關于連續系統的數字仿真第1頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第3章連續系統的數字仿真-離散相似法

控制系統的數字仿真就是控制系統的數學模型在數字計算機上求解的過程。從前一章可以看到，控制系統的動態模型一般是用常微分方程、一階常微分方程組(狀態方程)或傳遞函數來描述的。因此，要在數字計算機上進行這類系統的仿真，必須先將連續模型變換為離散化的模型。這一章主要介紹連續模型離散化的方法及其差分方程的求取，最后介紹仿真程序的設計。第2頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．1連續系統的離散化連續系統的響應是隨時間連續變化的，但是連續系統的解析解無法用數字計算機求出，只能求出其數值解。也就是說，只能得到連續響應曲線上的有限個點。為此，必須把連續系統離散化，得到差分方程，再用數字計算機求解。這就是把微分運算轉化為算術運算的過程。下面先討論線性定常系統的離散過程。設一線性定常系統為

式中：X為n×1維狀態向量；U為r×1維輸入向量；A為n×n維狀態矩陣；B為n×r維輸入矩陣；Y為m×1維輸出向量；C為m×n維輸出矩陣；D為m×r維傳遞矩陣。此系統的方框，如圖3．1所示。

第3頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六此系統的方框，如圖3．1所示。第4頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第5頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第6頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

由圖3．3所示的離散結構即可導出連續系統離散后的離散數學模型，這個模型通常為差分方程的形式。由于這個過程使得離散系統與連續系統相似，因此可以認為差分方程式的解序列就是連續系統運動的采樣值。這就是離散相似法。嚴格地講，系統輸出處的采樣開關后面也應加上再現環節，才能與原系統相似。但是在仿真時，用計算機也只能得到離散序列的解，所以輸出處的再現環節加與不加對于離散解序列都是一樣的。實際上輸出處的采樣開關加與不加也無所謂，只要認為離散后的系統與原系統在采樣點上的輸出值近似相等就行了。

第7頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六由香農定理可知，為使采樣后的信號能無失真地再現，采樣頻率比信號最高頻率要高兩倍以上(或采樣周期Ts≤0.5Tmin)，且加入的保持器應有如圖3．4所示的頻率特性。第8頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．1．1零階保持器

這是一種最常見的保持器，它的脈沖傳遞函數和頻率特性如圖3．5和圖3．6所示。第9頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第10頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第11頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第12頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．1．2一階保持器

一階保持器也稱外推器，它的脈沖傳遞函數和頻率特性如圖3．8和圖3．9所示。第13頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第14頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第15頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第16頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．1．3三角保持器

三角保持器是一種理想保持器，物理上不能實現，數學上也是不能實現的，除非它所再現的信號為一已知信號。這一點從下面的定義中可以看出。它的脈沖傳遞函數曲線和頻率特性曲線如圖3．11和圖3．12所示。第17頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第18頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第19頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

在實際中有時使用滯后一拍的三角保持器，它的脈沖傳遞函數曲線和頻率特性曲線如圖3．13和圖3．14所示。第20頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

經過三角保持器及滯后三角保持器再現后的函數如圖3．15和圖3．16所示。第21頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

從上面的保持器特性可以看出，實際保持器與理想保持器的特性總是有差別的，所以要想使保持器引起的失真足夠小，采樣頻率就要足夠高。也就是說，在仿真計算時，為了使結果準確，計算步距就得足夠小。這樣勢必要增加計算時間。為了使計算速度較快又不使誤差過大，通常在保持器后加一補償環節(也可加在保持器前)。保持器再現被采樣的連續信號時，這些信號一般都有相位移，而且再現信號同其被采樣的連續信號相比，都有所衰減。所以通常采用超前裝置進行補償。例如，當采用零階保持器再現信號時，再現后的信號要比被采樣的連續信號平均滯后T/2。故應采用超前半個周期的補償(即取c＝eTs/2)去抵消零階再現過程引入的滯后影響。在仿真中所采用的補償器的數學表達式形式一般為

C=λerTs(3-11)第22頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．2離散系統差分方程的求取在上一節中，已經敘述了怎樣由一個連續系統求出它的離散相似系統。有了這個離散相似系統，就可以求出連續系統的離散化數學模型。離散化數學模型是用差分方程表示的，它的求解方法如下。設線性定常系統的狀態方程描述如式(3-12)所示。

式中A、B均為常數陣。推導可得：第23頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第24頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第25頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第26頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六系統的離散解：

(3-23)

在推導上式的過程中未作任何近似的假設，該式是一種精確的采樣值計算公式。但是，當U(τ)是一個復雜的函數時，該式右端的積分是難以求得的。由于該積分的積分區間僅為T，當T較小時，一般來說U(τ)在這個積分區間的變化是不大的。因此，可以加入采樣及再現環節，以使U(τ)在積分區間內為一個簡單的特殊函數，從而使該積分計算容易進行。通常使用下面三種保持器作為再現環節。

第27頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六1.零階保持器第28頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六2.一階保持器第29頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3.三角保持器用與上述相同的方法，可以求出加三角保持器和滯后三角保持器時的系統差分方程。用各種保持器時的差分方程，詳見表3．1。第30頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第31頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六[例3．1]己知某控制系統框圖如圖3．17所示，求該系統的仿真模型，即差分方程。第32頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第33頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第34頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第35頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第36頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

如果把采樣開關保持器加在系統入口R處，則得到的離散相似系統框圖如圖3．19所示。第37頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第38頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第39頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六于是得到零階保持器時的差分方程：第40頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

由此可見，采樣器及保持器的位置不同，得到的差分方程也不相同。但應注意，無論離散-再現環節加到哪里，被離散再現的信號都應是狀態方程中的輸入量。

從保持器的定義式可以看出，零階保持器能無失真地再現階躍輸入信號，即當輸入信號為階躍函數時，導出的差分方程是精確的。而三角保持器能無失真地再現斜坡輸入信號。第41頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第42頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第43頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六[例3．2]求如圖3．21所示系統的差分方程。第44頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第45頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第46頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第47頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第48頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第49頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第50頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第51頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第52頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

對于許多控制系統，都可以把系統分解成由積分和慣性環節組成系統。因此，可以事先求出這兩個環節的差分方程的通用式，以后就不需要每次求解差分方程了。對于積分環節，如圖3.23所示。第53頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

對于慣性環節，如圖3.24所示。第54頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第55頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．3連續系統數字仿真程序設計前兩節講述了連續系統離散化及其差分方程的求取。有了系統的差分方程，就可以在計算機上編制仿真程序了。隨系統性質的不同，對仿真程序要求也不同，一般的要求是計算速度快、精度高、使用方便、通用性強等。但這些要求往往是相互矛盾的，所以具體到某一問題時，應根據其特性突出某一要求而犧牲另外一些要求。

第56頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

在一般情況下，仿真程序由以下幾個基本模塊構成：

(1)初始化程序塊；

(2)輸入參數程序塊；

(3)主運行程序塊；

(4)輸出仿真結果程序塊。仿真程序流程圖如圖3．25所示。下面分別討論這三個程序塊。第57頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第58頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．3．1初始化程序塊這個功能塊主要是對程序中所用到的變量、數組等進行定義，并賦以初值。在通用仿真程序里這個程序完成被仿真系統的結構組態。

這個程序塊的內容隨使用的程序設計語言的不同而不同，沒有統一的格式。本書所有的程序均使用C，matlab和VisualC++6.0作為程序設計語言。自20世紀90年代以來，隨著多媒體技術和圖像技術的蓬勃發展，可視化技術得到了廣泛重視，越來越多的計算機專業人員和非專業人員都開始研究并應用可視化技術。一般講，可視化技術包含兩個方面的含義：一是軟件開發階段的可視化，即可視化編程，它使編程工作成為一件輕松愉快、饒有趣味的工作；二是通過可視化窗口將不改變的參數輸入給計算機。在通用仿真程序中，可視化輸入參數程序塊是非常復雜的，該程序塊直接關系到人-機交互的方便性和程序的通用性。一般人們會花很大的精力來設計輸入參數程序塊。在后面的章節中將逐步介紹該程序塊的設計方法。第59頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．3．2輸出仿真結果程序塊該程序塊輸出仿真結果，它們可以是狀態變量、中間變量、輸出變量的仿真結果。輸出的形式總是數據表格或曲線的形式。下面介紹這兩種輸出程序的設計方法。在以后的程序中只寫出調用這兩個輸出仿真結果函數的語句，而不再列寫程序清單。1．打印數據函數PrintData()

一般要求打印數據函數能打印各變量的仿真數據及各數據對應的時間。由于仿真點數較多，輸出數據量較大，用戶不一定需要觀察每一步的數據。因此，往往時隔一定的間隔打印一個數據。下面的函數可打印1～4個變量(變量個數用VN表示)的仿真數據及其對應的時間，每隔IN點打印一個數據。并要求在調用的程序里把需輸出的變量值存放在數組Output[][]里，其中第一維下標表示第幾個變量，第二維下標表示該變量的第幾個仿真數據。LP、DT的意義表示計算步數和采樣周期。第60頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第61頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

2．顯示曲線函數Dispcurve()

該程序可以在顯示器上同時顯示l～8條響應曲線。橫軸為響應時間，縱軸為響應數值。要求在調用的程序里把需要輸出的變量值存放在數組Output[][]里，其中，第一維下標表示第幾個變量，第二維下標表示該變量的第幾個仿真數據。VN表示要顯示變量的個數，LP、DT的意義表示計算步數和采樣周期。第62頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第63頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第64頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．3．3主運行程序塊

這個程序塊用來求解被仿真系統的差分方程。所選用的仿真算法不同，得到的差分方程也不同，仿真精度也不一樣。不管怎樣，這個程序要忠實于原差分方程，它不能改變原差分方程的意義，對于初編程序者來說在這方面是很容易出錯的。從上一節可以看到，系統的仿真模型都是差分方程的形式。因為差分方程最容易用數字計算機求得數值解。差分方程的一般形式如式(2-8)所示。如果改變一下符號并寫成遞推計算的形式第65頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第66頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第67頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第68頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六[例3．3]設計例3．2所述的控制系統仿真程序中的主運行程序塊。取R為單位階躍函數，狀態變量初值為零。

第69頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第70頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第71頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第72頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

從上面的仿真程序設計過程中可以看出，由于串行計算的原因，三角保持器不是放在哪里都可以實現的。實際上，不只是三角保持器，有超前作用的其他保持器或加超前補償的零階、一階保持器也不是放在哪里都可以實現的，因為在有超前作用的保持器下，其差分方程的輸入項可能會需要k+1時刻的值。這樣，在系統的反饋支路與主支路求和點后的第一個環節入口處，不能加有超前作用的離散-再現環節。第73頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第74頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第75頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．4典型非線性環節的仿真程序設計

一般工業系統均存在非線性問題。例如，調節儀表的輸出可能存在飽和非線性，執行機構可能存在齒輪間隙非線性，還有些系統采用非線性調節器。因此，應當考慮非線性系統的仿真問題。

實際上，前面介紹的按環節離散化的仿真方法，可以很容易地推廣到具有典型非線性環節的非線性系統的仿真。只要事先編好這些典型非線性環節的仿真子程序，讓信號通過它再輸入到線性環節就行了。為了以后編程的方便，下面給出幾種典型非線性環節的仿真子程序。

第76頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六1．繼電器繼電器的非線性特性如圖3．29所示。圖中y0為繼電器常數，它的特性可用如下的數學表主式描述：當u＜0時，y＝-y0

當u≥0時，y＝y0。第77頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六2．有不靈敏區的繼電器具有不靈敏區的繼電器特性如圖3．30所示，圖中yo、c為常數。其數學表達式為當u≥c時，y＝y0

當|u|＜c時，y＝0；當u≤c時，y＝-y0第78頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．限幅器限幅器的特性如圖3．31所示，其數學表達式為當u＞c時，y=c

當|u|≤c時，y=u

當u＜-c時，y=-c式中：c為常數。第79頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六4．不靈敏區不靈敏區特性如圖3．32所示，圖中c為常數，其數學表達式為當u＞c時，y=u-c

當|u|≤c時，y=0

當u＜-c時，y=u+c第80頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六5．齒輪間隙非線性第81頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六6．具有死區和滯環的繼電非線性第82頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六[例3．4]某發電機勵磁系統框圖如圖3．35所示，試求URFF為單位階躍函數時系統的響應。第83頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第84頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第85頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第86頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六第87頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．5關于采樣周期(計算步距)和仿真時間的選擇

計算步距和仿真時間是兩個重要的仿真參數，特別是計算步距。如果選擇得不恰當，就可能造成較大的計算誤差，甚至可以使一個本來穩定的系統歪曲成一個不穩定的系統。計算步距不僅和被仿真的系統有關，還和仿真算法、精度要求等因素有關。因此，要在仿真計算之前準確地選好這兩個參數是件不容易的事情。第88頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六3．5．1計算步距的估計

計算步距可用式(3-71)估計

(3-71)式中：DT為計算步距；n為被控對象傳遞函數的階次；T為被控對象傳遞函數的時間常數。第89頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六

如果被控對象有若干個，則應以其中nT最小的為準。一般使用者按上述區間選擇一個適當的計算步距，其仿真結果是令人滿意的。一般來說，計算步距選擇的越小，計算精度就越高(但步距太小，也可能由于計算機的舍入誤差占了主導地位而降低了計算精度)，耗費的計算時間就越長；反之，就會導致計算精度差，計算時間短。但對于一般工程設計來說，最關心的是系統的穩定性，能夠大致觀察過渡過程曲線就可以了，對計算數據精確度的要求并不太高，所以只需采用試算的方法求計算步距即可。如果過渡過程曲線的第一個半波含有20到30個計算點，則說明計算步距選擇是恰當的。否則，可適當增大或減小計算步距，再試算。第90頁，共105頁，2022年，5月20日，10點28分，星期六[例3．5]某火力發電廠汽包水位控制系統采用單級三沖量調節方式，系統框圖如圖3．38所示。對此系統進行仿真，繪制蒸汽量D擾動時，水位