1、上海蘭生復旦數學旋轉幾何綜合單元測試卷（word版，含解析）一、初三數學旋轉易錯題壓軸題（難）1.直線mn，點A、B分別在直線m, n上（點A在點B的右側），點P在直線m上，AP=-AB,連接BP,將線段BP繞點B順時針旋轉60。得到BC,連接AC交直線n于點E, 3連接PC,且 ABE為等邊三角形.（1）如圖，當點P在A的右側時，請直接寫出NABP與NEBC的數量關系是, AP 與EC的數量關系是.（2）如圖，當點P在A的左側時，（1）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若 不成立，請說明理由.（3）如圖，當點P在A的左側時，若aPBC的面積為止，求線段AC的長.4圖【答案】（1） ZAB

2、P=ZEBC, AP=EC； （2）成立，見解析：（3）如27【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到NABE = 60。，AB = BE,根據旋轉的性質得到NCBP = 60。，BC=BP,根據全等三角形的性質得到結論：（2）根據等邊三角形的性質得到NABE = 60。，AB = BE,根據旋轉的性質得到NCBP = 60。，BC=BP,根據全等三角形的性質得到結論：（3）過點C作CD_Lm于D,根據旋轉的性質得到APBC是等邊三角形，求得PC = 3,設 AP = CE=t,則AB=AE=3t,得到AC=2t,根據平行線的性質得到NCAD=NAEB=60。, 解直角三角形即可得到結論

3、.【詳解】解：（1） :ABE是等邊三角形，.ZABE = 60°, AB=BE, 將線段BP繞點B順時針旋轉60。得到BC,.,.ZCBP=60°, BC = BP, .ZABP=60° - ZPBE, ZCBE = 600 - ZPBE,即 NABP=NEBC,.,.ABPAEBC (SAS),AAP=EC：故答案為：NABP=NEBC, AP = EC；（2）成立，理由如下，ABE是等邊三角形，A ZABE = 60°, AB=BE,將線段BP繞點B順時針旋轉60。得到BC,AZCBP = 60°, BC=BP,/. ZABP=600 -

4、 NPBE, ZCBE = 60° - NPBE, 即 NABP=NEBC,AAABPAEBC （SAS）,AAP = EC：（3）過點C作CD_Lm于D,圖：將線段BP繞點B順時針旋轉60。得到BC,.PBC是等邊三角形，:Bpc2=，巫,44, PC=3,設 AP = CE=t,貝ljAB=AE = 3t,，AC=2t,Vm/7nfAZCAD=ZAEB = 60°,.AD=AC=t, CD="AD=B，VPD2+CD2=PC2,A (2t) 2+3t2=9.t=m (負值舍去)，7 Ar-7t- 6" eHU - Zl.7【點睛】本題主要考查等邊三角

5、形的判定及性質、旋轉的性質應用、三角形全等的判定及性質、勾 股定理等相關知識點，解題關鍵在于找到圖形變化過程中存在的聯系，類比推理即可得解.2.如圖，四邊形ABCD為正方形，ZAEF為等腰直角三角形，ZAEF=90c ,連接FC, G 為FC的中點，連接GD, ED.（1）如圖，E在AB上，直接寫出ED, GD的數量關系.（2）將圖中的AAEF繞點A逆時針旋轉，其它條件不變，如圖，（1）中的結論是否 成立？說明理由.（3）若AB = 5, AE = 1,將圖中的4AEF繞點A逆時針旋轉一周，當E, F, C三點共線 時，直接寫出ED的長.圖圖【答案】（2）DE=0"DG： （2）成立

6、，理由見解析；（3） DE的長為4或3&.【解析】【分析】（1）根據題意結論：DE=V2 DG,如圖1中，連接EG,延長EG交BC的延長線于M,連接 DM,證明CMGgZkFEG （AAS）,推出 EF=CM, GM=GE,再證明DCMg2DAE（SAS）即可解決問題；（2）如圖2中，結論成立.連接EG,延長EG到M,使得GM二GE,連接CM, DM,延長 EF交CD于R,其證明方法類似：（3）由題意分兩種情形：如圖3-1中，當E, F, C共線時.如圖3-3中，當E, F, C 共線時，分別求解即可.【詳解】 解：（1）結論：DE= V2 DG.理由：如圖1中，連接EG,延長EG交B

7、C的延長線于M,連接DM.圖1 四邊形ABCD是正方形，/. AD = CD. Z B = Z ADC=Z DAE=Z DCB=Z DCM = 90Z AEF = Z B = 90°,/. EFII CM,/. Z CMG = Z FEG,Z CGM = Z EGF, GC = GF,，a CMG合 FEG (AAS), .EF=CM, GM = GE,; AE = EF,AE = CM, . DCMW DAE (SAS), DE = DM, Z ADE = Z CDM,Z EDM = Z ADC=90°,/. DGJLEM, DG=GE=GM,. EGD是等腰直角三角形，

8、/. DE= V2 DG.(2)如圖2中，結論成立.理由：連接EG,延長EG到M,使得GM = GE,連接CM, DM,延長EF交CD于R.圖2 EG=GM, FG=GC, Z EGF = Z CGM,:, & CGM合 FGE (SAS), .CM = EF, NCMG=NGEF,CM II ER, . Z DCM = Z ERC,Z AER+z ADR = 180°,Z EAD+Z ERD=180°,Z ERD+Z ERC = 180°, Z DCM = Z EAD.; AE = EF,/. AE = CM,:, & DAE合 DCM (SAS

9、),：.DE = DM, Z ADE = Z CDM, , Z EDM = Z ADC=90°, / EG=GM,DG = EG = GM, EDG是等腰直角三角形，,DE=&DG（3）如圖3-1中，當E, F, C共線時,圖3-1在 RSADC 中，AC=CD? =5",在 RSAEC 中，EC= AC2-AE2 = 7(5V2)2-I2 =7./. CF = CE - EF = 6,1 CG=-CF = 3, 2 / Z DGC=90°, 1 DG= 7CD2-CG2 = >/52-32 =4», DE=&DG=4V5.F, C

10、共線時，同法可得DE = 3".綜上所述，DE的長為4 &或3虛.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等 知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.3.閱讀材料并解答下列問題：如圖1,把平而內一條數軸工繞原點。逆時針旋轉角6（0° <0<90°）得到另一條數軸乂工軸和）'軸構成一個平而斜坐標系宜內.規定：過點尸作軸的平行線，交工軸于點a，過點月作x軸的平行線，交軸于點3, 若點4在工軸對應的實數為。，點4在軸對應的實數為則稱有序實數對（。涉）為點 在平而斜坐標系X。），

11、中的斜坐標.如圖2,在平而斜坐標系xOy中，己知。= 60°，點 夕的斜坐標是（3,6）,點。的斜坐標是（0,6）.（1）連接。尸，求線段。尸的長：（2）將線段0P繞點。順時針旋轉60°到。（點。與點。對應），求點。的斜坐標；（3）若點。是直線OP上一動點，在斜坐標系xQy確定的平而內以點。為圓心，。長 為半徑作當。與X軸相切時，求點。的斜坐標，【答案】（1）。尸= 3" （2）點。的斜坐標為（9, 一3） ： （3）點D的斜坐標為：3（一,3）或（6, 12）.2【解析】【分析】（1）過點P作PC_LOA,垂足為C,由平行線的性質，得NPAC=e = 60。，由

12、AP=6,則 AC=3, PC = 30 再利用勾股定理，即可求出OP的長度；（2）根據題意，過點Q作QEOC, QFOB,連接BQ,由旋轉的性質，得至U OP=OQ, ZCOP=ZBOQ,則COPgZkBOQ,則 BQ=CP=3, ZOCP=ZOBQ=120° ,然后得到BEQ 是等邊三角形，則BE=EQ=BQ=3,則OE=9, OF等，即可得到點Q的斜坐標:（3）根據題意，可分為兩種情況進行分析：當OP和CM恰好是平行四邊形OMPC的對 角線時，此時點D是對角線的交點，求出點D的坐標即可；取OJ=JN=CJ,構造直角三角 形OCN,作NCJN的角平分線，與直線OP相交與點D,然后

13、由所學的性質，求出點D的坐 標即可.【詳解】解：（1）如圖，過點P作PC_LOA,垂足為C,連接OP,VAP/70B,NPAC=e = 60。,V PC±OA, AZPCA=90° ，點。的斜坐標是（3,6）, ，0A=3, AP=6, :.cos60° = = 1AP 2/. AC = 3, * PC = <6, - 3- = 3耳 = 3 + 3 = 6,在RtZOCP中，由勾股定理，得 ”=西+（3 后=3"；（2）根據題意,過點Q作QEOC, QFOB,連接BQ,如圖:由旋轉的性質，得0P二OQ, NPOQ=60° ,V ZCOP

14、+ZPOA=ZPOA+ZBOQ=60" , ，/COP=NBOQ,V0B=0C=6tCOPBOQ (SAS)； ，CP=BQ=3, ZOCP=ZOBQ=120° ,AZEBQ=60° ,I EQOC,AZBEQ=60° ,.BEQ是等邊三角形，BE=EQ=BQ=3,，OE=6+3=9, 0F=EQ=3,點Q在第四象限， 點。的斜坐標為（9, -3）；（3）取0M=PC=3,則四邊形OMPC是平行四邊形，連接OP、CM,交點為D,如圖:由平行四邊形的性質，得CD=DM, OD=PD, 點D為OP的中點， 點P的坐標為（3, 6）,3 點D的坐標為（7，3）

15、： 2取OJ=JN=CJ,則OCN是直角三角形， ZCOJ=60c ,.,.OCJ是等邊三角形，A ZCJN=120° ,作NCJN的角平分線，與直線0P相交于點D,作DNJ_x軸，連接CD,如圖:A ZJCD=ZJND=90" ,則由角平分線的性質定理，得CD=ND：過點D作Dlx軸，連接DJ, VZDJN=ZCOJ=60° ,.四邊形OJDI是平行四邊形，.ID=OJ=JN=OC=6,在 RtZXJDN 中，ZJDN=30° ,.,JD=2JN=12；點D的斜坐標為（6, 12）；3綜合上述，點D的斜坐標為：（7，3）或（6, 12）.2【點睛】本題

16、考查了坐標與圖形的性質，解直角三角形，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質， 角平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找圓心D的位置來解決問題，屬 于中考創新題型.注意運用分類討論的思想進行解題.4 .如圖，在邊長為2的正方形A8C。中，點。分別是邊A3、BC上的兩個動點 （與點A、B、。不重合），且始終保持= AQA.QE, QE交正方形外角平分線CE于點E, AE交CD于點、F,連結尸。.（1）求證：APQ QCE ；（2）證明：DF + BQ = QF ；（3）設8。= %,當x為何值時，QF / /CE ,并求出此時A40F的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（

17、3）當工二2 + 2加時，。尸CE：5 MQF = -4+4 8【解析】【分析】（1）判斷出PBQ是等腰直角三角形，然后求出NAPQ=NQCE=135° ,再根據同角的余角 相等求出NPAQ=NCQE,再求出AP=CQ,然后利用“角邊角”證明即可：（2）根據全等三角形對應邊相等可得AQ=EQ,判斷出AAQE是等腰直角三角形，將AAO廠繞點A順時針旋轉90°得WAB，再證明F'AQ 9 AFAQ（SAS）:（3）連結AC,設QF 口 CE,推出QCE是等腰直角三角形° ,再證明AAB。&AADF(&1S),根據全等三角形對應邊相等可得QF=G

18、F, AQ = AF 9ZQAB = ZDAF = 22.5° ,分別用x表示出DF、CF、QF,然后列出方程求出x,再求出AQF的面積.【詳解】(1)四邊形48。是正方形，:AB = BC, ZB = ZBCD = ZDCM =90°. BP = BQ ,.AP8Q是等腰直角三角形，AP = QC , Z.BPQ = 45° ,.ZAPQ = 35° ：CE平濟/DCM , ZDC£ = ZECM = 45°, NQCE = 135。,：.ZAPQ = NQCE = 135。, AQ1QE,:.ZAQB + ZCQE = 90

19、76;. Z ZAQB + ZBAQ = 90°.：.ZBAQ = ACQE.:.AAPQQCE( ASA).(2)由(1)知AAPQ絲QCE./ QA = QE.,: ZAQE = 90° 9 AAQE是等腰直角三角形, ZQAE = 45 ：.Z.DAF + ZQAB = 45°,如圖4,將AADF繞點A順時針旋轉90°得FfAB,其中點。與點3重合，且點尸在直線8。上,則NF4Q = 45。，FfA = FA AQ = AQ, .AFR*AMQ(SAS).QF' = QF = BQ + DF.(3)連結AC,若QFHCE, p則 /FQC

20、= /ECM = 45° .AQC/是等腰直角三角形，：.CF = CQ = 2-x, DF = BQ = x.V AB = AD, ZB = ZD = 90°, AABQMDF(SAS).：.AQ = AF 9 ZQAB = NDAF = 22.5° ,AC垂直平分。尸，.ZQAC = ZFAC = AQAB = ZFAD = 22.5° , FQ = 2QN ,.FQ = 2BQ = 2x.在RrAQC/中，根據勾股定理,得(2 x)2 + (2 x)2=(2x)2.解這個方程，得=-2+2q，%=一2-2點 (舍去).當 x = 2 + 2立時，Q

21、F H CE.此時 , S、qcf = S'QEF，： S'QCF + S&'QF =又四 + S MQF = AQ,【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，等腰直角三角形的判 定與性質，勾股定理的應用，難點在于（3）作輔助線構造成全等三角形并利用勾股定理列 出方程.5.邊長為2的正方形ABCD的兩頂點A、C分別在正方形EFGH的兩邊DE、DG上（如圖1）.現將正方形ABCD繞D點順時針旋轉，當A點第一次落在DF上時停止旋轉，旋轉過程 中，AB邊交DF于點M, BC邊交DG于點N.（1）求邊DA在旋轉過程中所掃過的面積：（2）旋轉過程

22、中，當MN和AC平行時（如圖2）,求正方形ABCD旋轉的度數；（3）如圖3,設AMBN的周長為p,在旋轉正方形ABCD的過程中，p值是否有變化？請 證明你的結論.【答案】 2 223擄：（3）不變化，證明見解析.【解析】試題分析：（1）將正方形ABCD繞D點順時針旋轉，當A點第一次落在DF上時停止旋 轉，旋轉過程中，DA旋轉了45°,從而根據扇形面積公式可求DA在旋轉過程中所掃過的 而積.（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，根據平行的性質和全等三角形的判定和性質可求 正方形ABCD旋轉的度數為225擄.（3）延長BA交DE軸于H點，通過證明蠟以1知屏搭0押和蠟DM”知屏摘MN可得結

23、論（1）rA點第一次落在DF上時停止旋轉，.DA旋轉了 45°.45蟾月面22_ >DA在旋轉過程中所掃過的而積為360（2） VMNII AC. A饕解MN =紫端AC = 45擄，饕斕MM =1螭CA = 45擄.,饕后M"=鑒隅NM . BM = BNTf. BA = BC . AM = CN , 又：DA = DC,DAM 二乙DCN,.蠟屏播CN.蒙燃DM =饕燙DNzaDM = ；（90。-45。）= 22.5°.旋轉過程中，當MN和AC平行時，正方形ABCD旋轉的度數為45擄鑒?2.5擄=22.5擄 不變化，證明如下：如圖，延長BA交DE軸于H

24、點，則乙ADE = 45°NADM，匕CDN = 900-45°-ADM = 45°乙ADN4，鑒尷DE =鑒受DN又；DA = DCZDAH = 180°-90。= 90° =乙DCN.'.螭"""知屏持 .DH = DN,AH = CN 又.嗑博DE =康博DN = 45°,DM = DM '.蠟DM”定屏播MN.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CN . p = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB + BC = 4 在

25、旋轉正方形ABCD的過程中，P值無變化.考點：1 .而動旋轉問題：2,正方形的性質：3,扇形面積的計算：4.全等三角形的判定和性 質.6.在平面直角坐標系中，四邊形408C是矩形，點0 （0, 0）,點4 （5, 0）,點8 （0, 3）.以點4為中心，順時針旋轉矩形4O8C,得到矩形ADEF,點O, 8, C的對應點分別 為 D, E, F.（1）如圖，當點。落在8c邊上時，求點。的坐標：（2）如圖，當點。落在線段8E上時，AD與8c交于點求證A08E440&求點的坐標.（3）記K為矩形AO8c對角線的交點，S為KDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結圖圖17【答案】（1）。（1，3

26、） ； （2）詳見解析：H （> 3） ： （3）30-3后 4【解析】【分析】（1）如圖，在RtACD中求出CD即可解決問題：（2）根據HL證明即可：，設 AH=BH=m,則 HC=BC-BH=5-m,在AHC 中，根據 AH?=HC2+ACZ,構建方程求出m即可解決問題；（3）如圖中，當點D在線段BK上時，DEK的面積最小，當點D在BA的延長線上 時，>b!<的面積最大，求出而積的最小值以及最大值即可解決問題：【詳解】圖 %(5,0),8(0,3), ，04=5,08=3 , 四邊形AO8c是矩形，：.AC=OB=3 , OA=BC=5 , ZOBC=ZC=90°

27、; r 矩形ADEF是由矩形408c旋轉得到， ：.AD=AO=5 ,在4DC 中，CD=yjAD2-AC2 =4f ：.BD=BGCD=1 ,：.D ( 1 r 3 ).圖由四邊形ADEF是矩形，得到/4DE=90。， 點。在線段8E上,，ZADB=90° ,由(1)可知，AD=AO, X AB=AB , N4O8=90° , ：.Rt/ADBRt/AOB ( HL ).如圖中，由AD8也AO8,得至ljN84D=N84。, 又在矩形4。8c中，OA/BC r：.ZCBA=ZOAB ,：.ZBADZCBA ,，BH=AH,設 AH=8H=m,貝lj HC=8C-8H=5-

28、m , 在 RtAAHC 中，9：AH2=HC2+AC2 tAm2=32+ ( 5-m ) 2 ,17二二， “(3)如圖中，當點。在線段8K上時，"人的面積最小，最小值. 1 -DE-DK- 1 x3x ( 5_ 30-37342224E，x9=L3x(5+正)4。+ 3后.2224綜上所述，3。-3后業30 + 3后.44【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、旋轉變換等 知識，解題的關犍是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數構建方程解決 問題.7.我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底"

29、;三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”。(1)概念理解：如圖1,在AA3C中,AC = 6 ,BC = 3.NAC8 = 30。,試判斷AA8C是否是“等高底"三角形，請說明理由.(2)問題探究：如圖2, AA8C是"等高底"三角形,8C是"等底”，作AA3C關于3c所在直線的對稱圖形得AQ到A42C,連結A4'交直線BC于點。.若點8是4=3-3,q = 1 + 2i的重心，求-的值. BC(3)應用拓展：如圖3,已知“44與4之間的距離為2.“等高底的“等底” BC在直線右上，點4在直線6上,有一邊的長是BC的應倍.將AABC繞點C按順時針

30、方向旋轉45。得到AA'3'C, AfC所在直線交于點。,求CD的值.【答案】（1）證明見解析；（2）江=匹（3） CO的值為2M，2e,2 BC 23【解析】分析：（1）過點/H乍4D_L直線CB于點D,可以得到/W=8U3,即可得到結論：（2）根據AA8c是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到4g8C,再由8c與 A A8c關于直線8c對稱，得到 乙40190，,由重心的性質，得到8U28D.設8D=x,則 AD二BU2x, CD=3x ,由勾股定理得AC=gx,即可得到結論；（3）分兩種情況討論即可：當48=8c時，再分兩種情況討論：當8c時，再分兩種情況討論即可.詳解

31、：（1）是.理由如下：如圖1，過點4作4D_L直線CB于點D,二ADC為直角三角形，ZADO90c ./ N4CB=30，心6,工 A。心3,2，4D=8U3,即8c是“等高底”三角形.(2)如圖2, V A48C是“等高底”三角形,8c是“等底”，：.AD=BC9*. &N 8c與48C關于直線8c對稱，乙4DL90。.點 8 是 AM C 的重心，J BC=2BD.設 8D=x,則 4D=8U2x, ：.CD-3x ,.由勾股定理得AC=y/3x,.AC _ V13x _ A/13 BC 2x 2IH2(3)當 48=8c 時，I .如圖3,作AE_L/i于點E, DF_LAC于點

32、F. 丁等高底"MBC的"等底"為BC,”兒,"與/2之間的距離為2, AB= V2 BC ,，8C=AE=2, AB=2y/2 ,，8£=2,即 EC=4,:AC=2小。/ M8C繞點C按順時針方向旋轉45°得到A/V 8, C,，ZCDf=45° . 設。F=CF=x .DF AE 1V/i/2> A ZACE=ZDAF,：.=一=一，即 AF=2x.c，1B3*n.如圖4,此時兇8c是等腰直角三角形， MBC繞點C按順時針方向旋轉45。得到M' B' C,LACD是等腰直角三角形，:.CD他AC=

33、2近.'當AC=應BC時，I.如圖5,此時ABC是等腰直角三角形. A48C繞點C按順時針方向旋轉45°得到A4 8' C, ：.Af CA.li，：.CD-AB-BO2.n.如圖 6,作 AE_L/1 于點 E,貝IJ4E=8C:AC=立 BC=OaE,，NACE=45° ,.'.ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到B' C時, 點4,在直線上，X' C/2,即直線4 C與/2無交點.綜上所述：C。的值為:屈，2 .點暗：本題是幾何變換-旋轉綜合題.考查了重心的性質，勾股定理，旋轉的性質以及閱讀 理解能力.解題的關鍵是對

34、新概念“等高底三角形的理解.8.如圖1,在平而直角坐標系xOy中，拋物線C： y=ax2+bx+c與x軸相交于4 8兩點，頂 點為D （0, 4） , AB=A短，設點F（m, 0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F 旋轉180。，得到新的拋物線C'.（1）求拋物線C的函數表達式：（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求m的取值范圍.（3）如圖2, P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線 C上的對應點P',設M是C上的動點，N是U上的動點，試探究四邊形PMP' N能否【解析】【分析】（1）由題意拋物線的頂點C

35、 （ 0,4 ） , A （ 2應，0）,設拋物線的解析式為y = ax2+4,把4（ 2" ,0）代入可得。=一：，由此即可解決問題；（2）由題意拋物線。的頂點坐標為（2m, -4）,設拋物線。的解析式為1)4y =- + 4,2y = (x-2m)' -4消去y得到V-2皿+ 2"-8 = 0，由題意，拋物線U與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，則有 （-2?）2一4（2-8）>0'2/» > 0,解不等式組即可解決問題；2w ， A y = 一r +4 .2y = g(x-2?) -4 消去 y 得至iJx? -2zx +

36、2"J -8 = 0 ,由題意，拋物線U與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，則有（-2?尸-4（2療-8）>0,2m > 0, 2/一8>0解得 2<m< 272 r.滿足條件的m的取值范圍為2 cm < 2點 .（3）結論：四邊形PM1/V能成為正方形.理由：1情形1,如圖，作PCLx軸于E, 軸于-8>0（3）情形1,四邊形PMPN能成為正方形.作PE_Lx軸于E, MH_Lx軸于H.由題意易知 P（2,2）,當胃?是等腰直角三角形時，四邊形PMPW是正方形，推出 PF=FM , ZPFM=90° ,易證可得 PE=FH=

37、2 , EF=HM=2 - m,可得 M（m+2,m-2）,理由待定系數法即可解決問題：情形2,如圖，四邊形PMP7V是正方 形，同法可得M（m-2,2-m）,利用待定系數法即可解決問題.【詳解】（1）由題意拋物線的頂點C（0, 4）,（ 2 JI , 0）,設拋物線的解析式為y = ax2+4,把A （，0）代入可得方一:， .拋物線C的函數表達式為y = -.由（2）由題意拋物線C的頂點坐標為（2m, -4）,設拋物線U的解析式為由題意易知P（2, 2）,當APIM是等腰直角三角形時，四邊形PMPW是正方形，：.PF=FM , ZPFM=90° ,易證可得PE=FH=2 , EF

38、=HM=2 - m , ：,M （ m+2 , m - 2）, 點 M 在 y = -lx2 +4 上，加-2 = 一；（? + 2+4,解得/=亞 -3或-g - 3 （舍棄），.,.m=Vr7 - 3時，四邊形PM/N是正方形.情形2,如圖，四邊形PMPW是正方形，同法可得例（/-2,2-利），把M （ m - 2 , 2 - m）代入 y = -1x2+4 中，2-? = 一：（? 一 2+4 ,解得 m=6 或 0（舍 棄），9.已知AMC是邊長為4的等邊三角形，點D是射線BC上的動點，將AD繞點A逆時針 方向旋轉60得到AE,連接DE.如圖，猜想AM見是三角形；（直接寫出結果）（2）

39、.如圖，猜想線段CA、CE、CD之間的數量關系，并證明你的結論：.當BD=時，ZDEC = 30 :（直接寫出結果）點D在運動過程中，的周長是否存在最小值？若存在.請直接寫出ADEC周長 的最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）等邊三角形；（2） AC+CQ = CE,證明見解析：（3）8。為2或8時，NOEC = 30'：最小值為4 + 2布，理由見解析【解析】【分析】（1）根據旋轉的性質得到AO = A瓦ND4E = 60 ,根據等邊三角形的判定定理解答：（2）證明AA8。三AACE,根據全等三角形的性質得到8Z） = CE，結合圖形計算即可:（3）分點。在線段上和點。在線段

40、8C的延長線上兩種情況，根據直角三角形的 性質解答；根據三AACE得到CE = 3Q，根據垂線段最短解答.【詳解】解：（1）由旋轉變換的性質可知，AD = AE,ZDAE = 60.AOE是等邊三角形，故答案為等邊三角形：（2） AC+CD = CE,證明：由旋轉的性質可知，ZDAE = 60AD = AE ,AABC是等邊三角形/. AB=AC=BC, ZBAC=60。，:.NBAC=ZDAE=6（f，ABAC+ADAC=ZDAE+ADAC,即 NB4D=NC4E,在A48D和A4CE中，,AB=AC< /BAD = /CAE,AD = AE.:.MBDMCECSAS）:.BD = C

41、E,:.CE=BD=CB+CD=CA + CD ；（3）8。為2或8時，/DEC = 30，當點 O 在線段 8C 上時，NDEC=30。, ZAED=60°,ZAEC=90°,MBDAACE,:.ZADB=ZAEC=9()。,又N8=60° ,/. ZBAD=30°，BDAB=2.， 2當點O在線段BC的延長線上時，.NOEC=30。，ZAED=6QPtZAEC=30°,MBDAACE,/. ZADB=ZAEC=30°,又N8=60° ,/. ZBAD=90°，BD=2AB=8,.8。為2或8時，ZDEC=300；點。在運動過程中，ADEC的周長存在最小值，最小值為4 + 2JJ，理由如下：.A8峰A4CE,/. CE=BD,則 ADEC 的周長=DE+CE+DC=BD+CD+DE=BC+DE，當CE最小時，MEC的周長最小，.AAOE為等邊三角形，DE = AD，AO的最小值為2JJ，.ADEC的周長的最小值為4 + 2JJ.【點睛】本題考查的是旋轉變換的性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質，掌握全等 三角形的判定定理和性質定理、靈活運