1、多目標決策完整教學課件Review of Lecture 2 概率的派別FrequentistBayesian 主觀概率的確定Intuitionrationalityexistence theorem實用主觀概率設定方法主觀設定無信息先驗位置密度/標度密度最大熵先驗熵的概念（不確定程度的測度/平均信息量）2極大熵準則的理論依據3模型4決策者決策模型模型5決策者決策模型決策者最優決策模型6自然的決策模型決策者決策模型決策者最優決策74基于邊際分布邊際分布（預測密度）條件均值與條件方差：預測密度是與先驗分布相關的，嚴格的寫法為m(x|)8先驗分布族具有特定函數形式的先驗分布族稱為先驗分布的hype

2、r-parameter（超參數）具有特定結構的先驗分布族鄰近特定誘導先驗分布9矩方法選擇先驗分布10ML-II方法選擇先驗分布11Example12Example (continued)13Example (continued)14Empirical Bayes Analysis15樣本空間Empirical Bayes Analysis16樣本空間參數空間Empirical Bayes Analysis17樣本空間參數空間行動空間Empirical Bayes Analysis18樣本空間參數空間行動空間195Hierarchical Priors定義層次先驗分布（Hierarchical

3、prior）也稱作多階段先驗分布（multi-stage prior）。是一種基于先驗分布族，通過多階段引入參數的先驗信息，而獲得的參數的先驗分布。二階段層次先驗分布：20Example (Hierarchical prior)21 Solution:應收賬款風險研究案例（continued）應收賬款風險的影響因素（應收賬款業務失敗，X7）客戶的償債能力（X1）客戶的償債意愿（X2）本公司的管理缺位（X3）本公司的操作失誤（X4）公司外部因素導致的失敗（X5）本公司內部因素導致的失敗（X6）22應收賬款業務失敗內部因素（X6)外部因素(X5)公司管理缺位（X3)公司操作失誤（X4)客戶償債意愿

4、（X2)客戶償債能力（X1)概率分析1st stage prior2nd stage priors3rd stage priors23計算結果24Lecture 3：價值函數中國科學技術大學管理學院主講: 丁晶晶內容結構圖26決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗Bayes分析Bayes計算先驗信息與先驗概率確定方法層次Bayes分析多準則決策理論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分內容結構圖27決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗Bayes分析Bayes計算先驗信息與先驗概率確定

5、方法層次Bayes分析多準則決策理論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分Questions?How do we determine the utility function? Are there more or less rational ways to assign such utilities? Are we sure that the utility apparatus is the right one to capture our intuition?2829本次課結構Existence of utility function3Preferences1Definition

6、of utility and axiom system2301偏好關系二元關系定義31常見次序關系偏序（partial order）: if a relation is transitive, reflexive and anti-symmetric,完全序（complete order or linear order）：if a relation is a partial order and complete,等價關系（equivalent relation）：if it is reflexive, symmetric and transitive. 32二元關系圖33傳遞關系預序嚴格偏序偏

7、序嚴格序弱序線性序非自反性連通性自反性反對稱性連通性反對稱性連通性二元關系圖34傳遞關系預序嚴格偏序偏序嚴格序弱序線性序非自反性連通性自反性反對稱性連通性反對稱性連通性35優先關系36理性偏好關系（rational preference relation）完全性傳遞性37Example382效用函數的定義和公理39確定情形效用理論消費者理論（consumer theory）：關于一個理性消費者如何做出消費決策的理論商品組合的集合優先關系的單調性（Monotonicity）40效用函數定義表示偏好關系的效用函數唯一嗎？423效用函數存在性43效用函數存在性連續性44證明策略：（1）從下往上證（e

8、asy）（2）從上往下證（see the next slide）45假設46假設47假設48假設49假設50假設51假設52假設53假設54假設55假設56效用函數存在性效用函數存在性證明策略：（構造法）（1）對于任意K維空間的商品組合x，存在唯一的實數a(x)，使得a(x)(1,1,1)與x無差異；（2）令u(x)=a(x)，驗證其滿足效用函數的定義。存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x57連續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x58連續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x59連續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x60連

9、續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x61連續性Review of Lecture 4 極大熵準則的解釋先驗分布族參數選擇方法矩方法ML-II經驗貝葉斯方法決策的風險層次先驗分布（hierarchical prior）二元關系偏序和線性序理性偏好關系價值函數定義連續性62應收賬款業務失敗內部因素（X6)外部因素(X5)公司管理缺位（X3)公司操作失誤（X4)客戶償債意愿（X2)客戶償債能力（X1)63效用函數存在性效用函數存在性證明策略：（構造法）（1）對于任意K維空間的商品組合x，存在唯一的實數a(x)，使得a(x)(1,1,1)與x無差異；（2）令u(x)=a(x)，驗證

10、其滿足效用函數的定義。存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x64連續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x65連續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x66連續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x67連續性存在唯一實數a(x)，使得a(x)(1,1,1) x68連續性確定性效用理論（價值函數）總結69理性偏好關系（傳遞和完全性）連續性價值函數存在性內容結構圖70決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗Bayes分析Bayes計算先驗信息與先驗概率確定方法層次Bayes分析多準則決策理

11、論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分內容結構圖71決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗Bayes分析Bayes計算先驗信息與先驗概率確定方法層次Bayes分析多準則決策理論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分721期望效用理論風險結果的偏好關系Simple lotterycompound lottery期望效用函數73效用函數定義74公理體系75公理體系（independence axiom）LL0.5L+0.5LLLL2/3L+2/3L2/3L+2/3L76存在性證明思路77兩個結果的抽獎的比較(p1,c1;p2,

12、c2) vs. (p3,c1;p4,c2)存在期望效用函數(p1,c1;p2,c0) vs. (p3,c2;p4,c0)一般情形抽獎的比較性質1性質2性質3、4定理3.178簡單抽獎的比較性質性質1：相同結果抽獎比較79簡單抽獎的比較性質性質2：不同結果抽獎比較80簡單抽獎的比較性質性質3：確定當量與無差異概率81簡單抽獎的比較性質性質4：等價性效用函數的存在性證明策略：（1）無差異概率滿足效用函數定義序關系；（性質1）（2）無差異概率滿足線性性質。注：期望效用函數(U)與Bernoulli 效用函數(u)82832風險和效用的關系主要內容風險態度的定義風險厭惡的測度風險厭惡的比較常用的效用函

13、數84852.1風險厭惡定義風險態度的定義Def 1: a preference relation is risk averse if for any prospect p, .Def 2: Let be a preference represented by the vNM utility function U. The preference relation is risk averse if and only if u is concave.Def 3: A preference relation is risk averse if and only if for all p, . 86

14、Def 1 Def 287Def 1 Def 388P=(50000,0.5;75000,0.5).風險態度示意圖89902.2風險厭惡測度與比較Fair game如果你想要讓風險厭惡的人參與這個游戲（即也讓其承擔一個風險），應該給他多少期望收益？（調整p)如果是風險厭惡的人想把風險給去掉，那么你收他多少錢？91p=1/2(1-p)=1/2抽獎P風險厭惡的人不會參與風險厭惡的測度Arrow-Pratt Measures of Risk AversionAbsolute risk aversionRelative risk aversion92Arrow-Pratt measures of ri

15、sk aversion93Arrow-Pratt measures of risk aversion94風險厭惡的比較(I)(1) The preference relation is more risk averse than if for any prospect p and c, implies that (2) The preference relation is more risk averse than if for all p.95風險厭惡的比較(II)(3) Let u1 and u2 be vNM utility functions represent-ing and res

16、pectively. The preference relation is more risk averse than if the function defined by , is concave. (4) Let u1 and u2 be differentiable vNM utility functions representing and respectively. The preference relation is more risk averse than if r2(x) r1(x), where ri(x) is absolute risk aversion coeffic

17、ient.96風險厭惡的比較(III)(4) r2(x) r1(x),97(1) = (3)98假設存在c,常用的效用函數Constant Absolute Risk Aversion CARAConstant Relative Risk Aversion CRRA99Review of Lecture 4確定情形下的效用函數存在性證明連續性不確定情形下的效用理論公理體系存在性證明無差異概率與期望效用期望效用函數的性質風險厭惡的測度與比較定義（三種）Arrow-Pratt風險厭惡測度100內容結構圖101決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗B

18、ayes分析Bayes計算先驗信息與先驗概率確定方法層次Bayes分析多準則決策理論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分內容結構圖102決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗Bayes分析Bayes計算先驗信息與先驗概率確定方法層次Bayes分析多準則決策理論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分OutlineMean-Variance Criterion (Sec. 5.2,5.3)Stochastic Dominance (Sec. 5.1,5.4,5.5,5.6,5.7,5.8)1041平均值方差排序(Sec. 5.

19、2，5.3)105-法則基本思路在評價行動方案時，不僅考慮方案可能帶來的期望值，也考慮代表風險的方差評價函數：對評價函數的要求106有效的投資組合圖以標準差為橫軸，均值為縱軸，根據平均值方差準則分析有效的有價證券的組合。107資產組合的收益與風險：計算公式108資產組合的風險109資產組合的風險與資產數量當資產組合中的種類增多時，組合中單個資產的風險變的越來越不重要，組合中資產之間的協方差變的越來越重要。110資產組合的風險與資產數量：一個簡單情形考慮一種特殊組合,X1=X2,=Xn=1/N. 假設所有資產的方差相等( )，同時資產兩兩之間的協方差相等( )。分析N 根據上表列方差表達式Mor

20、kowitz模型111112風險資產與無風險資產的組合考慮一種有價證券與無風險資產的組合的收益和風險。資產組合用(X1,X2)表示，其中X1表示風險資產的持有比例。設第1種資產的收益率均值為1，方差為1，無風險資產收益均值為2，方差為0，那么資產組合的收益率與方差分別為113有效的投資組合圖/EV有效前沿面假設存在無風險資產，以標準差為橫軸，均值為縱軸，分析有效的資產組合？114市場均衡假設所有的投資者對所有證券的期望收益，方差和協方差有相同的估計，即所有投資者接收相同的信息homogeneous expectations所有人具有相同的無風險利率，進行借貸所有人都會持有市場組合115有效組合

21、的預期收益率確定資本市場線（CML）：均衡條件下，它代表證券市場上所有有效的投資機會，每一位投資者都將根據自己的偏好在CML上選擇一點作為自己的投資目標斜率：均衡收益率有效組合116任意組合的預期收益率確定假設任意證券i，收益率為 ，標準差為 . 其與市場組合按照比例a, 1-a組合的新組合的收益率和標準差可以用如下的參數方程表示：參數方程在市場組合處的斜率參數方程在市場組合處的斜率等于CML斜率Beta系數1172隨機優勢（Sec.5.1,5.4,5.5,5.6,5.7,5.8）1182.1效用函數的類（Sec. 5.4）效用函數的類遞增的效用函數類(strictly increasing)

22、遞增的凹效用函數(strictly increasing concave)假設：遞增、可導和有界1191202.2隨機優勢的概念與性質121Absolute dominance/State-by-state dominance (按狀態占優)當滿足下列條件時，稱i確定性占優j如果一個行動是不被另外一個行動所占優，則稱其為可接受行動（admissible）例1：X為一隨機變量, Y=X+1. Sec 5.1 (P71)122123第一等隨機優勢（First-order stochastic dominance）或者生存函數進行定義Absolute dominance vs. First-orde

23、r dominance性質：Absolute dominance = first-order dominance性質：收益X分布F(x)第一等隨機占優收益Y，其分布為G(y)。則存在隨機變量X*,Y*,其中X*的分布函數服從F(.)，Y*的分布服從G(.)，且有 例:X和Y相互獨立，XU(0,1)，YU(1,2)124125隨機優勢例子某種病的治療可以采取立即做手術，或者不作處理。如果不做處理，病情可能惡化，患者因此可能死亡或者殘疾。如果立即做手術，手術有風險，在手術過程中可能會在手術中死亡或者導致殘疾。醫生應該如何做？不做手術手術075100075100P (死亡) = 0.05P (殘疾)

24、 = 0.25P (治愈) = 0.70P (死亡) = 0.01P (殘疾) = 0.04P (治愈) = 0.95126隨機占優例子不做手術，被做手術第一等隨機占優例5.1127128隨機占優與期望效用129第二等隨機優勢（second-order dominance）設X和Y的分布函數分別為F,G，滿足以下條件稱F 第二等隨機占優G，記為。性質：第一等隨機優勢可以推導出第二等隨機優勢，反之未必成立130第二等隨機占優性質如果F(.)和G(.) 為收益X和Y的分布函數，則下面的結論等價F(.)第二等隨機占優G(.)對于任意的不減凹效用函數u(.)，有下式成立Hint: 兩次利用分部積分13

25、1第二等隨機占優性質定義與定理（Sec 5.6, P77）1321332.3隨機優勢定理的特例相等平均值134簡單分布函數135單交叉分布136137正態分布變量的比較X和Y都為正態隨機變量Y比X有較低的均值，同時具有相同的方差密度函數平移，一階隨機占優，二階隨機占優如果Y比X有較高的方差，Y和X具有相同的均值單交叉，二階隨機占優Y比X有較高的均值，同時具有較低的方差二階隨機占優傳遞性如果證券收益符合正態分布，那么期望均值分析是合理的一般情形下的EV排序與隨機優勢排序比較138139隨機占優決策小結效用函數不容易確定。如果能找到適合一類具有共同特征的效用函數的決策方式，則決策結果可靠性更高所有

26、人都偏好一階占優的選擇具有非減的效用函數所有厭惡風險的人都偏好二階占優的選擇具有非減的凹效用函數如果資產收益為正態分布，那么均值方差分析在金融中的應用具有合理性通過二階隨機占優來說明Review of Lecture 5140內容結構圖141決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗Bayes分析Bayes計算先驗信息與先驗概率確定方法層次Bayes分析多準則決策理論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分內容結構圖142決策分析基本概念與方法效用簡介概率簡介價值函數期望效用理論風險厭惡隨機優勢貝葉斯分析經驗Bayes分析Bayes計算先驗

27、信息與先驗概率確定方法層次Bayes分析多準則決策理論與方法序貫決策理論與方法第一部分第二部分第三部分Outline of Lecture 6基本概念損失函數、風險函數、貝葉斯風險貝葉斯分析正規型與擴展型選擇合適的規則（方案）信息的價值設計“經濟”的信息收集方式案例研究Claxton, K., Neumann, PJ., et al. Bayesian value of information analysis：An Application to a Policy Model of Alzheimers Disease. International Journal of Technology

28、Assessment in Health Care,17:1(2001), 3855.1431441基本概念損失函數145常用的損失函數形式平方損失線性損失“0-1”損失146147147決策規則 決策規則 從補充信息值X 的集合到行動方案集合A的單值對應稱為決策規則。記作：隨機化決策規則E.g., 若某個決策問題有m個行動方案，有n個補充信息值，則至多有mn個決策規則。148148風險函數風險函數R(,)：損失值l(x), )對所有補充信息值的x數學期望。風險函數是在狀態值下，決策規則對全部補充信息值的平均損失。149149貝葉斯風險貝葉斯風險 r() 對決策法則，風險函數r(,)對狀態的數

29、學期望，稱為決策法則的貝葉斯風險。 貝葉斯風險r()是一個常數，表示決策法則，對一切補充信息值和狀態值的平均損失值。150貝葉斯似然矩陣/函數(likelihood matrix function)151貝葉斯決策規則風險函數，貝葉斯風險和貝葉斯規則Bayes 決策規則在給定狀態下所有狀態下平均例3.41532貝葉斯分析正規型和擴展型154兩類問題決策人面臨的兩個問題：如何選擇最佳的決策規則？如何進行試驗獲得更多的信息，以便修正先驗分布并得到后驗分布? 進行這樣的試驗是否值得?決策準則的問題計算信息的價值，進行成本收益分析貝葉斯準則(Bayes Criterion)其他準則最小最大原則(Min

30、max criterion)容許性(admissibility)157例4.5158貝葉斯決策分析正規型(Normal form of analysis)貝葉斯決策準則：如果行動規則 的貝葉斯風險小于行動規則 在同樣先驗分布 下的貝葉斯風險值，即 ，則定義行動規則 優于行動規則最優決策就是貝葉斯風險最小的決策貝葉斯分析的正規型：選擇一個行動規則，使其貝葉斯風險最小隨機化行動對貝葉斯決策規則的影響令隨機化行動對貝葉斯規則的影響令平方損失函數貝葉斯決策規則161162貝葉斯分析的擴展型Bayes 決策規則163例4.6決策樹幫助組織求解過程例4.7例4.8求解貝葉斯決策與貝葉斯風險要點構造貝葉斯決

31、策規則 可以不計算預測密度(如例4.8)針對不同的自然狀態，求解貝斯規則的期望損失，再通過先驗分布信息來求平均損失，即貝葉斯風險.貝葉斯決策法則、貝葉斯決策風險與先驗分布相關166167求解貝葉斯決策規則例1：考慮一個決策問題有兩種備選方案 ，兩種自然狀態 。損失矩陣如下表所示。假設我們可以觀察一個隨機變量X，則有下面的條件分布矩陣（似然函數分布矩陣）：假設上的概率分布為 ，其中 。求解貝葉斯決策規則。a1a2w105w2100168小結1692.1貝葉斯分析拓展(Sec 4.6，4.7)充分統計量與貝葉斯決策規則170(與參數無關)非正常先驗 vs. 貝葉斯風險無窮大Improper pri

32、ors171172例4.10具有部分先驗信息貝葉斯分析1731741753貝葉斯決策信息價值176貝葉斯決策信息的價值利用補充信息來修正先驗概率，可以使決策的準確度提高，從而提高決策的科學性和效益性。因此，信息本身是有價值的能帶來收益。 收益與成本的比較，需要考慮邊際收益 問題：如何衡量信息的價值？完全信息價值補充信息價值177完全信息期望價值（EVPI）完全信息：指能夠提供狀態變量真實情況的補充信息。即在獲得補充信息后就完全消除了風險情況，風險決策就轉化為確定型決策。設xi 為補充信息值，若存在狀態值0，使得條件概率P(0/ xi)=1 ，或者當狀態值 0時，總有P(/ xi)=0 。則稱信

33、息值xi為完全信息值。(補充信息可靠性100%)178完全信息期望值計算如果補充信息值 xi對每一個狀態值都是完全信息值，則完全信息值xi 對狀態的期望收益值稱為完全信息價值的期望值（expected value of perfect information）,簡稱完全信息價值，記做EVPI。179例子某工廠計劃生產一種新產品，產品的銷售情況有暢銷（1），滯銷（2）兩種，據以往的經驗，估計兩種情況發生的概率分布和利潤如下表所示：狀態暢銷（1） 滯銷（2）概率P(i) 0.8 0.2生產(a1) 1.5 0.5不生產(a2) 0 0180補充信息的價值（EVAI） 補充信息值xi 的價值： 決策

34、者掌握了補充信息值 xi前后期望收益值的增加量(或期望損失值的減少量)。補充信息價值：全部補充信息值xi 價值的期望值，稱為補充信息價值的期望值。簡稱補充信息價值，記做EVAI（Expected Value of Additional Information）。181補充信息價值（EVAI）的計算公式1：其中：(x)表示在信息值x下的行動方案，E|x表示在信息值x的條件下對狀態值求收益期望值公式2：l(a,)表示決策問題的損失函數貝葉斯風險的變化量182取樣成本的考慮成本怎么刻畫？成本與貝葉斯風險怎么合成？簡化：取樣成本與狀態無關，與樣本值也無關，只與取樣次數相關183例：續上例假設觀察X的成

35、本是c0. 對任意狀態空間上的概率分布，決策者愿意支付的最大c為多少？184EVAI 與EVPI 的關系任何補充信息價值都是非負的，且不超過完全信息的價值。 即：EVPIEVAI0 補充信息不會降低決策的期望收益（或者不會提高決策的期望損失）例4.121863.1抽樣貝葉斯決策187抽樣的意義抽樣檢查（抽檢）是獲得情報信息的重要手段例：為了解一批產品中次品率的情況，可以從這批產品中提出一定數量的樣品進行檢查，然后對總體進行評估構造決策統計量，該統計量代表抽樣情報信息抽樣貝葉斯決策利用抽樣信息值作為補充信息值，去修正狀態變量的先驗分布，得到后驗分布，再依據后驗分布進行的貝葉斯決策188抽樣分析的

36、例子某廠生產某種設備，其中一個關鍵部位的質量不夠穩定，其次品率有時為0.05，有時為0.25。該部件按批量生產，每批1500件。據統計，在過去生產的各批部件中，次品率為0.05的占80%該廠對一批部件，可以：在使用前逐個檢查，剔除所發現的次品，這樣每個部件的檢查費為15元也可以整批部件都不檢查就用于設備裝配，這樣在設備最終調試時還得拆換該部件的次品，其檢查、拆換費用為每件次品100元還可以從一批部件中先抽取部分樣品送交實驗室嚴格檢驗，根據檢驗結果再決定檢查或不檢查。抽樣檢驗費用為每件125元問該廠如何檢查該部件？189比較全檢和不抽檢兩種方案1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望收益

37、0.80.2a1（全檢）-22500-22500-22500a2（不檢）-7500-37500-13500因此，選擇不抽檢比全檢好。下面再考慮通過抽樣補充信息，根據抽檢結果決定是否全檢或不檢1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望損失0.80.2a1（全檢2（不檢）0150003000收益矩陣和損失矩陣190抽檢一次的情況h1：結果為合格品，h2：結果為不合格品求得： p(h1)=0.91, p(h2)=0.09 p(1 |h1)=0.84， p(2 |h1)=0.16 p(1 |h2)=0.44， p(2 |h2)=0.56決策結果：如果h1發生，則a2(不

38、檢)，如果h2發生，則a1(全檢)期望損失h1 (0.91)h2 (0.09)a1（全檢）126006600a2（不檢）24008400191抽檢兩次的情況h1：全部為合格品，h2：一合格，一不合格， h3：全部為不合格品求得：p(h1)=0.8345，p(h2)=0.151，p(h3)=0.0145p(1 |h1)=0.87， p(2 |h1)=0.13p(1 |h2)=0.5033， p(2 |h2)=0.4967p(1 |h3)=0.14， p(2 |h3)=0.86決策結果：如果h1或h2發生，則a2(不檢)，如果h3發生，則a1(全檢)期望損失h1(0.8345)h2(0.151)h

39、3(0.0145)a1（全檢）130507549.672100a2（不檢）19507450.3312900192抽檢三次的情況h1：全部為合格品，h2：兩合格，一不合格， h3：一合格，兩不合格，h4：全部為不合格品求得：p(h1)=0.7703，p(h2)=0.1927，p(h3)=0.0338， p(h4)=0.0032p(1 |h1)=0.8905， p(2 |h1)=0.1095p(1 |h2)=0.5621， p(2 |h2)=0.4379p(1 |h3)=0.1685， p(2 |h3)=0.8315p(1 |h4)=0.031， p(2 |h4)=0.969決策結果：如果h1或h

40、2發生，則a2(不檢)，如果h3或h4發生，則a1(全檢)期望損失h1h2h3h4a1（全檢）1335884322527465a2（不檢）164265681247314535193最佳樣本容量抽樣需要支付費用，費用大小與樣本容量有關。需要確定樣本容量的一個最佳值。抽樣成本和抽樣凈收益 抽樣所支付的費用（Cost of Sampling）稱為抽樣成本，記作CS。由于抽樣成本是樣本容量N的函數，抽樣成本成本常記為CS(N)。 通常有CS(N)=Cf +Cv N，（N非零） 固定成本： Cf 單位可變成本： Cv 194同樣的，抽樣信息價值也是樣本容量的函數，記為EVSI(N)。抽樣信息價值與抽樣成

41、本之差稱為抽樣凈收益(Expected Net Gain from Sampling)，記作ENGS(N)。ENGS(N)=EVSI(N)-CS(N)ENGS(N)是抽樣貝葉斯決策的重要指標，以此確定抽樣調查工作的必要性。當ENGS(N)為正時，抽樣分布給決策帶來正效益，應該進行抽樣分析，反之應否定抽樣調查方案195最佳樣本容量最佳樣本容量196抽檢一次的補充情報價值無任何情報情況下的損失選擇不抽檢，期望損失3000有補充情報下的損失情報為“合格”，期望損失2400，概率0.91情報為“不合格”，期望損失6600，概率0.09期望損失：0.912400+0.096600=2778因此，補充情報

42、價值=3000-2778=222元抽樣凈值=222-125=97元，抽檢值得完全信息價值197抽檢兩次的補充情報價值無任何情報情況下的損失選擇不抽檢，期望損失3000有補充情報下的損失情報為“全合格”，期望損失1950，概率0.8345情報為“一合格，一不合格”，期望損失7450.33，概率0.151情報為“全不合格”，期望損失2100，概率0.0145期望損失：2783因此，補充情報價值=3000-2783=217元抽樣凈值=217-1252=-33元，抽檢兩次是完全不合理的198抽檢三次的補充情報價值無任何情報情況下的損失選擇不抽檢，期望損失3000有補充情報下的損失情報為“全合格”，期望

43、損失1642，概率0.7703情報為“兩合格，一不合格”，期望損失6568，概率0.1927情報為“一合格，兩不合格”，期望損失2527，概率0.0338情報為“全不合格”，期望損失465，概率0.0032期望損失：2617因此，補充情報價值=3000-2617=383元抽樣凈值=383-1253=8元，抽檢三次雖然可行，但抽樣凈值不及抽檢一次，因此沒有必要例4.142004Case StudyReview of Lecture 6201Outline of Lecture 7信息的價值設計“經濟”的信息收集方式案例研究Claxton, K., Neumann, PJ., et al. Bay

44、esian value of information analysis：An Application to a Policy Model of Alzheimers Disease. International Journal of Technology Assessment in Health Care,17:1(2001), 3855.2022033貝葉斯決策信息價值204貝葉斯決策信息的價值利用補充信息來修正先驗概率，可以使決策的準確度提高，從而提高決策的科學性和效益性。因此，信息本身是有價值的能帶來收益。 收益與成本的比較，需要考慮邊際收益 問題：如何衡量信息的價值？完全信息價值補充信

45、息價值205完全信息期望價值（EVPI）完全信息：指能夠提供狀態變量真實情況的補充信息。即在獲得補充信息后就完全消除了風險情況，風險決策就轉化為確定型決策。設xi 為補充信息值，若存在狀態值0，使得條件概率P(0/ xi)=1 ，或者當狀態值 0時，總有P(/ xi)=0 。則稱信息值xi為完全信息值。(補充信息可靠性100%)206完全信息期望值計算如果補充信息值 xi對每一個狀態值都是完全信息值，則完全信息值xi 對狀態的期望收益值稱為完全信息價值的期望值（expected value of perfect information）,簡稱完全信息價值，記做EVPI。207例子某工廠計劃生產

46、一種新產品，產品的銷售情況有暢銷（1），滯銷（2）兩種，據以往的經驗，估計兩種情況發生的概率分布和利潤如下表所示：狀態暢銷（1） 滯銷（2）概率P(i) 0.8 0.2生產(a1) 1.5 0.5不生產(a2) 0 0208例子c變成-c?209補充信息的價值（EVAI） 補充信息值xi 的價值： 決策者掌握了補充信息值 xi前后期望收益值的增加量(或期望損失值的減少量)。補充信息價值：全部補充信息值xi 價值的期望值，稱為補充信息價值的期望值。簡稱補充信息價值，記做EVAI（Expected Value of Additional Information）。210補充信息價值（EVAI）的計

47、算公式1：其中：(x)表示在信息值x下的行動方案，E|x表示在信息值x的條件下對狀態值求收益期望值公式2：l(a,)表示決策問題的損失函數貝葉斯風險的變化量211取樣成本的考慮成本怎么刻畫？成本與貝葉斯風險怎么合成？簡化：取樣成本與狀態無關，與樣本值也無關，只與取樣次數相關212例：續上例假設觀察X的成本是c0. 對任意狀態空間上的概率分布，決策者愿意支付的最大c為多少？213EVAI 與EVPI 的關系任何補充信息價值都是非負的，且不超過完全信息的價值。 即：EVPIEVAI0 補充信息不會降低決策的期望收益（或者不會提高決策的期望損失）例4.122153.1抽樣貝葉斯決策216抽樣的意義抽

48、樣檢查（抽檢）是獲得情報信息的重要手段例：為了解一批產品中次品率的情況，可以從這批產品中提出一定數量的樣品進行檢查，然后對總體進行評估構造決策統計量，該統計量代表抽樣情報信息抽樣貝葉斯決策利用抽樣信息值作為補充信息值，去修正狀態變量的先驗分布，得到后驗分布，再依據后驗分布進行的貝葉斯決策217抽樣分析的例子某廠生產某種設備，其中一個關鍵部位的質量不夠穩定，其次品率有時為0.05，有時為0.25。該部件按批量生產，每批1500件。據統計，在過去生產的各批部件中，次品率為0.05的占80%該廠對一批部件，可以：在使用前逐個檢查，剔除所發現的次品，這樣每個部件的檢查費為15元也可以整批部件都不檢查就

49、用于設備裝配，這樣在設備最終調試時還得拆換該部件的次品，其檢查、拆換費用為每件次品100元還可以從一批部件中先抽取部分樣品送交實驗室嚴格檢驗，根據檢驗結果再決定檢查或不檢查。抽樣檢驗費用為每件125元問該廠如何檢查該部件？218比較全檢和不抽檢兩種方案1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望收益0.80.2a1（全檢）-22500-22500-22500a2（不檢）-7500-37500-13500因此，選擇不抽檢比全檢好。下面再考慮通過抽樣補充信息，根據抽檢結果決定是否全檢或不檢1 (次品率0.05)2 (次品率0.25)期望損失0.80.2a1（全檢2（不

50、檢）0150003000收益矩陣和損失矩陣219抽檢一次的情況h1：結果為合格品，h2：結果為不合格品求得： p(h1)=0.91, p(h2)=0.09 p(1 |h1)=0.84， p(2 |h1)=0.16 p(1 |h2)=0.44， p(2 |h2)=0.56決策結果：如果h1發生，則a2(不檢)，如果h2發生，則a1(全檢)期望損失h1 (0.91)h2 (0.09)a1（全檢）126006600a2（不檢）24008400220抽檢兩次的情況h1：全部為合格品，h2：一合格，一不合格， h3：全部為不合格品求得：p(h1)=0.8345，p(h2)=0.151，p(h3)=0.0

51、145p(1 |h1)=0.87， p(2 |h1)=0.13p(1 |h2)=0.5033， p(2 |h2)=0.4967p(1 |h3)=0.14， p(2 |h3)=0.86決策結果：如果h1或h2發生，則a2(不檢)，如果h3發生，則a1(全檢)期望損失h1(0.8345)h2(0.151)h3(0.0145)a1（全檢）130507549.672100a2（不檢）19507450.3312900221抽檢三次的情況h1：全部為合格品，h2：兩合格，一不合格， h3：一合格，兩不合格，h4：全部為不合格品求得：p(h1)=0.7703，p(h2)=0.1927，p(h3)=0.033

52、8， p(h4)=0.0032p(1 |h1)=0.8905， p(2 |h1)=0.1095p(1 |h2)=0.5621， p(2 |h2)=0.4379p(1 |h3)=0.1685， p(2 |h3)=0.8315p(1 |h4)=0.031， p(2 |h4)=0.969決策結果：如果h1或h2發生，則a2(不檢)，如果h3或h4發生，則a1(全檢)期望損失h1h2h3h4a1（全檢）1335884322527465a2（不檢）164265681247314535222最佳樣本容量抽樣需要支付費用，費用大小與樣本容量有關。需要確定樣本容量的一個最佳值。抽樣成本和抽樣凈收益 抽樣所支付

53、的費用（Cost of Sampling）稱為抽樣成本，記作CS。由于抽樣成本是樣本容量N的函數，抽樣成本成本常記為CS(N)。 通常有CS(N)=Cf +Cv N，（N非零） 固定成本： Cf 單位可變成本： Cv 223同樣的，抽樣信息價值也是樣本容量的函數，記為EVSI(N)。抽樣信息價值與抽樣成本之差稱為抽樣凈收益(Expected Net Gain from Sampling)，記作ENGS(N)。ENGS(N)=EVSI(N)-CS(N)ENGS(N)是抽樣貝葉斯決策的重要指標，以此確定抽樣調查工作的必要性。當ENGS(N)為正時，抽樣分布給決策帶來正效益，應該進行抽樣分析，反之應

54、否定抽樣調查方案224最佳樣本容量最佳樣本容量225抽檢一次的補充情報價值無任何情報情況下的損失選擇不抽檢，期望損失3000有補充情報下的損失情報為“合格”，期望損失2400，概率0.91情報為“不合格”，期望損失6600，概率0.09期望損失：0.912400+0.096600=2778因此，補充情報價值=3000-2778=222元抽樣凈值=222-125=97元，抽檢值得完全信息價值226抽檢兩次的補充情報價值無任何情報情況下的損失選擇不抽檢，期望損失3000有補充情報下的損失情報為“全合格”，期望損失1950，概率0.8345情報為“一合格，一不合格”，期望損失7450.33，概率0.

55、151情報為“全不合格”，期望損失2100，概率0.0145期望損失：2783因此，補充情報價值=3000-2783=217元抽樣凈值=217-1252=-33元，抽檢兩次是完全不合理的227抽檢三次的補充情報價值無任何情報情況下的損失選擇不抽檢，期望損失3000有補充情報下的損失情報為“全合格”，期望損失1642，概率0.7703情報為“兩合格，一不合格”，期望損失6568，概率0.1927情報為“一合格，兩不合格”，期望損失2527，概率0.0338情報為“全不合格”，期望損失465，概率0.0032期望損失：2617因此，補充情報價值=3000-2617=383元抽樣凈值=383-125

56、3=8元，抽檢三次雖然可行，但抽樣凈值不及抽檢一次，因此沒有必要例4.142294Case StudyAbstract230A1. 研究假設、目的或者問題Abstract231A2. 研究方法與理論Abstract232A3. 研究結果Abstract233A其他. 研究含義、意義等Introduction & Literature Review234I1. 描述問題范圍，過渡到具體的研究假設、目的或者問題Introduction & Literature Review235I2. 描述問題重要性Introduction & Literature Review236I3. 描述本研究的觀點In

57、troduction & Literature ReviewAlthough previous investigations provide some insight into these questions, research in this area generallyfocuses on rather than on Its findings are based on that are often limited to 237I其他. 描述研究空白、差異與貢獻Separate Literature Review建立本研究的“坐標系”positioning the study in rel

58、ation to the existing literature in the Introduction, and thereby setting the scene and explaining the motivation for the paper文獻回顧不是附說明的參考文獻列表focused on the papers which are directly relevant to the studyEmphasize the findings of previous research-not just the research Methodologies and names of va

59、riables studied文獻回顧需要為引出研究問題服務 It should be focused on what is needed for the specific study. the development of the theoretical underpinnings for the paper. The literature review should, build a theoretical framework or the theoretical basis. I would normally expect the literature review to lead di

60、rectly to the research questions238Main bodyResearch methods (or the model section)Results and Analyses(or Proportions and Theorems)Discussion &Conclusion239Research methods: Methodological Background240EVPIEVSISampling CostENBSPrior informationLoss function非重點Research methods: Policy model of AD &