1、441數學課堂教學的核心數學課堂教學的核心揭示數學本質揭示數學本質 華東師范大學數學系華東師范大學數學系 張奠宙張奠宙 2007. 10.27. 2007. 10.27. 上海上海442第一部分第一部分n 國內外數學教育動態國內外數學教育動態443 一。美國數學教育的走向： 重視基礎重視基礎444美國“數學戰爭”。n 1998年， 美國加州一批數學家和數學教育家（華裔著名數學家伍鴻熙是主要代表人物之一）， 公開批評美國和加州的數學教育。指責美國數學課程標準的學術要求太低，基礎寬而不深，被形容為“一英里寬、一英寸深”。數學教材中嚴謹不夠，被諷刺為“模糊數學”，主張大幅度進行改革。 另一方面，美國

2、最大的中小學數學教師組織 全國數學教師協會（NCTM）則認為美國數學教育基本面是好的，雙方公開論戰。445數學課程焦點文件發表： 強調數學基礎n2006年9月12日， 美國全國數學教師協會發布數學課程焦點，對2000年的數學課程與評價標準做了補充說明， 力求在保持創造、發展的同時， 強調數學基礎的重要性。 這也是近10年來美國“數學戰爭”的一項重要結果。446聚焦“基礎”n課程焦點是各個年級（K-8）的重要數學課題。這些教學領域著重為各個年級的課程設計和教學提供組織結構。這些課題處于數學的中心地帶：它們所承載的知識和技能知識和技能對受教育的公民是必不可少的，并為進一步的數學學習提供了基礎。 4

3、47強調的重點：基礎，速度，技能n自動化回憶基本事實。在整數運算中，計算的流暢性（fluency）是關鍵的。計算流暢性的重要組成部分是效率和正確性。最終，流暢性需要基本數字事實的自動化回憶。 n快速記起(recall)乘法和相應的除法的意義，熟練進行整數的乘法和除法。 448美國設立國家數學咨詢委員會n2006年4月18日，布什總統任命一個“（National Mathematics Advisory Panel）”, 任務是幫助總統和部長在科學研究的基礎上構建最好的美國數學教育。n委員會的具體目標是在2008年2月向總統提出正式的報告n委員會分成以下5個工作小組：概念性知識和技能；學習過程；

4、 教學實踐；教師； 評價449委員會的組成n主席佛克納爾（Larry R. Faulkner）是一位化學博士， 在許多大學化學系任教授、主任， 以及學院院長。現任休斯頓一個私人設立的慈善基金會主席， 德州大學榮休教授。n副主席本鮑（ C。 P。 Benbow）是一位教育心理學家。n 成員中有心理學家， 數學家， 數學教育家，數學教師等。 n包括兩位華裔學者， 一位是前面提到的數學家伍鴻熙教授， 另一位是馬立平博士。 她在華東師范大學獲得碩士學位， 又在斯坦福大學獲得博士學位。一本以博士論文為基礎的著作（Knowing and Teaching Elementary Mathematics）指出

5、美國小學數學教師的數學水平低下， 成為美國教育方面的暢銷書，因而一舉成名。4410公開聽證， 記錄在案 委員會計劃在2008年2月向總統提交最后報告之前， 在全美各地舉行10次會議。n2006年5月（華盛頓）， 6月（北卡州），9月（波士頓），11月（洛杉磯），2007年1月（新奧爾良），4月（芝加哥）舉行了6次， 6月5-6日在邁阿密。n非常詳細的日程已經公布。4411 二 9年義務教育數學課程標準（修訂稿）即將公布4412修訂之一n 修改修改了三句話：了三句話：n 人人都能獲得良好的數學教育人人都能獲得良好的數學教育n人人都能獲得必需的數學n人人學習有價值的數學n 不同的人在數學上得到不同

6、的發展不同的人在數學上得到不同的發展4413修訂之二n 重提教師的主導作用， 啟發式講授，明確提出：n 好的教學活動， 應是學生主體地位和教師主導作用的和諧統一。4414修訂之三n 注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握。n 將“雙基”發展為四基： * 基本知識 * 基本技能 * 基本數學活動經驗基本數學活動經驗 * 基本數學思想方法4415修訂之四n貼近學生現實包括：n 生活現實n 數學現實n 其他學科現實4416修訂之五n 整理、補調整許多內容；n 例如 “幾何”名稱的恢復； 尺規作圖的補充； 推理論證的規定4417理性的回歸n 數學課程標準的爭論， 可以說基本結束。n 堅持了大方向，處

7、理得更符合實際，得到各方面的認可。n 正常的學術爭論還會繼續， 例如“數感”， 不同的人得到不同的發展等4418 三。謹慎地接受西三。謹慎地接受西方的教育理論！方的教育理論！ 4419建構主義的定義(http:/www.mathforum）建構主義是一種科學理論，建構主義是一種科學理論， 不能庸俗化。臺灣的失敗。不能庸俗化。臺灣的失敗。 （知識是個人學習的， 大白話。）“什么是建構主義？如下的解釋能夠同意嗎如下的解釋能夠同意嗎? “ 學生需要對每一個數學概念構造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演講、解釋、或者企圖去“傳送”知識， 而是為促使學生進行心智建構創設學習環境和條件。這種教學方法的

8、關鍵， 是將每一個數學概念按皮亞杰的知識理論分解成許多發展性的步驟，這些步驟的確定要基于對學生的觀察和談話4420建構主義的某些主張并不新鮮n 知識是學生自己建構的n 學生不是一張白紙n 學生的頭腦不是一張空桶n 知識是不能灌輸的。n 建構主義教育建議：自主、探究、合作。 我們都同意！以前也是這樣提倡的！我們都同意！以前也是這樣提倡的！4421 能動的反映論n 教師為主導， 學生為主體。n 師傅領進門， 修行在個人。n 啟發式教學，師生討論， 反對滿堂灌。n 誰說“學生是一張白紙？” “能動的反映論”！n 知識是不能傳授的？科學傳授+主動接受是好的教育？4422建構主義的局限：缺乏效率n 教育

9、不等于認識論。教育不等于認識論。n 數學教學是要在很短的時間里，數學教學是要在很短的時間里， 讓學生把讓學生把握人類幾千年來積累的數學知識。掌握數學握人類幾千年來積累的數學知識。掌握數學本質，精中求簡，保持核心價值本質，精中求簡，保持核心價值n 一萬年以后怎么辦？ 老是探究， 自己發現，還有效率可談嗎？ 沒有效率的教學理論是走不遠的！4423人的知識多半是主動接受而來人的知識多半是主動接受而來大多是間接經驗， 少量的直接經驗n 書籍、報刊的閱讀，n 電視的傳播，世紀大講堂。n 領導的講話， 聽名人報告。n 政府頒布的法律，遵守就是了n 交通規則的遵守， 學開車知道照辦 這些都是這些都是“單向傳

10、輸的單向傳輸的”n為什么教師在課堂講授就是錯誤的？為什么教師在課堂講授就是錯誤的？n 西方課堂上教師與學生講話西方課堂上教師與學生講話 8 8：1 1n香港是香港是 1616：1 1 （TIMSSTIMSS調查，調查，19991999）4424 數學教育的核心是讓學數學教育的核心是讓學生掌握數學本質；生掌握數學本質； 教育數學的目標是為學教育數學的目標是為學生提供優質數學。生提供優質數學。4425數學教育中的“去數學化”傾向n 香港科技大學教授項武義認為， 大陸的新課程標準有“去數學化”的傾向。n “去數學化”， 指數學教育只講“教育學”“心理學”規律， 忽視數學實質的揭示。4426 第二部分

11、第二部分關于數學本質的把握與呈現4427數學教學成功的標志n 主要看是否達到教學目標：學生是否理解和掌握了數學（數學的科學性）， 包括： 數學本質的理解；數學本質的理解； 數學知識的掌握；數學知識的掌握； 數學能力的形成。數學能力的形成。教育方式是手段（現在的標準： 學生活躍？合作？用計算機？ 探究？游離于數學本身）n奇談怪論：奇談怪論：n 結果不是最重要的，結果不是最重要的， 重要的在于參與；重要的在于參與；n 知識不是最重要的，知識不是最重要的， 重要的在于過程。重要的在于過程。4428 項目項目因素因素優秀優秀良好良好待提待提高高 情意過程 認知過程 因材施教 基本功 總評 4429數學

12、知識的儲備：一個比喻n 一缸水和一杯水n 一桶水和一杯水n 一杯水和一杯水n 沒有水可以打井取水n 教師的作用：魚， 漁n 數學本質的把握需要數學修養 4430 “數學本質”的內涵： 1。 數學知識的內在聯系； 2。 數學規律的形成過程； 3。 數學思想方法的提煉； 4。 數學理性精神的體驗。形成數學的教育形態： “返樸歸真返樸歸真”， “ “平易近人平易近人”， “ “言之有理言之有理”，“感悟真情感悟真情”4431數學本質被兩種活動所掩蓋： 1。過度的形式化。過度的形式化。 “ “淡化形式，淡化形式，注重實質注重實質”。 2 2。教條式的改革。表面熱鬧、缺乏。教條式的改革。表面熱鬧、缺乏效

13、率的教學過程。效率的教學過程。 4432例1。三角形內角和問題n姜伯駒院士在政協的提案指出n“三角形內角和等于180度這樣的基本定理，讓學生用剪刀將三個角進行拼接實驗。只知其然不知其所以然，如何培養思辨能力？”n 不鼓勵學生問為什么，數學課就失去了靈魂。n 李大潛院士李大潛院士：“老是量，老是量， 就倒退就倒退到尼羅河時代去了到尼羅河時代去了”4433三角形內角和定理的價值n 沒有實際價值， 超越日常經驗。n 當初古希臘學者不是“量”出來的。n價值在于理性思維， 從公理出發的演繹推理。n 建議：要么作公理， 要么進行推理。n 標準修訂稿探索并證明三角形內角和定理。 （基于平行線同位角相等）44

14、34例例2。正弦定理的教學。正弦定理的教學 （一個忽視數學實質的設計）n請同桌同學任意畫一個三角形，測量它的各角大小和各邊的長，并用計算器分別計算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么結果？n（學生一個人在畫和測量，另一個人在記錄和計算，進行合作學習）4435學生abcABCc/sinCB/cosAA/sinAA/conBB/sinBA57005006004.3309.6494.3636.3784.308B107.5033039.505.660-10.3015.5576.3205.692c3336006006002.59862.598

15、62.598根據你們的計算結果和三個小組的交流情況，你們有什么看法？4436正弦定理是量出來的嗎？n 分組測量， 匯報結果， 這是敗筆。 數學不能靠大家意見相同得到結論。必須證明。n正弦定理的證明很簡單。靠“高”為媒介， 比一下立刻推得。n正弦定理的本質在于找到正弦定理的本質在于找到“三角形的邊三角形的邊與角的關系與角的關系”， 平面幾何平面幾何“大邊對大大邊對大角角”的數量化。的數量化。n三角是幾何的定量化，溝通代數和幾何的橋梁。 4437例3。 Freudenthal經典情景：巨人的手巨人的手（通過（通過“量量”掌握數學本質）掌握數學本質）n比例只是比例只是“照片放大照片放大”、“地圖比例

16、尺地圖比例尺”？n黑板上留下巨人的手印，黑板上留下巨人的手印， 請你為巨人設計巨請你為巨人設計巨人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸。 活動設計： 1。 用自己的手和巨人的手相比。用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下定下“比值比值” 3。 量自己的書、桌子、椅子尺寸量自己的書、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大用比例放大 （量得有價值，（量得有價值， 有意義）有意義） 4438例4。坐標活動（長寧）n 將教室的課桌并攏，用兩根有箭頭的繩子做成坐標軸；n 坐標對應學生， 請學生自己看坐標；n 兩坐標都是非負的站起來； 兩坐標相等的站起來；n 換一個同學做坐標原點。換一個同

17、學做坐標原點。n 這樣活動，這樣活動， 抓住了抓住了“坐標坐標”的數學實的數學實質。質。4439“坐標確定位置”： 定位太低n 電影院座位： 幾排幾座。n 電影院位置： 某大街和某大路交叉路口n 教室里座位確定（排、座）n 經度和緯度。 這些都是日常生活經驗， 不教也會。 打電話需要寫入課本嗎？數學活動經驗： 坐標原點選取；坐標架的架設， 象限的形成。 表示數學對象， 反映量的變化等4440例6：美國德州(Austin)的一個 斜率概念教學設計n 為了聯系學生生活實際, 提出情景: “早上起床時, 你先要從床上起來(rise), 然后走到廚房去做早餐(run)” 由此聯系到斜率的概念: 縱距離

18、與橫距離之比 rise over run.評論：評論：教案設計者只利用了rise和run這兩個詞的表面意思, 并沒有突出兩者必須存在關聯,必須研究二者的比例. 難道每個rise和run 都有斜率的問題 (起床和去廚房這個過程的斜率是什么?)4441另一個美國數學教育故事n一組教師引入”二次函數”的方法是首先介紹”畢達哥拉斯定理”. Cindy請她們解釋為何要用此定理來引入二次函數概念,回答是回答是: n “因為那里有平方因為那里有平方”. .？！？！ 數學的本質完全被曲解了。數學的本質完全被曲解了。nCindy繼續提問, 希望他們能意識到問題所在, 結果惹得眾人很不愉快. 事后, 那個學區的教

19、師間接告訴Cindy: “請她以后不要再到我們學區來了. 我們不歡迎她!”4442例7。 方程概念 外在的邏輯形式： 含有未知數的等式叫方程含有未知數的等式叫方程。n 內在的數學本質內在的數學本質： 方程是為了尋求未知數，方程是為了尋求未知數， 在已知數在已知數和未知數之間建立的一種等價關系。和未知數之間建立的一種等價關系。n“方程”思想的本質在于建立關系n 為了認識“未知數”先生， 必須請已知數“先生為媒介， 找到一種關系， 根據關系就能認識“未知數”先生了。 4443 方程思想（三根電線的長度）方程思想（三根電線的長度）n上海上海5151中學陳振宣提供中學陳振宣提供: : 他的一個學生在和

20、平他的一個學生在和平飯店做電工。發現地下室到飯店做電工。發現地下室到1010樓的三根電線不樓的三根電線不一樣長。一樣長。 如何測知他們的電阻？如何測知他們的電阻？n袁枚（清）：袁枚（清）：“學如箭鏃，學如箭鏃， 才如弓弩；才如弓弩； 識以領之，識以領之， 方能中鵠方能中鵠”。4444例8。 復數的定義n 一對有序的實數（x,y)， 稱做復數。前者成為實部， 后者成為虛部。（錯）n但是，向量也是一對實數！ 復數的本質在于它的乘法：復數的本質在于它的乘法： (a,b) (c,d) = (ac bd, ad+bc) n 4445 例9。 勾股定理（畢達哥拉斯定理）的教學設計n 用各種方法發現：方格紙

21、上用各種方法發現：方格紙上3 3，4 4，5 5 的計算的計算等。等。 6 6張工作單：發現猜想張工作單：發現猜想 a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2n換一種思維：將勾股定理直接告訴學生，換一種思維：將勾股定理直接告訴學生， 用用各種美麗的畫面，各種美麗的畫面， 講述中外有關歷史，包括講述中外有關歷史，包括和外星人聯系使用的信息。和外星人聯系使用的信息。 把把重點放在如何重點放在如何證明上證明上。 多種證明。多種證明。 最后最后聯系到費馬大定理 an + bn = cn (n3)。 哪一種更能體現數學本質？4446例10。文字代表數的本質：文字代表數的本質： 符號運符號運

22、算算 （只代表，（只代表， 不運算，不運算， 沒有價值）沒有價值）n項武義教授： “ 文字代表數的本質是不定元文字代表數的本質是不定元和數字進行相同的運算和數字進行相同的運算。n 如如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上沒有講為什么可以這樣做）。 解二次方程： 因子分解、配方、同解變換 根 數學家之所以有飯吃， 在于能夠運用符號獲得結果 （復旦 張蔭南）4447例11 一個例子怎能概括出負負得正？個例子怎能概括出負負得正？ 探究式教學探究式教學。例：一列每小時。例：一列每小時80公里的火車向西開，公里的火車向西開， 12時火車恰在上海。用上海向東向西表示方向的正負，時火車恰

23、在上海。用上海向東向西表示方向的正負， 12點之后之前為時間的正負。點之后之前為時間的正負。 問問10點時火車在什么點時火車在什么位置？位置？ 答案：（答案：（-2） x （-80）= 160n于是概括概括得出數的運算的規律負負得正。 （先乘除后加減、顛倒相乘、分數的交換律（先乘除后加減、顛倒相乘、分數的交換律 ）數學不允許這樣的概括。數學不允許這樣的概括。 有意義的接受有意義的接受（先做后說） 先有規則， 后有解釋。先執行， 然后舉例說明其合理性。反思也是創新的必要步驟。 先舉例是探究， 后舉例說明是有意義接受。4448例12 “代數式引例（某數學教材設計）：一隧道長一隧道長l米，一列火車長

24、米，一列火車長180米，如果該列火車穿過隧道所花的時米，如果該列火車穿過隧道所花的時間為間為t分，則列車的速度怎么表示分，則列車的速度怎么表示”導入新課，指出：象導入新課，指出：象“(l+180)/t”這類表達式稱為代數式。這類表達式稱為代數式。n創設的情景看起來聯系生活實際， 實際上離開學生的實際很遠。隧道不是學生熟悉的場景。 情景創設遠離教學主題， 只求包裝靚麗，不管學生需要， 是一種時髦的、但不好的傾向。 n我們認為，引例應該十分簡單。例如矩形的長a，寬為b,求矩形的周長和面積： M = ab4449 數學符號是一種語言n 語文靠想象， 將符號（方塊字）用語法表示出來。 說話寫下來就是文

25、章。n 數學靠理性， 將數學符號通過運算、演繹得到結論。 這是人為構造的語言。 語文、數學、詩詞、定理，語文、數學、詩詞、定理， 都是符號運作都是符號運作n 語文是語文是“飯飯”， 不吃要死，容易煮熟。便宜不吃要死，容易煮熟。便宜n 數學是數學是“菜菜”，不吃菜也可以活，但身體弱。比較，不吃菜也可以活，但身體弱。比較貴。燒菜很難。吃菜必須合理。貴。燒菜很難。吃菜必須合理。n 詩詞是詩詞是“酒酒”， 酒可以不喝，釀酒更難。有人喜酒可以不喝，釀酒更難。有人喜歡，閑時享受才喝。定理也是酒。歡，閑時享受才喝。定理也是酒。4450例13。函數的兩個定義： 宏觀與微觀n人們需要宏觀與微觀兩種觀點。政治上的

26、全局政治上的全局與局部；物理學上的宇宙與原子；與局部；物理學上的宇宙與原子； 藝術上的藝術上的寫意與工筆寫意與工筆 n 初中的函數從大局發展著眼， 宏觀地觀察數量之間彼此依存的關系， 看總體發展趨勢。 宏觀函數概念的本質是變量之間的依賴性宏觀函數概念的本質是變量之間的依賴性。 n 高中函數定義講究微觀地、靜態地觀察， 用兩個數集之間的對應來描述。 微觀函數概念的本質在于精確化的對應。微觀函數概念的本質在于精確化的對應。 兩種定義互有短長，并非高級與低級之分兩種定義互有短長，并非高級與低級之分 。4451函數定義中 “唯一”重要嗎？n 唯一不是本質。n 不唯一成多值函數而已。n 多值函數單值化即

27、可。n 描寫圓的函數， 上半圓和下半圓。n 反三角函數4452例14。 函數單調性的教學難點是“無限”。n 單調性的本質是描述函數的變化趨勢。這可以直觀地觀察， 畫圖，數列等n 但是，單調性概念的數學本質在于處理無限無限變化的趨勢；呈現的方式對“任意任意”兩個自變量 x1 x2 ,都有 f(x1)0m0， 糖水變甜；糖水變甜； b/a (b+m) / (a+m)b/a (b+m) / (a+m)如果如果 b/a d/c b/a d/c 是兩杯不一樣甜的糖水倒再一起，是兩杯不一樣甜的糖水倒再一起， 甜度會怎樣？甜度會怎樣？ b/a (b+d)/(a+c) d/cn這不是證明， 卻把握了數學過程的

28、本質445517。 放煙火放煙火 （Interactive Mathematics Project) 主題教學主題教學n 一元二次函數的單元模型。n 高樓上放煙火， 形成的曲線。n 頂點n 落地點n 與物理的關系： 拋物線。n 大模型，大模型， 不是一節課的不是一節課的引入引入問題問題4456例18。三角函數。 單擺，電磁波n y = ASin(t +) n周期性周期性。這是基本概念。 舉例（波動， 簡諧運動， 課程表， 潮汐 和諧性和諧性。 這是三角函數的特征。 音樂， 單擺，電磁波。n 相位性相位性。理解三角函數變換的難點。n 原始性原始性。 不定元 X 可以構造多項式， 分式、無理式；

29、sinx 可以構造各種三角函數，用來逼近其他函數。 三角恒等變換只是工具而已4457例19.余弦定理與余弦定理與三點距離問題三點距離問題 - 表示培養能力表示培養能力n（荷蘭）甲離學校（荷蘭）甲離學校10公里，公里， 乙離甲乙離甲3公里，公里， 問乙離學問乙離學校幾公里？校幾公里？n訓練學生的數學表示能力。n甲、乙、學校在一條直線上？ 沒有說。 校 乙 甲 乙 坐標。參數。復數。空間 4458例20。微積分的問題驅動n（1） 全局的問題。拋物線 y = x2 , 可以用許多方法研究， 試觀察它的切線。n （2）關鍵的問題。割線的極限位置n （3）增量的重要性微積分是增量分析 （4）增量比的極限

30、克服極限4459例21 增量分析： 微積分的本質。n y = f(x) , y 隨 x的變化而變化 。 銷量隨價格的變化而變化。太普通n 增量的提法： 價格變一元， 銷量變多少？很重要。所以我們要研究 y的增量和x的增量之比的極限。 4460例22。瞬時速度n 瞬時速度是出發點？瞬時速度是出發點？ 還是微積還是微積分的應用？分的應用？n 瞬時速度是原始概念，瞬時速度是原始概念， 快車快車趕上慢車的一剎那。趕上慢車的一剎那。n 小學里沒有面積的概念，小學里沒有面積的概念， 就就可以求面積。可以求面積。 道理是一樣的。道理是一樣的。4461 例23。概率的統計本質n傳統：擲骰子 等可能性 排列組合

31、 理論概率 計算概率（考試）n 現代：擲骰子 實驗 頻率 經驗概率 理論概率 排列組合 理論概率計算 統計方法。4462理論概率和經驗概率n 等可能性出發定義概率 （北師大版） 傳統。形式化處理。但是片面。 不能解釋降水概率、次品率、事故率等等n 用實驗方法以頻率取代概率（華東師大版）可能比較難以捉摸。但是符合實際。n 兩種不同的思想體系。怎樣呈現概率的“教育形態”， 是一個理論問題， 也是實踐問題。4463例24。四維空間的4-方體（蘇聯中學數學教材的一道空間想象題）n四維空間單位方體的頂點數.棱數, 面數, 三維面數, 四維體數?n 解：頂點數：頂點數：2 23 3 =16=16。n 棱數

32、：（棱數：（16 416 4）/2 = 32/2 = 32n 二維面：（二維面：（16 C16 C4 42 2）/4 = 24/4 = 24n 三維面：三維面： （16 C16 C4 43 3 ）/8 = 8/8 = 8n 四維面：四維面： 1 1n 一般地一般地 （2 +12 +1）n n = 2 = 2n n + n2 + n2n-1n-1 + + 1 + + 1n 愛因斯坦的四維時空可以進入中學數學例25。用迭代方法解決問題（錄自美國數學課程標準， 2000）一位女生在打排球時膝蓋受傷。一位女生在打排球時膝蓋受傷。她的醫生要她在她的醫生要她在10天內每天內每8小時服用兩粒小時服用兩粒22

33、0毫克的藥片，毫克的藥片， 以減輕傷痛。以減輕傷痛。 如果她的身體每如果她的身體每8小時吸收小時吸收60%的藥物，的藥物， 那么那么10天后，天后， 她身體中還有多少毫克的藥物？她身體中還有多少毫克的藥物？ 64迭代進入中學數學65下時段下時段= 0.4(現在現在) + 440, start at 440a1 = 440 and an + 1 = 0.4an + 440 for 1 n 314466信息時代的數學新課題：算法算法n 算法并不陌生。 先乘除， 后加減； 分數通分；高斯消去法；求最大公約數的輾轉相除法； 珠算口訣n 算法是人和計算機相通的語言。n 算法成為公民科學素質的一部分。 印

34、度的經驗。n 賦值語句，條件語句，循環語句。 4467第三部分第三部分 數學文化的孕育與數學文化的孕育與體現體現4468揭示數學背后隱藏的文化價值揭示數學背后隱藏的文化價值n 數學通過了考試，數學通過了考試， 是否獲得了是否獲得了理性思維的訓練。理性思維的訓練。 豬八戒吃人豬八戒吃人參果？參果？n 數學教學要把數學的文化價值數學教學要把數學的文化價值展現，展現， 幫助學生體會。幫助學生體會。4469例例1.“對頂角相等對頂角相等”是否要證明？是否要證明？數學與民主古希臘城邦實行奴隸主奴隸主的民主政治。 民主要求說服、說服需要證明、公理化方法得到應用。n 幾何原本。 命題15：對頂角相等。用公理

35、3：等量減等量， 其差相等。ABC4470中國古代數學是官方管理數學n 春秋戰國， 百家爭鳴。 實行謀士向君王建議治國之道。與古希臘統治階級實行民主政治不同。n 中國數學為帝王的統治服務。 九章算術：丈量田畝、計算稅收、分攤徭役、計算土方、運輸計費 沒有“對頂角相等”。n 勾股定理 古希臘與中國都有n古希臘重證明； 中國重算法。n 理性思維 - 數學的德育教育功能。4471 例2 對稱和對仗n 對稱是幾何變換。 變換之后有不變的量。軸對稱、中心對稱后圖形不變、長度角度都不變。n 中國的對仗：“明月松間照，清泉石上流”（王維詩句）。 “明月” 對“清泉”， 變中有不變。形容詞對形容詞， 名詞對名

36、詞， 自然景物仍然是自然景物。n 文化上看，文化上看， 二者異曲同工。只是數學更加準二者異曲同工。只是數學更加準確、比較抽象而已。確、比較抽象而已。4472例3。 時間和空間 n 初唐詩人陳子昂詩云：“前不見古人，前不見古人， 后不后不見來者，見來者， 念天地之悠悠，念天地之悠悠， 獨愴然而涕下獨愴然而涕下。”這是古人乃只今天人們對時間與空間的認識。n 時間的模型是一條兩端無限的直線：詩人處在原點。 天地各為兩個平面， 悠悠地、無限地伸展著。 我們的幾何就是在這樣的空間里展開的。 實際上， 地球上的幾何就超出了這個范圍： 非歐幾何。揭示數學的文化內涵4473 例5。 變化中的不變量n 與時俱進

37、，與時俱進， 但是主要民族傳統不變。但是主要民族傳統不變。n 物理學的能量守恒、動量守恒物理學的能量守恒、動量守恒n 數學中的不變規律：對稱；分數的不同表示，數學中的不變規律：對稱；分數的不同表示， 交換率，交換率， 方程的同解；方程的同解； 恒等式恒等式 sinsin2 2x + x + coscos2 2x =1x =1; （數學思想方法之一） 幾何不變量，代數不變量。 拓撲不變量： 多面體歐拉定理， 七橋問題。 陳類4474例6 數學意境n 孤帆遠影碧空盡， 惟見長江天際流。 （徐利治：極限意境極限意境）n眾里尋他千百度，驀然回首， 那人卻在燈火闌珊處。 （王國維人間詞話） （解題意境）

38、解題意境）4475例7。 丘成桐談史記n2002年8月20日早上中央電視臺東方時空的“東方之子”欄目 （方靜采訪）n “我讀史記象欣賞歌劇， 一幕幕地展開。” 華彩樂章如：高山仰止， 景行景止。n 歷史是宏觀的。歷史是宏觀的。 學習歷史會使人用宏觀學習歷史會使人用宏觀觀點考察事物。觀點考察事物。 我提出的數學想法往往我提出的數學想法往往和別人的不一樣，和別人的不一樣， 就是得力于就是得力于史記史記4476例8。 微積分中的中國史料n 李善蘭、偉列亞力譯：代微積拾級（1859）n 日本學者學習微積分的唯一通道（1870年以前）n 京師同文館，除“經學”和“數學”外， 物理、化學、博物等全聘外國人

39、。 數學教習就是李善蘭。4477 中國最早的微積分譯作中國最早的微積分譯作 n李善蘭（1811 1882）禾彳天 意思是 dx4478清末中國數學的亮點n 李善蘭恒等式:n戴煦數 tan x = ( Dn / (2n-1)!) x2n-1 .n歐拉數 secx = ( En / 2n!) x2n Dn 1， 2，16，272，7936，353792， (可惜不懂微積分，沒有用泰勒公式）4479例例7。 線性組合與通解（項武義）線性組合與通解（項武義）n 孫子算經中國剩余定理n 同余式組：x = b1 (mod m1), x = b2 (mod m2) x = b3 (mod m3)可以歸結為

40、b1 b2 b3 為（1，0，0），（0，1，0）（0，0，1）時的特解， 然后可以用系數乘特解的線性組合線性組合得到通解通解。4480例8。 偉大的期望值n 中國的麻將為什么不能產生概率論？n 概率是一定會有的。n 數學期望才是催生理性思考的問題n有一筆賭金， 甲、乙兩人競賭， 輸贏的概率各為1/2， 以先累計達到5盤勝利者獲得這筆賭金。在進行過程中， 因故突然終止。 此時， 甲贏了4局， 乙贏了3局。 問這筆賭金該如何分配才合理？n 4/7 和和 3/7 比較合理比較合理 ？4481例例9 9 戰后：戰后： 19481948年的數學地圖年的數學地圖n19481948： 美國仙農發表美國仙農

41、發表信息的數學理論信息的數學理論n19481948：維納發表：維納發表控制論控制論。信息、控制是數學嗎？信息、控制是數學嗎？n1948： von Neuman 計算機方案形成計算機方案形成n 中國缺乏這樣的數學偶像中國缺乏這樣的數學偶像4482 例10。1970年走出布爾巴基的光環年走出布爾巴基的光環n 布爾巴基的結構主義 沖破“函數論”王國n 用“代數結構、序結構、拓撲結構”統一數學。 集合論、測度論、李群論、抽象代數、代數拓撲、泛函分析 融為一體。n 不能包括微分幾何、數論、概率統計、計算數學、離散數學n 1950年。吳文俊在科學通報介紹布爾巴基。 無人喝彩。n 1970年。 年輕數學家走

42、出布爾巴基的影響n 1980年。 中國大規模介紹布爾巴基學派。4483 n 函數內容的文化點設計44841。函數的本質函數的本質n函數從其本質屬性來看，是一種變量之間的對應的依賴關系。n數學是關系學，相等、不等、大小、全等、相似、對稱和等價等等都是關系。n最重要的兩個關系是：方程是未知數與已知數之間的等式關系，函數是變量間的依賴關系。n世界靠關系維持著，國際關系，國內各階層的關系，上下級關系，同學關系，師生關系，社會關系，公共關系，而數學主要研究的是數量關系。n事物間都彼此聯系著，看問題不要割裂關系。44852。 函數的定義n初中定義和高中定義的比較，各有所長，不是傳統與現代、高級與低級之分。

43、n變量說變量說(初中)，是原始定義，強調變量的依賴關系，生動直觀，是宏觀的、動態的。n對應說對應說(高中)，是近代定義，強調具體的對應關系，細致入微，是微觀的、靜態的。n看問題的兩種視角：從政治看，全局與局部；從哲學看，唯物與唯心；從邏輯學看，歸納與演繹；從繪畫看，潑墨與工筆；從物理學看，原子與天體；從光學看，顯微與放大。44863。函數的名稱函數的名稱n函數function一語，起用于公元1692年，最早見自德國數學家萊布尼茲的著作。記號f（x）則是由瑞士數學家歐拉于公元1724年首次使用的。n英文function一詞，譯為函數，始于1859年，意為“凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數。”首見于清代數學家李善蘭(18111882)與英國人偉列亞力合譯的美國數學家羅密士E. Loomis，1811-18