1、 主講宗序平概率論與數理統計 柯爾莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任蘇聯科學院院士.先后當選美,法,意,荷,英,德 等國的外籍院士 及皇家學會會員. 為 20 世紀最有影響的俄國數學家.俄國數學家 概率的公理化理論由前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫1933年建立. 1.3 概率的公理化定義 柯爾莫哥洛夫為開創現代數學的一系列重要分支作出重大貢獻. 他建立了在測度論基礎上的概率論公理系統, 奠定了近代概率論的基礎. 他又是隨機過程論的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 關于強大數定律、重對數律的基本工作; 1933年在概率論的基本概念一文中提出的概率論公理體系(希爾伯特第

2、6問題) 30年代建立的馬爾可夫過程的兩個基本方程; 用希爾伯特空間的幾何理論建立弱平穩序列的線性理論; 40年代完成獨立和的弱極限理論,經驗分布的柯爾莫哥洛夫統計量等; 在動力系統中開創了關于哈密頓系統的微擾理論與K系統遍歷理論; 50年代中期開創了研究函數特征的信息論方法, 他的工作及隨后阿諾爾德的工作解決并深化了希爾伯特第13問題用較少變量的函數表示較多變量的函數 ;60年代后又創立了信息算法理論;一個實數P ( A )與之對應, 且P(A)滿足 非負性： 規范性： 可列可加性：P(A)稱為事件 A 的概率。一、定義設 是隨機試驗T 的樣本空間，若能找到為兩兩互不相容事件，其中一個法則，

3、使得對于T 的每一事件A ,總有P(A)是事件A的函數，自變量為事件A，其稱(, ,)為概率空間.值域為0,1.定義域為AA二、概率的性質性質1 P()=0性質5.(加法公式) 對任意兩個事件A, B, 有 推廣：半可加性加法公式加法公式一般：半可加性右端共有項.加法公式例1 對任意兩個事件A, B, 有 BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABAB應用性質2例3 設A , B滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在什么條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解 最小值 最大值最大值在 時取得. 最小值在時取

4、得.例4一只口袋中有45只白球，5只黑球，今從中任取3只球，求其中有黑球的概率. 這個問題也可用如下的方法： 解 以A表示“取出的3只球中有黑球”, A i分別表示“取出的3只球中有i只黑球”, i=1, 2, 3, 顯然AA 1A 2A 3, 且A 1, A 2, A 3兩兩互不相容球全為白球” ，則表示“取出的三個性質6. (連續性) 對任意的單調事件組 有稱概率P是連續的。則稱m是下連續的。定義 對事件域上的非負集函數m，若對的非降的事件組，即有則稱m是上連續的。同理 對事件域上的非負集函數m，若對的非增的事件組，即m既是下連續的又是上連續的，則稱m是連續的。引理：m是上非負、規范的集函

5、數，則m具有可列可加性的充要條件是：（1）m具有有限可加性；（2）m在是下連續的。證明：（1）顯然成立。（2）設則且兩兩互不相容。由m的可列可加性，得由m的可列可加性，不難推出(i)(ii)兩兩互不相容，上式兩邊取極限m具有有限可加性，得令由m是下連續的，得性質6. (連續性) 對任意的單調事件組 有證明：由引理知P具有下連續性；另一方面，設由下連續性有即P具有上連續性。這個例子是歷史上有名的匹配問題。例7 把標有 1,2,3,4 的 4 個球隨機地放入標有1,2,3,4 的 4 個盒子中，每盒放一球，求至少有一個盒子的號碼與放入的球的號碼一致的概率解 設 A 為所求的事件設 Ai 表示 i 號球入 i 號盒， i = 1,2,3,4則例8某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數分別占全體市民人數的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙. 沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.解:設A,B