的延長線于點P，∠CAB的平分線交∠CBM的平分線于點Q．求證：無論點E如何運動，總有∠P＝∠Q．【例題5】（2021湖南懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．考點問題綜合訓練一、選擇題1．（2021內蒙古鄂爾多斯）如圖①，在矩形ABCD中，H為CD邊上的一點，點M從點A出發沿折線AH﹣HC﹣CB運動到點B停止，點N從點A出發沿AB運動到點B停止，它們的運動速度都是1cm/s，若點M、N同時開始運動，設運動時間為t（s），△AMN的面積為S（cm2），已知S與t之間函數圖象如圖②所示，則下列結論正確的是（）①當0＜t≤6時，△AMN是等邊三角形．②在運動過程中，使得△ADM為等腰三角形的點M一共有3個．③當0＜t≤6時，S＝．④當t＝9+時，△ADH∽△ABM．⑤當9＜t＜9+3時，S＝﹣3t+9+3．A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤2．（2021廣西玉林）圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，點P從點A出發，沿三角形的邊以1cm/秒的速度逆時針運動一周，圖（2）是點P運動時，線段AP的長度y（cm）隨運動時間x（秒）變化的關系圖象，則圖（2）中P點的坐標是（）A．（13，） B．（13，） C．（13，5） D．（13，）3．（2021甘肅威武定西平涼）如圖1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于點D（AD＞BD）．動點M從A點出發，沿折線AB→BC方向運動，運動到點C停止．設點M的運動路程為x，△AMD的面積為y，y與x的函數圖象如圖2，則AC的長為（）A．3 B．6 C．8 D．94．（2021廣西貴港）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題1．（2021浙江嘉興）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點P從點A出發沿AB方向運動，到達點B時停止運動，連結CP，點A關于直線CP的對稱點為A′，連結A′C，A′P．在運動過程中，點A′到直線AB距離的最大值是；點P到達點B時，線段A′P掃過的面積為．2．（2021武漢）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，邊AB上的點D從頂點A出發，向頂點B運動，邊BC上的點E從頂點B出發，向頂點C運動，D，設x＝AD，y＝AE+CD（2），圖象過點（0，2），則圖象最低點的橫坐標是．3.如圖，在矩形中，，點E，F分別是邊上的動點，點E不與A，B重合，且，G是五邊形內滿足且的點．現給出以下結論：①與一定互補；②點G到邊的距離一定相等；③點G到邊的距離可能相等；④點G到邊的距離的最大值為．其中正確的是_________．（寫出所有正確結論的序號）三、解答題1．（2021貴州銅仁）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．點P是CA邊上的一動點，點P從點C出發以每秒2cm的速度沿CA方向勻速運動，以CP為邊作等邊△CPQ（點B、點Q在AC同側），設點P運動的時間為x秒，△ABC與△CPQ重疊部分的面積為S．（1）當點Q落在△ABC內部時，求此時△ABC與△CPQ重疊部分的面積S（用含x的代數式表示，不要求寫x的取值范圍）；（2）當點Q落在AB上時，求此時△ABC與△CPQ重疊部分的面積S的值；（3）當點Q落在△ABC外部時，求此時△ABC與△CPQ重疊部分的面積S（用含x的代數式表示）．2．（2021湖南衡陽）如圖，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（3，4），B（6，0），動點P、Q同時從點O出發，分別沿x軸正方向和y軸正方向運動，速度分別為每秒3個單位和每秒2個單位，點P到達點B時點P、Q同時停止運動．過點Q作MN∥OB分別交AO、AB于點M、N，連接PM、PN．設運動時間為t（秒）．（1）求點M的坐標（用含t的式子表示）；（2）求四邊形MNBP面積的最大值或最小值；（3）是否存在這樣的直線l，總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線l的解析式；如果不存在，請說明理由；（4）連接AP，當∠OAP＝∠BPN時，求點N到OA的距離．3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，點D為邊AC的中點．動點P從點A出發，沿折線AB﹣BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當點P不與點A、C重合時，連結PD．作點A關于直線PD的對稱點A′，連結A′D、A′A．設點P的運動時間為t秒．（1）線段AD的長為；（2）用含t的代數式表示線段BP的長；（3）當點A′在△ABC內部時，求t的取值范圍；（4）當∠AA′D與∠B相等時，直接寫出t的值．4．（2021山東菏澤）在矩形ABCD中，BC＝CD，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上