1、PAGE PAGE 6考點規(guī)范練29數學歸納法一、基礎鞏固1.對于不等式n2+nn+1(nN*),某同學用數學歸納法證明的過程如下:(1)當n=1時,12+11+1,不等式成立.(2)假設當n=k(kN*)時,不等式成立,即k2+kk+1,則當n=k+1時,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+24時,f(n)=(用n表示).5.用數學歸納法證明:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN*).6.已知nN*,Sn=(n+1)(n+2)(n+n),Tn=2n13(2n-1).(1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3;(2)猜想Sn與Tn的關系,并用數學歸納法證

2、明.三、探究創(chuàng)新7.設數列an的前n項和為Sn,且(Sn-1)2=anSn(nN*),設bn=(-1)n+1(n+1)2anan+1(nN*),數列bn的前n項和為Tn.(1)求S1,S2,S3的值;(2)猜想數列an的前n項和Sn,并用數學歸納法加以證明;(3)求數列Tn的通項公式.考點規(guī)范練29數學歸納法1.D在n=k+1時,沒有應用n=k時的假設,不是數學歸納法.2.證明(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,不等式成立.(2)假設當n=k(kN*)時,不等式成立,即有1+12+13+14+12k-1k,那么當n=k+1時,左邊=1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1+12k

3、+1-1k+12k+12k+1+12k+1-1,又12k+12k+1+12k+1-112k2k=1,即1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1k+1,即當n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)可知,對于任意nN*,1+12+13+14+12n-1n都成立.3.證明(1)當n=1時,x1=5,31+2=5,y1=-5,且1-231=-5,即等式成立.(2)假設當n=k(kN*)時,等式成立,即xk=3k+2,yk=1-23k,那么當n=k+1時,由2xk+1+3yk=7,得xk+1=12(7-3yk)=7-3(1-23k)2=4+23k+12=2+3k+1;由6x

4、k+yk+1=13,得yk+1=13-6xk=13-6(3k+2)=1-23k+1;故當n=k+1時,等式也成立.由(1)(2)可知,xn=3n+2,yn=1-23n對一切nN*都成立.4.512(n+1)(n-2)由題意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以歸納出每增加一條直線,交點增加的個數為原有直線的條數,即f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜測得出f(n)-f(n-1)=n-1(n4),則f(n)-f(3)=3+4+(n-1),故f(n)=12(n+1)(n-2).5.證明(1)當n=1時,左邊=1-12=12,右邊=12,等式成立.(2)假設當n=k(kN*)

5、時,等式成立,即1-12+13-14+12k-1-12k=1k+1+1k+2+12k,那么當n=k+1時,1-12+13-14+12k-1-12k+12(k+1)-1-12(k+1)=1k+1+1k+2+12k+12k+1-12k+2=1k+2+12k+12k+1+1k+1-12k+2=1k+2+1k+3+12k+1+12k+2=1(k+1)+1+1(k+1)+2+12(k+1)-1+12(k+1),根據(1)(2)可知,等式對于任何nN*都成立.6.解(1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120.(2)猜想:Sn=Tn(nN*).證明:當n=1時,S1=T1=2,猜想成立.假設

6、當n=k(kN*,且k1)時,猜想成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),那么當n=k+1時,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)2k(2k+1)(2k+2)=2k13(2k-1)k+1(2k+1)(2k+2)=2k+113(2k-1)(2k+1)=Tk+1,即當n=k+1時,猜想也成立.由可知,猜想對于任何nN*都成立.7.解(1)由(Sn-1)2=anSn,令n=1,則(S1-1)2=S12,解得S1=12;當n2時,由an=Sn-Sn-1,得(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn=12

7、-Sn-1;令n=2,得S2=23;令n=3,得S3=34.即S1=12,S2=23,S3=34.(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=34,猜想Sn=nn+1(nN*).下面用數學歸納法證明:當n=1時,S1=12,11+1=12,猜想成立.假設當n=k(kN*)時,猜想成立,即Sk=kk+1,那么當n=k+1時,由(1)知Sk+1=12-Sk=12-kk+1=k+1k+2=k+1(k+1)+1,即當n=k+1時,猜想也成立.由可知,猜想對于任何nN*都成立.(3)由(2)知a1=12.當n2時,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),且a1=12符合上式,即an=1n(n+1).又bn=(-1)n+1(n+1)2anan+1,所以bn=(-1)n+1(n+1)21n(n+1)1(n+1)(n+2)=(-1)n+1n(n+2)=(-1)n+121n-1n+2.當n為偶數時,Tn=121-13-12-14+13-15-14-16+1n-1-1n+1-1n-1n+2=121-1n