1、 教材： 數學物理方法（第二版） 姚端正 梁家寶編著任課教師：劉辛2數學物理方法數學物理方法數學物理方法復變函數篇3 數的擴張（完善化） 自然數（+負整數） 整數（+分數） 有理數（+無理數） 實數（+虛數） 復數4第一章 解析函數復數概念：一對有序的實數（x，y）代數表示z = x + iyx = Real(z)（實部）, y = Imagine(z)（虛部）,i2=-1(虛單位） 幾何表示 關系 x = r cos y =r sin = Arctan(y/x) 特點 無序性 復數無大小（模比較大小） 矢量性 復數有方向22yxr5 任一復數z0有無窮多個輻角（相差2k），以argz表示其中

2、在2范圍內變換的一個特定值，稱之為輻角的主值輻角的主值，通常取 -argz 則 Argz=argz+2k （k=0，1，2，） z處于第一象限： argz=arctan（y/x）； 第二象限： argz=arctan（y/x）+； 第三象限： argz=arctan（y/x）-； 第四象限： argz=arctan（y/x）。6三角表示z =r (cos + i sin)r = |z|（模）, = Arg(z)（輻角）指數表示z =r exp(i)exp(i) = cos + i sin代數表示z = x + iyx = Re(z), y = Im (z)復數的表示78 實部相同而虛部絕對值相

3、等符號相反的兩個復數稱實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數稱為共軛復數為共軛復數. . , 的zz共軛復數記為. , iyxziyxz 則則若若例例.的積與計算共軛復數yixzyixz解解)(yixyix 22)(yix .22yx .22yxzz即：.,的積是實數的積是實數兩個共軛復數兩個共軛復數zz結論結論：共軛復數9共軛復數的性質共軛復數的性質;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略以上各式證明略. .10例例1 1證證21(1)zz)( )(2

4、121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz21212221zzzzzz .(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 證明證明為兩個任意復數為兩個任意復數設設11 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因為因為兩邊同時開方得兩邊同時開方得.2121zzzz 1212.zzzz同理可證：12設設z1=x1+iy1和和 z2=x2+

5、iy2是兩個復數是兩個復數加減運算z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 ) 復數加減法滿足復數加減法滿足平行四邊形法則平行四邊形法則z1 +(- z2)- z2222111,iyxziyxz復數的運算交換律、結合律、分配律成立交換律、結合律、分配律成立2121zzzz2121zzzz13乘法運算12121212211212121212()i() cos()isin() expi()z zx xy yx yx y 兩個復數相乘兩個復數相乘等于它們的模相乘，等于它們的模相乘，幅角相加幅角相加除法運算1121212212222222221121221122i cos()isin() exp

6、i()zx xy yx yx yzxyxy 兩個復數相除等兩個復數相除等于它們的模相除，于它們的模相除，幅角相減幅角相減乘方運算)sin(cos)sin(cosninrirznnninneninisincos)sin(cos當r=1時上式對所有n取整數，恒成立。1415)sin(cos),sin(cosiwirz開方運算)2sin()2cos(1nkninknrzwnnzwnnzw )sin(cos)sin(cosirninn.)2, 1, 0( 2,kknrn)2sin()2cos(1nkninknrzwnn從這個表達式可以看出：1）當k=0,1,2n-1時，得到n個相異的值；當k取其他整數

7、值時，將重復出現上述n個值。因此，一個復數z的n次方根有且僅有n個相異值。 2）上述n個方根具有相同的模，而每個相鄰值的輻角差為2/n，故在幾何上，w的n個值分布在以原點為中心，r1/n為半徑的圓內接正n邊形的頂點上。16 模有限的復數和復數平面上的有限遠點是一一對應的。 復變函數理論中無窮大也理解為復數平面上的一個“點”，稱為無限遠點無限遠點，記為，其模大于任何正數，輻角不定。平面上的具體點難以描繪無限遠點，為此引入復球面的概念。 把一個球放在復平面， 使其南極S與復 平面相切于原點，復平面上任一點A 與 球的北極N連線交與球面A點 ，則復平面 上每一有限遠點與球面上的點一一對 應（此對應稱

8、測地投影測地投影），A無限遠離o 時，A點無限趨近于N，故可將N看做無 限遠點的代表點。此球面稱為復球面或 黎曼球面，復平面上只有一個無窮遠點。 AxyoSAN1718復平面上的點集 定義定義由不等式由不等式(為任意的正數為任意的正數) )所確定的復平面點集所確定的復平面點集( (以后平面點以后平面點集均簡稱點集集均簡稱點集) )，就是以，就是以z0為中心的為中心的鄰域或鄰域。鄰域或鄰域。而稱由不等式而稱由不等式0zz00zz 所確定的點集為所確定的點集為z0的去心的去心鄰域或去心鄰域鄰域或去心鄰域。0z19 定義定義設設D D為點集，為點集，z0為為D D中的一點。如果存在中的一點。如果存在

9、z0的的一個一個鄰域，該鄰域內的所有點都屬于鄰域，該鄰域內的所有點都屬于D D，則則稱稱z0為為D D的的內點內點；若點若點z0的某一個鄰域內的點都不屬于的某一個鄰域內的點都不屬于D D ，則稱則稱點點z0為為D D的的外點外點。若在點若在點z0的任意一個鄰域內，既有屬的任意一個鄰域內，既有屬于于D D的點，也有不屬于的點，也有不屬于D D的點，則稱點的點，則稱點z0為為D D的的邊界點邊界點，點集點集D D的全部邊界點稱為的全部邊界點稱為D D的邊界的邊界。內點，外點，邊界點內點，外點，邊界點 開集開集 注意注意 區域的邊界可能是區域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所由幾條曲線和一些孤立

10、的點所組成的。組成的。定義定義 若點集若點集D D的點皆為內的點皆為內點，則稱點，則稱D D為為開集開集Dz0開集20 定義定義點集點集D D稱為一個區域，如果它滿足稱為一個區域，如果它滿足： (1)(1) 屬于屬于D D的點都是的點都是D D的內點，或的內點，或D D是一個開集是一個開集； (2)(2) D D是連通的，就是說是連通的，就是說D D中任何兩點中任何兩點z1和和z2都都可以用完全屬于可以用完全屬于D D的一條折線連接起來的一條折線連接起來。 通常稱具有性質通常稱具有性質(2)(2)的的集為連通的，所以一個區集為連通的，所以一個區域就是一個連通的開集。域就是一個連通的開集。區域區

11、域D D加上它的邊界加上它的邊界C(p)C(p)稱為稱為閉區域閉區域或或閉域閉域，記記為為區域Dz1z2przz0D21鄰域鄰域z復平面上圓復平面上圓 內點的集合內點的集合 內點內點z 和它的鄰域都屬于和它的鄰域都屬于 D， 則則 z 為為 D 的內點的內點外點外點z 和它的鄰域都不屬于和它的鄰域都不屬于 D， 則則 z 為為 D 的外點的外點邊界點邊界點 不是內點，也不是外點的點不是內點，也不是外點的點邊界邊界全體邊界點的集合全體邊界點的集合z區域區域內點組成的連通集合內點組成的連通集合閉區域閉區域區域和邊界線的全體區域和邊界線的全體區域區域rzz0區域概念總結區域概念總結22Rz |x y

12、ORx yORRz |x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imz21argzxO y21曲線曲線 如果曲線如果曲線的實部的實部x(t)x(t)和虛部和虛部y(t)y(t)均為均為t t的連續函數，那么的連續函數，那么曲線曲線就叫就叫連續曲線連續曲線。)t( )()()(:tiytxtzz 對于連續曲線，對于連續曲線，則曲線沒有重點（紐結），則稱則曲線沒有重點（紐結），則稱為為簡單曲線簡單曲線。當當 時，則稱時，則稱簡單閉曲線簡單閉曲線。)()()(:2121tztztttzz時，當)()(zz 光滑曲線光滑曲線：若連續曲線：若連續曲線在區間上存在連續的在區間上存在連續

13、的 及及 ，且兩者不同時，且兩者不同時為零，則在曲線上每點均有切線且切線方向是為零，則在曲線上每點均有切線且切線方向是連續變化的。連續變化的。)t( )(:tzz )(tx )(ty 簡單閉曲線把擴充復平面分為兩部分，一簡單閉曲線把擴充復平面分為兩部分，一部分是不含部分是不含的點集，稱為該曲線的的點集，稱為該曲線的內部內部；另；另一部分是含一部分是含的點集，稱為該曲線的的點集，稱為該曲線的外部外部。這這兩個區域都以給的簡單閉曲線（也稱若爾當曲兩個區域都以給的簡單閉曲線（也稱若爾當曲線）作為邊界。線）作為邊界。曲線內外部區分（若爾當定理）曲線內外部區分（若爾當定理）25 單連通域與多連通域 設設

14、B為復平面上的一個區域，如果在其中作一為復平面上的一個區域，如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內部總屬于曲線內部總屬于B ，則稱，則稱B為為單連通區域單連通區域，否則，否則稱為稱為多連通區域多連通區域。BB單連通域多連通域26舉例21Re, 1) 3(2)2(21Re) 1 (zziizz指出下列不等式中點指出下列不等式中點z在怎樣的點集在怎樣的點集中變動？這些點集是不是單連通區域？中變動？這些點集是不是單連通區域？是否有界？是否有界？27復變函數的定義 E z = x+ iy . , , E z, w = u+ iv , w

15、 z (), w = f(z).設設是是一一個個復復數數的的集集合合 如如果果有有一一個個確確定定的的法法則則存存在在 按按這這個個法法則則 對對于于集集合合中中的的每每一一個個復復數數就就有有一一個個或或幾幾個個復復數數與與之之對對應應 那那末末稱稱復復變變數數是是復復變變數數 的的函函數數 簡簡稱稱復復變變函函數數記記作作. )( , 是單值的是單值的我們稱函數我們稱函數那末那末的值的值的一個值對應著一個的一個值對應著一個如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我們稱函數那末我們稱函數的值的值兩個以上兩個以上的一個值對應著兩個或的一個值對應著兩個或如果如果zfwz28映射(函數)

16、的概念. , , , , 的點集之間的對應關系的點集之間的對應關系上上必須看成是兩個復平面必須看成是兩個復平面的幾何圖形表示出來的幾何圖形表示出來因而無法用同一平面內因而無法用同一平面內之間的對應關系之間的對應關系和和由于它反映了兩對變量由于它反映了兩對變量對于復變函數對于復變函數yxvu1.映射的定義映射的定義:).()( * )( )( , , 或變換的映射函數值集合平面上的一個點集變到定義集合平面上的一個點集是把在幾何上就可以看作那么函數值的平面上的點表示函數而用另一個平面的值平面上的點表示自變量如果用GwGzzfwwwzz29. ),( , * )( 的原象稱為而映象的象稱為那么中的點

17、映射成被映射中的點如果wzzwwGzfwzG. )( 所構成的映射所構成的映射函數函數這個映射通常簡稱為由這個映射通常簡稱為由zfw 30 . )1(構成的映射構成的映射函數函數zw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC 2. 兩個特殊的映射兩個特殊的映射. ibawwibazz 的點的點平面上平面上映射成映射成平面上的點平面上的點將將31xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . , 映射映射是關于實軸的一個對稱是關于實軸的一個對稱不難

18、看出不難看出重疊在一起重疊在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z 2z 且是全同圖形且是全同圖形.32 . )2(2構成的映射構成的映射函數函數zw . 1 ,43, 1 1,21, 321321 wiwwwzizizz平面上的點平面上的點映射成映射成平面上的點平面上的點顯然將顯然將xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z33根據復數的乘法公式可知根據復數的乘法公式可知, . 2的輻角增大一倍的輻角增大一倍將將映射映射zzw xyouvo 2 . 2 的角形域的角形域平面上與實軸交角為平面上與實軸交角為的角形域映射成的角形域映射成平面上與實軸交角為平面上與實軸交

19、角為將將 wz34 : 2數數對應于兩個二元實變函對應于兩個二元實變函函數函數zw .2,22xyvyxu ,2, 2122cxycyxxyz 曲線曲線標軸為漸近線的等軸雙標軸為漸近線的等軸雙和坐和坐線線平面上的兩族分別以直平面上的兩族分別以直它把它把(如下頁圖如下頁圖)., 21cvcuw 平面上的兩族平行直線平面上的兩族平行直線分別映射成分別映射成35 將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形一個長方形.xyouyo36 : 的象的參數方程為的象的參數方程為直線直線 x ) (.2,22為參數為參數yyvyu : 得得消去參數消去參數 y),(

20、4222uv 以原點為焦點以原點為焦點,開口向左的拋物線開口向左的拋物線.(圖中紅色曲線圖中紅色曲線) : 的象為的象為同理直線同理直線 y),(4222uv 以原點為焦點以原點為焦點,開口向右的開口向右的拋物線拋物線.(圖中藍色曲線圖中藍色曲線)37函數的極限1.函數極限的定義函數極限的定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時的極限時的極限趨向于趨向于當當為為那末稱那末稱有有時時使得當使得當相應地必有一正數相應地必有一正數對于任意給定的對于任意給定的存在存在如果有一確定的數如果有一確定的數內內的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設函數設函數zzzfAAzfzzA

21、zzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中zz 38定理一定理一).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那么設與實變函數的極限運算法則類似與實變函數的極限運算法則類似.2. 極限計算的定理極限計算的定理39定理二定理二.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyx

22、uzfyyxxyyxxzz的充要條件是那么設證證 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根據極限的定義根據極限的定義 , )()(0 00時時當當 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.40 , )()(0 2020時時或當或當 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時時那么當那么當 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有41 )()()(00vv

23、iuuAzf 00vvuu , 0 0時時故當故當 zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以證畢證畢說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數函數轉化為求兩個二元實變轉化為求兩個二元實變的極限問題的極限問題該定理將求復變函數該定理將求復變函數yxvyxuyxivyxuzf 42例例1 1證證 (一一). 0 )Re()( 不存在不存在時的極限時的極限當當證明函數證明函數 zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 則則, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趨于零時趨于零時沿直線沿直線當當kxyz 2200lim),(lim

24、yxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 43)1(lim220kxxx ,112k , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根據定理二可知根據定理二可知, . )(lim0不存在不存在zfz證證 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 則則,cos 44 , arg 趨于零時趨于零時沿不同的射線沿不同的射線當當 zz .)(趨于不同的值趨于不同的值zf , 0arg 趨于零時趨于零時沿正實軸沿正實軸例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趨于零時趨于零時沿沿

25、 z, 0)(zf . )(lim 0不存在不存在故故zfz45例例2 2證證. 0 )0( )( 限不存在限不存在時的極時的極當當證明函數證明函數 zzzzzf,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 2222yxyxyxu 則則,2),(22yxxyyxv , 趨于零時趨于零時沿直線沿直線當當kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk 46 , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx根據定理二可知根據定理二可知, . )(lim0不存在不存在zfz47函數的連續性1. 連續的定義連續的定義00

26、0 lim( )(), ( ) . ( ) , ( ) . zzf zf zf zzf zBf zB如如果果那那末末我我們們就就說說在在點點處處連連續續 如如果果在在區區域域內內處處處處連連續續我我們們說說在在內內連連續續. , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續的意義是處連續的意義是上上在曲線在曲線函數函數48定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續處連續在在和和連續的充要條件是連續的充要條件是在在函數函數yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續

27、處連續在復平面內除原點外處在復平面內除原點外處yxyxu , ),(22在復平面內處處連續在復平面內處處連續yxyxv . ),( 處連續處連續在復平面內除原點外處在復平面內除原點外處故故yxf49定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續處仍連續在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續的兩個函數連續的兩個函數在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續連續處處在在那末復合函數那末復合函數連續連續在在函數函數連續連續在在如果函數如果函數zzgfwzghhfwzzgh 50例例3 3. )( , )( :00也連續也連續在在那

28、末那末連續連續在在如果如果證明證明zzfzzf證證 ),(),()( yxivyxuzf 設設 ),(),()( yxivyxuzf 則則 , )( 0連續連續在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00處都連續處都連續在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00處連續處連續也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0連續連續在在故故zzf511.1.導數的定義導數的定義, , , )( 00的范圍的范圍不出不出點點點點中的一中的一為為定義于區域定義于區域設函數設函數DzzDzDzfw ,)(.)(00的導數在這個極限值稱為可導在那么就稱 zzfzzf.)()(lim

29、dd)(00000zzfzzfzwzfzzz 記作記作 , )()(lim 000存在存在如果極限如果極限zzfzzfz 52在定義中應注意在定義中應注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都趨于同一個數都趨于同一個數比值比值時時內以任意方式趨于內以任意方式趨于在區域在區域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可導可導在區域內在區域內就稱就稱我們我們內處處可導內處處可導在區域在區域如果函數如果函數DzfDzf53例例1 .)(2的導數的導數求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .

30、2z zz2)(2 54例例2 是否可導？是否可導？問問yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設設zxzz xyoz0 y55xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設設zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導數的導數所以所以.2)(yixzf 562.2.可導與連續可導與連續 函數函數 f (z) 在在 z0 處可導則在處可導

31、則在 z0 處一定連續處一定連續, 但函但函數數 f(z) 在在 z0 處連續不一定在處連續不一定在 z0 處可導處可導.證證 , 0可導的定義可導的定義根據在根據在 z, 0, 0 , |0 時時使得當使得當 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 則則 )()( 00zfzzf 因為因為 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0連續連續在在即即zzf證畢證畢 ,)( )(0zzzzf 573.3.求導法則求導法則 由于復變函數中導數的定義與一元實變函數由于復變函數中導數的定義與一元實變函數

32、中導數的定義在形式上完全一致中導數的定義在形式上完全一致, , 并且復變函并且復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣數中的極限運算法則也和實變函數中一樣, , 因因而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數中來廣到復變函數中來, , 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的. .求導公式與法則求導公式與法則: . , 0)()1(為復常數為復常數其中其中cc .,)()2(1為正整數為正整數其中其中nnzznn 58 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()

33、()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數函數兩個互為反函數的單值兩個互為反函數的單值是是與與其中其中594.4.微分的概念微分的概念 復變函數微分的概念在形式上與一元實變函復變函數微分的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致數的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000線性部分線性部分的的的改變量的改變量是函數是函數小小的高階無窮的高階無窮是是式中式中則則可導可導在在設函數設函數wzfwzzfz

34、zzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點在點稱為函數稱為函數定義定義60. )( , 00可微可微在在則稱函數則稱函數的微分存在的微分存在如果函數在如果函數在zzfz特別地特別地, , )( 時時當當zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導與在可導與在在在函數函數zzzfw .)( ,)(內可微內可微區域區域在在則稱則稱內處處可微內處處可微區域區域在在如果函數如果函數DzfDzf61 解析函數的概念 設函數f(z

35、)在點z0及z0某鄰域內處處可導，則稱函數f(z)在點z0處解析；又若f(z)在區域B內的每一點解析，則稱f(z)在區域B內是解析函數說明2. 稱函數的不解析點為奇點稱函數的不解析點為奇點1.解析與解析與可導的關系可導的關系 函數在某點解析，則必在該點函數在某點解析，則必在該點可導；反之不然可導；反之不然 在區域在區域B內的解析函數必內的解析函數必在在B內可導內可導 例：函數例：函數2( )f zz只在只在z=0z=0點可導，因而在復平面上處處不解析點可導，因而在復平面上處處不解析f(z)在點在點z0 無定義或無確定值；無定義或無確定值；f(z)在點在點z0 不連續；不連續；f(z)在點在點z

36、0 不可導；不可導；f(z)在點在點z0 可導可導, ,但找不到某個鄰域在其內處處可導但找不到某個鄰域在其內處處可導由解析函數的定義和函數的求導法則可得: （1）如果函數f（z）在區域中解析，則它在這個區域中是連續的。 （2）如果f1（z）和f2（z）是區域中的解析函數，則其和、差、積、商（商的情形要求分母在內不為零）也是該區域中的解析函數。 （3）如果函數=f（z）在區域內解析，而函數w=g（）在區域G內解析，若對于內的每一點z，函數f（z）的值均屬于G，則函數w=gf(z)是區域上復變量z的一個解析函數。 （4）如果w=f（z）是區域上的一個解析函數，且在點z0 的鄰域中|f（z）|0，則

37、在點w0=f（z）G的鄰域中函數f（z）的值定義一個反函數z=（w），它是復變量w的解析函數。有f（z0）=1/ （w0）。 63可導：可導：對任何方向的對任何方向的，極限都存在并唯一。極限都存在并唯一。xyzzz zz復數復數復函數復函數 z沿任一曲線沿任一曲線逼近零逼近零。柯西柯西黎曼方程黎曼方程0 xx實數x實數：實數： x沿實軸逼近零沿實軸逼近零。因此，復函數的可導性是比實函因此，復函數的可導性是比實函數的可導性條件強得多。數的可導性條件強得多。Q：當：當u，v有偏導時，在什么補充條件下，有偏導時，在什么補充條件下，W=f(z)也有導數？也有導數？ 設函數設函數f(z)=u(x,y)+

38、iv(x,y)在區域在區域D上有定義，在上有定義，在D內一點內一點z=x+iy可導，有可導，有),(),(),(),()()(,)()()(lim0yxvyyxxvvyxuyyxxuuviuzfzzfyixzzfzzfzzfz其中設)(lim00zfyixviuyx65柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿實軸, y0 xvixuzf )(xvixuzf)(yiviyiuzf )(yuiyvzf)(可導，要求二者相等xvyuyvxuz沿虛軸, x066解析函數的充分條件設函數 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B內滿足條件內每一點滿足在；內的偏導數存在且連續在和Rie

39、mannCauchy)2(),(),() 1 (BByxvyxu那么f(z)在B內解析（證明見教材P15-16）。注意：解析函數的實部和虛部滿足C-R條件且都是調和函數（調和函數概念及證明見教材P17）解析函數的實部和虛部通過C-R條件聯系著，因此，只要知道解析函數的實部（或虛部），就能求出相應的虛部（或實部）。具體可以用以下兩種方法求： （1）已知u求v，可以從全微分出發：Cdyxudxyuvdyxudxyudyyvdxxvdv67（2）已知u求v，還可以由關系 ，對y積分來求： 當然也可以由關系 兩邊對x積分，類似上述過程求v。 像解析函數的實部和虛部這樣的兩個由C-R條件聯系著的調和函數

40、u和v，稱為共軛調和函數共軛調和函數。yuxdyxuxxvxdyxuxdyyvv)( )()(xuyvyuxv68例：試證例：試證 在復平面上在復平面上解析，且解析，且)sin(cos)(yiyezfx)()(zfzf證：證：yeyvyexvyeyuyexuyevyeuxxxxxxcos sinsin cossin cosxvyuyvxu,這四個偏導在復平面處處連續，且：這四個偏導在復平面處處連續，且：所以所以f(z)在復平面內解析，同時在復平面內解析，同時)()(zfzf 69注：最后的求導利用P16結果701.4 初等解析函數 , . (cossin )zxeeyiy 注注意意沒沒有有冪冪

41、的的意意義義 只只是是一一個個符符號號代代表表1 1 指數函數指數函數.)sin(cos.的指數函數的指數函數為為稱稱設設zyiyeeiyxzxz 定義定義;)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上處處解析平面上處處解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(為周期的周期函數為周期的周期函數是以是以iedz 這里的這里的ex是實是實指數函數指數函數實的正實的正余弦函余弦函數數zxzzaeeeyeykkz( )|0, arg() e0 Arg()2,Z 性質：性質：71,sincos yiyeiy 因為因為,sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiy

42、iyeey .2sinieeyiyiy 現在把余弦函數和正弦函數的定義推廣到自變現在把余弦函數和正弦函數的定義推廣到自變數取復值的情況數取復值的情況. 2 2 三角函數三角函數72.,2cos.,2sin余弦函數余弦函數正弦函數正弦函數定義定義稱為稱為稱為稱為izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函數是偶函數是奇函數是奇函數zz 性質性質.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(為周期為周期以以正弦函數和余弦函數都正弦函數和余弦函數都73 , sin, cos. 2yyeeyy

43、iyii 當當時時( (注意：這是與實變函數完全不同的注意：這是與實變函數完全不同的) )sinz的零點的零點(i.e. sinz=0的根的根)為為z=n cosz的零點的零點(i.e. cosz=0的根的根)為為z=(n+1/2) n=0, 1, 2, n,2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZ (4)(5)sinz,cosz在復數域內均是無界函數在復數域內均是無界函數74.cossintan正切函數正切函數定義定義稱為稱為zzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函數是奇函數 性質性質.tan)tan(:tan)2(zzz 為周期的周期函數為周期的周

44、期函數是以是以 ,sincoscot zzz 余切函數余切函數,cos1ec zzs 正割函數正割函數.sin1csc zz 余割函數余割函數75 3 雙曲函數.,2ch.,2sh雙曲余弦函數雙曲余弦函數雙曲正弦函數雙曲正弦函數定義定義稱為稱為稱為稱為zzzzeezeez ;sh)sh(:sh)1(zzz 是奇函數是奇函數 性質性質;ch)ch(:chzzz 是偶函數是偶函數 ;2ch,sh)2(為周期的周期函數為周期的周期函數都是以都是以izz ;sh)(ch,ch)(shzzzz 且且平面上處處解析平面上處處解析在在,ch ,sh )3(zzz; 1shch)4(22 zz.ch)cos(

45、,sh)sin()5(zizziiz 764 對數函數.Ln , )( )0( zwzfwzzew 記為記為稱為對數函數稱為對數函數的函數的函數滿足方程滿足方程因此因此LnlnArgwzzizlnarg2zizk i)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的數數稱為對數函稱為對數函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizz )., 2, 1, 0(2lnLn kikzz77. . , , , , 的一個分支的一個分支稱為稱為可確定一個單值函數可確定一個單值函數對于每一個固定的對于每一個固定的zkLn;Ln )1(是一個無窮多值的函數是一個無窮多值的函數z性質性質;LnLnLn,LnLnLn, 0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 則則設設且且處解析處解析處處實軸外實軸外在平面上除去原點和負在平面上除去原點和負,ln, )3(z.1)(lnzz 對數函數的基本運算性質 下面等式不再成立 而應該是 LnLn)Ln(2121zzzz LnLn)/Ln(2121zzzz ,Ln2Lnz2z LnzLn1nznikzizzikzizzn