一階線性方程與常數變易法復習題與解答_第1頁
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..§2.2一階線性方程與常數變易法習題及解答求下列方程的解1．=解：y=e<e>=e[-e<>+c]=ce-<>是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e<ee>=e<e+c>=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e<e>=e<>=e<>=是原方程的解。4．,n為常數.解：原方程可化為：是原方程的解.5．+=解：原方程可化為：=-<>=是原方程的解.6．解：=+令則=u因此：=〔*將帶入〔*中得：是原方程的解.13這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以,令P<x>=Q<x>=-1由一階線性方程的求解公式=14兩邊同乘以令這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以令P〔x=Q<x>=由一階線性方程的求解公式==15這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以令=P<y>=-2yQ<y>=由一階線性方程的求解公式==16y=+P<x>=1Q<x>=由一階線性方程的求解公式==c=1y=設函數<t>于∞<t<∞上連續,<0>存在且滿足關系式<t+s>=<t><s>試求此函數。令t=s=0得<0+0>=<0><0>即<0>=故或〔1當時即∞,∞><2>當時====于是變量分離得積分由于,即t=0時1=c=1故20.試證：〔1一階非齊線性方程〔2.28的任兩解之差必為相應的齊線性方程〔2.3之解；〔2若是〔2.3的非零解,而是〔2.28的解,則方程〔2.28的通解可表為,其中為任意常數.〔3方程〔2.3任一解的常數倍或任兩解之和〔或差仍是方程〔2.3的解.證明：〔2.28〔2.3設,是〔2.28的任意兩個解則〔1〔2〔1-〔2得即是滿足方程〔2.3所以,命題成立。由題意得：〔3〔41先證是〔2.28的一個解。于是得故是〔2.28的一個解。2現證方程〔4的任一解都可寫成的形式設是<2.28>的一個解則〔4’于是〔4’-〔4得從而即所以,命題成立。設,是〔2.3的任意兩個解則〔5〔6于是〔5得即其中為任意常數也就是滿足方程〔2.3〔5〔6得即也就是滿足方程〔2.3所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質的曲線所滿足的微分方程并求解。曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方；曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項；解：設為曲線上的任一點,則過點曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為即橫截距為,縱截距為。由題意得：〔5方程變形為于是所以,方程的通解為?！?方程變形為于是所以,方程的通解為。22．求解下列

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