1、自動控制原理 自動控制理論第1章 緒論第2章 控制系統建模第3章 線性系統的時域分析法第4章 線性系統的根軌跡法第5章 線性系統的頻率法第6章 控制系統的校正第7章 非線性控制系統分析第1章 緒論自動控制發展簡介自動控制系統的主要任務與基本要求自動控制的基本原理與方式開環控制閉環控制復合控制自動控制系統的分類自動控制系統實例溫度控制系統速度控制系統位置控制系統什么是自動控制？其研究內容有哪些？所謂自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，通過外加的設備或裝置（稱為控制器），使機器、設備或生產過程（稱為被控對象）的某個工作狀態或參數（稱為被控變量）自動地按照預定的控制目標運行。自動控制原理研究的是

2、自動控制系統中的普遍性問題，首先研究其組成和基本結構，然后建立控制系統的數學模型，在數學模型的基礎上便可以計算各個信號之間的定量關系，進而分析出自動控制系統可否實現預定的控制目標，并研究怎樣提高自動控制系統的控制效果。1.1 自動控制發展簡介古代自動控制裝置經典控制理論現代控制理論智能控制理論古代自動控制裝置我國西漢時代（公元前200多年）發明的指南車東漢時期的張衡在公元132年發明的候風地動儀北宋時期（公元1068-1089年）蘇頌和韓公廉制成了一座水運儀象臺，它是一個根據被調節量偏差進行調節的閉環非線性自動調節系統古代羅馬人依據反饋原理構建的水位控制裝置，至今仍在抽水馬桶的水位控制中使用1

3、788年英國人瓦特（Watt）發明的控制蒸汽機速度的離心式調速器，在自動控制裝置中最具代表性，也對后世的自動控制技術產生了深遠的影響1. 經典控制理論英國數學家勞斯（Routh）和德國數學家胡爾維茨（Hurwitz）分別在1877年和1899年獨立地建立了直接根據代數方程的系數判別系統穩定性的準則1932年，美國物理學家奈奎斯特（Nyquist）根據控制系統的頻域特性，提出了一種根據開環系統的穩態正弦輸入響應來判別閉環系統穩定性的方法伯德（Bode）于1945年提出了用對數頻率特性曲線分析反饋控制系統的方法以美國數學家維納（Wiener）1948年出版的名著控制論-關于在動物和機器中控制和通訊

4、的科學為標志，作為一門獨立的科學理論產生。同年，美國科學家伊萬斯（Evans）創立了根軌跡分析方法2. 現代控制理論1956年，美國數學家貝爾曼（Bellman）提出了離散多階段決策的最優性原理，創立了動態規劃1956年,前蘇聯科學家龐特里亞金（Pontryagin）提出極大值原理最優控制1959年美國數學家卡爾曼（Kalman）等人提出了著名的卡爾曼濾波器20世紀70年代瑞典控制理論學者奧斯特隆姆（Astrom）和法國控制理論學者朗道（Landau）在自適應控制理論和應用方面作出了貢獻。3. 智能控制理論60年代初期，史密斯（Smith）提出采用性能模式識別器來學習最優控制方法的新思想196

5、5年，美國的扎德（Zadeh）創立了模糊集合論，為解決復雜系統的控制問題提供了強有力的數學工具1966年門德爾（Mendel）首先提出了“人工智能控制”的概念1971年，傅京遜首次正式提出智能控制這個新興的學科領域。1974年，英國工程師曼德尼（Mamdani）將模糊集合和模糊語言用于鍋爐和蒸汽機的控制，取得良好的控制效果。80年代中后期，神經網絡的研究獲得了重要進展，神經網絡理論和應用研究為智能控制的研究起到了重要的促進作用。1.2 自動控制系統的主要任務與基本要求自動控制系統的要求應由自動控制所需完成的主要任務決定1.2.1 自動控制的主要任務自動控制的主要任務就是在沒有人直接參與的情況下

6、，應用控制器自動地、有目的地操縱被控對象，使得被控變量能夠按期望的規律變化進而達到預期的目的。被控對象-要進行控制的受控客體。它可以是一種設備，也可以是某種過程被控變量-是一種被測量和被控制的量值或狀態。系統-由一些相互聯系、相互制約的環節或部件組成，并且具有一定功能的整體，每個系統都有輸入量和輸出量控制器-作用于被控對象的設備或裝置控制系統-含有控制器和被控對象的系統1.2.2 自動控制系統的基本要求1. 穩定性如果被控變量的實際值與期望值的偏差能隨時間增長逐漸減小并趨于恒定，則系統就是穩定的時間偏差2. 快速性和平穩性快速性是指要求控制系統盡可能快地完成控制任務，可以用過渡過程所需時間來衡

7、量；平穩性是指動態過程振蕩的振幅和頻率，即被控變量圍繞給定值擺動的幅度和次數曲線所對應控制系統快速性優于所對應控制系統，但平穩性次之時間輸出給定值3. 準確性準確性可用穩態誤差衡量，它是在動態過程結束后，期望的穩態輸出值與實際的穩態輸出值之差。誤差越小，系統的控制精度越高，準確性越好。穩態誤差也是衡量控制性能優劣的一項重要指標，往往決定控制任務的實現，因此在設計時應盡可能地減小穩態誤差。在研究和設計控制系統時，上述性能常常相互矛盾：如要求穩態精度很高時，往往導致動態性能的惡化，甚至不穩定；為保證控制系統的穩定性，可能會犧牲快速性。所以在設計控制系統時，一般需要在各性能之間進行折中考慮。1.3自

8、動控制的基本原理與方式-開環控制、閉環控制和復合控制1.3.1 開環控制開環控制方式是指控制裝置與被控對象之間只有順向作用而沒有反向聯系的控制過程，按照這種方式組成的系統稱為開環控制系統1. 按給定值控制作用信號是單方向的，形成開環，這是所有開環系統的基本特征例如，電爐溫度控制系統就屬于按給定值控制的開環系統控制系統的任務：保持電爐溫度恒定在給定值被控對象被控變量溫度T工作原理：手柄給定 調壓器電壓 電阻絲電流 爐溫 電爐電阻絲調壓器220V手柄爐門2. 按擾動控制測量裝置先對擾動進行測量，然后利用得到的擾動值，通過執行裝置修正控制作用，補償擾動對被控變量的不利影響擾動作為控制系統的輸入量，從

9、輸入端到輸出端來看，也僅有順向作用而沒有反向聯系，因此系統仍然是開環控制補償前提：擾動是可測量的被控對象擾動被控變量執行裝置測量裝置例如，水位高度控制系統就屬于按擾動控制的開環系統被控對象被控變量工作原理：Q2 閥2 杠桿閥1 Q1 無法補償壓力變化閥1閥2杠桿Q2Q1HP水槽水槽閥2水位高度H閥1杠桿1.3.2 閉環控制1. 反饋控制原理反饋-把輸出量（被控變量的實際值）回送到輸入端，并與參考輸入進行比較的過程。如果是參考輸入與回送的輸出量相減，稱為負反饋；如果是相加，則稱為正反饋。反饋控制-就是采用負反饋并利用偏差信號進行控制的過程。實質就是利用偏去控制偏差人在日常生活中的許多活動都體現反

10、饋控制的原理。例如我們在開門時，控制手移動到門把位置的過程工作原理：門把的位置是手運動的參考輸入，首先我們要用眼睛不斷目測門把與手的位置，并將位置信息送給大腦（反饋），然后由大腦判斷手與門把的距離（產生偏差信號），并根據偏差的大小發出控制手移動的命令（控制作用），手的移動逐漸使門把與手的距離（偏差）減少，直到偏差減小為零，手便可移動到門把的位置。形成閉合回路即閉環眼睛大腦手輸出參考輸入（門把位置）（手位置）眼睛工作原理：擾動轉速 測速發電機TG輸出電壓 放大器輸出電壓 電機電樞電壓 轉速比較器負反饋閉環控制前向通路反饋通路2. 閉環控制系統的基本組成與主要信號1) 測量元件：檢測被控制的物理量

11、并轉換為所需的信號。如果這個物理量不是電量，一般需要傳感器將其轉換為相應的電信號，例如測速發電機等。2) 給定元件：給出與期望輸出相對應的參考輸入量，例如電位器等。3) 比較元件：把測量元件檢測的被控變量實際值與給定元件給出的參考輸入進行比較，得出兩者的偏差。4) 放大元件：即放大器，其職能是對偏差信號進行放大，以驅動執行元件對被控對象產生控制作用。由于偏差信號一般較小，難以直接驅動較大功率的執行元件，因此許多控制系統都需要放大元件，常用的有電壓放大、功率放大。5) 執行元件：用來直接控制被控對象，使被控變量產生變化。6) 校正元件：亦稱補償元件，是結構和參數便于調整的元件，以串聯或反饋的方式

12、連接在系統中，以改善系統的性能。1) 輸入信號：控制系統的參考輸入量，常用r(t)表示，被控變量應該按照輸入信號的規律變化。2) 輸出信號：控制系統的被控變量隨時間變化的信號，常用c(t)表示。3) 主反饋信號：是輸出信號的某種函數關系（如正比），且量綱與輸入信號相同的信號，常用b(t )表示。4) 偏差信號：輸入信號與主反饋信號的差，常用e(t )表示。5) 誤差信號：輸出信號與期望輸出信號的差。誤差反映了控制系統的精度，常用e(t )表示。廣義而言誤差包含偏差的概念，偏差信號也被認為是從輸入端定義的誤差信號。6) 擾動信號：使被控變量產生不應有的變化的信號，常用n(t )表示。擾動信號往往

13、會導致被控變量出現誤差（不利影響）。3. 閉環與開環控制系統的比較開環控制系統優點: 結構簡單，易于設計與實現，成本低廉，工作穩定，當擾動信號能預先知道或可測量時，控制效果較好；缺點: 不能自動修正被控變量的偏差，系統的元件參數變化以及外來的未知擾動對控制精度影響較大。閉環控制系統優點: 具有自動修正被控變量出現偏差的能力，也可以修正元件參數變化及外界擾動引起的誤差，控制精度較高；缺點: 被控變量可能會出現振蕩，甚至發散以至于系統不能正常工作。分析和設計都較為復雜。1.3.3 復合控制反饋控制只有在輸入信號和擾動信號作用在被控對象并產生影響后才能做出控制。前饋控制能在被控對象還沒有產生影響前就

14、做出控制，即在偏差產生之前就先糾正偏差，它是對系統輸出的影響進行預先補償的一種措施，其信號流向為順向不構成回路，因此前饋控制是開環控制。前饋通路一般由對輸入信號的補償裝置或對擾動信號的補償裝置組成，分別稱為按輸入前饋補償的復合控制和按擾動前饋補償的復合控制。廣義被控對象包含了執行元件、被控對象和測量元件1.4 自動控制系統的分類連續線性定常控制系統恒值控制系統、隨動控制系統程序控制系統非線性控制系統按控制方式可分為開環控制系統、閉環控制系統、復合控制系統；按輸入信號變化規律可分為恒值控制系統、隨動控制系統、程序控制系統；按其數學模型可分為線性系統和非線性系統、定常系統和時變系統、集中參數系統和

15、分布參數系統、確定性系統和不確定性系統等；按元件類型可分為機械系統、電氣系統、機電系統、液壓系統、氣動系統、生物系統等；按系統內部的信號特征可分為連續系統和離散系統；按系統的功能可分為溫度控制系統、壓力控制系統、位置控制系統等。1.4.1 連續線性定常控制系統可以用線性定常微分方程描述為：式中，c(t )是被控變量；r (t )是參考輸入；系數a0, a1, an, b0, b1, , bm 都是常數，故稱定常系統。1. 恒值控制系統參考輸入是一個常值，要求被控變量也等于常值，故又稱為調節系統。分析和設計的重點在于系統的抗干擾性能。需要強調指出的是，恒值控制系統的參考輸入并不是絕對不變的，它可

16、以隨環境、生產條件的變化而重新給定，但是一經給定后，控制系統就應該使被控變量與給定的參考輸入保持一致。例如房間內的空調、直流電動機負反饋控制系統等。在工業控制中，如果被控變量是溫度、壓力、流量、液位等生產過程參量時，這種控制系統則稱為過程控制系統，它們大多都屬于恒值控制系統。2. 隨動控制系統參考輸入是預先未知的隨時間任意變化的函數，要求被控變量以盡可能小的誤差跟隨參考輸入的變化，故又稱為跟蹤系統。如果被控變量是機械位置或其導數時，則稱之為伺服系統。對隨動控制系統而言，擾動的影響是次要的，控制系統分析、設計的重點在于被控變量跟隨的快速性和準確性。如函數記錄儀，電壓跟隨器、高射炮的自動瞄準系統、

17、雷達的自動跟蹤系統等。3. 程序控制系統當參考輸入是預先已知的隨時間變化的函數時，要求被控變量迅速、準確地加以復現，控制作用將使得被控變量按預定的規律（程序）變化，這種系統稱為程序控制系統。程序控制系統是預先已知的時間函數，而隨動控制系統是未知的任意時間函數。例如，數字程序控制機床、有全自動洗衣機、電腦繡花機等。1.4.2 非線性控制系統在控制系統中，只要有一個元件的輸入-輸出特性是非線性的，則此系統就稱為非線性控制系統。一般用非線性微分方程來描述特點是系數與變量有關，或者方程中含有變量及其導數的高次冪或乘積項嚴格說來實際的控制系統都含有程度不同的非線性元件，如放大器和電磁元件的飽和特性，運動

18、部件的死區、間隙、摩擦特性等。線性系統模型的建立只是在真實的系統中，某些非線性被人們用線性關系代替了，另外一些非線性則被忽略掉了。非線性控制系統由于在數學處理上較為困難，迄今為止，仍沒有統一的方法。對非線性程度不太嚴重的元件，一般采用在一定范圍內線性化的處理方法，可以將其近似為線性系統。早期的經典非線性控制方法主要包括相平面法和描述函數法。新的非線性系統控制方法，包括反饋線性化、反推設計法和滑模變結構控制等。1.5自動控制系統實例溫度控制系統速度控制系統位置控制系統1.5.1 溫度控制系統工作原理： 爐溫 放大器1輸出 放大器2輸出 電機反轉 調節閥開度 煤氣進量 爐溫恒值控制系統控制系統的任

19、務：保持煤氣爐溫度恒定在給定值。被控變量：爐溫T。給定元件：給定電位器。擾動：環境溫度、煤氣壓力等。被控對象：煤氣爐。測量元件：熱電偶。比較元件：放大器1和給定電位器的連接電路。執行元件：電動機、調節閥。1.5.2 速度控制系統工作原理：蒸汽機轉速套筒下滑杠桿作用閥門開度 進汽量 蒸汽機轉速 恒值控制系統控制系統的任務：保持蒸汽機的轉速n 在期望值附近。被控變量：蒸汽機的轉速n。給定元件：給定裝置。執行元件：閥門。擾動：負載、蒸汽壓力等。被控對象：蒸汽機。測量元件：圓錐齒輪、飛球裝置。比較元件：套筒。1.5.3 位置控制系統工作原理：操縱桿i 橋路輸出放大器電機反轉 減速器 船舵o 隨動控制系

20、統控制系統的任務：使船舶舵角位置o 跟蹤操縱桿角位移i 的變化。被控變量：船舵角位置o。給定元件：操縱桿。執行元件：電動機、減速器被控對象：船舵。測量元件：電位器組。比較元件：電位器組、橋式電路。第2章 控制系統建模建模的一般方法拉氏變換與傳遞函數動態結構圖及其等效變換信號流圖及梅遜公式數學模型：描述被控對象輸入和輸出之間量化關系的數學表達式靜態數學模型：系統中各變量隨時間變化緩慢，以至于它們對時間的變化率可以忽略不計（變量的各階次導數為零）動態數學模型：描述變量各階次導數之間關系的微分方程，其中各變量隨時間的變化率不可以忽略（變量的各階次導數不為零）建模：獲得數學模型的過程經典控制的數學模型

21、主要采用輸入輸出的描述方法（外部描述），現代控制則常用表示系統內部狀態的變量描述（內部描述）不同的控制系統可能具有完全相同的數學模型，同一個物理系統也可以用不同的數學模型表示。建模一旦完成，對控制系統的量化分析主要針對數學模型，而不再涉及實際系統的具體性質、特點。常用數學模型：微分方程（時域）、傳遞函數（復域）、頻率特性（頻域）、動態結構圖與信號流圖2.1微分方程建模的一般方法-機理分析法2.1.1 線性元件的微分方程建立元件微分方程的一般步驟是： 確定元件的輸入和輸出變量。 根據元件遵循的物理（或化學等）定律，列寫相應的微分方程。 消去中間變量。 標準化，將與輸入有關的各項放在等號的右邊，與

22、輸出有關的各項放在左邊，方程兩邊變量的導數按降冪次序排列。例2-1 建立如圖所示的RLC無源電路的微分方程。其中ur(t)為輸入，uc(t)為輸出。解：設RLC電路的回路電流為i(t)，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 例2-2 圖示為彈簧-質量-阻尼器機械位移系統。建立質量m以外力F(t)為輸入（重力不計），位移y(t)為輸出的微分方程。解：根據牛頓第二定律有F1(t)為阻尼器的阻力；F2(t)為彈簧的彈力。 f為阻尼系數；k為彈性系數。比較兩式可以看出，RLC無源電路和彈簧-質量-阻尼器機械位移系統的微分方程結構相同，稱這種具有相同微分方程結構的元件或系統為相似系統。相似系統揭示了不同物理現

23、象間的相似關系，便于我們使用一個簡單系統模型去研究與其相似的復雜系統。例2-3試列出圖示電樞控制的他勵直流電動機的微分方程，電樞電壓 ua(t)為輸入，電動機轉速m(t)為輸出。其中Ra，La分別為電樞電路的電阻和電感；勵磁磁通為常值。解：設電樞回路電流為ia，電壓平衡方程為電樞電阻Ra電感LaEa是電樞反電勢 Ce是反電勢系數電磁轉矩方程為 Cm是電動機轉矩系數，Mm(t)是電動機轉矩。電動機軸上的轉矩平衡方程為fm是電動機和負載折算到電動機軸上的粘性摩擦系數，Jm是電動機和負載折算到電動機軸上的轉動慣量，Mc(t)是折合到電動機軸上的總負載轉矩。消去中間變量ia (t)，Ea及Mm(t)，

24、可得微分方程若La很小，可以忽略不計，則上式可以簡化為Tm= Ra Jm /( Ra fm + Ce Cm)是電動機機電時間常數，K1= Cm /( Ra fm + Ce Cm)，K2= Ra /( Ra fm + Ce Cm)是電動機傳遞系數。若Ra 和 Jm 也忽略不計，則可簡化為此時，電動機的輸出轉速m(t)與輸入電樞電壓ua(t)成正比，電動機可作為測速發電機使用。2.1.2 控制系統的微分方程控制系統是由若干元件組成的，所以可以分兩步來建模：第一步先將系統分解為各個元件（環節），并寫出它們的輸入輸出數學表達式；第二步再對各式聯立，消去中間變量就可獲得描述整個系統的輸入輸出關系的微分方

25、程。例2-4建立圖示速度控制系統的微分方程。參考輸入為ui，輸出是轉速。解：控制系統由給定電位器、運算放大器1（比較作用）、運算放大器2（RC校正網絡）、功率放大器、直流電動機、測速發電機、減速器等元件構成。分別列寫各元件的微分方程：速度控制系統原理圖運算放大器1：參考輸入電壓 ui 和反饋電壓 ut 在此比較，產生偏差電壓并進行放大，故有K1 = R2/ R1 是運算放大器1的比例系數。運算放大器2：RC校正網絡有K2 = R2/ R1是運算放大器2的比例系數， = R1C是微分時間常數。功率放大器：對晶閘管整流裝置，若忽略控制電路的時間滯后，有 K3為比例系數。直流電動機：根據上例可得Tm

26、，Km，Kc，Mc是考慮減速機和負載后，折算到電動機軸上的等效值。減速機：設減速比為i，則有測速發電機：因為輸出電壓與轉速成正比，故有 Kt為測速發電機的比例系數。根據以上各式消去中間變量u1，u2，ua，ut，m，整理可得Tm=(i Tm +K1 K2 K3 Km Kt) / (i +K1 K2 K3 Km Kt)；Kg= K1 K2 K3 Km / (i +K1 K2 K3 Km Kt)；Kg= K1 K2 K3 Km / (i +K1 K2 K3 Km Kt)；Kc= Kc / (i +K1 K2 K3 Km Kt)。上式即為速度控制系統的微分方程，可用于研究給定電壓為ui，或有負載擾動

27、轉矩Mc時，控制系統的動態性能。2.1.3 線性系統的基本特征能用線性微分方程描述的元件或系統，稱為線性元件或線性系統。線性系統的重要特征就是滿足疊加定理，即具有可疊加性和齊次行。 例如系統的線性微分方程為疊加性：設r(t)= r1(t)，輸出解c(t)= c1(t)，當r(t)= r2(t)時，輸出解為c(t)= c2(t)，易證上式滿足疊加性，即當r(t)= r1(t)+ r2(t)時，輸出c(t)= c1(t)+ c2(t)。這說明兩個輸入信號同時作用在控制系統所得到的輸出，等于各個信號單獨作用時得到的輸出之和。齊次性：若 r(t)= k r1(t)，k 為常數，易證上式的輸出必為c(t

28、)= k c1(t)。這說明參考輸入增大若干倍時，系統輸出將增大同樣的倍數。疊加定理給線性系統的分析和設計帶來了方便。如果有幾個輸入信號（如給定輸入和擾動輸入）同時作用于系統，可以將這些信號單獨作用（其它輸入可以認為是零），分別求出相應的輸出，再將這些輸出疊加即得這些信號共同作用的輸出解。此外，輸入信號可以只取單位值1，實際輸出只要乘以相應的倍數即可，從而簡化了分析過程。2.1.4 非線性系統的線性化常用的線性化方法為小偏差法。考慮非線性函數：設工作點為A(x0, y0)，若離A的增量x充分小，以至于可用直線AC代替曲線AB，此時x與y成線性關系，這種線性關系與原非線性關系f (x) 的誤差取

29、決于x，x越小，誤差越小。將 f (x) 在x0附近展開成泰勒級數忽略x2及以上的高次項令 y = y f (x0)，即可得在工程應用中，如果非線性微分方程中的變量只在某工作點的附近作微小變化，且非線性函數在工作點附近連續可導，一般可采用線性化的方法。需要指出的是，因 f(x0) 會隨 x0 的不同而變化，因此線性化后的微分方程，會隨工作點的不同而改變。例2-5 設鐵芯線圈電路如圖(a) 所示，鐵芯線圈的磁通與線圈的電流i的關系如圖(b) 所示，建立以 ur 為輸入，i 為輸出的微分方程模型。線性化方程解：線圈的感應電動勢為電壓回路方程為由圖(b)知，d(i)/di是電流 i 的非線性函數，將

30、 (i) 在 i0 處展開為略去高階導數項有令 ，并略去可得上式代入電壓回路方程，得鐵芯線圈在工作點i0的增量線性化微分方程為2.2 拉氏變換與傳遞函數拉氏變換的定義及相關性質、定理用拉氏變換求解微分方程傳遞函數定義、性質及典型環節的傳遞函數2.2.1 拉氏變換的定義對函數 f (t)，t 為實變量，如果線性積分（s = + j為復變量）存在，則稱其為函數 f (t) 的拉氏變換。變換后的函數將是復變量 s 的函數，一般記為 F (s)，或L f (t)，即通常稱 F (s) 為 f (t) 的象函數，而 f (t) 為 F (s) 的原函數。相應的定義拉氏逆變換為拉氏變換拉氏逆變換2.2.2

31、 拉氏變換的性質與定理1. 線性性質f 1(t) 和 f 2(t) 的拉氏變換分別為 F1(s) 和 F2(s)，a，b 為常數2. 微分定理f (0)，f (0)，f (n-1)(0)為函數 f (t) 及其各階導數在 t = 0時的值。當f (0) = f (0) = = f (n-1)(0) = 0時，則有3. 積分定理f (-1) (0)，f (-2)(0)，f (-n)(0) 為函數 f (t) 及其各重積分在 t = 0 時的值。當 f (-1) (0) = f (-2)(0) = = f (-n)(0) = 0 時，則有4. 終值定理如果 L f (t) = F (s)，且 sF

32、 (s) 的所有極點全在 s 平面的左半部，即 sF (s) 在 s 的右半平面及虛軸上解析，則有5. 初值定理如果L f (t) = F (s)，并且 存在，則有6. 位移定理應用時要 注意條件2.2.3 用拉氏變換求解微分方程用拉氏變換求解微分方程是工程中常用的方法，具體求解的步驟如下： 對微分方程中的各項做拉氏變換（要注意各變量的初值），將微分方程轉化為以復數 s 為變量的代數方程。 根據上一步得到的代數方程解出系統輸出的拉氏變換表達式。 對系統輸出的拉氏變換表達式進行拉氏逆變換，即可得到微分方程的解。設系統輸出的拉氏變換為C(s)，其表達式一般為a1，a2，an 和 b0，b1，b2，

33、bm 均為常實數，m，n為正整數，且有 m n對C(s)的分母多項式作因式分解A(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)s1，s2，sn為方程A(s)=0的根，即C(s)的極點（1）A(s)=0 無重根。展開為部分分式之和di 是待定常數，稱為C(s)在極點 si 處的留數取拉氏逆變換得輸出的解為（2）A(s)=0有重根。設 s1 為 m 重根，sm+1，sm+2，sn 為單根，將C(s)展開為d1，dm 可根據下式確定：取拉氏逆變換得輸出的解為例2-6 設定常微分方程為輸入為單位階躍函數，即 u(t)=1(t)，初始條件為y(0)=-1，y(0)=2，求微分方程的解。解：先對微分方程的各

34、項進行拉氏變換可得代入初始條件求得令s(s2+3s+2)=0，得方程的根為：s1=0，s2=-1，s3=-2，沒有重根，故Y(s)用部分分式可展開為取拉氏逆變換可得微分方程的解為2.2.4 傳遞函數的定義與性質1. 傳遞函數的定義定義：控制系統的傳遞函數G(s)是線性定常系統在零初始條件下，輸出c(t)的拉氏變換C(s)與輸入r(t)的拉氏變換R(s)之比。傳遞函數可以有量綱和單位，即輸出變量的單位與輸入變量的單位之比。線性定常系統零初始條件下拉氏變換為故其傳遞函數為例2-8 求出RLC電路的傳遞函數G(s)= Uc(s)/Ur(s)，已知其微分方程為解：在零初始條件下對微分方程取拉氏變換可得

35、根據定義，傳遞函數為2. 傳遞函數的性質主要性質：（1）傳遞函數只適用于線性定常系統，是線性定常系統的復數域數學模型，它與時間域的數學模型線性定常微分方程一一對應，各個系數對應相等。（2）傳遞函數表示系統傳遞、變換輸入信號的能力，反映系統本身的性能，由傳遞函數自身的結構和參數決定，與輸入信號的形式無關。（3）傳遞函數通常是復變量 s 的有理分式，所有系數均為實數，其分子多項式的次數 m 小于等于分母多項式的次數 n，即 m n。這主要是因為實際可物理實現的系統或元件通常具有慣性及能源有限的緣故。（4）傳遞函數是系統的外部描述，不能反映系統內部物理結構的信息，故不同的物理系統是可以具有相同形式傳

36、遞函數的；另一方面，對同一系統，如果取不同的物理量作輸入或輸出時，其傳遞函數也不相同。（5）傳遞函數的拉氏逆變換是輸入為單位脈沖函數 (t) 時的響應c(t)，即脈沖響應。因為此時有R(s)=1，而 c(t) =L -1C(s) = L -1G(s) R(s)=L -1G(s)。3. 傳遞函數的零極點表示形式傳遞函數的分母多項式等于零（A(s)=0）即是系統的特征方程式，它的最高次數 n 就是系統的階數。特征方程 A(s)=0 的根 p1，p2，pn 稱為傳遞函數的極點；分子多項式等于零（B(s)=0）得到的根 z1，z2，zm 稱為傳遞函數的零點。因為分子、分母多項式的系數都是實數，故傳遞函

37、數若具有復數的極、零點，它們必然是共軛出現的。 Kr 稱為根增益或根放大系數。零、極點對控制系統性能有極大的影響，常用零極點分布圖表示，在復平面用符號“”標示零點的位置，用符號“”標示極點的位置。任一傳遞函數必有零極點分布圖與之對應，故零極點分布圖也可表征系統的動態特性。如傳遞函數 其零極點分布圖2.2.5 典型環節的傳遞函數根據動態特性或傳遞函數的異同對系統分類，歸納出幾種基本類型，稱為典型環節。元件不論是機械式、電氣式或液壓式，只要數學模型形式相同就是同一種環節，其動態特性也基本相似，故掌握典型環節有利于分析和設計控制系統。1. 比例環節比例環節又稱放大環節或無慣性環節，是指輸出量與輸入量

38、成比例的環節。其時域數學模型為傳遞函數為 K 稱為比例系數、放大系數或增益系數。大多數控制系統中都有比例環節，如電阻電路、沒有間隙的齒輪傳動系、剛性杠桿、分壓器、理想放大器及測速發電機的電壓和轉速關系都可視為比例環節。2. 慣性環節慣性環節又稱非周期環節，其輸出量與輸入量之間的關系用微分方程可表示為由于慣性環節是用一階微分方程描述的，故也稱一階系統，其傳遞函數為 T 稱為慣性環節的時間常數，可以用來衡量慣性的大小。慣性環節有一個極點 p = -1/T。慣性環節一般至少含有一個儲能元件。一階 RC 低通濾波電路就是最典型的慣性環節，在一定條件下，許多高階系統也可近似為慣性環節。3. 積分環節積分

39、環節的輸出量與輸入量的積分成正比。其時域數學模型為 T 為積分時間常數，當輸入信號變為零后，積分環節的輸出信號將保持輸入信號變為零時刻的值不變，具有記憶功能。其傳遞函數為積分環節有一個 p=0 的極點。實際系統中的積分環節都是在近似條件下得到的，如忽略飽和特性及慣性因素，運算放大器構成的積分器就是一個積分環節。4. 微分環節 ( 理想微分環節、實際微分環節 ) 1）理想微分環節輸出量與輸入量的變化率成正比，用微分方程可表示為 為微分時間常數微分是積分的逆運算，其傳遞函數為微分環節有一個 z=0 的零點。2）實用微分環節理想微分環節往往因慣性的存在而難于實現，工程中常采用實用微分環節來代替為傳遞

40、函數為實用微分環節有一個 p = -1/ 的極點和一個 z = 0 的零點。特點：微分環節的輸出量與輸入信號的微分有關，所以它可以預示輸入信號的變化趨勢。5. 振蕩環節 （二階系統）可用二階微分方程描述為傳遞函數為T 為時間常數； 為阻尼系數（也稱阻尼比）。令 n = 1/T n為無阻尼自然振蕩頻率當 0 ts后，響應進入了穩態過程。6）振蕩次數N振蕩次數是指在0tts時間內，單位階躍響應c(t)穿越其穩態值c()次數的一半，定義為振蕩次數，用N 表示。 單調上升類型3.2 一階系統分析一階系統的單位階躍單位斜坡響應單位加速度響應單位脈沖響應由一階微分方程描述的控制系統稱為一階系統，它是工程中

41、最基本、最簡單的系統。典型的一階系統數學模型為一階微分方程- 時間常數，表征系統慣性的大小（量綱為時間秒）。由圖3-4可得系統的閉環傳遞函數為為便于分析，均假設系統初始狀態為零。3.2.1 一階系統的單位階躍響應單位階躍輸入信號 r(t)=1(t) 的拉氏變換為輸出的拉氏變換整理可得上式取拉氏逆變換，得其單位階躍響應為 響應是一條初始值為零、以指數規 律上升到終值c()=1的曲線與輸出值c(t)的對應關系為t=T, c(T)=0.632 t=2T, c(2T)=0.865 t=3T, c(3T)=0.950t=4T, c(4T)=0.982 單調上升的指數曲線，無振蕩;穩態誤差ess=03.2

42、.2 一階系統的單位斜坡響應單位斜坡輸入信號r(t)=t 的拉氏變換為輸出的拉氏變換為 取拉氏逆變換可得穩態誤差ess=T 響應曲線單調上升3.2.3 一階系統的單位加速度響應單位加速度輸入信號 r(t)= t2/2 的拉氏變換為輸出的拉氏變換取拉氏逆變換，可得一階系統的單位加速度響應為穩態誤差 ess=，所以，一階系統不能跟蹤加速度信號3.2.4 一階系統的單位脈沖響應單位脈沖信號r(t)=(t)，其拉氏變換為R(s)=1，輸出的拉氏變換為上式取拉氏逆變換，可得一階系統的單位脈沖響應為特點：按指數規律單調下降，初值最大c(0)=1/T，終值最小c()=0。T 越大，響應曲線下降越慢。初始斜率

43、為-1/T2，T 越小，響應的初始下降速度越快。一階系統對典型輸入信號的響應由上表可得線性定常系統具有的一個重要特性，即系統對輸入信號導數的響應，可以通過系統對輸入信號響應的導數來確定，而系統對輸入信號積分的響應，等于系統對輸入信號相應的積分，積分常數由零輸入時的初始條件確定。值得指出的是，線性時變系統和非線性系統則不具有這個特性。例3-1 已知系統結構圖如圖所示，求該系統單位階躍響應的調節時間ts；如果要求ts 0.1s，試問系統的反饋系數應取何值？解：由結構圖可得系統閉環傳遞函數為上式相當于典型一階系統串接一個K=10的放大器，故也稱為閉環系統的放大系數（或開環增益），它與調節時間無關，t

44、s的大小完全由一階系統的時間常數決定。比較上式與式 (3-16)知T=0.1s，取誤差范圍5%，即=5，則有 ts = 3T = 0.3s求滿足ts 0.1s的反饋系數：設反饋系數為Kb，閉環傳遞函數為由閉環傳遞函數可得一階系統的時間常數T=0.01/Kb，當誤差帶=5時有: ts = 3T =0.03 / Kb 0.1s由上式可解出反饋系數的取值范圍是 Kb 0.3例3-2 已知單位反饋系統如圖所示，r(t)=1+t，c(t)= t計算系統的開環傳遞函數，并求性能指標 ts，%。解：由圖可得系統閉環傳遞函數為對已知的輸入信號及輸出響應進行拉氏變換可得則閉環傳遞函數為由閉環傳遞函數知，系統是時

45、間常數為 T =1s 的一階系統，故%=0，ts=3T=3s（=5）。3.3 二階系統分析二階系統的單位階躍響應性能指標欠阻尼二階系統的單位斜坡響應增加零、極點對動態性能的影響二階系統的微分方程:T -時間常數， -阻尼系數（阻尼比）傳遞函數：n-無阻尼自然振蕩頻率（一般是系統固有的）特征方程：特征根：時域模型復域模型3.3.1 二階系統的單位階躍響應二階系統的動態性能由系統參數 和 n決定，稱之為二階系統的特征參數。 不同，系統特征根的表現形式和在s平面的位置不同。 當 1 時，特征方程具有兩個不相等的負實根 ，它們是位于 s 平面負實軸上的兩個不等的實極點，稱為過阻尼。 當 = 1 時，特

46、征方程具有兩個相等的負實根 -n，它們是位于 s平面負實軸的相等實極點，稱為臨界阻尼。 當 0 1 時，兩個特征根為一對共軛復根 ，它們是位于 s 面左半平面的共軛復數極點，稱為欠阻尼。 當 = 0 時，特征方程的兩個根為共軛純虛根 jn，它們是位于 s 平面虛軸上一對共軛極點，稱為無阻尼。 當 -1 0 時，特征方程的兩個根為具有正實部的一對共軛復根 ，它們是位于s平面右半平面的共軛復數極點。 當 1）二階系統的單位階躍響應當 1 時，p1 和 p2均為實數，且有p2 p2，故p2對應的指數項衰減的速度遠快于p1，所以二階系統的動態響應主要由p1決定，這時過阻尼二階系統可以由具有極點 p1的

47、一階系統來近似表示。2. 臨界阻尼（ =1）二階系統的單位階躍響應p2 = p1=-n，二階系統的兩個特征根是兩個負的實重根臨界阻尼的二階系統其單位階躍響應是一個無超調的單調上升過程，曲線的斜率為在t = 0 時曲線的變化率為零，隨著時間的推移，響應過程的變化率為正，響應過程單調上升；當時間趨于無窮時，變化率趨于零，響應過程趨于常值1。拉氏逆變換3. 欠阻尼（0 1）二階系統的單位階躍響應 p1和p2為共軛復根令 稱 d 為阻尼振蕩頻率取拉氏逆變換可得定義一個阻尼角 。其中 響應曲線是振蕩且隨時間推移而衰減的；其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率 ,共軛復數極點p1和p2實部的絕對值n決定了欠阻尼響應的衰

48、減速度, n越大，即共軛復數極點離虛軸越遠，欠阻尼響應衰減得越快。而其虛部決定了階躍響應的振蕩程度, 當 減小時，特征根接近虛軸，遠離了實軸，系統階躍響應振蕩的幅值和頻率都增大了，階躍響應振蕩得更激烈，平穩性變差。4. 無阻尼（ =0）二階系統的單位階躍響應當 =0時，系統有一對共軛純虛根p1= jn，p2= -jn響應曲線以頻率n做等幅振蕩，這便是稱n為無阻尼自然振蕩頻率這一名稱的由來，有時也簡稱為自然頻率。5. -1 0時二階系統的單位階躍響應系統有一對具有正實部的共軛復根單位階躍響應為阻尼比 為負，因此指數因子 具有正的冪指數，從而使單位階躍響應為發散正弦振蕩的形式6. -1時二階系統的

49、單位階躍響應特征方程具有兩個不相等的正實根單位階躍響應式中指數因子為正的冪指數，從而使單位階躍響應為單調發散的形式。二階系統的極點分布與階躍響應3.3.2 二階系統單位階躍響應的性能指標欠阻尼二階系統的性能指標1）穩態指標輸入單位階躍信號和單位階躍響應之間的誤差為誤差也是呈衰減正弦振蕩形式。當穩態時，即當t 時，有e(t )0，這表示二階系統的欠阻尼響應能夠完全跟蹤輸入單位階躍信號，沒有穩態誤差，即ess=02）動態性能指標（1）上升時間t r 當t =t r時，c (t r)=1由此可解得上升時間為增大自然頻率n 或減小阻尼系數，均能減小上升時間t r，從而加快系統的初始響應速度。因為 （2

50、）延遲時間t d 當t =t d時，c (t d )=0.5利用曲線擬合法，在較大的 值范圍內，近似求得 當0 1時，可近似為增大自然頻率n 或減小阻尼系數 都可以減小延遲時間。（3）峰值時間tp式 對t 求導，令導數為零得根據峰值時間的定義，tp為第一個峰值所需的時間，故有峰值時間等于阻尼振蕩周期的一半，峰值時間與閉環極點的虛部數值d成反比，當阻尼系數一定時，閉環極點離負實軸的距離越遠，系統的峰值時間越短。（4）最大超調量（簡稱超調量） %最大超調量發生在峰值時間上，此時t =tp（5）調節時間ts進入誤差帶%的最小時間因為 ，包絡線為設t=ts時 ，用ts近似ts，整理得0 0.8時，故左

51、式可近似為調節時間與閉環極點的實部數值即 n成反比。閉環極點離虛軸的距離越遠，系統的調節時間越短。由于阻尼系數的值是根據對系統超調量的要求來確定的，所以調節時間主要由自然頻率n 決定。（6）振蕩次數N 0 t ts時，單位階躍響應c (t ) 穿越其穩態值c ()次數的一半 t f 為阻尼振蕩的周期時間有些動態性能指標之間是互相矛盾的。例如超調量和上升時間，兩者難以同時獲得比較小的數值。如果要提高系統的響應速度，減小上升時間，則需要使n很大， 較小，而這樣最大超調量必然比較大。在工程應用中選擇動態性能指標時，需要采取合理的折衷方案，使各項性能指標都能達到相對最佳，以獲得較為滿意的綜合動態性能。

52、阻尼系數可以選擇在0.4到0.8之間。較小的 值（ 0.8）將使系統的響應速度變得緩慢。工程上常取最佳阻尼系數= 0.707作為系統設計的依據2. 過阻尼（臨界阻尼）二階系統的性能指標1）穩態指標過阻尼單位階躍響應與輸入單位階躍信號的誤差為當 1時，0T2時可得當 遠大于1時，二階系統的動態響應主要由p1決定，這時過阻尼二階系統可以由具有極點 p1的一階系統來近似表示。則系統調節時間也可按一階系統的公式求取，即通過以上分析，對二階系統的階躍響應可得出如下結論： 阻尼系數是二階系統的一個重要參數，用它可以間接判斷一個二階系統的動態品質。對過阻尼二階系統，動態響應特性為單調變化曲線，沒有超調振蕩，

53、但調節時間較長，系統反應遲緩。當 0時，輸出響應將出現等幅振蕩或發散，系統不能穩定工作。 對于欠阻尼0 1二階系統，若過小，則超調量大，振蕩次數多，調節時間長，動態控制品質差。注意到超調量只與有關，所以一般根據超調量要求來選擇。 當阻尼系數一定時，n越大，調節時間ts越小。 為了限制系統的超調量，并使調節時間較小，系統的阻尼系數一般應擇在0.4至0.8之間，這時二階系統單位階躍響應的超調量將在25.4%和1.5%之間。例3-3 設二階系統的單位階躍響應曲線如下圖3-20所示，確定系統的閉環傳遞函數。解：系統響應的穩態值為3，故此系統的增益是3，故系統的閉環傳遞函數形式應為二階系統的單位階躍響應

54、最大超調量及峰值時間為對上式求解可得： = 0.33，n=33.2 rad/s，代入上面的閉環表達式有3.3.3 欠阻尼二階系統的單位斜坡響應輸入信號r (t )=t 時，二階系統輸出響應的拉氏變換式為進行拉氏逆變換，可得欠阻尼（0 0 (0 i n)。勞斯穩定判據為表的形式。表中前兩行是由系統的特征方程的系數直接構成的，第一行為第1,3,5項系數組成，第二行為第2,4,6項系數組成，其他各行的數值按下表所示的規則逐行計算。每行中的各個數乘以一個正實數，不會影響對系統穩定性的判斷。勞斯判據： 若上述勞斯行列表中第一列所有元素均為正數，那么系統的所有特征根的實部均在s 平面的左邊，此即為系統穩定

55、的充要條件。 若第一列中出現小于零的元素，系統就不穩定，且其符號變化的次數等于系統特征方程在s 右半平面根的數目。例3-5 系統的特征方程為s4+6s3+12s2+11s+6=0，試用勞斯判據判斷該系統的穩定性。解: 由所列方程可知所有系數均為正數，且不缺項，滿足穩定性的必要條件，故需作進一步的判別。列勞斯行列表如下因為左端的第一列各元素均為正實數，故該系統是穩定的。事實上，D(s) = s4+6s3 +12s2 +11s+6=(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0可解出四個特征根分別為：-2, -3和 ，均位于s 左半平面。對于特征方程為a0s3+a1s2+a2s+a3=0的三階系統，由其

56、勞斯表不難發現，只要其特征方程式的所有系數均大于零并且有：a1a2 a0a3，則其所表示系統的所有特征根均具有負實部。所以，判別三階系統的穩定性不一定要計算勞斯行列表，只要檢驗特征方程的系數是否全部大于零且滿足式a1a2 a0a3即可。此外，二階系統只要特征方程的系數全部為正就一定是穩定的。例3-8 設一單位反饋系統的開環傳遞函數為試確定使閉環系統穩定的增益K 的范圍。解：閉環系統的特征方程為s(0.1s+1)(0.25s+1)+K=0 亦即0.025s3+0.35s2+s+K=0由特征方程式的所有系數均大于零有K0，再由a1a2 a0a3可得0.350.025K解之可得 K14故使閉環系統穩

57、定的增益K的范圍是：0K14為了保證系統的穩定性且具有良好的動態特性，不僅要求系統的全部特征根在s 左半平面且還希望能與虛軸有一定的距離，這個距離稱為穩定度。為此，可用新的變量s1 = s+a 代入原系統的特征方程，從幾何上看，就是將s 平面的虛軸左移一個常值a，此值就是要求的特征根與虛軸的距離（即穩定度）。此時，應用勞斯判據判別以s1為變量的系統穩定性，就相當于確定原系統的穩定度。如果這時能夠滿足穩定條件，就說明原系統不但穩定，而且所有特征根均位于-a 的左側。例3-9 在例子3-8中，已求出增益K 的穩定域為0K0，即K 0.675，再由a1a2 a0a3可得111540K-27 解之可得

58、 K4.8故系統的全部特征根均位于s-1的左側時，增益K 的允許調整范圍：0.675K4.8。顯然這要比原來的穩定域0K14要小。兩種特殊情況：1）勞斯表中某行第一列元素為零，而該行其他元素不為零或不全為零用一個很小的正數 代替第一列的零元素，然后計算完勞斯表中其他項，表格計算完成后再令 0，進行判斷，如果零（）上面的系數符號與零（）下面的系數符號相反，則說明有兩次符號改變，系統有兩個特征根在右半s平面，故系統是不穩定的；如果零（）上、下的系數符號相同，則說明系統存在純虛數形式的特征根，對應響應為等幅振蕩，故系統也是不穩定的。由此可見，當勞斯表的某行第一列出現零時，系統至多屬于臨界穩定，或者說

59、是不穩定的。例3-10系統的特征方程為s4+3s3+s2+3s+1=0，試用勞斯判據判斷該系統的穩定性。解：特征方程對應的勞斯表為在表中第三行第一列元素出現零，用很小的正數 代替后繼續計算，當 0時，顯然第四行第一列3-3/ 0 (0 i n)。 胡爾維茨行列式的各主子行列式全部為正值，即例3-13 假設系統的特征方程為 s4+50s3+200s2+400s+1000=0，試用胡爾維茨判據判別系統的穩定性。解：系統特征方程的各項系數顯然均大于零，根據特征方程各項系數構成的胡爾維茨行列式為各主子行列式為 1=50 02=50200-1400 =9600 03=40020050-14002-502

60、1000 =1.34106 04=31000 = 1.34109 0根據胡爾維茨穩定性判據可知系統穩定。3.6 控制系統的穩態誤差誤差的定義系統的類型給定穩態誤差與擾動穩態誤差改善穩態精度的方法3.6.1誤差的定義誤差的定義有兩種方法：（1）從輸入端可以定義為該誤差是用系統的偏差定義的，又稱作用誤差，是可以測量的，但作用誤差的理論含義不明顯。（2）從輸出端可以定義為即誤差就是期望輸出CR(s )與實際系統輸出C (s )的差，該誤差又稱系統誤差。系統誤差的理論含義明顯，但一般難以測量，因此更多地具備數學意義。CR(s)定義為E(s)=0時的系統輸出，令E(s)=R(s)-H(s)CR(s)=0