第第頁湖北省四市2023屆高三起點考試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．已知集合，，若，則實數的取值范圍為() A． B． C． D．【答案】D【解析】2．已知為虛數單位，復數，則() A．3 B．4 C．5 D．25【答案】C【解析】3．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是() A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】4．已知，，則() A． B． C． D．【答案】B【解析】5．已知數列是公差不為零的等差數列，為等比數列，且，，，設，則數列的前10項和為() A．1078 B．1068 C．566 D．556【答案】A【解析】6．我國古代名著《張丘建算經》中記載：今有方雉下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭，令上方六尺，問亭方幾何？大致意思：有一個正四棱雉下底邊長為二丈，高三丈，現從上面截去一段，使之成為正四棱臺狀方亭，且正四棱臺的上底邊長為六尺，則該正四棱臺的體積是(注：1丈尺)() A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺【答案】B【解析】7．已知，是自然對數的底數，若，，，則有() A． B． C． D．【答案】A【解析】8．一個袋子中裝有形狀大小完全相同的4個小球，其中2個黑球，2個白球．第一步：從袋子里隨機取出2個球，將取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再從袋子里隨機取出2個球，計第二步取出的2個球中白球的個數為，則() A． B． C． D．【答案】D【解析】①計第一步取出兩個白球為事件，則，，，②計第一步取出兩球為一黑一白為事件，則，，，③計第一步取出兩個黑球為事件，則，，，，故由全概率公式，，同理，，．另解：在第一步完成之后，服從超幾何分布，故．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是() A．數據7，4，2，9，1，5，8，6的第75百分位數為7 B．若，，則 C．已知，，若，則，相互獨立 D．根據分類變量與的成對樣本數據，計算得到．依據的獨立性檢驗，可判斷與有關且犯錯誤的概率不超過【答案】BC【解析】10．已知函數，則() A．的最大值為2 B．在上單調遞增 C．在上有4個零點 D．把的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象關于直線對稱【答案】ACD【解析】11．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，長軸長為4，點在橢圓外，點在橢圓上，則() A．橢圓的離心率的取值范圍是 B．當隨圓的離心率為時，的取值范圍是 C．存在點使得 D．的最小值為1【答案】BCD【解析】12．函數及其導函數的定義域均為，且是奇函數，設，，則以下結論正確的有() A．函數的圖象關于直線對稱 B．若的導函數為，定義域為，則 C．的圖象關于點中心對稱 D．設數列為等差數列，若，則【答案】BCD【解析】由導數的幾何意義及的對稱性，在和處的切線也關于原點對稱，其斜率總相等，故，是偶函數，對稱軸為，A錯；由的對稱性，在和處的切線關于縱軸對稱，其斜率互為相反數，故，為奇函數，又定義域為，，B對；，由為奇函數知為奇函數，圖像關于對稱，可以看作由按向量平移而得，故C對；由C選項知，當時，，由等差數列性質，，以此類推倒序相加，D正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在中，是邊上的點，且，設，則_____．【答案】【解析】14．已知展開式中各項系數和為243，則展開式中的第3項為_______．【答案】【解析】15．已知圓：，過點作不過圓心的直線交圓于，兩點，則面積的取值范圍是________．【答案】【解析】16．在三棱錐中，底面，，，為的中點，球為三棱錐的外接球，是球上任一點，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為________．【答案】【解析】正中，為的中點，則，而平面，平面，即，而，，平面，則平面，平面，有，又，因此與的斜邊中點到點，，，的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點，從而點是三棱雉外接球球心，設球的半徑為，有，的外接圓圓心為的中點，設為，連接，則平面，如圖，則有，即到平面的距離為，因此到平面距離的最大值為，又，即有，解得，，，所以球的體積為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知數列前項和為，且，． (1)求； (2)設，求數列的前項和．【解析】(1)，，，，數列為等差數列，且，……3分又時，，，；……5分(2)，，，，兩式相減得，．……10分18．(12分)如圖，是圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，其軸截面是正三角形，點是上一點，，點，是底面圓上不同的兩點，是的中點，直線與圓錐底面所成角滿足． (1)求證：； (2)求二面角的正弦值．【解析】(1)，，取的中點，連接，．則，且，平面，平面，即為直線與平面所成角，，從而，由勾股定理得，在中，，所以，……3分平面，，由，平面，所以．……6分(2)以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，得，，，設平面、的法向量分別為，．由，令得，由，令得；所以，則二面角的正弦值為．……12分19．(12分)在中，內角，，滿足． (1)求證：； (2)求最小值．【解析】(1)由正弦定理有，從而，則，所以，即有，；……6分(2)由(1)，有，則，……10分故，當且僅當，即，時取等．所以的最小值為3．……12分20．(12分)設某種植物幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測得的一些數據如下表所示： (1)根據以上數據判斷與哪一個更適宜作為關于的經驗回歸方程(給出判斷即可，不需說明理由)？ (2)根據(1)的判斷，建立關于的經驗回歸方程，估計第100天幼苗的高度(估計的高度精確到小數點后第二位)； (3)在作出的這組數據的散點圖中，甲同學隨機選取其中的4個點，記這4個點中幼苗的高度大于的點的個數為，其中為表格中所給的幼苗高度的平均數，試求隨機變量的分布列和數學期望．附：對于一組數據，，…，，其經驗回歸直線方程的斜率的最小二乘估計為．【解析】(1)，……2分(2)令，則，根據已知數據表得到如下表：，，……4分．……6分，故關于的經驗回歸方程，……7分令，；……8分(3)這7天中幼苗高度大于的有4天，服從超幾何分布，其中，，，；；；所以隨機變量的分布列為：，……10分隨機變量的期望值．……12分21．(12分)已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點． (1)求雙曲線的標準方程； (2)已知，，是雙曲線上不同于的兩點，且，于，證明：存在定點，使為定值．【解析】(1)因為雙曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，設雙曲線的標準方程為，代入點坐標，解得所以雙曲線的標準方程為；……4分(2)①當直線斜率存在時，設：，設、，聯立與雙曲線，化簡得，……5分，即，則有，，又，因為，……6分所以，所以，化簡得，即，所以，，且均滿足，當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾；當時，直線的方程為，過定點，……9分②當直線斜率不存在時，由對稱性不妨設直線：，與雙曲線方程聯立解得，此時也過點，綜上，直線過定點，……10分由于，所以點在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點，使為定值．……12分22．(12分)已知函數，是自然對數的底數． (1)當時，設的最小值為，求證：； (2)求證：當時，．【解析】(1)當時，，，……1分由于，，故存在，使得，由基本初等函數性質知，在遞增，所以當時，，遞減；當時，，遞增，所以，設函數，，，故在遞減，，所以．……