空間向量與立體幾何一、單選題1．如圖，在正四棱柱中，，，是側面內的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（） B． C．2 D．2．向量(2，1，x)，(2，y，-1)，若，且，則x+y的值為（）A．-1 B．1 C．-4 D．43．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四個結論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°．其中錯誤的結論是（）A．① B．② C．③ D．④4．如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則與相等的向量是（）A．B．C．D．5．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A．B．C．D．6．長方體，，，點在長方體的側面上運動，，則二面角的平面角正切值的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（） B． C． D．8．如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（） B． C． D．二、多選題9．已知三棱錐，，分別是，的中點，為線段上一點，且，設，，，則下列等式成立的是（）A．B．C．D．10．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝1，點Q是棱A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點，則下面結論中正確的是（）A．PQ與EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．PEF的面積是D．點P到平面QEF的距離是定值三、填空題11．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，到，，，的距離都等于2．給出以下結論：①；②；③；④；⑤．其中正確結論的序號是______．12．如圖所示，在三棱柱中，已知是邊長為的正方形，四邊形是矩形，平面平面.若，則直線到面的距離為___________.13.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為__________．14．在通用技術課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質正四棱錐模型，并要求同學們將該四棱錐切割成三個小四棱錐.某小組經討論后給出如下方案：第一步，過點作一個平面分別交，，于點，，，得到四棱錐；第二步，將剩下的幾何體沿平面切開，得到另外兩個小四棱錐.在實施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形，若，，則的值為___________.四、解答題15．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，為棱上一點，為棱的中點，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點，是的中點，求證：平面平面；（2）是否存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.16．在四棱錐中，平面平面，是等腰直角三角形，，，，，是的中點，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．空間向量與立體幾何專題（答案）1．依題意，A選項，若，則可能，所以A選項錯誤.B選項，若，則與可能相交、異面、平行，所以B選項錯誤.C選項，若，則可能，所以C選項錯誤.D選項，由于，所以平面內存在直線，滿足，若，則，則，所以D選項正確.故選：D2．設該圓錐底面圓的半徑為，則，故，即，解得故選：B3．由題意得圓柱的高約為（cm），則何尊的體積（cm3）故選：D．4．軸截面如下圖，ABCD為正方形，設圓柱底面圓直徑，則球直徑，故圓柱表面積為，球表面積為，故它們的表面積之比為，故選：C5．連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內切球的表面積為，，解得球的半徑，設，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.6．根據題意作出圖形：設球心為，球的半徑．，，平面，三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．，，球的表面積為．故選：A．7．對于選項A，連接、交于點P，連接、交于點Q，連接、，因為是的中位線，所以，故A項正確；對于選項B，在正方形內如果存在一點Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的兩側，與平面相交，故B項錯誤；對于選項C，在正方形內如果存在一點Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面與平面相交于點，故C項錯誤；對于選項D，在正方形內如果存在一點Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的兩側，所以平面與平面相交，故D項錯誤．故選：A8．分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.9．連接，如圖：由正方體可知，因為平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確，B錯誤；由題意知為的中位線，所以，又,所以又平面，平面，所以平面，故C正確；若平面，BD1在平面BDD1B1中，則，進而，在中易知與不垂直，故D錯誤；故選：AC10．解：在中，因為，，，由余弦定理得，故A正確.過點M作AB的垂線，垂足為G，作平面ABC的垂線，垂足為H，過點M作PA的垂線，垂足為N，連接HG.因為二面角的大小為，所以，所以，又因為，所以，故B錯誤，點的軌跡是的角平分線，故C錯誤，設的角平分線為AQ，在中，由余弦定理得，由角平分線定理得，又因為，則，在中，所以，所以點M的軌跡長度為，所以D正確.故選：AD.11．解：由題可知，的中點即為的外接球的球心，設外接球的半徑為，則，得，因為，所以，鱉臑的體積，當且僅當時，；故A項正確，B項錯誤.因為三棱柱為直三棱柱，故平面，又平面，故，因為,所以平面，所以直線與平面所成角即為，；故C項正確；設鱉臑的內切球半徑為，由等體積法，得，所以，故D項正確.故選：ACD.12．以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設點，其中，，設平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，則，解得，，不合乎題意，A錯；對于B選項，若，可得，則點在平面內的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓的，所以，動點的軌跡長度為，B對；對于C選項，若平面，則，則，所以，點在底面的軌跡為線段，故點的軌跡長度為，C錯；對于D選項，因為平面平面，若平面，則點的軌跡為線段，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，則點到平面的距離為定值，又因為的面積為定值，則為定值，D對.故選：BD.13．圓柱底面積為，所以底面半徑r為3，且圓柱的高h為4，所以圓柱的側面積為.故答案為：.14．設球的半徑為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為.故答案為：.15．圓臺的表面積為，從而，，因此，解得（負值舍）．故答案為：3.16．依題意得，因為，所以異面直線與所成的角即或其補角，在中，，所以異面直線與所成角的余弦值為，故①錯誤．由于平面平面