1、定角夾定高（探照燈模型）什么叫定角定高，如右圖，直線BC外一點A,A到直線BC距離為定值（定人高），/BAC為定角。則AD有最小值。又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈一樂模型。/卜、我們可以先看一下下面這張動圖，在三角形ABC當中，/BAC是一個定角，'/過A點作BC邊的高線，交BC邊與D點，高AD為定值。/0南BDc從動態圖中（定角定高動態圖.gsp）定角定高動態圖乎鼠們可以看到，如果頂角和高，都為定值，那么三角形ABC的外接圓的大小，也就是半徑，是會隨著A點的運動而發生變化的。從而弦BC的長也會發生變化，它會有一個最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面積就有一個最小值。

2、我們可以先猜想一下，AD過圓心的時候，這個外接圓是最小的，也就是，BC的長是最小的，從而三角形ABC的面積也是最小的。（定長可用圓處理，特別，定長作為高可用兩條平行線處理）那么該如何證明呢？首先我們連接OA,OB,0C,過0點作OHLBC于H點.（如圖1）顯然OA+OHAD,當且僅當A,O,D三點共線時取“="。由于/BAC的大小是一個定值，而且它是圓。的圓周角，因此它所對的圓心角/AOB的度數，也是一個定值。因此OH和圓O的半徑，有一個固定關系，所以，OA+OH也和。的半徑，有一個固定的等量關系。再根據我們剛才說的，OA+OHAD,就可以求得圓O半徑的最小值。簡證：OA+OHADO

3、EDH為矩形，OH=ED,在RtAOE中，AO>AE,.AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD【總結】:1 .定角定高三角形面積最小值時，該三角形為等腰三角形，其定高是所對底邊的垂直平分線，或者說定高過該三角形外接圓圓心。2 .定角可以看做是圓周角，因此它所對圓心角不變，往往要通過圓心角所在等腰三角形中解直角三角形。3 .定角定高作用，求這類三角形高所對底的最小值，以及這類三角形最小面積例1（旋轉全等構造）：（2017曲江區模擬&巧學數學）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=4,AD/BC,/B=60°，點E、F分別為邊BC、CD上的兩個動點，且/EAF

4、=60°,則AEF的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由。E例2:(巧學數學)已知等邊ABC,點P是其內部一個動點，且AP=10,M、N分別是AB、AC邊上的兩個動點，求PMN周長最小時，四邊形AMPN面積的最大值.【解題步驟】：1 .作定角定高三角形外接圓，并設外接圓半徑為r,用r表示圓心到底邊距離及底邊長;2 .根據“半徑+弦心距之定高”求r的取值范圍；3 .用r表示定角定高三角形面積，用r取值范圍求面積最小值。【簡單探照燈】1 .如圖，在ABC中，ZACB=60°,CD為AB邊上的高，若CD=4,試判斷ABC的面積是否存在最小值？若存在，請求

5、出面積最小值；若不存在，請說明理由2 .(高新一中6模)問題提出：(1)如圖，已知/AOB=45°，點P在/AOB內部，且OP=10,若點M、N分別在射線OA、OB上運動,則PMN周長的最小值為(2)如圖，在ABC中，AB=AC,AD±BC,ZBAC=45°,AD=2痘.請計算BC的長。（3）某市成功躋身國家中心城市的行列，該市擬在如圖所示的區域，建造城市最大的文化生態公園。已知在四邊形ABCD中，/ABC=60°,公園的設計師想在園中距離點B為100米的點P處修一休息室，同時在AB上選點M,在邊BC上選點N,分別連接P、M、N,使PMN在周長最短的情況

6、下，景觀綠化區四BMPN面積的最大值，若不能,邊形BMPN的面積最大。設計師的想法能實現嗎？如果能，請求出四邊形說明理由。3 .如圖，正方形ABCD的邊長為4,動點E、F分別在BC、CD上，且/EAF=45°,則線段EF的最小值為;CEF面積的最大值為;四邊形AECF面積的最大值為.（可將“/EAF=45°”更改為“/DAE=/FEA”同題5）4 .如圖，四邊形ABCD中，AD/BC,ZD=90°,BC=CD=4,E為CD邊上任意一點，連接AE、BE,若ZEAB=ZCBA,ABE的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。（也可半角模型旋轉全等

7、）C5 .（難）如圖，等邊4ABC邊長是1,O是外心，過點O任意作一條直線分別交AB,BC于點D,E.將4BDE沿直線DE折疊，得到八BDE,若BE交AC于點F.試求EF的最小值，ACEF面積的最大值6 .（旋轉全等轉化）在四邊形ABCD中，AB=AD,/BAD=60°,/ADC=150°,過點D作DHXBC,垂足為H,若DH=2,求AC的最小值.BH【定角定高求周長最小】1.(探照燈問題由來)問題探究：(1)如圖1,已知等邊ABC,邊長為4,則的外接圓的半徑長為.(2)如圖2,已知在矩形ABCD中，AB=4,對角線BD與邊BC的夾角為30°,點E在為邊BC上且B

8、E=1BC,4點P是對角線BD上的一個動點，連接PE、PC,求PEC周長的最小值.問題解決：(3)為了迎接新年的到來，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演.其中一個鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發出的兩根彩色光線夾角為60。，如圖3,若將兩根管線(AB、AC)和光線與城墻的兩交點的連接的線段(BC)看作一個三角形，記為ABC,那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.圖12.在ABC中，/BAC=60°,高AD=30，求周長的最小值。3.在ABC中，/BAC=90°,高AD=u5,求ABC周長的最小值A【旋轉全等構造探照燈】1 .正4ABC邊長為2+赤，

9、PBXAB,PCXAC,M,N分別在PB、PC上,ZMAN=30°,則S,amn最小時，MN=U在四邊形ABCD中，ZBAD=452 .如圖，某園林單位要設計把四邊形花圃劃分為幾個區域種植不同花草。ZB=ZD=90°,CB=CD=672點E、F分別為邊AB、AD上的點，若保持CEXCF,那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由。3 .如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=3,ZBAD=120°,/B=ZD=90°,且/EAF=60°,點E、F分別在BC、CD上，則AEF面積的最小值是多少？4 .如

10、圖，四邊形ABCD中，AB=AD=4夜，ZB=45°,/D=135°,點E,F分別是射線CB、CD上的動點,并且/EAF=ZC=60°,求AEF的面積的最小值F5 .（初中數學優質資源中心20190619）如圖，有一塊四邊形ABCD板材，AD=4073cm,ZC=60°,AD/BC,AB±BC,工人師傅想從四邊形ABCD的板材中截出一個四邊形FMCN部件，且滿足F在AB上，BF=80cm,AF=40cm,點M在CD上，點N在BC,/MFN=90°,這個四邊形FMCN部件的面積是否存在最大值？若存在，求出面積最大值；若不存在，請說明理由

11、。6 .如圖，O是正方形ABCD的中心，OEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形,S,求S的取值范圍。OE=AB=4,OEF繞點O旋轉，設它與正方形ABCD的重疊部分的面積為7 .如圖，四邊形ABCD邊長為6的菱形，其中，A60,E、F分別在射線AB、BC上，/EDF=90°,求EDF面積的最小值.ABF8 .（2019?碑林區校級模擬）（1）如圖1,已知ABC是邊長為4的等邊三角形，點D為AB的中點，E,F分別為邊AC,BC上的動點，連接EF,DE,DF,請直接寫出ABC的面積；若/EDF=120°，請求出CEF周長的最小值；（2）如圖2,已知四邊形ABCD中，AD=J3,

12、AB=2,BC=4,ZB=60°,/D=90°,E為BC邊上一個動點，點F在直線CD上，且滿足EAXAF,連接EF.試探究AEF的面積是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由.【旋轉位似構造探照燈】1 .（陜西初中數學學堂一一定角三角形研究二）如圖，正ABC邊長為3,D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，BD=2CD,ZEDF=60°,求：DEF面積的最小值2 .（陜西初中數學學堂一一定角三角形研究二）（旋轉全等）ABC,/A=120°,AB=AC=1,D是BC中點，/EDF=120°,求：DEF面積的最小值3 .（陜西初中

13、數學學堂一一定角三角形研究二）在4ABC中，/A=120°,AB=AC,D是BC上一點，CD=k?BD,ZEDF=120°，求：DEF面積的最小值4 .（陜西初中數學學堂一一定角三角形研究二）在4ABC中，A,AB=AC,D、E、F分別是BC、AB、AC上的點，CDkBD,EDF（1800）,求ADEF面積的最小值.（化簡需用到高中誘導公式）5 .如圖，四邊形ABCD中，ZA=135°,/B=60°,/D=120°,AD=5,AB=6,E、F分別為邊BC及射線CD上的動點，/EAF=45°,求4AEF面積的最小值.6 .如圖，四邊形A

14、BCD中，/B=ZD=60°,/C=90°,AD=2AB=2,M、N分別在直線BC、CD邊上，/MAN=60°,求4AMN面積最小值.MC7 .如圖，ZMEN=90°,其頂點E為正方形ABCD邊BC的中點，正方形的邊長為4,將/MEN繞點E旋轉,邊EM與正方形的邊交于點F,邊EN與正方形的邊交于點G,求EFG面積的取值范圍.（/MEN為其他角度。）【8字相似構造探照燈】1 .已知矩形ABCD,AB=10,AD=18,BE:EA=2:3,F、G分別是BC、AD上的動點，滿足/FEG=60°,求EFG面積的最小值。2 .（平幾大典）/BAM=ZAB

15、N=90°,/MPN=60°,AP=2PB=2,求Spmn的最小值【變式】定周長；定角；定旁切圓。知二推一，求面積最大值1 .（定周長+定角定旁切圓）如圖，已知ABC的周長為6,/A=120°,求ABC面積的最大值2 .（定周長+定角定旁切圓）【發現問題】如圖1,已知ABC,試確定一點P,使其到ABC三邊距離相等。【問題探究】如圖2,已知正方形ABCD的邊長為1,點E、F分別在DC、CB上，且/EAF=45°,G為FC的中點，求四邊形AEGF的面積.【問題解決】河北公園要圍一個三角形花圃。如圖3,結合各項實際因素，將這個三角形花圃（ABC）的一個內角（/A）設計為120。，并使其面積最大。現用于圍花圃的柵欄有20m,則這個計劃是否可行？若可行，求出邊BC的長度（結果保留根號）；若不可行，請說明理由。圖3ACIE3 .（定旁切圓+定周長定周長）如圖，在ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,點D、點E分別在邊AC、BC上，且DE恒過ABC的內心I.點C關于DE的對稱點為點C',DC'、EC'分別交AB于點F、點G,則FC'GC'的最大值是【定角夾定角分線】1 .(2019定角夾定角分線)如圖，在同一平面內的ABC與CDE均為等邊三角形