1、第十一章：三角形1 .三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。2 .三角形按邊分類廠不等腰三角形三角形-底邊和腰不等的等腰三年形L等腰三角形 J至少兩邊相等）-等邊三角形（三邊都相等）3 .三角形三邊的關系（重點）三角形的任意兩邊之和大于第三邊。三角形的任意兩邊之差小于第三邊。（這兩個條件滿足其中一個即可）用數學表達式表達就是：記三角形三邊長分別是a, b, c,則a+b>c或cbva.已知三角形兩邊的長度分別為 a, b,求第三邊長度的范圍：|a -b| <c< a+ b4 .三角形的高從 ABC的頂點向它的對邊 BC所在的直線畫垂線，垂

2、足為 D,那么線段 AD叫做4ABC的邊 BC上的高。三角形的三條高的交于一點，這一點叫做主角形的垂心”。5 .三角形的中線連接 ABC的頂點A和它所對的對邊 BC的中點D,所得的線段 AD叫做4ABC的邊BC上的 中線。三角形三條中線的交于一點，這一點叫做三角形的重心”。三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形。6 .三角形的角平分線/ A的平分線與對邊 BC交于點D,那么線段AD叫做三角形的角平分線。要區分三角形的 角平分線”與 箱的平分線”，其區別是：三角形的角平分線是條線段；角的平 分線是條射線。三角形三條角平分線的交于一點，這一點叫做主角形的內心”。7 .三角形具有穩定性8

3、 .四邊形及多邊形不具有穩定性要使多邊形具有穩定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩定性了。9 .三角形的內角和定理三角形的內角和為180° ,與三角形的形狀無關。10 .直角三角形兩個銳角的關系直角三角形的兩個銳角互余（相加為90。）。有兩個角互余的三角形是直角三角形。11 .三角形外角的意義三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角。12 .三角形外角的性質三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。13 .2個基本圖形14 .多邊形的概念在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，多邊形中相鄰兩

4、邊組成的角叫 做它的內角。多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角。連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。一個n邊形從一個頂點出發的對角線的條數為（n 3）條，其所有的對角線條數為1/2 n （n-3 ）。15 .凸多邊形畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側，那么這個 多邊形就是凸多邊形。各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個條件缺一不可，除了三角形以外，因為若三角形的三內角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）要求會的題型：告訴多邊形的邊數，求多邊形過一個頂點的對角線條數或求多邊形全部對角線的條數方法：一個n邊形從一個頂點出發的對角線的

5、條數為（n-3）條，其所有的對角線條數為n （n-3）。 將邊數帶入公式即可。17. n邊形的內角和定理n邊形的內角和為（n-2） ?180 °18. n邊形的外角和定理多邊形的外角和等于 360° ,與多邊形的形狀和邊數無關。第十二章全等三角形復習一、全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性質（1）:全等三角形的對應邊相等、對應角相等。（2）:全等三角形的周長相等、面積相等。（3）:全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。3、全等三角形的判定邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全

6、等（可簡寫成SSS”）邊角邊：兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等（可簡寫成SAS”）角邊角：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成ASA”）角角邊：兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成AAS ”）HL”)1/2斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成16.正多邊形4、證明兩個三角形全等的基本思路:方法指引找兩角的夾邊（ASA）（3）:已知兩角找夾邊外的任意邊（AAS ）軸對稱圖形軸為f稱圖形J/BA1 / 1 / A區別（1）軸對稱圖形是指具有特殊形狀的1 只對（十個（2）對稱軸 斗力淀（一個匆形，圖形而言;只有一條（1）軸對稱是指

7、 的位置關系;（兩個只有（T條（兩）個圖形,必須涉及圖形；對稱軸 .聯系如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱.如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形證明兩個三角形全等的基本思路:找第三邊 （SSS ）（1）:已知兩邊-4找夾角 （SAS ）找是否有直角 （HL）找這邊的另一個鄰角（ASA ）已知一邊和它的鄰角4找這個角的另一個邊（sas）L找這邊的對角 （AAS ）已知一邊和它的對角J找一角（AAS_）已知角是直角，找一邊 （HL）知識回顧:3、軸對稱圖形和軸對稱的區別與聯系4.軸對稱的性質1、（性質）角的平分線上的點到角的兩

8、邊的距離相等2、（判定）角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。三、學習全等三角形應注意以下幾個問題：（1）:要正確區分 對應邊”與對邊“，對應角”與對角”的不同含義；（2）:表示兩個三角形全等時，表示對應頂點的字母要寫在對應的位置上；（3）:有三個角對應相等”或有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不一定全等;（4）:時刻注意圖形中的隱含條件，如公共角”、公共邊"、對頂角”關于某直線對稱的兩個圖形是全等形。如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。如果兩個圖形的對應點連線被同

9、條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。二、線段的垂直平分線1. 經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。2 .線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等第十三章軸對稱3 .與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上三、用坐標表不軸對稱小結：一、軸對稱圖形1 .把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對 稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。2 .把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖關于這 條直線對稱。這條直線叫做

10、對稱軸。折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點3、軸對稱圖形和軸對稱的區別與聯系在平面直角坐標系中，關于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數.關于y軸對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標相等.點（x, y）關于x軸對稱的點的坐標為 .點（x, y）關于y軸對稱的點的坐標為 .4 .三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等四、（等腰三角形）知識點回顧1 .等腰三角形的性質 .等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角） .等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）2、等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（等角對

11、等邊）五、（等邊三角形）知識點回顧1.等邊三角形的性質：等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于600。2、等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形。有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。3.在直角三角形中，如果一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。第十四章整式乘除與因式分解一.回顧知識點1、主要知識回顧：哥的運算性質：am an=am+n（ m、n 為正整數）同底數哥相乘，底數不變，指數相加.m na = amn（m、n為正整數）哥的乘方，底數不變，指數相乘.ab n（n為正整數）積的乘方等于各因式乘方的積.m na a = am n（aw 0, m、n 都

12、是正整數，且 m>n）同底數塞相除，底數不變，指數相減.零指數哥的概念：a0=1（a"任何一個不等于零的數白零指數哥都等于l .負指數哥的概念：1 pa p= a（aw 0, p是正整數）任何一個不等于零的數的- p （p是正整數）指數哥，等于這個數的p指數哥的倒數.pn也可表不為：m單項式的乘法法則：nw 0, p為正整數）單項式相乘，把系數、同底數哥分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數作為積的一個因式.單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相

13、乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.單項式的除法法則：單項式相除，把系數、同底數哥分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.2、乘法公式：平方差公式：（a+b） （a b） =a2b2文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差.完全平方公式：（a+ b） 2=a2+2ab+ b2（a b） 2=a2 2ab+ b2文字語言敘述：兩個數的和（或差）的平方等于這兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的 積

14、的2倍.3、因式分解：因式分解的定義.把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.掌握其定義應注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺 一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內在的關系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.二、熟練掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：系數一各項系數的最大公約

15、數；字母 各項含有的相同字母；指數 一一相同字母的最低次數；(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.(4)注意點：提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項式的第 一項的系數是負的，一般要提出“一”號，使括號內的第一項的系數是正的.2、公式法運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方差公式：a2 - b2 = (a+ b) (ab)完全平方公式：a2+2ab+b2= ( a+b) 2a22ab+b2= (ab) 2第十六

16、章分式A 1 .分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且 B中含有字母，那么式子一叫做分式。B2 .分式有意義、無意義的條件 ：分式有意義的條件：分式的分母不等于0;分式無意義的條件：分式的分母等于0。的字母的值，再檢驗這個字母的值是否使分母的值為0.當分母的值不為0時，就是所要求的字母的值。)4 .分式的基本性質： 分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變。A ACA A CB B CBBC用式子表示為(C 0),其中A、B、C是整式注意：(1) C是一個不等于0的整式”是分式基本性質的一個制約條件；(2)應用分式的基本性質時，要深刻理解“同”的含義，避免犯只乘分子(或

17、分母)的錯誤；(3)若分式的分子或分母是多項式，運用分式的基本性質時，要先用括號把分子或分母括 上，再乘或除以同一整式C;(4)分式的基本性質是分式進行約分、通分和符號變化的依據。3.分式值為零的條件:當分式的分子等于0且分母不等于0時，分式的值為0。A(分式的值是在分式有意義的前提下才可以考慮的，所以使分式B為0的條件是A”且B5 .分式的通分：和分數類似，利用分式的基本性質，使分子和分母同乘適當的整式，不改變分式的值，把幾個異分母分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。通分的關鍵是確定幾個式子的最簡公分母。(分式的值為0的條件是：分子等于 0,分母不等于0,二者缺一不可。首先

18、求出使分子為幾個分式通分時，通常取各分母所有因式的最高次哥的積作為公分當分子、分母都是多項式時，先把多項式因式分解。母，這樣的分母就叫做最簡公分母。求最簡公分母時應注意以下幾點：(1) “各分母所有因式的最高次哥”是指凡出現的字母(或含字母的式子)為底數的哥選取指數最大的；(2)如果各分母的系數都是整數時，通常取它們系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數；(3)如果分母是多項式，一般應先分解因式。6 .分式的約分：和分數一樣，根據分式的基本性質，約去分式的分子和分母中的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。約分后分式的分子、分母中不再含有公因式，這樣的分式叫最簡公因式。約分的關鍵

19、是找出分式中分子和分母的公因式。(1)約分時注意分式的分子、分母都是乘積形式才能進行約分；分子、分母是多項式時，通常將分子、分母分解因式，然后再約分；(2)找公因式的方法： 當分子、分母都是單項式時，先找分子、分母系數的最大公約數，再找相同字母的最低次哥，它們的積就是公因式；易錯點：(1)當分子或分母是一個式子時，要看做一個整體，易出現漏乘(或漏除以)；(2)在式子變形中要注意分子與分母的符號變化，一般情況下要把分子或分母前的“一” 放在分數線前；(3)確定幾個分式的最簡公分母時，要防止遺漏只在一個分母中出現的字母；7.分式的運算：分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為

20、積的分母。分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。a c ac a c a d adb d bd ' b d b c bc用式子表不是：提示：(1)分式與分式相乘，若分子、分母是單項式，可先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式；若分子、分母是多項式，先把分子、分母分解公因式，看能否約分，然后再相乘；(2)當分式與整式相乘時，要把整式與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變(3)分式的除法可以轉化為分式的乘法運算；(4)分式的乘除混合運算統一為乘法運算。分式的乘除法混合運算順序與分數的乘除混合運算相同，即按照從左到右的順序，有括號先算括號里面的

21、；分式的乘除混合運算要注意各分式中分子、分母符號的處理，可先確定積的符號;分式的乘除混合運算結果要通過約分化為最簡分式(分式的分子、分母沒有公因式)或整式的形式。法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。a ca ±c用式子表示為：-土- =b b b法則：異分母的分式相加減，先通分，轉化為同分母分式，然后再加減。用式子表不為:a c ad bcad ±bc一 土一 = 土一 =b d bd bd bd分式的加減法則:乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的，計算結果要化為整式或最簡分式。分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母各自乘方。n (與a_bbn用式子表示是

22、：(其中n是正整數)注意：(1)乘方時，一定要把分式加上括號；(2)分式乘方時確定乘方結果的符號與有理數乘方相同，即正分式的任何次哥都為正;負分式的偶次哥為正，奇次哥為負；(3)分式乘方時，應把分子、分母分別看做一個整體；(4)在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先分解因式，再約分。注意：(1) “把分子相加減”是把各個分子的整體相加減，即各個分子應先加上括號后再加減,分子是單項式時括號可以省略；(2)異分母分式相加減，“先通分”是關鍵，最簡公分母確定后再通分，計算時要注意分式中符號的處理，特別是分子相減，要注意分子的整體性；(3)運算時順序合理、步

23、驟清晰；(4)運算結果必須化成最簡分式或整式。分式的混合運算：分式的混合運算，關鍵是弄清運算順序， 與分數的加、減、乘、除及乘方的混合運算一樣,先算乘方，再算8.任何一個不等于零的數的零次哥等于1 ,即a0 1(a 0)；當n為正整數時， a n(a 0)注意：當哥指數為負整數時，最后的計算結果要把哥指數化為正整數。9.整數指數哥:am1若m、n為正整數，a刈，am -m + n=一am.anan . 1又因為am翎m+n = am-=a-n,所以a n = an一般地，當n是正整數時，a n=_ (aR),即a -n (a刈)是an的倒數，這樣指數的 an取值范圍就推廣到全體整數。整數指數哥

24、可具有下列運算性質：(m,n是整數)(1)同底數的哥的乘法：am an am n；(2)哥的乘方：(am)n amn；(3)積的乘方：(ab)n anbn；(4)同底數的哥的除法：am an am n( a前；n(5)商的乘方：(a)n a- ; (b#0)bbn規定：a0=1 (a刈)，即任何不等于 0的零次哥都等于1.(1)解分式方程的基本思想方法是：分式方程 一整式方程.轉化(2)解分式方程的一般方法和步驟：去分母：即在方程的兩邊都同時乘以最簡公分母，把分式方程化為整式方程，依據是等式的基本性質；解這個整式方程；檢驗：把整式方程的解代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的解是原方程的解，使最簡公分母等于0的解不是原方程的解，即說明原分式方程無解。注意： 去分母時，方程兩邊的每一項都乘以最簡