1、-. z.*學院本科畢業論文設計學院本科畢業論文(設計)題目：高階微分方程的解法及應用院系理學院專業數學與應用數學年級2009級*曉輝*09031212指導教師徐亞蘭職稱副教授2013年6月1日-. z.目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc358130580摘 要 PAGEREF _Toc358130580 h 1HYPERLINK l _Toc358130581Abstract PAGEREF _Toc358130581 h 2HYPERLINK l _Toc358130582前 言 PAGEREF _Toc358130582 h 3HYPERLINK l

2、 _Toc358130583第一章 高階微分方程的理論與構造 PAGEREF _Toc358130583 h 4HYPERLINK l _Toc358130584第二章 高階常系數線性微分方程 PAGEREF _Toc358130584 h 6HYPERLINK l _Toc3581305852.1 高階常系數線性齊次微分方程 PAGEREF _Toc358130585 h 6HYPERLINK l _Toc3581305862.1.1 特征根是單根的情況 PAGEREF _Toc358130586 h 6HYPERLINK l _Toc3581305872.1.2 特征根是重根的情況 PAG

3、EREF _Toc358130587 h 7HYPERLINK l _Toc3581305882.2 高階常系數線性非齊次方程 PAGEREF _Toc358130588 h 8HYPERLINK l _Toc3581305892.2.1 常數變易法 PAGEREF _Toc358130589 h 8HYPERLINK l _Toc3581305902.2.2 比擬系數法 PAGEREF _Toc358130590 h 10HYPERLINK l _Toc3581305912.2.3 拉普拉斯變換法 PAGEREF _Toc358130591 h 11HYPERLINK l _Toc35813

4、05922.3 Euler方程 PAGEREF _Toc358130592 h 13HYPERLINK l _Toc358130593第三章 可降階的高階微分方程的解法 PAGEREF _Toc358130593 h 15HYPERLINK l _Toc3581305943.1 形如的高階方程 PAGEREF _Toc358130594 h 15HYPERLINK l _Toc3581305953.2 形如的高階方程 PAGEREF _Toc358130595 h 16HYPERLINK l _Toc3581305963.3 形如的高階方程 PAGEREF _Toc358130596 h 17

5、HYPERLINK l _Toc3581305973.4 恰當導數方程 PAGEREF _Toc358130597 h 19HYPERLINK l _Toc358130598第四章 高階微分方程的應用 PAGEREF _Toc358130598 h 21HYPERLINK l _Toc358130599參考文獻 PAGEREF _Toc358130599 h 25HYPERLINK l _Toc358130600致 PAGEREF _Toc358130600 h 26-. z.-. z.摘 要本文首先介紹了高階微分方程的一些理論與構造。進而介紹了高階齊次線性微分方程的求解方法和高階非齊次線性微

6、分方程的求解方法，在求解齊次線性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齊次線性微分方程里主要采用了比擬系數法、拉普拉斯變換法和常數變易法。其次又介紹了幾類可降階的微分方程的解法，主要有形如，恰當導數方程和Euler方程的降階方法，并且研究了幾類較為復雜的高階微分方程的降階問題。最后通過一些在現實生活中例子對這些方法的具體應用做了介紹。關鍵詞：高階常微分方程；常數變易法；特征根法；降階法AbstractThis paper introduces some of the theories and higher order differential structure. Then introduce

7、 higher-order homogeneous linear differential equation methods and high-order non-homogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method; in solving inhomogeneous linear differential equations in mainly uses th

8、e parison coefficient method, Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of

9、 more ple* higher order differential equations reduction problem. Finally some real life e*amples of specific applications of these methods have been described.Key words: Higher Order Ordinary Differential Equations; constant variation; eigenvalue method; reduction method前 言常微分方程作為數學系重要專業的一門根底課程，對學習

10、好其他的科目起到了至關重要的作用。它的形成與開展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的開展密切相關的。數學的其他分支的新開展，如復變函數、拓撲學等，都對常微分方程的開展產生了深刻的影響，當前計算機的開展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。而高階微分方程是常微分方程中的一個重要的組成局部，在現實的生活中也有著廣泛的應用，比方工程問題。常系數線性微分方程的解法，高階微分方程的降階問題又是高階微分方程的重中之重。常微分方程是在生產實踐和科學技術中產生的。目前，常微分方程在很多學科領域有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學

11、反響過程穩定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。人們對于二階以及簡單的高階微分方程求解的方法有了很多理論成果，而高階常微分方程并沒有固定的解法，例如，高階常系數線性齊次微分方程，我們可以運用特征根的方法進展求解，高階常系數線性非齊次微分方程，我們可以運用常數變易法，比擬系數法，拉普拉斯變換法進展求解。而對于可以降階的高階微分方程，我們通常采用降階法，也就是通過一定的變換把高階微分方程求解的問題轉化成低階微分方程的求解問題。本篇論文我總結了形如，恰當導數方程和Euler方程的降階方法，并且研究了幾類較為復雜的高階微分方程的降階問題，進而介紹此類問題在科學技

12、術中的應用。第一章 高階微分方程的理論與構造定義1方程的階 在一個常微分方程里，未知函數的最高階導數的階數叫做方程的階。n階隱式方程的一般形式為n階顯式方程的一般形式為定義2解 設函數在區間上有直到階的導數。如果把代入到方程得到在區間上關于的恒等式是則稱是方程在區間上的一個解。微分方程的解可以包括任意的常數，其中任意常數的個數可以多到和方程的階數相等，當然也可以不包括任意常數。我們把方程的含有個獨立的任意常數的解稱做該方程的通解。如果方程的解不包含任意常數，則把它叫做特解。方程 1-1稱做n階線性微分方程，它關于未知函數以及各階導數都是線性的。在這里，我們通常假設和是區間上的連續函數。如果都是

13、常數，則把方程1-1叫做n階常系數線性方程。如果方程的右端項，即則稱方程1-1是齊次的，否則為非齊次的。所以對于方程1-1的齊次方程是 1-2定理1疊加原理 設和是齊次方程1-2的解，則對于任意常數和，也是方程1-2的解。定理2 設是方程的解，則也是方程的解。定理3 設是齊次方程1-2的n個線性無關的特解，則是方程1-2的通解，其中是任意常數。定理4 設是非齊次線性方程1-1的任意一個確定的解，是1-1對應的齊次線性方程1-2的通解。則 是1-1的通解。第二章 高階常系數線性微分方程2.1 高階常系數線性齊次微分方程對于n階常系數線性齊次方程 2-1其中是關于的未知函數，系數是實常數。如果是方

14、程的根，把他代入到方程中，得因為，因此 2-2反之，如果滿足等式2-2，則是方程(2-1)的解。式子2-2是關于的n次代數方程，則把他叫做微分方程2-1的特征方程，它的根就稱做特征根。下面根據特征根的不同情形分別進展討論方程解的情況。2.1.1 特征根是單根的情況定義 我們把稱為方程的特征方程，它的根叫做特征根。在這里把叫做待定系數。定理 如果特征方程有個互異的根，則是方程的一個根本解組。特征方程可能有復根，由于他的系數是實的，他的復根一定是共軛成對的出現。即此時在相異特征根中有復數。例如，則也是的根。這兩個特征根所對應的解是實變量復值函數例1 求方程的通解。解 特征方程的根是，其中有兩個實根

15、和兩個復根，但他們都是單根，所以所求方程的通解是在這里是任意的常數。2.1.2 特征根是重根的情況定理 假設方程有互異的特征根，他們的重數分別是，并且，則與他們相對應的的特解是，并且該特解構成在區間上的根本解組。例2 解初值問題解 特征方程是，特征根是所以方程的通解是又因為根據初始條件，得再解方程組，得于是初值問題的解是2.2 高階常系數線性非齊次方程對于n階常系數線性非齊次方程 2-3他的通解等于齊次方程的通解再加上加其對應的非齊次方程的一個特解。在上一節中我們知道了怎樣求解齊次方程的通解，下面我們主要來研究求解非齊次方程的特解的方法。2.2.1 常數變易法常數變易法實際上是一種變量變換的方

16、法,在這里我們簡單的介紹一下在n階方程中的應用?？梢栽O方程2-3的特解是： (2-4)其中是待定的常函數。并且把它代入到方程(2-3)中,再附加上n-1個條件,就可以得到方程組 2-5解方程組(2-5)就會得到關于的表達式,把它們分別進展積分進而得到,再把它們代入到(2-4)式中,繼而求得方程2-3的一個特解。由于這種方法對于自由項的形式沒有任何的限制,因此使用的圍會比擬廣,但是求解的工作量相對來說會大一些。例3 求解方程的通解,它所對應的齊次線性微分方程的根本解組是。解 運用常數變易法,設并且把它代入到方程里,就可以得到關于和的兩個方程和 解得 ,據此得到所以原方程的通解是 其中是任意的常數

17、。2.2.2 比擬系數法對于常系數非線性方程2-3,我們通常采用的方法是比擬系數法,它是把所要求解的微分方程的問題轉化成代數問題,在自由項是(其中分別是次,次,次的多項式。都是實常數)時,就可以確定特解的形式,即分別令是一個待定的次的多項式,是方程的特征方程有根時的次數)或者(其中是兩個待定的次多項式,是方程含有根的次數)然后把它代入到方程2-3中,再進展比擬等式的左右兩邊同次冪的系數來確定待定系數多項式。再根據線性微分方程解的構造便可以求解出方程的通解。例4 求方程的通解。解 特征方程有三重根,所對應的齊次方程的通解是并且方程有的特解,將它代入到方程中得再比擬兩邊的系數求得 進而所以所求的方

18、程的通解是其中是任意的常數。2.2.3 拉普拉斯變換法根據積分所定義確實定在復平面上的復變數的函數，叫做函數的拉普拉斯變換，其中在上有定義，并且滿足不等式在這里是*兩個正常數。我們把稱為原函數，而把稱為象函數。設所給定的微分方程 2-6和初始條件其中是常數，而是連續的并且滿足原函數的條件。可以證明，假設是方程2-1的任意解，則以及它的各階的導數都是原函數。記則，根據原函數的微分性質就有于是，再對方程2-6的兩邊進展拉普拉斯變換，并且運用線性性質就可以得到即或者其中和都是的多項式，由此得到這就是方程2-6所滿足所給初始條件的解的象函數。而可以直接查表或者根據反變換公式計算求解出來。例5 求方程的

19、滿足初始條件的解。解 對方程的左右兩邊進展拉普拉斯變換得到由此得到再把上面式子的右面分解成為局部分式對上面式子的右端的各項分別求出或者查表得出他們的原函數，則他們的和就是的原函數這就是所要求的解。2.3 Euler方程定義：形如的方程叫做Euler方程，其中是實常數，并且。它的特點就是包含的階導數項的系數是。當時，各階導數項的系數是0，所以我們令。在現實里，我們僅需要考慮的這種情況，因為在的時候，在上述的方程里做自變量變換，則方程就化成求出他的解，再用替換就可以得出方程關于的解。再做自變量變換則，一般的，假設，其中是常數，則所以，對于每一個正整數是的常系數的線性組合，進而把Euler方程化成了

20、常系數線性方程。例5 求解方程解 設，方程化做他的特征方程是他的特征值是-2和，方程的通解是 第三章 可降階的高階微分方程的解法本局部我將介紹4類比擬常見的高階微分方程的解法，在這些解法里有一個比擬類似的思路，就是把這些的高階微分方程通過*些變換降成比擬低階的微分方程再進展求解。所以，我們把這種方法稱做降階法。3.1形如的高階方程方程 3-1這種類型的方程比擬簡單，通常令，則積分得也就得到同理可以令得到如此繼續下去，再通過次積分就可以求出3-1的通解是例1 求解微分方程的通解。解 對原方程的左右兩邊依次進展積分，得再次進展積分，求解出原方程的通解是例2 求方程的通解解所以所求原方程的通解是3.

21、2 形如的高階方程方程 3-2a這種方程的特點極其容易看出，方程不顯含或者在這時我們只要把代入到上述的方程中，原方程就可以化作 3-2b) 如果方程3-2b可以求解出通解.則再對方程積分次，便可以求出了。在這里需要注意的是每積分一次，就需要增加一個獨立的任意常數.例1 求解方程解 設則代入到上面的方程中得再積分得即積分四次就可以求解出原方程的通解例2 求微分方程的通解解 設則。所以原方程就可以寫成左右兩邊進展積分得所以也就是，兩邊再次進展積分得出3.3 形如的高階方程方程 3-3這類方程也有一定的特點，就是不顯含自變量，這時，我們總可以利用代換使這類方程降低一階。以二階方程為例，設于是便有代入

22、到原方程中，就有這是一個關于未知函數的一個一階方程。如果用它可求出就有這是一個關于的變量可別離方程，進而可以求解出通積分。例1 求解方程解 根據上面的分析，我們可以令則代到原方程里得即左右兩邊進展積分得求解出得積分后得于是便有例2 求解方程解 首先令則于是原方程就化成了再令則即進而即進而可以積分求解出通積分3.4 恰當導數方程假設方程 3-4的左面正好是*一個函數對的導數，則3-4就可化為于是我們就把3-4稱作恰當導數方程。其實這類方程的解法和全微分方程的解法很類似，可以降低一階，化成之后，再想方法求解這個方程。例1 求解方程 解 我們可以把方程寫成所以就有即積分后就可以得出通積分這樣的問題雖

23、然簡單，但是需要具有很強的觀察能力和比擬結實的根底才可以觀察出來。下面有一個關于這方面的例子，解法技巧很高明，關鍵還是配導數的方法。例2 求解方程解 經過觀察我們可以先把等式的兩邊同時乘以一個不是的因子便有所以從而通解是第四章 高階微分方程的應用要利用微分方程解決實際問題，首先必須要根據物理和幾何關系規律來建立微分方程，然后再對進一步的問題進展分析與微分方程的建立，并且考慮初始條件，邊界條件，收斂條件來確定定解的條件，這是數學建模過程。模型建立好了就有了微分方程，我們就可以根據前面的容來解除方程，因為解決的是實際問題，我們還要用解出來的結果來分析問題。這局部容因為實際應用相比照擬強，所以我用三

24、個簡單的例子來簡單的介紹一下。例1 設質量是的物體自由懸掛在一個一端固定的彈簧上，當重力跟彈簧力相互抵消的時候，物體就會處在一個平衡的狀態，假設用手向下拉物體使它離開平衡的位置以后放開，物體在彈性力與阻力的作用下將做往復運動，阻力的大小與運動的速度成正比，方向相反。 1) 建立位移所滿足的微分方程解 設時刻物體的位移是。 1. 自由振動的情況，物體所受到的力有彈力恢復力 阻力根據牛頓第二定律得到令就可以得到阻尼自由振動方程 2. 強迫振動情況，如果物體在運動的過程里還受到鉛直外力的作用，設得到強迫振動的方程(2)在沒有外力的作用下做自由運動，設時物體的位置是，初始的速度為，求物體的運動規律解

25、由1知，位移滿足的定解問題是1. 無阻尼自由振動的情況方程 解得方程的通解是再利用初始條件可以得到所以所求的特解是1有阻尼自由振動情況,方程特征方程是 特征值 在這個時候我們需要三種情況來進展討論小阻尼則大阻尼則臨界阻尼則例2 人類將要向宇宙發射一顆人造地球衛星，為了讓她擺脫地球引力，初始速度應該不少于第二宇宙速度，試求該速度。解 在物理問題中，關鍵是要通過建立模型，把物理問題轉化成數學問題，在這個題目里設人造地球衛星的質量是，地球的質量是,衛星的質心到地心的距離是，根據牛頓第二定律得 (是引力系數再設衛星的初速度是，地球的半徑于是就有初值問題.于是以上的物理問題就轉化成了求二階常微分方程的特

26、解的問題，設代入到上述方程組的第二個式子就可以得到從而就有兩邊進展積分得到再利用初始條件得所以注意到為了讓應該滿足 (4-1)因為在h=R在地面上時，引力跟重力是相等的，即所以代入到方程(4-1)中得這就說明第二宇宙速度是例3 在船上向海里沉放*一種探測器，按照探測的要求，需要確定儀器的下沉深度和下沉的速度之間的函數關系。假設儀器在重力的作用下在海平面由靜止開場往下沉，在下沉的過程中還受到了阻力和浮力的作用，我們設儀器的質量是，體積是，海水的比重是，儀器所受到的阻力跟下沉的速度成正比，比例系數是試著建立與所滿足的微分方程，并且求出函數關系式解 同樣也是首先把實際的問題轉化成常微分方程，根據題目中的條件和牛頓第二定律可以將問題轉化成求解初始條件是的二階微分方程的特解的問題。我們有得初始條件是再利用別離變量法解上述初值問題得參考文獻1金福臨,訓經.常微分方程.科技, 1997.書籍