1、雙曲線學習指導一、學習目標1、了解雙曲線的標準定義，能根據已知條件求雙曲線的標準方程，并能初步應用2、了解雙曲線的幾何性質，如范圍、對稱點、頂點、漸近線、離心率等二、學法指導：掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質時要注重數形結合。一是結合 圖形理解標準方程中的參數 a、b、c、e 的幾何意義及相互關系；二是結合圖形理解雙曲線 的簡單幾何性質。應把雙曲線與上一節的橢圓進行對照類比學習，突出兩者的區別與聯系，準確掌握， 避免混淆。三、知識要點1雙曲線定義雙曲線的定義可以用數學語言描述為：集合M二pPFi - PFJ二2a,0 2a ，c0, a、c為常數則集合其中 F = 2c, a，

2、定義中的限制條件02a fl時，軌跡不存在（或不表示任何圖形）；當2 a二0時，點的軌跡是線段FF的垂直平分線.12（2）定義中的“絕對值”必不可少.若有“絕對值”,點的軌跡表示雙曲線的兩支；若 去掉“絕對值”,點的軌跡僅為雙曲線的一支.2.雙曲線的標準方程 雙曲線標準方程中“標準”的含義有兩層：其一是兩個焦點在坐標軸上,其二是兩個焦 點的中點與坐標原點重合。x2 y 2當焦點在x軸上時，雙曲線的標準方程為云-厲=1（a0，b0）y 2 x2當焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為葛-b2 =1（a0，b0）說明：（1）雙曲線的焦點在 x 軸上時， x2 項的系數為正數， y2 項的系數為負數，其

3、焦 點坐標為（土 c, 0），且a2 = b2 + c2 .；雙曲線的焦點在y軸上時，y 2項的系數為正數， x2項的系數為負數，其焦點坐標為（0, + c），且a2 = b2 + c2 .。（2）在雙曲線的標準方程中，a與b無大小之分，但ca0，cb0，且有c2 = a2 +b2雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的簡單幾何性質（見下表）可以類比橢圓的幾何性質理解掌握，它是求雙曲線的方程以及進一步研究雙曲線性質的基礎。標準方程X 2y 2=1 (a0, b0) a 2 b 2y 2 X 24=1 (a0, b0) a 2 b 2范圍x 三a, y g Ry 三a, x g R對稱性關于x、y軸成軸對稱

4、，關于原點成中心對稱頂點(a， 0)(a， 0)(0,a)(0, a)焦占八、八、(c, 0)( c, 0)(0,c )(0, c )軸實軸長2a，虛軸長2b離心率ce = (e 1)a漸近線by=土一 xaa尸土滬4、求雙曲線標準方程的方法1）求雙曲線的標準方程包括“定量”和“定位”。要求出雙曲線的標準方程，就要求 出a2和b2這兩個“待定系數”于是需要兩個獨立的條件，按條件列出方程關于a2和b2 的方程組。解得a2和b2的具體數值后，再按位置特征寫出標準方程，因此“定量”是指a、b、c等數值的確定；“定位”則是指除了中心在原點以外，判斷焦點在哪條坐標軸上，以便在使方程的右邊為1時，確定方程

5、的左邊哪一項為正，哪一項為負，同時也就確定了a2和b 2在方程中的位置。（2）求雙曲線方程一般可用待定系數法，其解題方法是先定型，再定量。解題步驟分 為：首先判斷曲線的類型，其次求出關鍵數據（即待定系數），最后寫出曲線方程。bx2 y 2（3）如果已知漸近線方程y= x，雙曲線方程可設為一 j = h，通過求出九確aa 2 b2定雙曲線方程。四、要注意的幾個問題注意弄清定義中的限制條件教材中對雙曲線定義如下：我們把平面內與兩個定點F ,F的距離的差的絕對值等于常12數（小于| FF I ）的點的軌跡叫做雙曲線.定義中有三個“關鍵詞” “小于丨FF丨”、“絕1 2 1 2對值”、“常數”；這三個

6、關鍵詞始終伴隨著雙曲線，在解題或命題時，應首先考慮.（1）.關于“小于Iff丨”若將“小于Iff丨”改為“等于Iff丨”其余條件1 2 1 2 1 2不變，則曲線變為兩條射線；若將“小于Iff I”改為“大于Iff |”其余條件不變,1 2 1 2 則曲線就不存在.（2）. 關于“絕對值”：若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則點的軌跡只有一支（左支或右支）.(3). 關于“常數”：若“常數”等于零，其余條件不變，則點的軌跡是線段 FF 的中12 垂線.當然以上還有前提是：在平面內，若去掉“在平面內”，則就是空間圖形了，不是中學 所研究的范疇例若點F (c, 0), F (c, 0)(c0,且c

7、為常數)為兩個不同定點，且點M滿足|MF |1 2 1|MF |=2a(2a20, a為常數)，求點M的軌跡.2分析 抓住雙曲線定義中的三個“關鍵詞”，不難分為2a2c, 2a = 2c, 0V2aV2c及 2a = 0四種情況討論.解：若2a2c，點M的軌跡不存在；若2a=2c，點M的軌跡是以點F為端點的射線；2若0V2aV2c，點M的軌跡是以點F、F為焦點的雙曲線的右支，這時的雙曲線方程12為乂 亠=仏 0)；a 2 c 2 - a 2若2a=0,點M的軌跡是線段FF的垂直平分線.12 點評：雙曲線定義是用非常精煉的數學語言表達的，必須準確把握其中每一個字、詞以 及限制條件.注意準確判定焦

8、點位置在研究雙曲線的性質時，首先應確定焦點的位置，然后寫出a、b的值，從而很容易得 到頂點坐標、漸近線方程等，因此準確確定焦點位置是關鍵.x2 y 2y 2 x2首先，將雙曲線方程化為標準方程，即一-=1或-廠=1;a 2 b2a 2 b2其次，若x2的系數是正數，則焦點在x軸上；若y 2的系數是正的，則焦點在y軸上.注意雙曲線的頂點個數 曲線的頂點是指這條曲線與它的對稱軸的交點.因為雙曲線的兩條對稱軸，其中虛軸與雙曲線不相交，所以雙曲線的頂點只有兩個，即實軸的兩個端點.橢圓與雙曲線不同，它有 四個頂點注意實軸長、虛軸長和焦距的關系在雙曲線標準方程中，正數a、b與半焦距c關系是a2 + b2二

9、c2，其中b是為了化簡 方程而引入的，但是，它在雙曲線的性質中有著明確的幾何意義.這一關系式可以聯想到定 義中“常數小于I FF I ”即c最大，也可以聯想到勾股定理來記憶.由于橢圓中有關系式12b2 + c2二a2，所以不要將它們混淆了.注意雙曲線中的常量與變量雙曲線的實軸長2a,虛軸長2b,焦距長2c,離心率e，以及a2 + b2 = c2都與坐標系 的選取無關；對于焦點坐標、頂點坐標、對稱軸、漸進線、準線，如果坐標改變了，它們也 將隨之改變.注意雙曲線漸近線的求法 雙曲線的漸進線是雙曲線的一個重要性質，它決定了雙曲線的變化趨勢在畫雙曲線時 經常要先確定漸近線的位置，在解題時也經常要涉及到

10、漸近線，因此，快速求出漸近線顯得 尤為重要對于 焦點在 x 軸上 ，雙曲線雙曲線 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document x2y 2b對于 焦點在 x 軸上 ，雙曲線雙曲線-=1的漸近線方程為y = x HYPERLINK l bookmark8 o Current Document a 2 b2a HYPERLINK l bookmark20 o Current Document y 2 x2a-=1 （ a 0,b 0 ）的漸近線方程是y = x .容易記錯，其實，通過觀察可知, HYPERLINK l bookmark

11、18 o Current Document a 2 b2b只要將標準方程中右邊“1”換成“0”就可得到其漸近線方程.對 于 雙 曲 線 的 對 稱 軸 平 行 于 坐 標 軸 的 情 況 ， 那 么 先 將 方 程 化 為(x - x )(x - x )2(y - y )20 0a 2b 2(x - x ) 20 -a2b2的形式，再將方程右邊“1”換成“0”即可求出兩條漸近線.7、注意雙曲線與橢圓的聯系與區別雙曲線和橢圓的知識結構相似：定義相似：只一字之別（橢圓是“和”、雙曲線是“差”）；方程形式相似：只一號之別（橢圓是“ + ”雙曲線是“一”）；對稱性相同： 都關于 x 軸、 y 軸、原點對稱，是有中心的圓錐曲線，所以雙曲線和橢圓都叫做有心圓錐曲 線.雙曲線和橢圓也有明顯區別:雙曲線和橢圓的形狀是不一樣的,雙曲線是兩條曲線， 而