1、章習題-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章習題1 .畫出下列晶體的慣用原胞和布拉菲格子，指明各晶體的結構以及慣用原胞、初基原胞中的原子個數和配位數。 氯化鉀：（2）氯化鈦；（3）硅；（4）硅化錢；（5）碳化硅（6）笆酸鋰；（7）鍍：（8）鋁；（9）鋁。解:布拉名稱 分子式 結構慣用元胞菲格慣用元初基兀胞胞中原 配位數中原子數子數氯化鉀KC1氯化鈦TiClSi珅化錢GaAs碳化硅SiCfeeCsCl 結fee閃鋅礦fee閃鋅礦NaCl 結金剛石2、 6、 12i2 .試證明：理想六角密堆積結構的上=:-=1.633。如果實際的上值比這個數值大得多,

2、a k 3 /a可以把晶體視為由原子密排平面所組成，這些面是疏松堆垛的。證明：如右圖所示，六角層內最近鄰原子間距為a,而相鄰兩層的最近鄰原子間距為：因此層間堆積不夠緊密。3 .畫出立方晶系中的下列晶向和晶面：ioi、lio、112、121、 (110) . (211)、(111)(112) o解：4.考慮指數為(100)和(001)的面，其晶格屬于面心立方，且指數指的是立方慣用原21胞。若采用初基原胞基矢坐標系為軸，這些面的指數是多少？ 解：如右圖所示：在立方慣用原胞中的(100)晶面,系中，在二、7、7三個基矢坐標上的截距為卜2雙&),指數為(101) °同理，(001)晶

3、面在初基原胞基矢坐標系內Z上的截距為則晶面指數為(110)。5 .試求面心立方結構(100)、 (HO) x (111)晶面族的原子數面密度和面間距，并比較大小；說明垂直于上述各晶面的軸線是什么對稱軸？ 解：晶面指數原子數面密度面間距對稱軸(100)2 不aC4(110)L4 戶V2a 2C2(111)2.3 a2<3a3C36 .對于二維六角密積結構,初基原胞基矢為：7=以；+司），.=理二C = cko求其倒格子基矢，并判斷倒格子也是六方結構。解：由倒格基失的定義，可計算得：彳J"r% =三（；+L）,。 a J3T TT fb?=- = （一，+不）人 by =- =k

4、（未在圖中國出）。 a J3Q c正空間二維初基原胞如圖（A）所示，倒空間初基原胞如圖（B）所示（1）由后、后組成的倒初基原胞構成倒空間點陣，具有C6操作對稱性，而C6對稱性是 六角晶系的特征。（2）由、構成的二維正初基原胞，與由彳區構成的倒初基原胞為相似平行四邊 形，故正空間為六角結構，倒空間也必為六角結構。（3）倒空間初基原胞基矢與正格子初基原胞基矢形式相同，所以也為六方結構。7,用倒格矢的性質證明.立方晶系的萬幼晶向與（秘。晶面垂直。證明：由倒格矢的性質，倒格矢以“="/0+攵E+/公垂直于晶面（力切。由晶向指數m初,晶向可用矢量力表示，則：A = ha + ka2 + la3

5、 o倒格子基矢的定義：心嗎；心嗎i ；兄=嗎&> T 在立方晶系中，可取對、。2、%相互垂直且"1 = "2 =。3 ,則可得知碎I,琲2,琲3,且方=岳=九。設昌=？（為常值，且有量綱，即不為純數）， rl貝lj Ghki = m（ha +ka2 + la3） =mA,即G/俏與A平行;也即晶向切垂直于晶面（刷8 .考慮晶格中的一個晶面（秘/）,證明：他）倒格矢曲=力+口2+區3垂直于這個晶面；3）晶格中相鄰兩個平行晶面的間距為4陽=E ；（C）對于簡單立方晶格有(力2 +k2 +/2)證明：（a）晶面（M/）在基矢辦Z上的截距為表可;作矢量:=042X43

6、2疝-_p+ 2成 6/1 卜2 X6/3 )+ 2疝="小"= a 12 X43)同理，有I? G/j =0, in3 Gh = 0所以,倒格矢合（必/）晶面，（b）晶面族（hkl）的面間距為：Gh a hb +kb2 +lby 27r =Gh h G/r Gfl(c)對于簡單立方晶格：Gh =h2 +k2 +l29 .用X光衍射對Al作結構分析時，測得從(111)面反射的波長為L541,反射角為比19.2°,求面間距力“0解：由布拉格反射模型，認為入射角二反射角，由布拉格公式：2小加柒兒 可得nA2sin£(對主極大取n=)現由倒空間勞厄方程出發，推

7、導Blagg公式。應斛而(A)晶面族。所以，G、的垂直平分面必與該晶面族平行。短倒格失，由倒格子周期性：5/. =nGh =27r-11(B)1 54。d =-=2.34(A)2 x sin 19.2°10 .試證明：勞厄方程與布拉格公式是等效的。證明：由勞厄方程：&,(k-ko) = 2平 與正倒格矢關系：= 2%/比較可知：若落1=工-工。成立，即入射波矢0,衍射波矢支之差為任意倒格矢3力，則方向產 生衍射光，G4 =k-如式稱為倒空間勞厄方程又稱衍射三角形。對彈性散射：% = K。由倒格子性質，倒格矢為垂直王該由右圖可知:Gh = 2ksing =sin6 A一'

8、;'24 一又若處為該方向的最短倒格矢，由倒格矢性質有：Gh =亍；若6|不是該方向最 比較(A)、(B)二式可得： 2dSin0=nA 即為Blagg公式。11 .求金剛石的幾何結構因子，并討論衍射面指數與衍射強度的關系。解：每個慣用元胞中有八個同類原子，其坐標為:(000),j°£V444；331、444；444；U3<444；結構因子:sNf/2前m=fa 1 + e，3)+ J*/) + a e孕“M + /叱孕)+ '小”詢前四項為在c的結構因子，用R表示從后四項提出因子c 1rle, iJT（hk）, /廳（“/） , /力（女-/）s從/

9、=%+，/-V + e +e +eJ"/ +7 2白MM=F, + e2因為衍射強度/xS嘉,c2 r2 i7氧h+k+I>S®"R + e- W + ” 一-力 W）-Q/1+A+/）=Fj 2 + e 2 +e 2用尤拉公式整理后：s-kl = IF l + cosg( + k+。討論：1、當力、憶、/為奇異性數(奇偶混雜)時，Ff =0,所以S；h=0 ；2、當力、葭/為全奇數時，S3= 2斤=2x(4力尸=32后；3、當力、葭/全為偶數，且+ % + / = 4(為任意整數)時，S"= 2號(1 + 1) = 4x16# =64/涓當萬、k

10、、/全為偶數，但/? +女+ /工4，則/? + k + / = 22 + 1)時，53=28(1-1) = 012.證明第一布里淵區的體積為予，其中匕是正格子初基原胞的體積。 %證明：根據正、倒格子之間的關系：727r（小 X%）丁 24（。3乂。）72/r（4Xa）4=,/=: ；I八=-復.。匕是正格子初基原胞的體積，第一布里淵區的體積為就為倒格子原胞的體積，即(3 xm)x(ai xai)第二章習題1、已知某晶體兩相鄰原子間的互作用能可表示成：u=-二+4，求： 7, r(1)晶體平衡時兩原子間的距離；平衡時的二原子間的互作用能；(3)若取=2, n=10,兩原子間的平衡距離為31,僅

11、考慮二原子間互作用則離解能為4eV,計算。及的值；若把互作用勢中排斥項二改用玻恩-梅葉表達式2exp -,并認為在平衡時對互 P)作用勢能具有相同的貢獻，求和間的關系。解：由。(r)= -=+ 3,平衡時：凹。=,嗚"-加方一=0,得： r比 /端F =處，化簡后得： =(業戶。cunam(2)平衡時把為表示式代入伙廠)中：(%)= 由八)表示式得：3xl07°=2)* a若理解為互作用勢能為二原子平衡時系統所具有的能量，由能量最小原理，平衡時系統能量具有極小值，且為負值；離解能和結合能為要把二原子拉開，外力所作的功.為正值，所以，離解能二結合能二-互作用勢能，由U式的負值

12、，得:ab4xl.6xl0-19+-(3xlO-10)2 (3X1O-10)10化簡為：6.4x10 = +： 4rxI。-的 9 3略去第二項計算可得：« = 7.2xl0-3SJ nr, 。= 9.45x10-8/(4)由題意得："=/*3i、+ In -In 2 - - = In Z7 - a? In , n In)= + In , 則：n =-pp 2In r0又解：*式兩邊對，。求導，得：與*式比較得：-=i可解得：“ =p2、N對離子組成的Nacl晶體相互作用勢能為：U(R) = NB aJ證明平衡原子間距為：端=皆證明平衡時的互作用勢能為：(/(%) = -&

13、#169;(1-3 ；4宓“若試驗試臉測得Nacl晶體的結合能為765打加晶格常數為5.63xlO lo/»,計算Nacl晶體的排斥能的帚指數凡已知Nacl晶體的馬德隆常數是cc=1.75OR證明：由：U(R) = N v Rae4%/?得：曙一次ft aJ(l)k=Nae Bn人.d"R)V ' R=0,即 NR=%ae1 Bn=0得：端=等(2)把以上結果代入U(R)式,并把R取為R),則：U(R0) = Na(r4唐曲?(4,£心)士4在(上當瀘aJ '紛'。'ac:)=-N4必。凡I1-1n)若認為結合能與互作用能符號相反，

14、則上式乘“一二(3)由之結論整理可得:=NourNae2 +4在0凡(凡)式中：N = 6.0x10"n, e = 1.6xl()79庫侖 4 =8.85x10* 法/米若題中Ro為異種原子的間矩，則：凡=0.5x5.63x10"。？；U(R0) = -7.65x103/ U (平衡時互作用勢能取極小值，且為負,而結合能為正值)馬德隆常數：2 = 1.75,將這些一致數據代入的表達式中，貝IJ：-4一o&U(R0) -4x3.14x8.85x1012 x2.82x 10-,0 x7.65x 105 “時1 - 1 -Nae-6.0 xl023 xl.75 x 2.5

15、6 x 103、如果把晶體的體積寫成:V=耶R)式中N是晶體中的粒子數；R是最近鄰粒子間距；P是結構因子,試求下列結構的夕值:於；bcc ；NaCl ；金剛石。解：取一個慣用元胞來考慮：結構VoNoRopfee4V2叵u22bee2V3a24/NaCl8a12金剛石8C a 483%4、證明：由兩種離子組成的間距為島的一維晶格的馬德隆常數。= 21n20 已知 X證明：由馬德隆常數的定義：a = y±2,其中同號離子取異號離子取“ + ”。 若以一正離子為參考點，貝卜工 1 111/1111 "Ia = 2 + + - + h+ I - 2 - H H + + (A3 5

16、In -1) k 2 4 6 2nx又由已知ln2 = M(l)代入(A)式，則:a = 21n25、假定由2N個交替帶電荷為土q的離子排布成一條線，其最近鄰之間的排斥勢為二，試證明在平衡間距下有：4陽小證明：由u+督jdU(R)dR4庇0(7)k=N人.dU(R)V . R=0,即 NR=R)=0得：4=.。把該式代入式,并把R取為R。，貝IJ：U(R°) = N4叫(等聲4 宏 0Koi1-1n)(A)由馬德隆常數的定義：其中同號離子取一，異號離子取一。若以一正離子為參考點，貝IJ ：+2 一 1)(2 4 62)(B)x-1 又由已知ln2 = Z(1)二 代入(B)式，則：a

17、 = 21n2。將。代入(A)式，得: /r-l”6、試說明為什么當正、負離子半徑比匕/=>1.37時不能形成氯化鎊結構；當仁"+>241時不能形成氯化鈉結構。當一化>2.41時將形成什么結構？已知Rb。、AgBr及BeS中正、負離子半徑分別為：rVnmr+/nmRbClAgBrBeS0.1490.1130.0340.1810.1960.174若把它們看成是典型的離子晶體，試問它們具有什么晶體結構？若近似地把正、負離子都看成是硬小球，請計算這些晶體的晶格常數C 解：通常:>:，當組成晶體時，可以認為正、負離子球相互密接。對氯化能結構，如圖（a）所示，8個正離子組成立方體，負離子處在立方體的中心所以立方體的對角線 =2匕+2立方體的邊長為：+心)（13忑=為了能構成氯化葩結構晶體，負離子的直徑2乙必須小于立方體的邊長”，即對于氯化鈉結構，如圖（b）所示為氯化鈉結構的一個慣用原胞（10。）面的離子+r+),由此可得：r_/r+ <-t = 1.37。 731分布情況，這里設正離子處在頂角，由圖可見,2匕<=肉.+° 則看=2 。所以，構成氯化鈉結構乙/，,