1、2.4指數與指數函數數學 北京專用考點指數、指數函數的圖象與性質考點清單考向基礎1.根式(1)根式的概念根式的概念符號表示備注一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n1且nN*當n是奇數時,正數的n次方根是一個正數,負數的n次方根是一個負數零的n次方根是零當n是偶數時,正數的n次方根有兩個,這兩個數互為相反數(a0)負數沒有偶次方根(2)兩個重要公式=()n=a(注意a必須使有意義).2.有理指數冪(1)冪的有關概念(i)正分數指數冪:=(a0,m,nN*,且n1);(ii)負分數指數冪:=(a0,m,nN*,且n1);(iii)0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.(2)有

2、理指數冪的性質(i)aras=ar+s(a0,r,sQ);(ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ);(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).3.指數函數的圖象與性質 a10a0時,y1;當x0時,0y0時,0y1;當x1在(-,+)上是單調增函數在(-,+)上是單調減函數4.指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示,其中0cd1ab.在y軸右側,圖象從上到下相應的底數由大變小;在y軸左側,圖象從下到上相應的底數由大變小.(無論在y軸的左側還是右側,底數按逆時針方向變大)考向突破考向一指數式的大小比較例1已知a=(,b=,c=,則()A.bacB.abc

3、C.bcaD.ca,所以a=b,因為y=在(0,+)上為單調遞增函數,所以a=c,所以ba0,且a1.(1)若f(x)的圖象經過點,求a的值;(2)求函數y=f(x)(x0)的值域.解析(1)函數f(x)=ax-1(x0)的圖象經過點,=2,a=4.(2)當a1時,函數y=f(x)=ax-1單調遞增,x0,x-1-1,f(x)a-1=,故函數的值域為.當0a0,故函數的值域為.思路分析(1)把點的坐標代入函數的解析式,求得a的值.(2)根據指數函數的性質,分類討論,求得f(x)的值域.評析本題主要考查指數函數的單調性和值域,屬于中檔題.方法1指數式的大小比較指數式大小比較的常見類型:同底不同指

4、數,同指數不同底,底和指數均不相同.指數式大小比較的常用方法:(1)化為相同指數或相同底數后利用相應函數的單調性比較大小;(2)作差或作商法;(3)利用中間量(0或1等)分段比較大小.方法技巧例1下列各式比較大小正確的是()A.1.72.51.73B.0.6-10.62C.0.8-0.11.250.2D.1.70.30.93.1解題導引 解析A中,函數y=1.7x在R上是增函數,2.53,1.72.51.73.B中,y=0.6x在R上是減函數,-10.62.C中,(0.8)-1=1.25,y=1.25x在R上是增函數,0.10.2,1.250.11.250.2,即0.8-0.10,1.70.3

5、1.70=1,又函數y=0.9x在R上是減函數,且3.10,00.93.10.93.1.答案B方法2指數(型)函數的圖象與性質1.指數型復合函數的圖象對于指數型復合函數的圖象問題,一般從最基本的指數函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到.需特別注意底數a1與0a0,且a1)的定義域與y=f(x)的定義域相同;(2)先確定y=f(x)的值域,再根據指數函數的單調性確定y=af(x)(a0,且a1)的值域.3.與指數函數有關的復合函數的單調區間的求解步驟(1)求復合函數的定義域;(2)弄清函數是由哪些基本函數復合而成的;(3)分層逐一求解函數的單調區間;(4)求出復合函數的單調區間(注意“同增異減”).例2(2019北京一零一中學高一期中,5)函數y=的單調增區間是()A.1,2B.(-,-1)C.(-,2D.2,+)解題導引