1、九年級下冊數學教案 其次十六章 二次函數 本章學問要點 1 探究詳細問題中的數量關系和變化規律 2 結合詳細情境體會二次函數作為一種數學模型的意義,并明白二次函數的有關概3 念 會用描點法畫出二次函數的圖象,能通過圖象和關系式熟識二次函數的性4 質 會運用配方法確定二次函數圖象的頂點,開口方向和對稱軸 會利用二次函數5 的圖象求一元二次方程（組）的近似解 6 會通過對現實情境的分析,確定二次函數的表達式,并能運用二次函數及其性質解決 簡潔的實際問題 綠色圃中 學校教 育網 綠色圃 中學資 源網 261 二次函數 本課學問要點 通過詳細問題引入二次函數的概念,在解決問題的過程中體會二次函數的意義

2、 MM 及創新思維 （ 1）正方形邊長為 a（ cm）,它的面積 s（ cm2）是多少？ x 厘米,就面積增加 y 平 （ 2）矩形的長是 4 厘米,寬是 3 厘米,假如將其長與寬都增加 方厘米,試寫出 y 與 x 的關系式 請觀看上面列出的兩個式子,它們是不是函數？為什么？假如是函數,請你結合學習 一次函數概念的體會,給它下個定義 實踐與探究 例 1 m 取哪些值時, 函數 y m 2 mx 2mx m 1 是以 x 為自變量的二次函數？ 2分 析 如 函 數 y m 2 mx mx m 1 是 二 次 函 數 , 須 滿 足 的 條 件 是 ： 2m m 0 2解 如函數 y m 2 m

3、x mx m 1 是二次函數,就 2m m 0 解得 m 0 ,且 m 1 2因此,當 m 0 ,且 m 1 時,函數 y m 2 m x mx m 1 是二次函數 回憶與反思 形如 y ax 2 bx c 的函數只有在 a 0 的條件下才是二次函數 探究 如函數 y m 2 m x 2mx m 1 是以 x 為自變量的一次函數,就 m 取哪些 第 1 頁,共 187 頁值？ 例 2寫出以下各函數關系,并判定它們是什么類型的函數 （ 1）寫出正方體的表面積 S（cm2 ）與正方體棱長 a（ cm）之間的函數關系； （ 2）寫出圓的面積 y（ cm2）與它的周長 x（ cm）之間的函數關系； （

4、 3）某種儲蓄的年利率是 1.98%,存入 10000 元本金,如不計利息,求本息和 y（元）與 所存年數 x 之間的函數關系； （ 4）菱形的兩條對角線的和為 的函數關系 26cm,求菱形的面積 S（ cm2）與一對角線長 x（ cm）之間 解 （ 1）由題意,得 S 6a 2 a 0 ,其中 S 是 a 的二次函數； （ 2）由題意,得 y 2 x x 0 ,其中 y 是 x 的二次函數； 綠色圃中學校教 育網 綠色圃 中學資 源網 4綠色圃中 學校教 育網 綠色圃 中學資 源網 （ 3）由題意,得 y 10000 1.98% x 10000 （ x0 且是正整數）, 其中 y 是 x 的

5、一次函數； 1 1 2（ 4）由題意, 得 S x26 x x 13x0 x 26 ,其中 S 是 x 的二次函數 2 2例 3正方形鐵片邊長為 15cm,在四個角上各剪去一個邊長為 x（ cm）的小正方形,用余 下的部分做成一個無蓋的盒子 1 求盒子的表面積 S（ cm 2）與小正方形邊長 x（ cm）之間的函數關系式； 2 當小正方形邊長為 3cm 時,求盒子的表面積 解 （ 1） S 2 15 2 4 x 225 2 4 x 0 x 15 ； 2（ 2）當 x=3cm 時, S 225 432 189 （cm2） 當堂課內練習 1以下函數中,哪些是二次函數？ （ 1） y x 2 0y

6、（ 2） y x 2 x 2 x 2 1 （ 3） y 2 x 1（ 4） y 2 x 2x 3x 2當 k 為何值時,函數 k 2 k k 1 x 1 為二次函數？ 3已知正方形的面積為 2 ycm ,周長為 x（ cm） 1 請寫出 y 與 x 的函數關系式； 第 2 頁,共 187 頁2 判定 y 是否為 x 的二次函數 本課課外作業 A 組 已知函數 y m m 3x 27是二次函數,求 m 的值 綠色圃中學校 訓練網 綠色 圃中學 資源網 綠色圃中 學校教 育網 綠色圃 中學資 源網 1 22 已知二次函數 y ax ,當 x=3 時, y= -5,當 x= -5 時,求 y 的值

7、3 已知一個圓柱的高為 27,底面半徑為 x,求圓柱的體積 y 與 x 的函數關系式如圓柱 的底面半徑 x 為 3,求此時的 y 4 用一根長為 40 cm 的鐵絲圍成一個半徑為 r 的扇形,求扇形的面積 y 與它的半徑 x 之 間的函數關系式這個函數是二次函數嗎？請寫出半徑 B 組 r 的取值范疇 5對于任意實數 m,以下函數確定是二次函數的是 2 m 2 1x Dy （ ） A y 2 2m 1 x B y 2 2 m 1 x Cy 2 m 2 1 x 6以下函數關系中,可以看作二次函數 y 2 ax bx c （ a 0 ）模型的是 （ ） A 在確定的距離內汽車的行駛速度與行駛時間的關

8、系 B 我 國人口年自然增長率為 1%,這樣我國人口總數隨年份的變化關系 C 豎 直向上發射的信號彈,從發射到落回地面,信號彈的高度與時間的關系（不計 空氣阻力） D 圓的周長與圓的半徑之間的關系 本課學習體會 用函數觀點看一元二次方程（第一課時） 教學目標 一 學問與技能 1 經受探究二次函數與一元二次方程的關系的過程,體會方程與函數之間的聯系 2 懂得二次函數與 x 軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系,懂得何 時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實數和沒有實根 3 懂得一元二次方程的根就是二次函數與 y=hh 是實數 交點的橫坐標 二 過程與方法 1 經受探究二次函數與一元二次方

9、程的關系的過程,培養同學的探究才能和創新精 神 2 通過觀看二次函數圖象與 x 軸的交點個數,爭辯一元二次方程的根的情形,進一 步培養同學的數形結合思想 3 通過同學共同觀看和爭辯培養大家的合作溝通意識 第 3 頁,共 187 頁 三 情感態度與價值觀 1 經受探究二次函數與一元二次方程的關系的過程,體驗數學活動布滿著探究與創 造感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性, 2 具有初步的創新精神和實踐才能 教學重點 1 體會方程與函數之間的聯系 2 懂得何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實數和沒有實根 3. 懂得一元二次方程的根就是二次函數與 y=hh 是實數 交點的橫坐標 教學難點 1 探究方

10、程與函數之間的聯系的過程 2 懂得二次函數與 x 軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系 教學過程 . 創設問題情境,引入新課 1. 我們學習了一元一次方程 之kx+b=0k 0 和一次函數 y kx+bk 0 后,爭辯了它們 間的關系當一次函數中的函數值 y=0 時,一次函數 y=kx+b 就轉化成了一元一次方程 kx+b=0 ,且一次函數 y=kx+bk 0 的圖象與 x 軸交點的橫坐標即為一元一次方程 kx+b 0 的解 現在我們學習了一元二次方程 2 2ax +bx+c 0a 0 和二次函數 yax +bx+ca 0 ,它 們之間是否也存在確定的關系呢 . 2. 選教材提出的問

11、題,直接引入新課 合作溝通 解讀探究 1. 二次函數與一元二次方程之間的關系 探究：教材問題 師生同步完成 . 觀看：教材 22 頁,同學小組溝通 . 歸納：先由同學完成,然后師生評判,最終老師歸納 . . 應用遷移 鞏固提高 1 . 依據二次函數圖像看一元二次方程的根 同期聲 2 . 拋物線與 x 軸的交點情形求待定系數的范疇 . 3 . 依據一元二次方程根的情形來判定拋物線與 總結反思 拓展升華 本節課學了如下內容： x 軸的交點情形 1 經受了探究二次函數與一元：二次方程的關系的過程,體會了方程與函數之間的 聯系 2 懂得了二次函數與 x 軸交點的個數 與一元二次方程的根的個數之間的關系

12、,懂得了何時方程有兩個不等的實根 , 兩個相等的 實根和沒有實根 . 3. 數學方法 : 分類爭辯和數形結合 . 反思：在判定拋物線與 x 軸的交點情形時,和拋物線中的二次項系數的正負有無關系？ 第 4 頁,共 187 頁拓展：教案 課后作業 P23二次函數的圖象與性質（ 1）綠色圃中學校教 育網 綠色圃 中學資 源網 綠色圃中 學校教 育網 綠色圃 中學資 源網 262 本課學問要點 會用描點法畫出二次函數 y 2 ax 的圖象,概括出圖象的特點及函數的性質 MM 及創新思維 我們已經知道,一次函數 y 2 x 1 ,反比例函數 y 3的圖象分別是 , x ,那么二次函數 y 2 x 的圖象

13、是什么呢？ （ 1）描點法畫函數 y x2 的圖象前,想一想,列表時如何合理選值？以什么數為中心？ 當 x 取互為相反數的值時, y 的值如何？ （ 2）觀看函數 y 2 x 的圖象,你能得出什么結論？ 實踐與探究 例 1在同始終角坐標系中,畫出以下函數的圖象,并指出它們有 何共同點？有何不同點？ （ 1） y 2 2 x （ 2） y 2 2x 解 列表 y x -3 -2 -1 01232 2 x 18 8202818 y 2 2x -18 -8 -2 0-2 -8 -18 分別描點,連線,畫出這兩個函數的圖象,這兩個函數的圖象都是 拋物線,如圖 共同點：都以 不同點： y 26 2 1

14、y 軸為對稱軸,頂點都在坐標原點 2 2x 的圖象開口向上,頂點是拋物線的最低點,在對 稱軸的左邊,曲線自左向右下降；在對稱軸的右邊,曲線 自左向右上升 第 5 頁,共 187 頁y 2 x2 的圖象開口向下,頂點是拋物線的最高點,在對稱軸的左邊,曲線自左 向右上升；在對稱軸的右邊,曲線自左向右下降 回憶與反思 在列表,描點時,要留意合理靈敏地取值以及圖形的對稱性,由于圖象是拋 物線,因此,要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的次序連接 例 2已知 y k 2 xk2k 4 是二次函數,且當 x 0 時, y 隨 x 的增大而增大 （ 1）求 k 的值； （ 2）求頂點坐標和對稱軸 2解 （

15、 1）由題意,得 k k 4 2, 解得 k=2 k 2 02（ 2）二次函數為 y 4 x ,就頂點坐標為（ 0, 0）,對稱軸為 y 軸 例 3已知正方形周長為 Ccm,面積為 S cm2 （ 1）求 S 和 C 之間的函數關系式,并畫出圖象； （ 2）依據圖象,求出 S=1 cm2 時,正方形的周長； （ 3）依據圖象,求出 C 取何值時, S 4 cm 2 分析 此題是二次函數實際應用問題, 解這類問題時要留意自變量的取值范疇； 畫圖象時, 自變量 C 的取值應在取值范疇內 解 （ 1）由題意,得 S 1 2C C 16 0 列表： C 2 4 6 81 2 1 9S C 1 416

16、4 4描點,連線,圖象如圖 262 2 （ 2）依據圖象得 S=1 cm2 時,正方形的周長是 4cm （ 3）依據圖象得,當 C8cm 時, S4 cm2 回憶與反思 （ 1）此圖象原點處為空心點 （ 2）橫軸,縱軸字母應為題中的字母 C, S,不要習慣地寫成 x, y （ 3）在自變量取值范疇內,圖象為拋物線的一部分 當堂課內練習 1在同始終角坐標系中,畫出以下函數的圖象,并分別寫出它們的開口方向,對稱軸和 頂點坐標 （ 1） y 3 x2（ 2） y 3x2（ 3） y 1 x 32第 6 頁,共 187 頁2（ 1）函數 y 2 2x 的開口 31 2x 的開口 4,對稱軸是 ,頂點坐

17、標是 ； （ 2）函數 y ,對稱軸是 ,頂點坐標是 3已知等邊三角形的邊長為 2x,請將此三角形的面積 S 表示成 x 的函數,并畫出圖象的 草圖 本課課外作業 A 組 1在同始終角坐標系中,畫出以下函數的圖象 （ 1） y 4x 2（ 2） y 1 x 24 2填空： （ 1）拋物線 y 5 x2 ,當 x= 時, y 有最 值,是 ,當 x 時, y （ 2）當 m= 時,拋物線 y m 2m 1 x m開口向下 （ 3）已知函數 y 2 k k k x 22k 1是二次函數,它的圖象開口 隨 x 的增大而增大 3已知拋物線 y k 2 k 10 kx 中,當 x 0 時, y x 的增

18、大而增大 （ 1）求 k 的值； 隨 （ 2）作出函數的圖象（草圖） 2 ax 經過點（ 1, 3）,求當 y=9 時, x 的值 4已知拋物線 y B 組 5底面是邊長為 x 的正方形,高為 05cm 的長方體的體積為 ycm 3（ 1）求 y 與 x 之間 的函數關系式；（ 2）畫出函數的圖象； （ 3）依據圖象,求出 y=8 cm 3 時底面邊長 x 的值； （ 4）依據圖象,求出 x 取何值時, y 4 5 cm3 2 6二次函數 y ax 與直線 y 2 x 3 交于點 P（ 1, b） （ 1）求 a, b 的值； x 取何值時,該函數的 y 隨 x 的增大而減小 （ 2）寫出二次

19、函數的關系式,并指出 7 一個函數的圖象是以原點為頂點, y 軸為對稱軸的拋物線,且過 M （ -2,2） （ 1）求出這個函數的關系式并畫出函數圖象； （ 2）寫出拋物線上與點 M 關于 y 軸對稱的點 N 的坐標,并求出 MON 的面積 本課學習體會 26 2 二次函數的圖象與性質（ 2） 第 7 頁,共 187 頁 本課學問要點 會畫出 y ax 2k 這類函數的圖象,通過比較,明白這類函數的性質 MM 及創新思維 同學們仍記得一次函數 y 2 x 與 y 2 x 1 的圖象的關系嗎？ 2 2,你能由此估量二次函數 y x 與 y x 1 的圖象之間的關系嗎？ 2 2,那么 y x 與

20、y x 2 的圖象之間又有何關系？ 實踐與探究 例 1在同始終角坐標系中,畫出函數 y 2 x2 與 y 2 2x 2 的圖象 解 列表 x 2-3 -2 -1 0123y 2 2 x 描點,連線,畫 18 8202818 出這兩個函數的 y 2 2 x 圖 象 , 如 圖 20 10 42410 20 26 2 3 所示 回憶與反思 當自變量 x 取同一數值時, 這兩個函數的函數值之間有什么關系？反映在圖 象上,相應的兩個點之間的位置又有什么關系？ 探究 觀看這兩個函數,它們的開口方向,對稱軸和頂點坐標有那些是相同的？又有哪些 2 2不同？你能由此說出函數 y 2x 與 y 2 x 2 的圖

21、象之間的關系嗎？ 2 2例 2在同始終角坐標系中,畫出函數 y x 1 與 y x 1 的圖象,并說明,通過 第 8 頁,共 187 頁怎樣的平移,可以由拋物線 y x2 1 得到拋物線 y x2 1 解 列表 y x 1-3 -2 -1 0123描點,連線,畫 2 x -8 -3 010-3 -8 出這兩個函數的 圖 象 , 如 圖 y 2 x 1-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 26 2 4 所示 可以看出,拋物線 y x 2 1 是由拋物線 y x 2 1 向下平移兩個單位得到的 回憶與反思 拋物線 y x2 1 和拋物線 y x 2 1 分別是由拋物線 y x 2 向上,向

22、 下平移一個單位得到的 探究 假如要得到拋物線 y x 2 4 ,應將拋物線 y x 2 1 作怎樣的平移？ 1 2例 3一條拋物線的開口方向,對稱軸與 y x 相同,頂點縱坐標是 -2,且拋物線經過 2點（ 1, 1）,求這條拋物線的函數關系式 解 由題意可得,所求函數開口向上,對稱軸是 y 軸,頂點坐標為（ 0, -2）, 2因此所求函數關系式可看作 y ax 2a 0 , 又拋物線經過點（ 1, 1）, 所以, 1 a 12 2 , 解得 a 3 故所求函數關系式為 y 3 x 2 2 回憶與反思 y ax 2 k （ a,k 是常數, a 0）的圖象的開口方向,對稱軸,頂點坐標 第 9

23、 頁,共 187 頁歸納如下： y 2 ax k a開口方向 對稱軸 頂點坐標 0a0 當堂課內練習 1 在同始終角坐標系中,畫出以下二次函數的圖象： y 12 x , y 12 x 2 , y 12 x 2 222觀看三條拋物線的相互關系,并分別指出它們的開口方向及對稱軸,頂點的位置你能說 出拋物線 y 1 x2 2k 的開口方向及對稱軸,頂點的位置嗎？ x ,它可 2拋物線 y 12 x 9 的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 41 2 x 向 平移 個單位得到的 時,函 以看作是由拋物線 y 43函數 y 2 3x 3 ,當 x 時,函數值 y 隨 x 的增大而減小當 數取得最 值,最 值

24、 y= 本課課外作業 A 組 1已知函數 y 12 x , y 12 x 3 , y 12 x 2 333（ 1）分別畫出它們的圖象； （ 2）說出各個圖象的開口方向,對稱軸,頂點坐標； （ 3）試說出函數 y 1 x 2 5 的圖象的開口方向,對稱軸,頂點坐標 31 22 不畫圖象, 說出函數 y x 3 的開口方向, 對稱軸和頂點坐標, 并說明它是由函 41 2數 y x 通過怎樣的平移得到的 423如二次函數 y ax 2 的圖象經過點（ -2, 10）,求 a 的值這個函數有最大仍是最 小值？是多少？ B 組 4 在同始終角坐標系中 y 2 ax b 與 y ax ba 0, b 0

25、的圖象的大致位置是 第 10 頁,共 187 頁5已知二次函數 y 8 x2 k 1 x k 7 ,當 k 為何值時,此二次函數以 y 軸為對稱軸？ 寫出其函數關系式 本課學習體會 26 2 二次函數的圖象與性質（ 3） 本課學問要點 會畫出 y a x h 2 這類函數的圖象,通過比較,明白這類函數的性質 MM 及創新思維 我們已經明白到,函數 y ax 2k 的圖象,可以由函數 y 2 ax 的圖象上下平移所 得,那么函數 y 1x 2 2 的圖象,是否也可以由函數 y 1 22 x 平移而得呢？畫圖試一 2試,你能從中發覺什么規律嗎？ 實踐與探究 例 1在同始終角坐標系中,畫出以下函數的

26、圖象 y 12 x , y 1 x 2 2 , y 1 x 2 2 ,并指出它們的開口方向,對稱軸和頂點坐 222標 解 列表 y y x -3 -2 -1 0123描點,連線,畫出這三個函 1 22 x 9210129數的圖象,如圖 262 5 所 2222示 1 x 2 2 101225 825 22222y 1 x 2 2 25 89210122222第 11 頁,共 187 頁它們的開口方向都向上；對稱軸分別是 y 軸,直線 x= -2 和直線 x=2 ；頂點坐標分別是 （ 0, 0）,（ -2, 0）,（ 2, 0） 1回憶與反思 對于拋物線 y x 2 2 ,當 x 時,函數值 y

27、 隨 x 的增大而減小； 2當 x 時,函數值 y 隨 x 的增大而增大；當 x 時,函數取得最 值,最 值 y= 探究 拋物線 y 1x 2 和拋物線 2y 1 x 2 2分別是由拋物線 y 1 x 向左,向右 22 2 21 2 1 2 平移兩個單位得到的假如要得到拋物線 y x 4 ,應將拋物線 y x 作怎樣的 2 2平移？ 例 2不畫出圖象,你能說明拋物線 y 3x 2 與 y 3 x 2 2 之間的關系嗎 . -2, 解 拋物線 y 2 3 x 的頂點坐標為（ 0, 0）；拋物線 y 3 x 2 2 的頂點坐標為（ 0） 因此,拋物線 y 3x2與 y 3x 22 形狀相同,開口方

28、向都向下,對稱軸分別是 y 軸和直線 x 2 拋物線 y 3 x 2 2 是由 y 2 3x 向左平移 2 個單位而得的 回憶與反思 y ax 2 h （ a, h 是常數, a 0）的圖象的開口方向,對稱軸,頂點坐 標歸納如下： y ax h2a開口方向 對稱軸 頂點坐標 0a0 當堂課內練習 1 畫圖填空：拋物線 y 2 x 1 的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標 是 ,它可以看作是由拋物線 y 2 x 向 平移 個單位得到的 2在同始終角坐標系中,畫出以下函數的圖象 第 12 頁,共 187 頁y 2x2 , y 2x 2 3 , y 2 x 3 2 ,并指出它們的開口方向,對稱軸和頂點 坐

29、標 本課課外作業 A 組 1已知函數 y 12 x , y 12 x 1 , y 12 x 1 222（ 1）在同始終角坐標系中畫出它們的圖象； （ 2）分別說出各個函數圖象的開口方向,對稱軸和頂點坐標； （ 3）分別爭辯各個函數的性質 2依據上題的結果,試說明：分別通過怎樣的平移,可以由拋物線 y 12 x 得到拋物 2線 y 1 x 2 1 和 y 1 x 2 1 ？ 22x 時, 3函數 y 2 3 x 1 ,當 x 時,函數值 y 隨 x 的增大而減小當 函數取得最 值,最 值 y= 4不畫出圖象,請你說明拋物線 y 2 5x 與 y 5x 2 4 之間的關系 B 組 5將拋物線 y

30、2 ax 向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標為 -2,且新拋物線經過點 （ 1, 3）,求 a 的值 本課學習體會 26 2 二次函數的圖象與性質（ 4） 本課學問要點 1把握把拋物線 y 2 ax 平移至 y a x 2 h +k 的規律； 2會畫出 y a x 2 h +k 這類函數的圖象,通過比較,明白這類函數的性質 MM 及創新思維 2由前面的學問,我們知道,函數 y 2 x 的圖象,向上平移 2 個單位,可以得到函數 y 2 x 22 的圖象；函數 y 2x 2 的圖象,向右平移 3 個單位,可以得到函數 y 2 x 3 2的圖象, 那么函數 y 2 x 2 的圖象, 如何平移, 才

31、能得到函數 y 2 x 3 22 的圖象呢？ 第 13 頁,共 187 頁 實踐與探究 例 1在同始終角坐標系中,畫出以下函數的圖象 y 12 x , y 12 x 1 , y 12 x 1 2 ,并指出它們的開口方向,對稱軸和頂點 222坐標 解 列表 x -3 -2 -1 0123向 描點,連線,畫出 y 1 2 x 9210129這 三 個 函 數 的 圖 22222象,如圖 26 26 y 12 x 1 8921012所示 22226503-2 30,對稱軸分別 y 12 x 1 22222它們的開口方向都 為 , , , 頂 點 坐 標 分 別 為 , , 請同學們完成填空,并觀看三

32、個圖象之間的關系 回憶與反思 二次函數的圖象的上下平移,只影響二次函數 y a x h 2 +k 中 k 的值； 左右平移,只影響 h 的值,拋物線的形狀不變,所以平移時,可依據頂點坐標的轉變,確 定平移前,后的函數關系式及平移的路徑此外,圖象的平移與平移的次序無關 探究 你能說出函數 y a x 2 h +k（a,h,k 是常數, a 0）的圖象的開口方向,對稱 軸和頂點坐標嗎？試填寫下表 y a x h 2 +k a開口方向 對稱軸 頂點坐標 0a0第 14 頁,共 187 頁例 2 把拋物線 y x 2 bx c 向上平移 2 個單位,再向左平移 4 個單位,得到拋物線 y x 2 ,求

33、 b, c 的值 2 2分析 拋物線 y x 的頂點為（ 0, 0）,只要求出拋物線 y x bx c 的頂點,依據 頂點坐標的轉變,確定平移后的函數關系式,從而求出 b,c 的值 解 y x 2 bx c x 2bx b4 2b4 2c x b 2 2 c b4 2 2向上平移 2 個單位,得到 y x b 2c b 2 , 2 42再向左平移 4 個單位,得到 y x b 4 2c b 2 , 2 42其頂點坐標是 b2 4, c b4 2 ,而拋物線 y x 2 的頂點為（ 0, 0）,就 b4 0 22c b 2 04b 8解得 c 14 探究 把拋物線 y x 2 bx c 向上平移

34、 2 個單位,再向左平移 4 個單位,得到拋物線 2 2y x ,也就意味著把拋物線 y x 向下平移 2 個單位,再向右平移 4 個單位,得到拋 物線 y x 2 bx c 那么,此題仍可以用更簡潔的方法來解,請你試一試 當堂課內練習 1將拋物線 y 2x 2 4 1 如何平移可得到拋物y 2 2x （ ） 線 A 向左平移 4 個單位,再向上平移 1 個單位 B向左平移 4 個單位,再向下平移 1 個單位 C向右平移 4 個單位,再向上平移 1 個單位 第 15 頁,共 187 頁D向右平移 4 個單位,再向下平移 1 個單位 4 個單位,所得的拋物線的函數 平 2把拋物線 y 32 x

35、向左平移 3 個單位,再向下平移 2關系式為 平移 個單位,再向 3拋物線 y 1 2 x 12 x 可由拋物線 y 12 x 向 22移 個單位而得到 本課課外作業 A 組 1在同始終角坐標系中,畫出以下函數的圖象 y 3x 2 , y 3 x 22 , y 3x 221 ,并指出它們的開口方向,對稱軸和頂 點坐標 2將拋物線 y 2 x 2x 5 先向下平移 1 個單位,再向左平移 4 個單位,求平移后的 拋物線的函數關系式 3將拋物線 y 12 x x 3如何平移,可得到拋物線 y 12 x 2 x 3 ？ 222B 組 4把拋物線 y x 2bx c 向右平移 3 個單位,再向下平移

36、2 個單位,得到拋物線 2y x 3x 5 ,就有 （ ） A b =3, c=7 B b= -9 , c= -15 C b=3, c=3 D b= -9 , c=21 2 25拋物線 y 3x bx c 是由拋物線 y 3x bx 1 向上平移 3 個單位,再向左平 移 2 個單位得到的,求 b, c 的值 6將拋物線 y 2 ax a 0 向左平移 h 個單位, 再向上平移 k 個單位, 其中 h 0,k 0, 求所得的拋物線的函數關系式 本課學習體會 26 2 二次函數的圖象與性質（ 5） 本課學問要點 1能通過配方把二次函數 y 2 ax bx c 化成 y a x h 2 +k 的形

37、式,從而確定開口 方向,對稱軸和頂點坐標； 2會利用對稱性畫出二次函數的圖象 第 16 頁,共 187 頁MM 及創新思維 我們已經發覺,二次函數 y 2 x 3 2 1 的圖象,可以由函數 y 2 x 的圖象先向 2平移 個單位,再向 平移 個單位得到, 因此,可以直接得出： 函數 y 2 x 3 2 1的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 那么,對于任意一個二次函 2數,如 y x 3x 2 ,你能很簡潔地說出它的開口方向,對稱軸和頂點坐標,并畫出 圖象嗎？ 實踐與探究 例 1通過配方,確定拋物線 y 2 x2 4 x 6 的開口方向,對稱軸和頂點坐標,再描點 畫圖 解 y 2 x 2 4 x

38、 622x 2x 622x 2x 1 1 622 x 1 1 622x 1 8因此,拋物線開口向下, 對稱軸是直線 x=1 ,頂點坐標為 （1,8） 由對稱性列表： x -2 -1 01234y 2 x24 x 6-10 06860-10 描點,連線,如圖 26 2 7 所示 x=1 為中心,函數值可由對稱性得到, 回憶與反思 （1）列表時選值,應以對稱軸 （ 2）描點畫圖時,要依據已知拋物線的特點,一般先找出頂點,并用虛線畫對稱軸,然 后再對稱描點,最終用平滑曲線順次連結各點 探究 對于二次函數 y ax 2 bx c ,你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐標嗎？請 你完成填空：對稱軸 ,頂點

39、坐標 2例 2已知拋物線 y x a 2x 9 的頂點在坐標軸上,求 a 的值 分析 頂點在坐標軸上有兩種可能：（ 1）頂點在 x 軸上,就頂點的縱坐標等于 0；（ 2） 頂點在 y 軸上,就頂點的橫坐標等于 0 第 17 頁,共 187 頁解 y 2 x a 2 x 9 x a 22 2 9a 2 2 , 2,4, 4就拋物線的頂點坐標是 a2,9 a 2 2 42當頂點在 x 軸上時,有 a2 20 , 解得 a2 當頂點在 y 軸上時,有 9 a 42 2 0 , 解得 a4 或 a 8 所以,當拋物線 y 2 x a 2x 9 的頂點在坐標軸上時, a 有三個值,分別是 8 當堂課內練

40、習 1（ 1）二次函數 y x 2 2x 的對稱軸是 ,當 x 時, y 隨 x 的 （ 2）二次函數 y 2x 2 2 x 1 的圖象的頂點是 增大而減小 （ 3）拋物線 y 2 ax 4x 6 的頂點橫坐標是 -2,就 a = 2拋物線 y 2 ax 2 x c 的頂點是 1, 1 ,就 a , c 的值是多少？ 3 本課課外作業 A 組 1已知拋物線 y 12 x 3x 5 2,求出它的對稱軸和頂點坐標,并畫出函數的圖象 22利用配方法, 把以下函數寫成 y a x 2 h +k 的形式, 并寫出它們的圖象的開口方向, 對稱軸和頂點坐標 （ 1） y 2 x 6 x 1（ 2） y 2

41、2x 3x 4（ 3） y x2 （ 4） y x 2 px qnx 3已知 y k k 2 2k 6 2 x 是二次函數,且當 x 0 時, y 隨 x 的增大而增大 第 18 頁,共 187 頁（ 1）求 k 的值；（ 2）求開口方向,頂點坐標和對稱軸 B 組 2 24當 a 0 時,求拋物線 y x 2ax 1 2a 的頂點所在的象限 5. 已知拋物線 y x 24 x h 的頂點 A 在直線 y 4x 1 上,求拋物線的頂點坐標 本課學習體會 26 2 二次函數的圖象與性質（ 6） 本課學問要點 1會通過配方求出二次函數 y 2 ax bx ca 0 的最大或最小值； 2在實際應用中體

42、會二次函數作為一種數學模型的作用,會利用二次函數的性質求實際 問題中的最大或最小值 MM 及創新思維 在實際生活中,我們經常會遇到一些帶有“最”字的問題,如 問題： 某商店將每件進價為 80 元的某種商品按每件 100 元出售, 一天可銷出約 100 件該 店想通過降低售價,增加銷售量的方法來提高利潤經過市場調查,發覺這種商品單價每 降低 1 元,其銷售量可增加約 10 件將這種商品的售價降低多少時, 能使銷售利潤最大？ 在這個問題中,設每件商品降價 x 元,該商品每天的利潤為 y 元,就可得函數關系式為二 次函數 y 10 x 2100 x 2022 那么,此問題可歸結為：自變量 x 為何值

43、時函數 y 取 得最大值？你能解決嗎 . 實踐與探究 例 1求以下函數的最大值或最小值 （ 1） y 2 x2 3x 5； 3 x （ 2） y 2 x 3x 4 分析 由于函數 y 2 x2 5 和 y 2 x 3x 4 的自變量 x 的取值范疇是全體實數, 所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點,就可以確定函數有最大值或最小值 解 （ 1）二次函數 y 2 x 2 3 x 5 中的二次項系數 2 0, 因此拋物線 y 2x 2 3 x 5 有最低點,即函數有最小值 由于 y 2 x 2 3x 5 = 2 x 3 2 4 49 8, 所以當 x 3 時,函數 y 2 x 23x 5 有最小值

44、是 49 4 8第 19 頁,共 187 頁（ 2）二次函數 y x 2 3x 4 中的二次項系數 -1 0, 因此拋物線 y x 2 3 x 4 有最高點,即函數有最大值 25 由于 y x 2 3x 4 = x 3 2 2 4, 所以當 x 3時,函數 y x 23x 4 有最大值是 25 2 4回憶與反思 最大值或最小值的求法, 第一步確定 a 的符號, a0 有最小值, a 0 有最大 值；其次步配方求頂點,頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值 探究 試一試,當 25 x 35 時,求二次函數 y x 2 2 x 3 的最大值或最小值 y 例 2某產品每件成本是 120 元,試銷階段每

45、件產品的銷售價 x（元）與產品的日銷售量 （件）之間關系如下表： x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35 如日銷售量 y 是銷售價 x 的一次函數,要獲得最大銷售利潤,每件產品的銷售價定為多少 元？此時每日銷售利潤是多少？ 分析 日銷售利潤 =日銷售量每件產品的利潤,因此主要是正確表示出這兩個量 解 由表可知 x+y=200 , 因此,所求的一次函數的關系式為 y x 200 設每日銷售利潤為 s 元,就有 2 s y x 120 x 160 1600 由于 x 200 0, x 120 0 ,所以 120 x 200 所以,當每件產品的銷售價定為 160 元時,銷售利潤

46、最大,最大銷售利潤為 1600 元 回憶與反思 解決實際問題時,應先分析問題中的數量關系,列出函數關系式,再爭辯所 得的函數,得出結果 例 3如圖 26 2 8,在 Rt ABC 中, C=90 , BC=4 , AC=8 ,點 D 在斜邊 AB 上, 分別作 DE AC , DF BC ,垂足分別為 E, F,得四邊形 DECF ,設 DE=x , DF=y （ 1）用含 y 的代數式表示 AE ； （ 2）求 y 與 x 之間的函數關系式,并求出 x 的取值范疇； （ 3）設四邊形 DECF 的面積為 S,求 S 與 x 之間的函數關系, 并求出 S 的最大值 解 （ 1）由題意可知,四邊

47、形 DECF 為矩形,因此 AE AC DF 8 y 第 20 頁,共 187 頁（ 2）由 DE BC ,得 DE AE ,即 x 88y , （ ） BC AC 4所以, y 82 x , x 的取值范疇是 0 x 4 （ 3） S xy x8 2x 2 x2 8x 2x 22 8 , 所以,當 x=2 時, S 有最大值 8 當堂課內練習 1對于二次函數 y 2 x 2 x m,當 x= 時, y 有最小值 2已知二次函數 y ax 12b 有最小值 1,就 a與 b之間的大小關系是 A a b B a=b C a b D 不能確定 3某商場銷售一批襯衫,平均每天可售出 20 件,每件盈

48、利 40 件,為了擴大銷售,增加 盈利,盡快削減庫存,商場準備實行適當的降價措施,經過市場調查發覺,假如每件襯衫 每降價 1 元,商場平均每天可多售出 2 件 （ 1）如商場平均每天要盈利 1200 元,每件襯衫應降價多少元？ （ 2）每件襯衫降價多少元時,商場平均每天盈利最多？ 本課課外作業 A 組 1求以下函數的最大值或最小值 2（ 1） y x 2 2 x ； （ 2） y 2 x 2 x 1 2已知二次函數 y x 26 x m 的最小值為 1,求 m 的值, 3心理學家發覺,同學對概念的接受才能 y 與提出概念所用的時間 x（單位：分）之間滿 足函數關系： y x 2x 430 x

49、30 y 值越大,表示接受才能越強 （ 1）x 在什么范疇內,同學的接受才能逐步增強？ 降低？ （ 2）第 10 分時,同學的接受才能是多少？ （ 3）第幾分時,同學的接受才能最強？ x 在什么范疇內,同學的接受才能逐步 B 組 4不論自變量 x 取什么數,二次函數 y 2 2 x 6 x m的函數值總是正值,求 m 的取值 范疇 5如圖,有長為 24m 的籬笆,一面利用墻（墻的最大可用長度 a 為 10m）,圍成中間隔 有一道籬笆的長方形花圃設花圃的寬 （ 1）求 S 與 x 的函數關系式； AB 為 x m,面積為 S m2 （ 2）假如要圍成面積為 45 m2 的花圃, AB 的長是多少

50、米？ （ 3）能圍成面積比 45 m2 更大的花圃嗎？假如能,請求出 最大面積,并說明圍法；假如不能,請說明理由 6如圖,矩形 ABCD 中, AB=3 ,BC=4 ,線段 EF 在對角線 AC 上, EG AD ,FH BC ,垂足分別是 （ 1）求線段 EF 的長； G, H,且 EG+FH=EF （ 2）設 EG=x , AGE 與 CFH 的面積和為 S, 寫出 S 關于 x 的函數關系式及自變量 x 的取值范疇, 并求出 S 的最小值 本課學習體會 26 . 2 二次函數的圖象與性質（ 7） 本課學問要點 會依據不同的條件,利用待定系數法求二次函數的函數關系式 MM 及創新思維 一般

51、地,函數關系式中有幾個獨立的系數,那么就需要有相同個數的獨立條件才能求 出函數關系式例如：我們在確定一次函數 y kx bk 0 的關系式時,通常需要兩個 獨立的條件： 確定反比例函數 y k k 0 的關系式時, 通常只需要一個條件： 假如要確 x 2定二次函數 y ax bx ca 0 的關系式,又需要幾個條件 呢？ 實踐與探究 例 1某涵洞是拋物線形,它的截面如圖 面2629 所示,現測得水 寬 16m,涵洞頂點 O 到水面的距離為 24m,在圖中直角坐標 系內,涵洞所在的拋物線的函數關系式是什么？ 分析 如圖, 以 AB 的垂直平分線為 y 軸, 以過點 O 的 y 軸的垂線 為 x

52、軸,建立了直角坐標系這時,涵洞所在的拋物線的頂點在原 點,對稱軸是 y 軸,開口向下,所以可設它的函數關系式是 0 此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數關系式 y 2 ax a 解 由題意,得點 B 的坐標為（ 0 8, -2 4）, 又由于點 B 在拋物線上,將它的坐標代入 2y ax 2 a 0 ,得 a第 22 頁,共 187 頁所以 y a15 4因此,函數關系式是 15 2 x 4例 2依據以下條件,分別求出對應的二次函數的關系式 （ 1）已知二次函數的圖象經過點 A（ 0, -1）, B （ 1, 0）, C（ -1, 2）； （ 2）已知拋物線的頂點為（ 1, -3）,且

53、與 y 軸交于點（ 0,1）； （ 3）已知拋物線與 x 軸交于點 M （ -3, 0）,（ 5, 0）,且與 y 軸交于點（ 0,-3）； （ 4）已知拋物線的頂點為（ 3, -2）,且與 x 軸兩交點間的距離為 4 分析 （ 1）依據二次函數的圖象經過三個已知點, 可設函數關系式為 y ax 2bx c 的 形式； （ 2）依據已知拋物線的頂點坐標,可設函數關系式為 y ax 1 2 3 ,再依據拋 物線與 y 軸的交點可求出 a 的值；（ 3）依據拋物線與 x 軸的兩個交點的坐標,可設函數 關系式為 y a x 3 x 5 ,再依據拋物線與 y 軸的交點可求出 a 的值； （ 4）依據已

54、知 拋物線的頂點坐標（ 3,-2）,可設函數關系式為 y ax 3 2 2 ,同時可知拋物線的對 稱軸為 x=3 ,再由與 x 軸兩交點間的距離為 4,可得拋物線與 x 軸的兩個交點為（ 1, 0） 和（ 5, 0）,任選一個代入 y ax 3 22 ,即可求出 a 的0, -1）, 解 （1）設二次函數關系式為 y ax 2值 bx c ,由已知,這個函數的圖象過（ 可以得到 c= -1又由于其圖象過點（ 1, 0）,（ -1, 2）兩點,可以得到 a b 1a b 3解這個方程組,得 a=2,b= -1 所以,所求二次函數的關系式是 y 2 x2 2 x 1 y ax 1 23 , （ 2

55、）由于拋物線的頂點為（ 1, -3）,所以設二此函數的關系式為 又由于拋物線與 y 軸交于點（ 0, 1）,可以得到 所以,所求二次函數的關系式是 12 a 0 1 334 x2 8 x 1 解得 a 4 y 4 x 1 2第 23 頁,共 187 頁（ 3）由于拋物線與 x 軸交于點 M （ -3, 0）,（ 5, 0）, 所以設二此函數的關系式為 y ax 3 x 5 又由于拋物線與 y 軸交于點（ 0, 3）,可以得到 3 a0 3 0 5 解得 a 1所以,所求二次函數的關系式是 y x 5（ 4）依據前面的分析,此題已轉化為與（ 1 5 1 2 x 2x 3 53 x 552）相同的

56、題型,請同學們自己完成 回憶與反思 確定二此函數的關系式的一般方法是待定系數法, 在選擇把二次函數的關系 式設成什么形式時,可依據題目中的條件靈敏選擇,以簡潔為原就二次函數的關系式可 設如下三種形式： （ 1）一般式： y 2 ax bx ca 0 ,給出三點坐標可利用此式來求 （ 2）頂點式： h 2 ka 0 ,給出兩點,且其中一點為頂點時可利用此式來 y a x 求 （ 3）交點式： y a x x1 x x2 a 0 ,給出三點,其中兩點為與 x 軸的兩個交點 x1 ,0 , x2 ,0 時可利用此式來求 當堂課內練習 1依據以下條件,分別求出對應的二次函數的關系式 （ 1）已知二次函

57、數的圖象經過點（ 0,2）,（ 1, 1）,（ 3, 5）； （ 2）已知拋物線的頂點為（ -1, 2）,且過點（ 2,1）； （ 3）已知拋物線與 x 軸交于點 M （ -1, 0）,（ 2, 0）,且經過點（ 1, 2） 2二次函數圖象的對稱軸是 x= -1 ,與 y 軸交點的縱坐標是 6,且經過點（ 2, 10）,求 此二次函數的關系式 本課課外作業 A 組 1已知二次函數 y x2 bx c的圖象經過A（ -1, 12）, B（ 2, -3）, 點 （ 1）求該二次函數的關系式； （ 2）用配方法把（ 1）所得的函數關系式化成 y a x h 2 k 的形式,并求出該拋物線 的頂點坐標

58、和對稱軸 第 24 頁,共 187 頁2已知二次函數的圖象與一次函數 y 4 x 8 的圖象有兩個公 共點 P（ 2, m）, Q（ n, -8）,假如拋物線的對稱軸是 x= -1 , 求該二次函數的關系式 3某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物,如以下圖,大門地面 寬 AB=4m ,頂部 C 離地面高度為 汽車欲通過大門, 貨物頂部距地面 判定這輛汽車能否順當通過大門 44m現有一輛滿載貨物的 28m,裝貨寬度為 24m請 4已知二次函數 y 2 ax bx c ,當 x=3 時,函數取得最大值 10,且它的圖象在 x 軸 上截得的弦長為 4,試求二次函數的關系式 B 組 5已知二次函數 y x

59、2 bx c的圖象經過（ 1,0）與（ 2, 5）兩點 1 求這個二次函數的解析式； 2 請你換掉題中的部分已知條件,重新設計一個求二次函數 y x 2 bx c 解析式的題 目,使所求得的二次函數與（ 1）的相同 y 2 x 1 上,求此二次函 6拋物線 y 2 x 2 mx n過點（ 2, 4）,且其頂點在直線 數的關系式 本課學習體會 26 . 3 實踐與探究（ 1） 本課學問要點 會結合二次函數的圖象分析問題,解決問題,在運用中體會二次函數的實際意義 MM 及創新思維 生活中,我們常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題,比如在 2022 雅典奧運會的 賽場上, 許多項目, 如跳水, 鉛球

60、,籃球,足球,排球等都與二次函數及其圖象息息相關 你 知道二次函數在生活中的其它方面的運用嗎？ 實踐與探究 例 1如圖 球行進高度 關系是 y 26 31,一位運動員推鉛球,鉛 y（m）與水平距離 x（m）之間的 12 x 2x 5,問此運動員把 12 33鉛球推出多遠？ 解 如圖,鉛球落在 x 軸上,就 y=0 , 第 25 頁,共 187 頁因此, 12 x 2x 50 假如創設另外一個問題情 1233解方程,得 x1 10, x2 2 （不合題意,舍去） 所以,此運動員把鉛球推出了 10 米 探究 此題依據已知條件求出了運動員把鉛球推出的實際距離, 境：一個運動員推鉛球,鉛球剛出手時離地