1、7 平穩(wěn)時間序列預(yù)測法7.1 概述7.2 時間序列的自相關(guān)分析7.3 單位根檢驗和協(xié)整檢驗7.4 ARMA模型的建模 回總目錄7.1 概 述 時間序列 取自某一個隨機(jī)過程，那么稱： 一、平穩(wěn)時間序列過程是平穩(wěn)的隨機(jī)過程的隨機(jī)特征不隨時間變化而變化過程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程的隨機(jī)特征隨時間變化而變化回總目錄回本章目錄 寬平穩(wěn)時間序列的定義：設(shè)時間序列，對于恣意的t,k和m，滿足： 那么稱 寬平穩(wěn)。 回總目錄回本章目錄 Box-Jenkins方法是一種實際較為完善的統(tǒng)計預(yù)測方法。 他們的任務(wù)為實踐任務(wù)者提供了對時間序列進(jìn)展分析、 預(yù)測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統(tǒng)方 法。使ARMA模型的建

2、立有了一套完好、正規(guī)、構(gòu)造 化的建模方法，并且具有統(tǒng)計上的完善性和結(jié)實的理 論根底。 ARMA模型是描畫平穩(wěn)隨機(jī)序列的最常用的一種模型；回總目錄回本章目錄 ARMA模型三種根本方式： 自回歸模型AR：Auto-regressive； 挪動平均模型MA：Moving-Average； 混合模型ARMA：Auto-regressive Moving-Average。回總目錄回本章目錄 假設(shè)時間序列 滿足 其中 是獨立同分布的隨機(jī)變量序列,且滿足： 那么稱時間序列 服從p階自回歸模型。 二、自回歸模型回總目錄回本章目錄 自回歸模型的平穩(wěn)條件：滯后算子多項式 的根均在單位圓外，即 的根大于1。 回總目

3、錄回本章目錄 假設(shè)時間序列 滿足那么稱時間序列 服從q階挪動平均模型。 或者記為 。平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。 三、挪動平均模型MA(q) 回總目錄回本章目錄 四、ARMA(p,q)模型假設(shè)時間序列 滿足：那么稱時間序列 服從(p,q)階自回歸挪動平均模型。 或者記為：回總目錄回本章目錄 q=0，模型即為AR(p)； p=0，模型即為MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情況：回總目錄回本章目錄例題分析 設(shè)，其中A與B為兩個獨立的零均值隨機(jī)變量，方差為1；為一常數(shù)。試證明：寬平穩(wěn)。回總目錄回本章目錄證明：均值為0，只與t-s有關(guān)，所以寬平穩(wěn)。回總目錄回本章目錄7.2 時間序列的自相關(guān)分析

4、自相關(guān)分析法是進(jìn)展時間序列分析的有效方 法，它簡單易行, 較為直觀，根據(jù)繪制的自 相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初 步地識別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。 利用自相關(guān)分析法可以測定時間序列的隨機(jī)性 和平穩(wěn)性，以及時間序列的季節(jié)性。一、自相關(guān)分析回總目錄回本章目錄1自相關(guān)函數(shù)的定義 滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為： 那么自相關(guān)函數(shù)為： 其中 回總目錄回本章目錄 當(dāng)序列平穩(wěn)時，自相關(guān)函數(shù)可寫為： 2樣本自相關(guān)函數(shù)其中 回總目錄回本章目錄 樣本自相關(guān)函數(shù)可以闡明不同時期的數(shù) 據(jù)之間的相關(guān)程度，其取值范圍在-1到 1之間，值越接近于1，闡明時間序列的 自相關(guān)程度越高。回總目錄回本章目錄3樣本的偏自相

5、關(guān)函數(shù)是給定了的條件下，與滯后k期時間序列之間的條件相關(guān)。定義表示如下：其中， 回總目錄回本章目錄 時間序列的隨機(jī)性，是指時間序列各項之間沒有相關(guān)關(guān)系的特征。運(yùn)用自相關(guān)分析圖判別時間序列的隨機(jī)性，普通給出如下準(zhǔn)那么： 假設(shè)時間序列的自相關(guān)函數(shù)根本上都落入 置信區(qū)間，那么該時間序列具有隨機(jī)性； 假設(shè)較多自相關(guān)函數(shù)落在置信區(qū)間之外， 那么以為該時間序列不具有隨機(jī)性。回總目錄回本章目錄 判別時間序列能否平穩(wěn)，是一項很重要的任務(wù)。運(yùn)用自相關(guān)分析圖斷定時間序列平穩(wěn)性的準(zhǔn)那么是： 假設(shè)時間序列的自相關(guān)函數(shù)在k3時都落入置 信區(qū)間，且逐漸趨于零，那么該時間序列具有平穩(wěn)性；假設(shè)時間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置

6、信區(qū) 間外面，那么該時間序列就不具有平穩(wěn)性。回總目錄回本章目錄二、ARMA模型的自相關(guān)分析 AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是以p步截尾的，自 相關(guān)函數(shù)拖尾； MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏 自相關(guān)函數(shù)拖尾； 可用以上兩個性質(zhì)來識別AR和MA模型的階數(shù) ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都 是拖尾的。回總目錄回本章目錄7.3 單位根檢驗和協(xié)整檢驗 一、單位根檢驗 利用迪基福勒檢驗 Dickey-Fuller Test和菲利普斯佩榮檢驗Philips-Perron Test，也可以測定時間序列的隨機(jī)性，這是在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的兩種單位根檢驗方法，與前者不同的是，后一個檢

7、驗方法主要運(yùn)用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關(guān)的情況。回總目錄回本章目錄1隨機(jī)游動 假設(shè)在一個隨機(jī)過程中， 的每一次變化均來自于一個均值為零的獨立同分布，即隨機(jī)過程滿足： 其中 獨立同分布，并且： 稱這個隨機(jī)過程是隨機(jī)游動。它是一個非平穩(wěn)過程。 回總目錄回本章目錄 2單位根過程 設(shè)隨機(jī)過程 滿足： 其中 為一個平穩(wěn)過程并且 回總目錄回本章目錄3 協(xié)整關(guān)系 假設(shè)兩個或多個非平穩(wěn)的時間序列，其某個 線性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時間序 列間就被稱為有協(xié)整關(guān)系存在； 這是一個很重要的概念，我們利用Engle- Granger兩步協(xié)整檢驗法和Johansen協(xié)整檢驗 法可以測定時間序

8、列間的協(xié)整關(guān)系。回總目錄回本章目錄7.4 ARMA模型的建模 一、模型階數(shù)確實定 1基于自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的定階方法 對于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性斷定模型的階數(shù)。回總目錄回本章目錄詳細(xì)方法如下：對于每一個q,計算 .M 取為 或者 ，調(diào)查其中滿足 或者的個數(shù)能否占M個的68.3%或者95.5%。假設(shè) ， 都明顯地異于零，而 (轉(zhuǎn)下頁)回總目錄回本章目錄.均近似于零，并且滿足上述不等式之一的 的個數(shù)到達(dá)其相應(yīng)的比例，那么可以近似地斷定 是 步截尾，平穩(wěn)時間序列 為 。,回總目錄回本章目錄 類似，我們可經(jīng)過計算序列其中滿足 ，調(diào)查或者能否占M

9、個的68.3%或者95.5%。即可以近似的個數(shù)地斷定是 步截尾，平穩(wěn)時間序列 為 。回總目錄回本章目錄 假設(shè)對于序列 和截尾，即不存在上述的 來說，均不和斷定平穩(wěn)時間序列 ，那么可以為ARMA模型。 回總目錄回本章目錄2基于F 檢驗確定階數(shù)3利用信息準(zhǔn)那么法定階AIC準(zhǔn)那么和BIC準(zhǔn)那么此外常用的方法還有：回總目錄回本章目錄二、模型參數(shù)的估計1初估計 AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walker估計特例：一階自回歸模型AR(1)： 二階自回歸模型AR(2)： 回總目錄回本章目錄 MA(q)模型參數(shù)估計 特例：一階挪動平均模型MA(1)：二階挪動平均模型MA(2)： 回總目錄回本章目錄 ARMA(

10、p,q)模型的參數(shù)估計 由于模型構(gòu)造的復(fù)雜性，比較困難，有幾種方法可以進(jìn)展。普通利用統(tǒng)計分析軟件包完成。 回總目錄回本章目錄2精估計 ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計，普通 采用極大似然估計，由于模型構(gòu)造的復(fù) 雜性，無法直接給出參數(shù)的極大似然估 計，只能經(jīng)過迭代方法來完成，這時， 迭代初值經(jīng)常利用初估計得到的值。回總目錄回本章目錄 三、ARMA(p,q)序列預(yù)告 設(shè)平穩(wěn)時間序列 是一個ARMA(p,q)過程，那么其最小二乘預(yù)測為： AR(p)模型預(yù)測回總目錄回本章目錄 ARMA(p,q)模型預(yù)測其中：回總目錄回本章目錄 預(yù)測誤差預(yù)測誤差為： 步線性最小方差預(yù)測的方差和預(yù)測步長 有關(guān), 而與預(yù)測的時間原點t無關(guān)。預(yù)測步長越大，預(yù)測誤差的方差也越大，因此預(yù)測的準(zhǔn)確度就會降低。所以,普通不能用ARMA(p,q)作為長期預(yù)測模型。回總目錄回本章目錄 預(yù)測的置信區(qū)間 預(yù)測的95%置信區(qū)間： 回總目錄回本章目錄例題分析設(shè)為一AR(2)序列，其