1、 7/7 眾所周知，不等式解法是不等式這一板塊的高考備考重點，其中，含有參數的不等式的問題，是主考命題的熱點，又是復習提高的難點。（1）解不等式，尋求新不等式的解集；（2）已知不等式的解集（或這一不等式的解集與相關不等式解集之間的聯系），尋求新含參數的值或取值范圍。（3）注意到上述題型（2）的難度與復雜性，本專題對這一類含參不等式問題的解題策略作以探索與總結。一、立足于“直面求解”解不等式的過程是一系列等價轉化的過程，對于有關不等式的“解”的問題，直面不等式求解，有時是問題解決的需要，有時是解決問題的基礎或手段。所給問題需要在獲得不等式的解集或最簡形成后，方可延伸或突破時，則要果斷地從求解不等

2、式切入。例1.設關于x的不等式（1）解此不等式；（2）若不等式解集為（3，+），求m的取值范圍；（3）若x=3屬于不等式的解集，求m的取值范圍分析：著眼于不等式的等價變形，注意到這里m20,m2同乘以不等式兩邊，則不等式轉化為axb型，于是可以x的系數a的取值為主線進行討論。解：（1）由題設，原不等式 m（x+2）m2+(x-3) (m R，m0) (m-1)xm2-2m-3 (1)當m1時，由（1）解得當m=1時，由（1）得x R;當m1時，原不等式的解集為當m=1時，原不等式的解集為R當mm2-2m-3 m2-5m0 0m0以及， m的取值或取值范圍由此而產生。例2已知關于x的不等式組的整

3、數解的集合為-2,求實數R的取值范圍。分析：由題設知,這一不等式組的解集只含有一個整數-2,那么當x= -2屬于這一成員不等式時,該不等式的解集是何種情形,這需要解出不等式后方可作出結論,故考慮以求解這一成員不等式切入并延伸。解：不等式x2-x-20 (x+1)(x-2)0 x2不等式 x2-x-20的解集A=（-，-1）（2，+ ），顯然-2A不等式2x2+(2R+5)x+5R0 (x+R)(2x+5)0設這一不等式的解集為B，則由-2 B，得：（-2+R）（-4+5）0 R2注意到（x+R）(2x+5)=0的根為x1= -R，(1)當時, 由得 ,即此時-2 B(2)當時,由得x|x AB

4、,x Z=-2于是由、得所求實數的取值范圍為-3，2）點評：在這里，考察的重點是含有參數的成員不等式，設含參不等式2x2+(2R+5)x+5R0的解集為B，而后首先由-2 B獲得一個必要的R的取值范圍，進而立足于這一范圍。以含參不等式左邊（x+R）(2x+5)=0的根的大小為主線引入討論。首先由整數元素的從屬獲得問題存在的必要條件，而后立足于必要條件對應的范圍進行討論，這是解決含數元素的集合問題的基本策略。二、致力于“化生為熟”化生為熟是解題的通用方略，正如一位俄羅斯女數學家所言：解題，就是把“要解的題”轉化為“已經解過的題”。而對所給出的具體問題，如何化生為熟？則要根據問題的具體的條件與目標

5、來決定問題轉化的手段方向。1、化生為熟之一：轉化為二次不等式或整式不等式問題。二次不等式是我們所熟知的事物，因此，如果問題可轉化為二次不等式或整式不等式問題，則解題便勝券在握。例1.若不等式的解集為（-，1）（2，+），求a的取值范圍。分析：注意到所給不等式，故想到利用分式不等式的基本變形轉化為整式不等式的解集問題。解：不等式 （a-1）x+1(x-1)0解法一:（分類討論）：由已知不等式解集的形式得：1-a0且1-a1以下以式左邊多項式的根與1的大小為主線展開討論：（1）當01-a1即0a1時，由得x1，即a1這與題設條件不符于是由（1）、（2）所得a的取值范圍為 解法二：（利用對一元二次不

6、等式解集的認知）原不等式 （1-a）x-1(x-1)0又原不等式的解集為（-，1）（2，+）注意到一元二次不等式解集端值必為相應方程的根所求a的取值范圍為點評：這里“化生為熟”的手段是“不等式的等價變形”一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0的解集為（-，x1） (x2 ,+),則必需（1）ac0 （2）x1為方程ax+b=0或cx+d=0的實根；x2為方程ax+b=0或cx+d=0的實根；例2.若不等式的解集為(-3,-1) 2,+ ）,求實數a的值分析:對于這類不等式或比較復雜的分式不等式問題,例2的解題思路能起重要的啟示作用.解:原不等式 (x+a)(x2+4x+3) 0(x

7、2+4x+30) (x+1)(x+3)(x+a)0(x-1,且x-3)設f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x-3且x-1)則原不等式 f(x) 0由題設知 x=2為方程f(x)=0的根, f(2)=0 a=-2所求實數a=-2點評：利用一元二次不等式ax2+bx+c0的解集與一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之間的關系，可使問題簡單化。2、化生為熟之二：轉化為集合間的關系問題，集合既是數學中的原始概念，又是數學問題的基本載體。同樣，集合間的關系既是數學理論的基礎，又是問題轉化的目標，關于兩個不等式（或方程）的解的關系問題，向著集合間的關系問題轉化，是化生為熟的主要方向之一。例1.若

8、對中的一切實數a，滿足不等式 b的x也滿足不等式 ,求正實數a的取值范圍。分析：注意到各不等式的解組成集合，為將已知的兩不等式的“解”之間的關系轉化為兩個集合之間的關系，首先從化簡兩個不等式的解集切入解：設集合A=x| |x-a|0,于是由(5)、（6）得b的取值范圍為。點評：當解題過程中出現二次三項式時，配方成為解題的基本方法與基本技巧。例2.要使滿足關于x的不等式2x2-9x+a0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一個，求實數a的取值范圍。分析：根據例1的解題經驗，我們以求出有關不等式的解集切入，而后利用有關解集之間的關系突破。解:設A=x|x2

9、-4x+30，則A=（1，3）；B=x|x2-6x+80,則B=（2，4）；AB=（1，4）設C=x|2x2-9x+a0, 則由題設得 C AB，即C（1，4）又設f(x)= 2x2-9x+a則f(x)的圖象是以直線為對稱軸且開口向上的拋物線由C（1，4）得x|f(x）0 (1,4)于是可知實數a的取值范圍為點評：上述解答進行了兩次轉化：第一次是轉化為集合間的關系： C AB；第二次是注意到2x2-9x+a0為二次不等式，于是在C AB=（1，4）的基礎上，進一步將問題轉化為已知一元二次不等式的解集，而這樣的問題恰是我們所熟悉的，于是解題勝利在望。配伍練習：已知三個不等式：（1）|2x-4|5

10、-x;（2）（3）2x2+mx-10對任何x R恒成立 a0且=b2-4ac0;ax2+bx+c0對任何x R恒成立 a0且=b2-4acm對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍。解：（1）注意到對任意x R，總有x2+x+10對任意x R 恒成立對任意x R 恒有3x2+2x+2m（x2+x+1）成立對任意x R 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0成立注意到m N*，m=1（2）設f(x)=|x+1|+|x-2|,則f(x)m對一切實數x恒成立mf(x)的最小值（1）f(x)=|x+1|+|x-2|（x+1）-（x-2）|=3 (當且僅當-1x2時等號成立)f(x)的最小值為3（當

11、且僅當x -1，2時所得）（2）于是由（1）（2）得m3，即所求的取值范圍為。例2.若不等式對一切x R恒成立，求實數的取值范圍。分析：為化生為熟，首先考慮在不等式的等價變形過程中去掉絕對值，而后再轉化為二次三項式大于0（或小于0恒成立問題）。解：不等式注意到原不等式對一切x R恒成立 5(3x2-2x+3)x2+2mx+15(3x2-2x+3)對一切x R恒成立所求m的取值范圍為（-11，9）點評：在原不等式等價變形過程中，化整為零，使各個部分都歸結為二次型不等式恒成立的問題，這也是在應用解決數學問題通用的化整為零，靈活機動的戰略戰術.例3.已知三個關于x的不等式：(1)|2x-4|5-x;

12、(2) ;(3)2x2+mx-10若同時滿足不等式（1）（2）的x也滿足不等式（3），試求m的取值范圍。分析：本例的條件與結論與例2頗為相似，于是考慮由例2的解題思路切入并延伸。解：將（1）（2）聯立，得： 0 x1或2x3設不等式（1）的解集為A，（2）的解集為B（3）的解集為C則有AB=0，1）（2，3）由題設知，即0，1）（2，3） C再由題設知，當x 0，1）（2，3）時，不等式（3）恒成立當x 0,1）2,3，時，不等式2x2+mx-10恒成立注意到當x=0時，2x2+mx-10顯然成立，當x 0,1）2,3，時，不等式2x2+mx-10恒成立設則由1）得mg(x)恒成立 mg(x)

13、的最小值或mg(x)的下確界注意到g(x)在（0，1）(2,3)內為減函數g（x）g(3)又g(x)的下確界為由（2）（3）得，即所求m的取值范圍為點評：題面與第一步的轉化都與前面的例2“有著驚人的相似之處”，但是第二步的轉化卻有著明顯的差異：前者是轉化為已知二次函數f(x)0的解集為（x1, x2） a0的解集為（-, x1）（x2,+） a0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實根。于是由此不等式所含的數和ax想到：借助換元，將所給問題，轉化為一元二次不等式問題。解：設t=，則t0且原不等式由題設知關于t的不等式 (t0)的解集為（2，）一元二次方程的兩根為2，由韋達定理得由

14、此解得點評：這里“化生為熟”的手段是“換元”，變量轉換，是使問題完成從“無理”向“有理”的質的轉變的重要手段.例2定義在R上的函數f(x)既是奇函數，又是減函數，當x 0， 時，f（sin2x-msinx+m）+f(-2)0恒成立，求m的取值范圍.分析：注意到這里含有抽象的函數符號“f”，故首先想到通過“反用”單調性的定義脫去“f”，將所給問題轉化為普通的不等式恒成立的問題；又注意到“f ”之下是關于sinx的二次三項式，為使有關不等式以及解題過程雙雙簡明，考慮第二次轉化時運用變量轉換.解：由f(x)為奇函數得-f(-2)=f(2)f(sin2x-msinx+m)-f(-2)當x 0， 時恒成

15、立 f(sin2x-msinx+m)f(2)當x 0， 時恒成立令sinx=t,則由x 0， 得0t1由得f(t2-mt+m)f(2) 當t 0，1時恒成立又f(x)在R上為減函數，由得 t2-mt+m2當t 0，1時恒成立 m（1-t）2-t2當t 0，1時恒成立當t=1時，對任意m R都有m(1-t)2-t2成立當t1時，令 g(x)= (0t1)則由得mg(t)（0t1）恒成立 mg(t)(0t1)的最小值g(t)= =易知g(t)在0,1）內遞增，g(t)有最小值g(0)=2由得 m2于是由，得所求m的取值范圍為（-，2）點評：回顧上述解題過程，在脫去符號“f“之后，首先借助換元，促使

16、關于sinx的二次不等式恒成立的問題，轉化為關于t的二次不等式恒成立的問題，完成化繁為簡的第一次轉化；在此基礎上進而由對式的“主元轉換”切入，使問題進一步轉化為g(x)= （0tm（x2-1）對于m -2，2成立，求x的取值范圍分析：注意到這里限定m的范圍，所以若將已知不等式視為關于m的一次型不等式，則所給問題便轉化為：已知關于m的一次型不等式在m -2，2上恒成立，求其系數中所含x的取值范圍，于是，利用一次函數的單調性便可輕易破解解：原不等式（1-x2）m+(2x-1)0f(m)=(1-x2)m+2x-1則f(m)為m的一次函數或常數函數，其幾何意義為直線，于是原不等式對任意m -2，2成立

17、x點評：上述解法的詳細過程為分類討論:（i）當1-x20 -1x0(-2m2)得f(-2)0(ii)當1-x20 x1時,f(m)在-2,2上為減函數由f(m)0(-2m2)得(iii)當1-x2=0 x=1時當x=1時f(m)=10當x=-1時f(m)=-30不成立,綜上(i)(ii)(iii)得所求的x的取值范圍為例2. 已知對于滿足p=16sin3,且 - , 的所有實數p,不等式log22x+plog2x+12log2x+p恒成立,求實數x的取值范圍.分析:由題設易得p -2,2,所給不等式為log2x的二次不等式,也可視為P的一次型不等式,由此想到以P為主元考察并轉化問題.解：由P=

18、16sin3, 又不等式log22x+plog2x+12log2x+p log22x+(P-2) log2x+(1-P)0 (以x為主元)（log2x-1）P+（log22x- 2log2x+1）0 (以P為主元)設f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2注意到當log2x=1即x=2時原不等式不成立故f(p)為p的一次函數，并且由得所給問題等價于f(p)在區間-2，2上恒大于0所求實數x的取值范圍為點評：在這里不可忽略考察（3）中P的關系log2x-1=-0的料情形，事實上，當log2x-1=0即x=2時原不等不成立，故這里x2，即這里的f(p)不存在為常數求的情形若a,b -1

19、1且ab，則有（1）判斷f(x)在區間-1，1的單調性；（2）解不等式（3）若f(x)m2-2am+1對所有x -1，1，a -1,1恒成立，求m的取值范圍。分析：注意到這里f(x)為軸象數，故（1）的數解只能運用數的單調性定義，而f(x)的單調性一經確定，便為（2）的推理以及（3）的轉化奠定理論基礎。解：（1）設x1, x2-1,1且x10并且由題設得f(x1)-f(x2)0 ,即 f(x1)f(x2)f(x)在區間-1，1上的增區數。（2）注意到f(x1)定義域為-1，1，且f(x)在用區間-1，1遞增，利用增數定義為原不等式的解集為(3)由(1)知f(x)在閉區間-1,1上為增函數 f(

20、x) m2-2am+1在x -1,1, -1,1上恒成立 m2-2am+1(-1a1)f(x) (-1 x1) m2-2am+1f(1)在a -1,1上恒成立 m2-2am+10在a -1,1上恒成立 (以m為主元 (-2m)a+m2 0在a -1,1上恒成立 (以m為主元當g(a)=(-2m)a+m2，則g(a)為a的一次函數由（5）（6）得 g(a)0在a -1,1上恒成立 g(1) 0且g(-1) 0 m-2 或m2所求m的取值范圍為（-,-m）2,+ 點評：這里的解題經歷三次視角的轉化：第一次是由到，將f(x)在給定區間上遞增，視為相關不等式在給定區間上恒成立；第二次是以到，將不等式與

21、f(x)的最大值建立聯系；第三次是從到，將關于m的二次不等式視為關于a的一次型不等式，由此，解題一步步轉化，一步步走向熟悉與簡明.五、練習（高考真題）1、（2005-遼寧卷）在R上定義運算 ：x y=x(1-y),若不等式（x-a） (x+a)1對任意實數x成立，則（）A-1a1 B. 0a0，設x0（0，+），y=kx+m是曲線y=f(x)在點（x0 f(x0)）處的切線方程，并設函數g（x）=kx+m （1）用x0 f(x0),f(x0)表示m；（2）證明：當x（0，+）時，g（x）f(x)；（3）若關于x的不等式在0，+）上恒成立，其中a,b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系。分

22、析與解答：1、分析：注意到我們對上面定義的陌生，故首先想到從本題對運算的定義切入，將有關不等式轉化為普通不等式：由所給定義（x-a） (x+a)1對任意x R成立（x-a）(1-x-a)0對x R恒成立 =1-4（1-a2+a）0 4a2-4a-30故應選C2、分析：由P正確且Q正確推出m的范圍首先需要尋找命題P與命題Q成立時，變量m所滿足的等價條件，故從命題P、Q的轉化切入。解：由x1, x2為方程x2-ax-2=0的兩個實根，得x1+x2=a， x1x2=-2命題P正確不等式對任意實數a -1，1成立（1）-1a1,8a2+89,由（1）得命題P正確 |m2-5m-3|3 m2-5m-3-3或m2-5m-33 m-1或0m5或m6即當m（-，-10，5 6，+時，命題P正確（2）又f(x)的圖象是開口向上的拋物線要使f(x)在（-，+）上有極值，只需f(x)的最小值小于零 m4即當m（-，-1）（4,+ ）時 ,命題Q正確（3）于是由（2）、（3）知，當命題P、Q同時正確時，m的取值范圍由（-，-1）（4,5 6，+）。點評：在這里命題Q的轉化：注意到f(x)在R上可導，所以f（x）在R上存在極值，只需f(x)可取正值、負數與零值，又f（x）是二次項系數為正數的二次函數，且在R上連續，故只f(x)的最小值小于0，這一步步化隱為明的轉化,值得我們