隆德高級中學2012.11.102.2.1橢圓及其標準方程探索－嫦娥奔月2010年10月8日中國“嫦娥”二號衛星成功實現第二次近月制動，衛星進入距月球表面近月點高度約210公里，遠月點高度約8600公里，且以月球的球心為一個焦點的橢圓形軌道。已知月球半徑約3475公里，試求“嫦娥”二號衛星運行的軌跡方程?！版隙鸲枴庇?010年10月1日18時59分57秒在西昌衛星發射中心發射升空

拱橋的橋拱采用基于橢圓的優化設計，無論從力學原理，還是從施工角度考慮都是優越于傳統的圓弧型和拋物線型的。生活中的應用中國水利水電科學研究院研究表明：

神舟六號在進入太空后，先以遠地點347公里、近地點200公里的橢圓軌道運行，后經過變軌調整為距地343公里的圓形軌道.太陽系?自然界處處存在著橢圓,我們如何用自己的雙手畫出橢圓呢?先回憶如何畫圓引例:

若取一條長度一定且沒有彈性的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形？思考:

平面內到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡又是什么呢？平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.?如何定義橢圓?圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫圓.橢圓的定義:平面上到兩個定點F1,

F2的距離之和為固定值(大于|F1F2

|)的點的軌跡叫作橢圓.1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

二、基礎知識講解平面上到兩個定點的距離的和等于定長2a,（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。定點F1、F2叫做橢圓的焦點。兩焦點之間的距離叫做焦距（2c）。1.橢圓定義：如圖：F1F2M2c回憶圓標準方程推導步驟?提出了問題就要試著解決問題.怎么推導橢圓的標準方程呢？?求動點軌跡方程的一般步驟：1、建立適當的坐標系，用有序實數對（x,y）表示曲線上任意一點M的坐標;2、寫出適合條件P（M）;3、用坐標表示條件P（M），列出方程;

4、化方程為最簡形式。坐標法OxyF1F2M如圖所示:F1、F2為兩定點，且|F1F2|=2c，求平面內到兩定點F1、F2距離之和為定值2a(2a>2c)的動點M的軌跡方程。解：以F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，(-c,0)(c,0)(x,y)設M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，則橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}如何化簡?則焦點F1、F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0)。問題:求曲線方程的基本步驟？（1）建系設點;（2）寫出條件；（3）列出方程；（4）化簡方程；（5）下結論。OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，(a>b>0)兩邊同除以a2(a2-c2)得:P那么①式如圖點P是橢圓與y軸正半軸的交點①你能在圖中找出表示a，c，，的線段嗎？?探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；

(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)(對稱、“簡潔”)xF1F2Ｐ(x,y)0y設P(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0).

P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)

（問題：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義得，限制條件：由于得方程兩邊除以得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方，得移項，再平方橢圓的標準方程OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)?橢圓的標準方程的特點：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。思考：方程Ax2+By2=C何時表示橢圓？答：A、B、C同號且A、B不相等時。分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡標準方程不同點相同點圖形焦點坐標定義a、b、c的關系焦點位置的判斷?再認識！xyF1F2POxyF1F2PO例2.已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經過點,求它的標準方程.解法一:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設它的標準方程為由橢圓的定義知所以又因為,所以因此,所求橢圓的標準方程為例2.已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經過點,求它的標準方程.解法二:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設它的標準方程為①②聯立①②,因此,所求橢圓的標準方程為求橢圓標準方程的解題步驟：（1）確定焦點的位置；（2）設出橢圓的標準方程；（3）用待定系數法確定a、b的值，寫出橢圓的標準方程.

定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動點的軌跡方程.

待定系數法：所求曲線方程的類型已知，則可以設出所求曲線的方程，然后根據條件求出系數.用待定系數法求橢圓方程時，要“先定型，再定量”.~求曲線方程的方法：

代入法：或中間變量法，利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系，把所求動點轉換為已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得動點坐標x,y之間的坐標。~求曲線方程的方法：則a＝

，b＝

；則a＝

，b＝

；5346口答：則a＝

，b＝