1、高一數學同步教程(上)高一數學同步教程(上)空間幾何體精講空間幾何體的結構和視圖（一）柱、錐、臺、球的結構特征1、柱棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什

2、么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線。棱柱與圓柱統稱為柱體；2、錐棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面。棱錐與圓錐統稱為錐體。3、臺棱臺：用一個平

3、行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側面、側棱、頂點。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸。圓臺和棱臺統稱為臺體。4、球以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。5、組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫組合體。（二）空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。具

4、體包括：1、正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；2、側視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；3、俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；（三）空間幾何體的直觀圖1、斜二測畫法建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的、，建立直角坐標系；畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應的，使（或），它們確定的平面表示水平平面；畫對應圖形，在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變為原來的一半；擦去輔助線，圖畫好后，要擦去軸

5、、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點精導空間幾何體的定義例1 如果四棱錐的四條側棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是（ ）A等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等B等腰四棱錐的側面與底面所成的二面角都相等或互補C等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上斜二測畫法例3是正的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么的面積為_（三）平行投影與中心投影例4 （1）如圖，在正四面體中，、分別是三角形、的中心，則在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號

6、是（ ） A B C D（2）如圖1，、分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是圖2的（要求：把可能的圖的序號都填上）三視圖例5 （1）畫出下列幾何體的三視圖（2）（2）如圖，設所給的方向為物體的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm）精講空間幾何體的表面積和體積一、要點透析（一）多面體的面積和體積公式名稱側面積()全面積()體 積()棱柱棱柱直截面周長直棱柱棱錐棱錐各側面積之和正棱錐棱臺棱臺各側面面積之和正棱臺表中表示面積，、分別表示上、下底面周長，表斜高，表示斜高，表示側棱長名稱圓柱圓錐圓臺球(即)（二）旋轉體的面積和體積公式精導柱體的體積和表面積例1一個長方體全面積

7、是，所有棱長的和是，求長方體的對角線長例2如圖1所示，在平行六面體中，已知，（1）求證：頂點在底面上的射影在的平分線上；（2）求這個平行六面體的體積例3一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ）A B C6 DPABCDOE錐體的體積和表面積例4在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，對角線與相交于點，平面，與平面所成的角為，求四棱錐的體積？例5是邊長為4的正方形，、分別是、的中點，垂直于正方形所在的平面，且，求點到平面的距離？棱臺的體積、面積及其綜合問題例6如果棱臺的兩底面積分別是、，中截面的面積是，那么（ ）A BCD例7已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為和，高為，則其

8、體積為（ ）ABCD圓柱的體積、表面積及其綜合問題例8（全國理）一個圓柱的側面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是ABCD例9如圖，一個底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水。若放入一個半徑為的實心鐵球，水面高度恰好升高，則圓錐的體積、表面積及綜合問題例10在中，（如圖所示），若將繞直線旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是（ ）ABCD例11若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（ ）ABCD例11(1)例11（2）例12如圖所示，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）A B C D球的體積、

9、表面積例13已知過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。例14如圖所示，球面上有四個點，如果兩兩互相垂直，且，求這個球的表面積例15如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是（ ）ABCD例16半球內有一個內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，若正方體棱長為，求球的表面積和體積。精煉【雙基訓練】1說出下列三視圖表示的幾何體是（ ）A.正六棱柱 B.正六棱錐 C.正六棱臺 D.正六邊形2如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且 均為正三角形，EFAB，EF=2，則該多面體的體積為A. B. C. D.3（

10、2009山東卷文理4）一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾 俯視圖 何體的體積為 ( ) A. B. C. D. 4等腰梯形ABCD,上底邊CD=1, 腰AD=CB= , 下底AB=3，按平行于上、下底邊取軸則直觀圖ABCD的面積為_6題圖5題圖5如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為4的正三角形，D是BC的中點，A1D平面ABC.(1)求證：BCA1A； (2)若A1A6，求三棱柱ABCA1B1C1的體積6如圖，已知ABC中，BAC90，ABm，ACn將ABC以BC邊為軸旋轉一周，得到一個幾何體(1)求此幾何體的體積；(2)設ABC的面積為，求該幾何體體積的最大值挑戰高考1（2012

11、年上海卷 理8）若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 2（2012年上海卷 文5）一個高為2的圓柱，底面周長為，該圓柱的表面積為 空間中的平行關系精講平面概述1、平面的兩個特征：無限延展 平的（沒有厚度）2、平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面3、平面的表示：用一個小寫的希臘字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面三公理三推論：公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內，則該直線上所有的點都在這個平面內：，公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線公理3：經過不在同一直線上的三

12、點，有且只有一個平面推論一：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面推論二：經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論三：經過兩條平行直線，有且只有一個平面空間直線：1、空間兩條直線的位置關系：相交直線有且僅有一個公共點；平行直線在同一平面內，沒有公共點； 異面直線不同在任何一個平面內，沒有公共點；相交直線和平行直線也稱為共面直線異面直線的畫法常用的有下列三種：2、平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行3、異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線。推理模

13、式：與是異面直線直線和平面的位置關系1、直線在平面內（無數個公共點）；2、直線和平面相交（有且只有一個公共點）；3、直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進行兩次分類。它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，線面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式：兩個平面的位置關系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點）1、兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩

14、個平面平行。 定理的模式：推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行推論模式：2、兩個平面平行的性質（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行精導共線、共點和共面問題例1（1）如圖所示，平面平面直線，、分別為線段、上的點，四邊形是以、為腰的梯形，試證明三直線、共點DCBAEFHG（2）如圖所示，在四邊形中，已知，直線，分別與平面相交于點，求證：，四點必定共線例2已知：，是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：，,共面.異面直線的判定與應用例3已知：如圖所示，求證

15、：直線、為異面直線例4（1）已知異面直線，所成的角為，則過空間一定點，與兩條異面直線，都成角的直線有( )條 A1 B2 C3 D4 （2）異面直線，所成的角為,空間中有一定點，過點有3條直線與，所成角都是，則的取值可能是（ ） A B C D線線平行的判定與性質例5關于直線、及平面、，下列命題中正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，且，則 D若，則例6兩個全等的正方形和所在平面相交于，且，求證：平面（四）線面平行的判定與性質例7如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，求證：面例8已知正四棱柱，點在棱上，截面，且面與底面所成的角為，（1）求截面的面積；（2）求異面直線與之間的距離；面面平

16、行的判定與性質例9如圖，正方體的棱長為，證明：平面平面例10是所在平面外一點，、分別是、的重心（1）求證：平面平面；（2）的值精練1下列命題正確的是( ）A 一直線與平面平行，則它與平面內任一直線平行B 一直線與平面平行，則平面內有且只有一個直線與已知直線平行C 一直線與平面平行，則平面內有無數直線與已知直線平行，它們在平面內彼此平行D 一直線與平面平行，則平面內任意直線都與已知直線異面2若直線與平面的一條平行線平行，則和的位置關系是( ) A B C D 3若直線a在平面內，直線a,b是異面直線，則直線b和平面的位置關系是 ( ) A 相交 B 平行 C 相交或平行 D 相交且垂直4下列各命

17、題：經過兩條平行直線中一條直線的平面必平行于另一條直線；若一條直線平行于兩相交平面，則這條直線和交線平行；空間四邊形中三條邊的中點所確定平面和這個空間四邊形的兩條對角線都平行。 其中假命題的個數為 ( )A 0 B 1 C 2 D 35E、F、G分別是四面體ABCD的棱BC、CD、DA的中點，則此四面體中與過E、F、G的截面平行的棱的條數是 （ ） A0 B 1 C 2 D3 6直線與平面平行的充要條件是 （ ） A直線與平面內的一條直線平行 B。直線與平面內的兩條直線不相交 C直線與平面內的任一直線都不相交 D。直線與平行內的無數條直線平行7若直線上有兩點P、Q到平面的距離相等，則直線l與平

18、面的位置關系是 ( ) A 平行 B相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在內8a,b為兩異面直線，下列結論正確的是( ) A 過不在a,b上的任何一點，可作一個平面與a,b都平行 B 過不在a,b上的任一點，可作一直線與a,b都相交 C 過不在a,b上任一點，可作一直線與a,b都平行 D 過a可以并且只可以作一個平面與b平行9. 設為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中真命題的個數是 （ ）A1 B2 C3 D410已知m、n是兩條不重合的直線，、是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：若； 若；若；若m、n是異面直線，。其中真命

19、題是（ ）A和B和C和D和11已知直線及平面，下列命題中的假命題是 （ ） A若，則. B若，則. C若，則. D若，則.12下列命題中，正確的是（ ）A經過不同的三點有且只有一個平面B分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線C垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線D垂直于同一個平面的兩個平面平行13對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（ ）（A）若則 （B）若則（C）若則（D）若、與所成的角相等，則14在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分別是AB，BD的中點求證：直線EF平面ACD； 15.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1. (

20、1)求證：AF平面BDE； 空間中的垂直關系精講（一）線線垂直判斷線線垂直的方法：所成角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 注意：1、三垂線指，都垂直內的直線其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理2、要考慮的位置，并注意兩定理交替使用（二）線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線和平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線

21、，平面叫做直線的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線與平面垂直記作：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行（三）面面垂直兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直兩平面垂直的性質定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面注：“中間向左找，到頭要互換”精導線線垂直問題例1如圖所示，已知正

22、方體中，、分別為，的中點，求證：例2在直三棱柱中，、分別為、的中點，證明：為異面直線與的公垂線線面垂直問題例3（1）如圖，是正四棱柱，求證：平面（2）如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱（I）證明平面；（II）設證明平面例4如圖，直三棱柱 中，是中點（1）求證平面；（2）當點在上什么位置時，會使得平面？并證明你的結論面面垂直問題例5為正三角形，平面，是的中點，求證：（1）；（2）平面平面；（3）平面平面例6如圖所示，正四棱柱中，底面邊長為，側棱長為，、分別為棱、的中點，（）求證：平面平面；（）求點到平面的距離；（）求三棱錐的體積精練1如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一

23、點，PA平面ABC. （1）求證：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面. 2已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連結AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點B、C、D重合于一點P.求證：APEF；求證：平面APE平面APF.3如圖, 在空間四邊形ABCD中， 分別是的中點，求證：平面平面. 4如圖，在正方體中，E是的中點，求證：5如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60,（1）證明：C1CBD； （2）當的值為多少時，可使A1C面C1BD

24、？6如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點. （1）求證：CDPD； （2）求證：EF平面PAD；（3）當平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF平面PCD？ 直線與方程精講1、直線的傾斜角的概念，傾斜角范圍：0180.2、斜率的概念，ktan.(0180且90).3、過兩點的直線的斜率公式k.4、兩條直線平行與垂直的判定：直線與直線平行 .或與重合.注意：若直線，可能重合時，得到 直線與直線垂直 .精導例1。直線的傾斜角的度數是（ ） A. B. C. D.例2已知直線l的傾斜角為，且0135，則直線l的斜率的取值范圍是（ ） A

25、.0，) B.(，) C.1，+) D.（，1）0，)例3直線xcosy1=0的傾斜角的范圍是（ ） A. B. C. D.例4已知兩點M(2，3)、N(3，2)，直線l過點P(1，1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（ ） A.或 B. C. D.例5已知直線l1的方程是ax-y+b0,l2的方程是bx-y-a0(ab0,ab)，則下列各示意圖形中，正確的是( )例6已知直線的傾斜角是，且，則直線的斜率等于_例7若三點A（2 , 2）,B（）,C（0，）（）共線，則的值等于_例8過點（，）、（）的直線的傾斜角為鈍角，那么實數m的取值范圍是 例9經過點與點的直線與斜率為的直線互相垂直，則的值為 例10已知A(-3，2)、B(a,3)，求直線AB的斜率與傾斜角.例11已知直線l：,求直線l的傾斜角的取值范圍.例12已知直線l1的傾斜角1=15，直線l1與l2的交點為A，把直線l2繞著點A按逆時針方向旋轉到