1、1.通常數(shù)的乘法運(yùn)算是否可以看作下列集合上的二元運(yùn)算，說(shuō)明理由。A=í1,2ý。B=íb|b是素?cái)?shù)ý。C=íc|c是偶數(shù)ý。D=í2n| nÎN ý。解：因?yàn)?×24ÏA，所以數(shù)的乘法運(yùn)算不A上的二元運(yùn)算。因?yàn)?、3ÎB，2×36ÏB，所以數(shù)的乘法運(yùn)算不是B上的二元運(yùn)算。"a,bÎC，a、b是偶數(shù)，a×b也是偶數(shù)，即a×bÎC且a×b的結(jié)果是唯一的，所以數(shù)的乘法運(yùn)算是C上的二元運(yùn)算。(4) &qu

2、ot;a,bÎD, $n,mÎN，使a2n，b2m，a×b=2n×2m=2n+m, n+mÎN，所以a×bÎD且運(yùn)算結(jié)果唯一，故數(shù)的乘法運(yùn)算是D上的二元運(yùn)算。2.集合A=í1,2,3,4ý，*和是A上的二元運(yùn)算，其中運(yùn)算*定義為a*b=abb，運(yùn)算定義為ab=max(a, b)，試寫(xiě)出*和的運(yùn)算表。解：*和的運(yùn)算表如表和表所示。 表 表12341234100001123421234222343246833334436912444443.<N7,7>和<N7,×7>是代數(shù)系

3、統(tǒng)，其中N7=í0,1,2,3,4,5,6ý，運(yùn)算7是模7加法，運(yùn)算×7是模7乘法。試寫(xiě)出7和×7的運(yùn)算表。解：7和×7的運(yùn)算表如表和表所示。 表7012345600123456112345602234560133456012445601235560123466012345 表×70123456000000001012345620246135303625144041526350531642606543214.設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,>，其中A=ía,b,cý，是A上的二元運(yùn)算，分別由下列表給出。試分別討論交換性

4、、冪等性、單位元和逆元。表表表表abcabcabcabcaabcaabcaabcaabcbbcabbacbabcbabcccabcccccabccccb解：*的交換性、冪等性、單位元和逆元如表所示。 表交換律冪等律單位元逆元表有無(wú)aa 1= a, b 1= c, c 1= b 表有無(wú)aa 1= a, b 1= b表無(wú)有無(wú)無(wú)表無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)5.寫(xiě)出代數(shù)系統(tǒng)<N7,7>的幺元和零元，各元素的逆元。解：代數(shù)系統(tǒng)<N7,7>的運(yùn)算表如表所示。由表知幺元為0，無(wú)零元，0逆元是0，1和6，2和5，3和4互為逆元。6.寫(xiě)出代數(shù)系統(tǒng)<N7,×7>的幺元和零元，各元素的逆

5、元。解：代數(shù)系統(tǒng)<N7,×7>的運(yùn)算表如表所示，由表知幺元為1，零元為0，0無(wú)逆元，1的逆元為1，6的逆元為6，2和4，3和5互為逆元。7.設(shè)<A,>是代數(shù)系統(tǒng)，A是有限集，那么當(dāng)運(yùn)算在A上是封閉的時(shí)，其運(yùn)算表有何特征當(dāng)運(yùn)算是可交換運(yùn)算時(shí)，其運(yùn)算表有何特征解：代數(shù)系統(tǒng)<A,>，A是有限集。當(dāng)運(yùn)算在A上是封閉的時(shí)，其運(yùn)算表中各元素的運(yùn)算結(jié)果都是集合A中的元素。當(dāng)運(yùn)算是可交換運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算表關(guān)于主對(duì)角線是對(duì)稱(chēng)的。8.設(shè)A=í1,3,5,7,9ý，是A上的二元運(yùn)算，其定義分別為：ab=min(a,b) ab=aab=ab+a問(wèn)：哪些運(yùn)算

6、滿足冪等律解： 滿足冪等律。因?yàn)?quot;a ÎA, aa= min(a,a)=a。滿足冪等律。因?yàn)?quot;a ÎA, aa=a。不滿足冪等律。因?yàn)?11×11219.寫(xiě)出<N10,×10>的所有冪等元。解：因?yàn)?×100=0，1×101=1，5×105=5，6×106=6，所以，0,1,5,6為冪等元。10.設(shè)A=í1,2,3,4ý，A上的二元運(yùn)算定義為取最大值運(yùn)算，即"a,bÎA，有表123411234222343333444444ab=max(a,b)

7、證明是可結(jié)合的運(yùn)算，并指出代數(shù)系統(tǒng)<A,>的幺元、零元和各元素的逆元。解：作運(yùn)算表如表所示，由表知，幺元為1，零元為4，1的逆元為1，其余元素?zé)o逆元。(ab)c= max(max(a,b),c) a(bc)= max(a,max(b,c) 以上兩式都是取a，b，c三者中得最大者，所以abc 和acb時(shí)，(ab)c=aa(bc)bac 和bca時(shí)，(ab)c=ba(bc)cab和cba時(shí)，(ab)c=ca(bc)即"a,b,cÎA，(ab)c= a(bc)，運(yùn)算滿足結(jié)合律。11.設(shè)<Z,>是代數(shù)系統(tǒng)，的定義分別為：ab=|a+b|， ab=ab， ab

8、=a+b1， ab=a+2b， ab=2ab。問(wèn)：哪些運(yùn)算在Z上是封閉的哪些運(yùn)算是可交換的哪些運(yùn)算是可結(jié)合的解：Z為整數(shù)集合，因?yàn)檎麛?shù)加法運(yùn)算在Z上封閉，絕對(duì)值運(yùn)算在Z上也封閉。"a,bÎZ，ab=|a+b|=|b+a|=ba當(dāng)a1，b2，c-3時(shí)，(ab)c=|a+b|+c|=0，a(bc)=|a+|b+c|=2，(ab)ca(bc)。所以，運(yùn)算在Z上封閉，可交換，但不可結(jié)合。因?yàn)楫?dāng)b0時(shí)，ab= ab不一定是整數(shù)，例如a2，b-1，ab=2-1ÏZ，"a,bÎZ，ab=ab， ba=ba，ab不一定等于ba，例如a2，b1時(shí)，ab=ab=2

9、，ba=ba=1。abba。當(dāng)a=2，b=1，c=2，(ab)c=(ab)c=(21)2=22=4，a(bc)=a(bc)=2(12)=2，(ab)ca(bc)。所以運(yùn)算在Z上不封閉，不可交換，不可結(jié)合。因?yàn)檎麛?shù)加法和減法運(yùn)算在Z上封閉，"a,bÎZ，ab=ab-1= ba-1= ba"a,b,cÎZ，(ab)c=(ab-1)c-1=abc-2=a(bc-1)-1。所以，運(yùn)算在Z上封閉，可交換，可結(jié)合。因?yàn)檎麛?shù)加法和乘法運(yùn)算在Z上封閉。"a,bÎZ，ab=a2b，ba=b2a。 ab不一定等于ba，如a1，b2時(shí)。ab=a2b=5，b

10、a=b2a=4，abba。"a,b,cÎZ，(ab)c=(a2b)2c，a(bc)=a2(b2c)=a2b4c，當(dāng)a0，b0，c1時(shí)，(ab)c=2，a(bc)=4，(ab)ca(bc)。所以，運(yùn)算在Z上封閉，不可交換，也不可結(jié)合。因?yàn)檎麛?shù)乘法運(yùn)算在Z上封閉，"a,bÎZ，ab=2ab=2ba=ba"a,b,cÎZ，(ab)c=2(2ab)c=4abc=2a×2bc=2a(bc)=a(bc)。所以，運(yùn)算在Z上封閉，可交換，也可結(jié)合。12.在代數(shù)系統(tǒng)<Z,>中，Z是整數(shù)集合，運(yùn)算定義為ab=abab，證明運(yùn)算在Z上

11、是封閉的，是可交換的和可結(jié)合的，并指出其幺元。證明：因?yàn)檎麛?shù)加法和乘法在整數(shù)集合Z上封閉，所以，運(yùn)算在Z上是封閉的。因?yàn)閍b=abab=baba=ba，所以，運(yùn)算在Z上是可交換的。因?yàn)閍0=a0a×0=a=0a0×a=0a，即0為運(yùn)算的幺元。13.寫(xiě)出<N5,5>的幺元和各元素的逆元。解："iN5，i50=i0=i=0i=05i 即0為5的幺元。當(dāng)ij=ji=0時(shí)，i與j互為逆元，即1和4，2和3互為逆元，0的逆元為0。14.寫(xiě)出<N5,×5>的幺元和各元素的逆元(如果有逆元)。解："iN5，i×51=i =1

12、×5 i， 所以，1為×5的幺元。表*abcaabcbbbbccbc2×533×521，4×541，所以， 0無(wú)逆元，1和4的逆元為自身，2和3互為逆元。15.請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)含幺元的代數(shù)系統(tǒng)，且除幺元外，其它元素都沒(méi)有逆元。解：令A(yù)=ía,b,cý，是A上的二元運(yùn)算，的運(yùn)算表如表所示。根據(jù)運(yùn)算表，a為幺元，a的逆元為a，b和c無(wú)逆元。16. <Nk,k,×k>是代數(shù)系統(tǒng)，證明×k對(duì)于k是可分配的。解： 根據(jù)k和×k的定義，一方面，因?yàn)閍×(bck)=a×(bc)ak，

13、ak mod k= 0，所以a×(bck) mod k= a×(b+c) mod k，故a×k(bk c)= a×(bk c) mod k= =a×(bc) mod k另一方面，當(dāng)a×bk時(shí)，a×k b也可以看成是a×b除以k，商為0的余數(shù)，則a×kb=a×b mod k (a×b除以k的余數(shù))，于是對(duì)于"a,b,cNk, 可設(shè)a×bek+m，a×cfk+n，e,f,m,n為自然數(shù)，0m,nk。則a×k b =a×b mod k=m，a×k c= a×c mod k=n。當(dāng)mnk時(shí)，a×(b+c) mod k=(a×b mod k)+ (a×c mod k)= mn當(dāng)mnk時(shí)，a×(b+c) mod k=(a×b mod k)+ (a×c mod k)k = mnk將以上兩式合并成一個(gè)式子：a×(bc) mod k=(a×b mod k)k (a×c mod k)a×k(bk c)= a×(bc) mod k=(a