1、江蘇省鹽城市2020屆高三年級第三次模擬考試數學試題2020. 5第I卷(必做題，共160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置 上.).已知集合止x x2 2x 0 , N= x| 1 x 1 ,則M與N的并集MU Nl=.設復數z a i(a0),若Zz 2,則正實數a的值為.某電視臺對一節目的喜愛程度進行網絡調查，共有 12000人參與調查，喜愛、一般、不 喜愛的人分別為 6000人、5000人、1000人，為進一步了解被調查人的具體想法，現利用分層抽樣的方法抽取 60人，則抽取不喜愛的人數為 .1While1 0, b0)的離心率為2,則

2、其兩條漸近線所成a b的銳角為uuurNC，記三棱錐Auuruuuruuu.設三棱錐P ABC的體積為V,點M, N分別滿足PM 2MB , PNBMN勺體積為V2,則=.Vi8.在 ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若snAb, a 2c ,則cosA9.已知數列 ansin B a cbn滿足bn log2an,且數列bn是等差數列，若bs 2, b109,則數列 an的前n項和Sn =.若函數f (x) sin(2x )關于直線x 對稱，則的最小正值為 .4.若存在實數x (0,4),使不等式x3 2ax 16 0成立，則實數a的取值范圍是 uuur 1 uuur 2 uu

3、urAC.在銳角 ABC中，已知AH是BC邊上的高，且滿足 AH -AB * AC ,則AC的取值33AB范圍是.2x _13.設函數f(x) x 2ax b 2 ,右函數yf (x)與函數y f (f (x)都有零點，且它們的零點完全相同，則實數 a的取值范圍是214.右圓 Ci： (x m)2 一 ，一.22 一 .、.y 16與圓。：(x n) y 16相交，點P為其在x軸下萬的交點，且mn= -8,則點P到直線x+ y-1=0距離的最大值為 二、解答題(本大題共 6小題，共計90分，請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.(本小題滿分14分)1r.x

4、 xr xxurr 3右 m = ( sin -，cos-), n = ( cos-, 陰 cos-)，設 f (x) m n 一 .22222(1)求函數f (x)在0 ,兀上的單調減區間；(2)在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,若f (A) f (B) , a 2b ,求sinB的值.(本小題滿分14分)如圖，在三棱柱 ABC-ABC中，AA=AG AB AC,設。為AC與A1C的交點，點 P為 BC的中點.求證：(1) OP/平面 ABBA1；(2)平面 ACCL平面 OCP.（本小題滿分14分）如圖1是淋浴房示意圖，它的底座是由正方形截去一角得到，這一角是一個

5、與正方形1兩鄰邊相切的圓的 1圓弧（如圖2）.現已知正方形的邊長是 1米，設該底座的面積為 S平4方米，周長為l米（周長是指圖2中實線部分），圓的半徑為r米.設計的理想要求是面積SS盡可能大，周長l盡可能小，但顯然S、l都是關于r的減函數，于是設f （r） 3 ,當f （r）l的值越大，滿意度就越高.試問 r為何值時，該淋浴房底座的滿意度最高？（解答時 兀以3代入運算）.(本小題滿分16分)2如圖，A B為橢圓C: y2 1短軸的上、下頂點，P為直線l： y = 2上一動點，連接 aPA并延長交橢圓于點M,連接PB交橢圓于點N,已知直線 MA MBW斜率之積恒為(1)求橢圓C的標準方程；(2)

6、若直線MN x軸平行，求直線 MNB勺方程；(3)求四邊形AMBNT積的最大值，并求對應的點P的坐標.(本小題滿分16分)已知數列an滿足|an 1 aj 2n 1 .(1)若數列 an的首項為a1，其中0闞 3 ,且a1，a2, a3構成公比小于 0的等比數列，求a1的值；(2)若an是公差為d(d0)的等差數列 bn的前n項和，求a1的值；(3)若a1 1 , a22 ,且數列 a2n 1單調遞增，數列 a2n單調遞減，求數列 為的通項公式.(本小題滿分16分)設函數f(x) (2, g(x) -ln-x ,其中(x)恒不為0. e(x)(1)設(x) x2,求函數f(x)在x=1處的切線

7、方程；(2)若凡是函數f (x)與g(x)的公共極值點，求證：x0存在且唯一；(3)設(x) ax b ,是否存在實數a, b,使得f (x) g (x) 0在(0,)上恒成立？若存在，請求出實數 a, b滿足的條件；若不存在，請說明理由.第II卷(附加題，共40分)21 .【選做題】本題包括 A, B, C三小題，請選定其中兩題作答，每小題 10分共計20分， 解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.A.選修4-2:矩陣與變換直線l經矩陣 心cos sin (其中 (0,)作用變換后得到直線l ： y = sin cos2x,若直線l與l，垂直，求 的值.B.選修4 4:坐標系與參數方程2

8、(t為參數).以坐標原1t2x已知在直角坐標系 xOy中，直線l的參數方程為y點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為22 ,求直線l被曲線C截得的弦長.C.選修4 5:不等式選講4 一，一,111,右正數 a, b, c滿足 2a 4b c 3,求 的取小值.a 1 b 2 c 3【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分，解答時應寫出文字說明，證明過程 或演算步驟.22.(本小題滿分10分)已知某高校綜合評價有兩步：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進入第二步面試；若材料初審合格，則進入第二步面試.只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評價的錄取資格

9、，現有 A, B, C三名學生報名參加該高校的綜合評價，假設A, B, C三位學生材料初審合格的I率分別是 1 ,1，1 ;面試合格的概率分別是 -,1,2.324233(1)求A, B兩位考生有且只有一位考生獲得錄取資格的概率；(2)記隨機變量X為A, B, C三位學生獲得該高校綜合評價錄取資格的人數，求 X的 概率分布與數學期望.23 （本小題滿分10 分）設集合Tn = 1 , 2, 3,，n（其中nR3, n N ）,將Tn的所有3元子集（含有3個元素的子集）中的最小元素的和記為Sn （ 1）求S3 ， S4 ， S5 的值；（ 2）試求Sn 的表達式江蘇省鹽城市2020屆高三年級第三

10、次模擬考試數學試題解析第I卷(必做題，共160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置 上.)1.已知集合 M= x x2 2x 0 , Nl= X 1 X 1 ,則 M與 N 的并集 MU Nl=.答案:(T, 2) 考點：集合并集運算解析：.集合 M= x X2 2x 0 , M= (0 , 2),又. Nl= x 1 x 1 , . . MU N= (1,2).設復數z a i (a0)，若Zz 2 ,則正實數a的值為. 答案：1考點：復數 解析：: z a i ,zz (a i)(a i) a2 1 2,又. a 0, -a= 1.某電視臺

11、對一節目的喜愛程度進行網絡調查，共有12000人參與調查，喜愛、一般、不喜愛的人分別為 6000人、5000人、1000人，為進一步了解被調查人的具體想法，現利用分層抽樣的方法抽取 60人，則抽取不喜愛的人數為 .答案：5考點：分層抽樣解析：-60 1000 5. 12000.某校志愿者小組有 2名男生和1名女生，現從中任選 2人參加活動，則女生入選的概率 是.答案：2 3考點：隨機事件的概率解析：3人中任選兩人有三種情況，其中女生入選的情況有2種，故女生入選的概率是 -.3. 一個算法的偽代碼如圖所示，執行此算法，最后輸出的S的值為. TOC o 1-5 h z 口：While I 6,輸出

12、S的值為13.1(a0, b0)的離心率為2,則其兩條漸近線所成的銳角為答案：一3考點：雙曲線的簡單性質222.解析： c 2 ,2 4 ,故 Jb 4 , b HYPERLINK l bookmark40 o Current Document aaaa兩條漸近線方程為：yJ3x ,兩條漸近線所成的銳角為 一.3umruur uuu7.設三棱錐P ABC的體積為V,點M, N分別滿足PM 2MB , PNuuurNC，記三棱錐ABMN勺體積為V2,則匕Vi-1答案：16考點：三棱錐的體積1解析：首先得 Sabm -Sapbc,且點A到平面BMNW點A到平面PBC的距離相等,6故V2JV168.

13、在 ABC中，角A, B,C所對的邊分別為a, b, c,若snAsin B考點：正余弦定理解析： sn sin B-b,把a 2c代入得，b a ccosA22b c2bc6c2 c2 4c2662.6cc 4.已知數列 an、bn滿足bnlOgzHn,且數列 0是等差數列，若bs2 , 6。9,則數列 an的前n項和Sn = 答案：2n 1考點：等差數列的通項公式，等比數列的前n項和解析：: bn是等差數列，且 bs 2,匕。9 ,，bn n 1,an2n 1,故 an 是的前 n 項和 Sn2-12n 1 .2 1.若函數f(x) sin(2x )關于直線x 對稱，則的最小正值為4答案：

14、一2考點：三角函數的對稱性Z,Z,所以的最小正值為-解析：由題意得，2 4k則 一J k2211.若存在實數x (0,4),使不等式x32ax 16 0成立，則實數a的取值范圍是答案：(6,)考點：函數與不等式(存在性問題)解析:x (0,4),是不等式x32ax 16 0 成立,22a (x162(x3 8)2，x)min， x人216令 f (x) x ，則 f (x) x當 x (0,2), f (x) 0, f(x)單調遞減,當 x (2,4), f (x) 0, f(x)單調遞增,故 f(x)minf(2) 12 , 2a 12 ,故 a 6.12.在銳角 ABC中，已知 AH是BC

15、邊上的高，且滿足uuu AH1 uuir 2 uuirac-AB 二 AC,則AC的取值33AB范圍是1解析：由題意知 AHL BC,且CH= - BC； 3a._ CH q在 RUACH中，cosC -3AC b2, 22a.a b c一,在 ABC中，COSC ,3b2ab222所以ab土 亙 化簡得a22ab3b22b3c2 3b2 0 ,得 b 1 , cABC是銳角三角形，b2 C2222b2a 3c 3b ,得, c 2b 1 ,即處的取值范圍是(W2 , 1) . 2 c AB2斛析：設以(？ = &,結合條件初=L罰+2而，ftlYjz CH 八EH = 2. 33:;Il =

16、1,心”。小9n Q- : - 一 1一 e函G + 3+烏2x13.設函數f(x) x 2ax b 2 ,若函數y f(x)與函數y f(f(x)都有零點，且它們的零點完全相同，則實數 a的取值范圍是 .答案:(-2, 0考點：函數與方程解析：假設x0既是y f(x)的零點，也是y f(f(x)的零點，2則 f(xo) 0, f(f(xo) 0,即 f(0) 0,則 b=0, f (x) x 2ax,令 f (x) 0 ,解得 x1 0, x2 2a , f(f(x) 0,解得 f(x) 0或 f(x) 2a,當a=0時，符合題意；當aw0時，方程f (x) 2a無解，即方程x2 2ax 2

17、a 0無解,4a2 4( 2a) 0,解得 2 a 0,綜上所述，-2vawo.14.若圓 G： (x m)2222y 16與圓C2： (x n) y 16相交，點P為其在x軸下萬的交點，且mn= -8,則點P到直線x+ y-1=0距離的最大值為 答案：5-2 考點：直線與圓綜合解析：由題意可知xD p代入圓。得yp p(m n)2 4mn4(m n)2 4 ( 8) o zm n、2. mn= -8, ypV16 A18 (),22_所以點P在圓x y 8上，其中y 0,求得圓心O到直線2x + y - 1 = 0的距離是,故點P到直線x+ y-1=0的距離的最大值是 2J2 典22二、解答

18、題(本大題共 6小題，共計90分，請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文 字說明、證明過程或演算步驟.)15.(本小題滿分14分)Lrx x若 m = ( sin -，cos-)n = ( cos,2 x1rJ3cos)，設 f (x) m 2r .3 n 2(1)求函數f (x)在0 ,兀上的單調減區間;(2)在 ABC中，角A,B, C所對的邊分別為a, b, c,若 f(A)求sinB的值.解：(1) 1 m = ( sin 2cos-) ,n =(2cosx ,2irf (x) m n.x 八 sin - cos-2 x cos 一21- -sin x231 cosx 322一 si

19、n x230sx2 TOC o 1-5 h z sin xcos cosxsin 33sin(x ),3,由一2k x -2k , k Z,232解得一2k x 2k , k Z, HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 66又, , x 0,兀,解得x ,函數f(x)在0 ,兀的單調減區間為 兀,(2)由(1)知 f (x) sin(x ),其對稱軸為 x k , k Z, 36當x 0 ,兀,對稱軸方程為 x , 6 f (A)f (B) , a 2b ,即 A B,A B, sin A 2sin B , . sin( B) 2sin B33si

20、n - cosB cos -sin B332sin B ,cosB2sin B 22sin B ,5. 22 .即 cos B sin B，: sin B cos B 1 ,且 B 為銳角,sin B 0解得sin B-2i14.(本小題滿分14分)如圖，在三棱柱 ABC-ABC中，AA=AG AB AG,設。為AG與A1C的交點, BC的中點.求證：OP/平面 ABBA;(2)平面 ACGL平面 OCP解：（1）二在三棱柱中，平面 ACCAi是平行四邊形，.O為AiC的中點，又.P為BC的中點，.OP/ AiB,. AiB 平面 ABBA, OP 平面 ABBAi,.OP/平面 ABBAi,

21、（2）二平面 ACCAi是平行四邊形，且 AA = AC,平面ACCA,是菱形，.ACAiC,即 ACLOC. AiB AC,且 OP/ AiB,ACXOF 又 AC LOG OPI OC= O, AC，平面 OCP ,AC 平面 ACC,平面 ACC，平面 OCP.（本小題滿分i4分）如圖i是淋浴房示意圖，它的底座是由正方形截去一角得到，這一角是一個與正方形i 一兩鄰邊相切的圓的 圓弧（如圖2）.現已知正方形的邊長是i米，設該底座的面積為 S平4方米，周長為l米（周長是指圖2中實線部分），圓的半徑為r米.設計的理想要求是面積SS盡可能大，周長l盡可能小，但顯然S、l都是關于r的減函數，于是設

22、f （r） 3 ,當f （r）的值越大，滿意度就越高.試問r為何值時，該淋浴房底座的滿意度最高？（解答時兀以3代入運算）4 2ri （r2（第 17J# 圖 1）（ft 17題圖普所以f(r)21 -44 -24 r216 2rr (0,1,f (r)16r 422(r 8)，令 f (r) 0,解得 r 8 2J5(0,1r(0, 8 2邪)8 275(8 2,/5, 1)f (r)十0一f(r)遞增極大值遞減故r 8 2追時，f(r)取得最大值.答：當r 8 2、5時，該淋浴房底座的滿意度最高.18.(本小題滿分16分)2如圖，A、B為橢圓C:占 y2 1短軸的上、下頂點，P為直線l： y

23、= 2上一動點, a1連接PA并延長交橢圓于點 M連接PB交橢圓于點N,已知直線MA MBW斜率之積恒為一2求橢圓C的標準方程；若直線MM0)的等差數列bn的前n項和，求a1的值;(3)若 a11, a22 , J1數列 a2n 1單調遞增，數列a2 n單調遞減，求數列an(3)由題意知：a1 1 a3 a5 La2n 1L , a2a2nL故 n 2k 1 時，an 1 ananan 1a2k 1a2 k4k 1n 2k 時，an 1ana2k 1a2k4k 1的通項公式. TOC o 1-5 h z a2 ai39解：(1)由題息知：a3 a2 5a1 -； HYPERLINK l boo

24、kmark101 o Current Document 28a2 的3(2)由題意知：b1 a1 , bn a1 (n l)dan 1anbn 1& dn 2n 1對任意n N均成立，其中d0,d a 32d a15a1 13d a17d 2此時，an 1anbn 1a1 dn 2n 1對任意n N均成立，故a1 1；則：a2k 1a2k 12 ,故 a2k 1a1) a3) L(a2k 1a2k 3) 2k 1an 1即n為奇數時，an n,又n為奇數時，an an 1 2n 1即n為偶數時，ann綜上，an ( 1)n 1 n.20.(本小題滿分16分)設函數f(x) 一尊，g(x) -l

25、n-x-,其中 (x)恒不為0. e(x)(1)設(x) x2,求函數f(x)在x=1處的切線方程;(2)若凡是函數f (x)與g(x)的公共極值點，求證：x0存在且唯一;(3)設(x) ax b ,是否存在實數a, b,使得f (x) g (x) 0在(0,)上恒成立？若存在，請求出實數 a, b滿足的條件；若不存在，請說明理由.解：(1) f(x)2 X r，f e1f (x) e-22x xx ， e1 f (1)e故在x= 1處的切線方程為：x ey 0；(2) f (x)(x)(x)x，eg (x)(x) x(x)ln x2(x)由題意知f (xo) 0 g (xo) ox01nx0

26、1 0 ：令 h(x)xln x 1, x0, h (x)In x 111x (0, e )時，h(x) 0； x (e ,)時，h(x) 0故h(x)在(0,e1)遞減，(e 1,)遞增又x (0,1)時，h(x) 1,故h(x)在(0, 1)上無零點h(1)1 0, h(e) e 1 0,故 h(1)g(e) 0又h(x)在1,)遞增，因此，h(x)在(1 , e)上存在唯一零點x0存在且唯一;(3)由題意知：(x) ax b在(0,)上無零點，. 一一-b 11當 a=0 時，則 bw0, f (x)g (x) 0 ,符合題意;e bx xe一b 1又 f(1)g(1)0 ,則 b(a+

27、 b) 0,故 bw。e a b當aw0時，要使 (x) ax b在(0,)上無零點，顯然 ab 0f (x)g (x)a ax bxeb a - x(axaln x0 在(0,)上恒成立b即(ax b a)(aln x 一 a) 0在(0,)上恒成立 x令 F(x) ax b a, x (0,), G(x) a In x b a , x (0,)xa,b 0 時，x max0,1 b時，F(x) 0 amaxb,e a時，aln x a 1,因此，x max1 Bbe1：時, aF(x)G(x) 0F(x) 0與題意不符，舍去；a,b 0 時，x max0,1 b時,ax max1b,e a

28、時,aln x ab 1,故 G(x) 0 x因此，xb max1 ai 1b,e a時,F(x)G(x) 0與題意不符，舍去;綜上，存在a= 0, bw0符合題意.第II卷（附加題,共40分）21 .【選做題】本題包括 A, B, C三小題，請選定其中兩題作答, 解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.A.選修4-2:矩陣與變換每小題 10分共計20分,cos直線l經矩陣Mf=sinsin（其中（0,）作用變換后得到直線l ： y =cos2x,若直線l與l 垂直，求的值.解：在l上任取一點P（x , y）,設P經矩陣M變換后得到點P （x , y）sin ffAn修cos/?l：HCOS

29、sinfl-yxcosxsinysin又ycosP在直線l ： y = 2x上,即 y =2x貝U xsinycos2xcos2ysin即直線l :(sin2cos )x(2sincos )y因為l與l，心,故 sin2cos _1一 cos又 （0,),故2sincos2已知在直角坐標系 xOy中，直線l的參數方程為32（t為參數）.以坐標原2B.選修4 4:坐標系與參數方程點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 c的極坐標方程為J2 ,求直線1被曲線c截得的弦長. TOC o 1-5 h z 解：直線1的直角坐標方程為：x J3y10,曲線C的直角坐標方程為：x2 y2 2,圓

30、心為C(0, 0),半徑r = J2 , HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 11圓心C到直線1的距離d1-12(.3)22所以直線1被曲線C截得的弦長為2/(局 (1)2 J7.C.選修4 5:不等式選講I111右正數 a, b, c滿足2a 4b c 3,求 的取小值.a 1 b 2 c 3解：因為正數a, b, c滿足2a 4b c3,所以 2(a 1) 4(b 2) (c 3) 16,所以當且僅當a24、2 237116( 222 1)211 6、21627 160711 6 2時,取最小值16【必做題】第22題、第23題，每題10分，共

31、計20分，解答時應寫出文字說明，證明過程11G2(a 1)4(b 2) (c 3) (an或演算步驟.22.(本小題滿分10分)已知某高校綜合評價有兩步：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進入第二步面試；若材料初審合格，則進入第二步面試.只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評價的錄取資格，現有 A, B, C三名學生報名參加該高校的綜合評價，假設A, B, C三位學生材料初審合格的I率分別是 1 ,11 ;面試合格的概率分別是 -,1 , 2 . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 324233(1)求A, B兩位考生有且只有一位考生獲得錄取資格的概率；(2)記隨機變量X為A, B, C三位學生獲得該高校綜合評價錄取資格的人數，求X的概率分布與數學期望.解：(1)記“A, B兩位考生有且只有