1、趙州石拱橋 1300 1300多年前多年前, ,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋拱是的橋拱是圓弧形圓弧形, ,它的它的跨度跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m,37.4m,拱高拱高( (弧的中弧的中點到弦的距離點到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.2m,7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 （垂徑定理）（垂徑定理） 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發現了什么？由此你能得到什復幾次，你發現

2、了什么？由此你能得到什么結論？么結論？判斷：任意一條直徑都是圓的對稱軸（判斷：任意一條直徑都是圓的對稱軸（ ）X如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？）你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？OABCDE思考思考（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE弧：，弧：，CAEBO.D總結：總結：垂徑定理：垂徑定

3、理：垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦對的兩條弧。并且平分弦對的兩條弧。CD為為 O的直徑的直徑CDAB 條件條件結論結論應用垂徑定理的書寫步驟l定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.OABCDMCDAB, CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD =BD.引申定理引申定理l定理中的定理中的徑徑可以是可以是直徑、半徑、弦心距等過直徑、半徑、弦心距等過圓心的直線或線段圓心的直線或線段。從而得到垂徑定理的變。從而得到垂徑定理的變式：式：l一條直線具有：一條直線具有： 平分弦平分弦 經過圓心經過圓心垂直于弦垂

4、直于弦可推得可推得 平分弦所對的劣平分弦所對的劣（優）弧（優）弧E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 練習練習1O OB BA AE ED在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？O OEDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的兩個條件注意：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）（直徑，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！ A

5、BCDEABDC條件條件CDCD為直徑為直徑結論結論AC=BCAD=BDCDABCDABCDABCDABAE=BE平分弦平分弦 的直徑垂直于弦，并且平分的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧（不是直徑不是直徑）垂徑定理的推論垂徑定理的推論1:1:CDABCDAB嗎？嗎？(E)(E)“知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)過圓心過圓心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所對的優弧平分弦所對的優弧 (5)平分弦所對的劣弧平分弦所對的劣弧注意注意: :當具備了當具備了(1)(3)(1)(3)時時, ,應對另一應對另一 條弦增加條弦增加”不是直徑不是直徑”的限制的限制. .n你

6、可以寫出相應的命題嗎你可以寫出相應的命題嗎?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂徑定理的推論 l如圖如圖,在下列五個條件中在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論就可推出其余三個結論.OABCDM CD是直徑是直徑, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂徑定理及推論OABCDM條件結論命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分

7、弦垂直平分弦,并且平分弦所對的并且平分弦所對的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經過圓心弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平并且平分弦和所對的另一條弧分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.一、判斷是非：一、判斷是非：（1）平分弦

8、的直徑，平分這條弦所對的弧。）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）平分弦的直線，必定過圓心。）平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），）一條直線平分弦（這條弦不是直徑）， 那么這那么這 條直線垂直這條弦。條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對的）平分弧的直線，平分這條弧所對的 弦。弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直徑垂直于弦）平分

9、弦的直徑垂直于弦弦心距弦心距：過一個圓的圓心作弦的垂線：過一個圓的圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間圓心與垂足之間的距離叫做弦心距的距離叫做弦心距2OBAC如圖：圓O中，AB是圓O中的一條弦，其中OCAB圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，則d，r，a之間滿足什么樣的關系呢？2222adrcm32cm32 8cm1 1半徑半徑為為4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm, , 那么圓心那么圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。2 2OO的的直徑直徑為為10cm10cm，圓心，圓心O O到弦到弦ABAB的的 距離為距離為3cm3cm，則弦，則弦ABAB的長是的

10、長是 。3 3半徑半徑為為2cm2cm的圓中，過半徑中點且的圓中，過半徑中點且 垂直于這條半徑的弦長是垂直于這條半徑的弦長是 。 練習練習 1A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E垂徑定理的應用垂徑定理的應用1.1.如圖如圖, ,在在OO中中, ,弦弦ABAB的長為的長為8cm,8cm,圓心到圓心到ABAB的距離為的距離為3cm,3cm,則則OO的半徑為的半徑為 . . 練習練習 2：ABOC5cm342.2.弓形的弦長弓形的弦長ABAB為為24cm24cm，弓形的高，弓形的高CDCD為為8cm8cm，則這弓形所在圓的半徑為，則這弓形所在圓的半徑為. . 13

11、cm D C A B O(1)(1)題題(2)(2)題題128方法歸納方法歸納: : 解決有關弦的問題時，經常解決有關弦的問題時，經常連接半徑連接半徑；過圓心作一條與弦垂直的線段過圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為等輔助線，為應用垂徑定理創造條件。應用垂徑定理創造條件。 垂徑定理經常和勾股定理結合使用。垂徑定理經常和勾股定理結合使用。E.ACDBO.ABOl3、如圖，、如圖，P為為 O的弦的弦BA延長線上一點，延長線上一點，PAAB2，PO5，求，求 O的半徑。的半徑。關于弦的問題，常常需關于弦的問題，常常需要要過圓心作弦心距過圓心作弦心距，這，這是一條非常重要的是一條非常重要的輔助輔助線線

12、。弦心距、半徑、半弦長弦心距、半徑、半弦長構成構成直角三角形直角三角形，便將，便將問題轉化為直角三角形問題轉化為直角三角形的問題。的問題。MAPBOA解：如圖，設半徑為解：如圖，設半徑為R，ABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在tAODtAOD中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：趙州橋的主橋拱半徑約為答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OABCD37.47.2趙州橋主橋拱的趙州橋主橋拱的跨度跨度(弧所對的弦的長弧所對的弦的長)為為37.4m, 拱高拱高(弧的中點到弦的

13、距離弧的中點到弦的距離)為為7.2m，你能求出趙州橋，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？主橋拱的半徑嗎？AB=37.4,CD=7.2R R18.7R-7.2R-7.2再逛趙州石拱橋再逛趙州石拱橋1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習練習解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.活活 動動 三三118422AEAB 在RtAOE中變式：變式：圖中兩圓為同心圓圖中兩圓為同心圓變式變式3：隱去（變式：隱去（變式1）中的大圓，得）中的大圓，

14、得右圖連接右圖連接OA，OB，設，設OA=OB，AC、BD有什么關系？為什么？有什么關系？為什么？ D C O A B變式變式4：隱去（變式：隱去（變式1）中的大）中的大圓，得右圖，連接圓，得右圖，連接OC，OD，設，設OC=OD，AC、BD有什么關系？有什么關系？為什么？為什么？ D C O A B變式變式1 1：ACAC與與BDBD有什么關系？有什么關系？ D C O A B變式變式2 2：ACBD依然成立嗎依然成立嗎 N M D C O A B2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形

15、ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. OEAC ODABE已知：如圖，在以已知：如圖，在以O為圓為圓心的兩個同心圓中，大圓的心的兩個同心圓中，大圓的弦弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點。兩點。求證：求證：ACBD。.ACDBO圖圖2 5cm已知已知P為為 O內一點內一點,且且OP=2cm,如果如果 O的半徑是的半徑是3cm,那么過那么過P點的最短的弦等于點的最短的弦等于_小小 結結直徑平分弦直

16、徑平分弦 直徑垂直于弦直徑垂直于弦=直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑垂直于弦直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑平分弧所對的弦直徑平分弧所對的弦 直徑平分弧直徑平分弧 直徑垂直于弧所對的弦直徑垂直于弧所對的弦=、圓的軸對稱性、圓的軸對稱性、垂徑定理及其推論的圖式E小結小結: : 解決有關弦的問題，經常是解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線過圓心作弦的垂線，或，或作垂直于弦的直徑作垂直于弦的直徑，連結半徑連結半徑等輔助線，為應用垂徑定等輔助線，為應用垂徑定理創造條件。理創造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO別忘記還有我喲！別忘記還有我喲！1、教材、教材88頁習題頁習題24.1 第第8題；題；2、教輔書、教輔書48-51頁頁作業：作業：1.1.過過oo內一點內一點M M的最長的弦長為的最長的弦長為1010, ,最短弦長為最短弦長為8 8, ,那么那么oo的半徑是的半徑是2.2.已知已知oo的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑