1、當代中學生報2015年高考泄露天機數學一、選擇題1.(文)已知集合，則=（ ）（A） （B） （C） （D）1.B由知.（理）若集合，且，則集合可能是（ ）（A） （B） （C） （D） 1.A 由知,故選.2.已知復數，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）2.B .3.已知命題，命題，則（ ）（A）命題是假命題 （B）命題是真命題（C）命題是真命題 （D）命題是假命題 3.D 因為命題，是真命題，而命題，由復合命題的真值表可知命題是真命題.4.已知成等差數列，成等比數列，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）或4.B 因為成等差數列，所以.又成等比數列，所以（舍去），所以5.已知，

2、則下列不等式一定成立的是（ ）（A） （B） （C） （D） 5.A由得，所以.6.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的為 ( )（A）若則 （B）若則（C）若，則 （D）若則6.B A中可以是任意關系；B正確；C中平行于同一平面，其位置關系可以為任意D中平行于同一直線的平面可以相交或者平行7.（文）“”是“”的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件7.B ，“”是“”的必要不充分條件（理）已知，“函數有零點”是“函數在上為減函數”的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件

3、7.B函數有零點時，不滿足，所以“函數在上為減函數”不成立；反之，如果“函數在上為減函數”，則有，所以，“函數有零點”成立，故選.8.函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點（ ） （A）向左平移個單位長度 （B）向右平移個單位長度（C）向右平移個單位長度 （D）向左平移個單位長度8.C由圖可知 則 ，又，結合可知 ，即，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點向右平移個單位長度.9.某工廠對一批新產品的長度（單位：）進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布直方圖，據此估計這批產品的中位數為（ ）（A） （B） （C） （D）9.C產品的中位數出現在概率是的地方自左至右各小矩形面

4、積依次為設中位數是，則由得，10. 如圖，、分別是雙曲線的兩個焦點，以坐標原點為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于、兩點，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 （ ）（A） （B） （C） （D）10.D 依題，所以，.11.如圖，在的方格紙中，若起點和終點均在格點的向量滿足，則（ ）（A） （B） （C） （D）11.D 設方格邊長為單位長.在直角坐標系內，由得，所以，解得，所以，選.12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）12.B 由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，平面平面，四棱錐的高為，四邊形是邊長為的正方形，則.13.

5、(文) 在區間內隨機取兩個數分別記為，則使得函數有零點的概率為（ ）（A）（B）（C）（D） 13.B若使函數有零點，必須，即在坐標軸上將的取值范圍標出，如圖所示當滿足函數有零點時，坐標位于正方形內圓外的部分，因此概率為（理）展開式中的常數項為（ ）（A）-8 （B）-12 （C）-20 （D）2013.C ，令，即，常數項為.14. 若程序框圖如圖示，則該程序運行后輸出的值是（ ）（A） （B） （C） （D）14.A 第一次循環運算：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：，這時符合條件輸出.15.已知是首項為的等比數列，是其前項和，且,則數列 前項和為（ ）（A） （B） （C） （D）

6、15.A 根據題意，所以，從而有，所以，所以有，所以數列的前10項和等于.16.若是的重心，分別是角的對邊，若，則角（ ）（A） （B） （C） （D）16.D 由于是的重心，代入得，整理得，因此.17.(文)函數的圖象大致為（ ）17.A函數定義域為,又,函數為奇函數.其圖像關于原點對稱.故排除C、D，又當時，,所以可排除B，故A正確.（理）如圖所示, 醫用輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體開始輸液時，滴管內勻速滴下液體（滴管內液體忽略不計），設輸液開始后分鐘, 瓶內液面與進氣管的距離為厘米，已知當時，如果瓶內的藥液恰好156分鐘滴完 則函數的圖像為（ ）17.C由題意得，每分鐘滴下藥液的體積為

7、當時，即此時；當時，即此時所以，函數在上單調遞減，且時，遞減的速度變快，所以應選（C）18 已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與 的一個交點，若，則=（ ）（A） （B） （C） （D） 18.B 如下圖所示，拋物線：的焦點為，準線為，準線與軸的交點為 ， 過點 作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知又因為，所以， 所以， 所以，19.已知不等式組表示平面區域,過區域中的任意一個點,作圓的兩條切線且切點分別為,當最大時, 的值為（ ）（A） （B） （C） （D）19.B 如圖所示，畫出平面區域，當最大時，最大，故最大，故最小即可，其最小值為點到直線的距離，故，此時，且，故20.設

8、函數在上存在導數，有，在上，若，則實數的取值范圍為（ ）（A） （B） （C） （D） 20.B 設 因為對任意 ，所以，= 所以，函數為奇函數；又因為，在上，所以，當時 ， 即函數在上為減函數，因為函數為奇函數且在上存在導數，所以函數在上為減函數，所以， 所以，所以，實數的取值范圍為.二、填空題21.（文）已知直線，平行，則 21. 由題意得.（理）已知直線，平行，則它們之間的距離是 21. 2 由題意得，即，所以它們之間的距離是22. 執行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的結果是 結束輸出y開始 是輸入否22.10 若輸入 ，則不成立，所以，所以輸出的值為1023.（文）采用系統抽樣

9、方法從人中抽取人做問卷調查，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽得的號碼為，抽到的人中，編號落入區間的人做問卷,編號落入區間的人做問卷,編號落入區間的人做問卷,則抽到的人中，做問卷的人數為 23.8 由于，抽到的號碼構成以3為首項，以12為公差的等差數列，因此得等差數列的通項公式為，落在區間的人做問卷滿足，得，由于是正整數，因此，人數為8人.（理）2014年11月，北京成功舉辦了亞太經合組織第二十二次領導人非正式會議，出席會議的有21個國家和地區的領導人或代表其間組委會安排這21位領導人或代表合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領導人站在第一排正中間位置

10、，美俄兩國領導人站在與中國領導人相鄰的兩側，如果對其他領導人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 種（用排列組合表示） 23. 先安排美俄兩國領導人：中國領導人站在第一排正中間位置，美俄兩國領導人站在與中國領導人相鄰的兩側，所以美俄兩國領導人的安排有種不同方法；再安排其余人員，有種不同方法；所以，共有種不同方法.24.函數為奇函數，則實數 .24.-1 因為函數為奇函數，所以，即25.已知正實數滿足，則的最小值為 .25. 由題知即于是可將給定代數式化簡得當且僅當時取等號.26. 如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點從點測得點的俯角,點的仰角以及；從點測得已知山高，則山高

11、 26.300 在中, ，在中， 由正弦定理可得即解得,在中27.（文）如下圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為，由下往上的六個點：，的橫、縱坐標分別對應數列（）的前項，如下表所示： 按如此規律下去，則 27. ， ，這個數列的規律是奇數項為偶數項為，故，故（理）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數，第個三角形數為.記第個邊形數為（），以下列出了部分邊形數中第個數的表達式：三角形數 正方形數 五邊形數 六邊形數 可以推測的表達式，由此計算 .7. ，從中不難發現其中的規律：就是表示以為首相，為公差的等差數列前項的和，即有，所以.28.已知矩形的周長為，把它沿圖中的虛線折成

12、正六棱柱，當這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為 28. 設正六棱柱的的底面邊長為，高為，則，所以，正六棱柱的體積，令，解得，令得，即函數在是增函數，在是減函數，所以在時取得最大值，此時.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心連線的中點，如圖所示，外接球的半徑為所以外接球的表面積為29.我們把離心率的雙曲線稱為黃金雙曲線如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個說法：雙曲線是黃金雙曲線；若，則該雙曲線是黃金雙曲線；若為左右焦點，為左右頂點，（0，），（0，）且，則該雙曲線是黃金雙曲線；若經過右焦點且，則該雙曲線是黃金雙曲線其中正確命題的序號為_29.對于，則，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于，整理

13、得解得，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于，由勾股定理得，整理得由可知所以雙曲線是黃金雙曲線；對于由于，把代入雙曲線方程得，解得，由對稱關系知為等腰直角三角形，即，由可知所以雙曲線是黃金雙曲線.30.設函數的定義域為，如果存在非零常數，對于任意，都有，則稱函數是“似周期函數”，非零常數為函數的“似周期”現有下面四個關于“似周期函數”的命題：如果“似周期函數”的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數；函數是“似周期函數”； 函數是“似周期函數”； 如果函數是“似周期函數”，那么“”其中是真命題的序號是 （寫出所有滿足條件的命題序號）30.如果“似周期函數”的“似周期”為-1，則，則，所以它是周期

14、為2的周期函數；假設函數是“似周期函數”，則存在非零常數，使對于恒成立，即，即恒成立，則且,顯然不成立； 設，即,易知存在非零常數，使成立，所以函數是“似周期函數”；如果函數是“似周期函數”，則，由誘導公式，得，當時，,當時，,所以“”；故選.三、解答題31.設函數，.（）當時，求函數的值域；（）已知函數的圖象與直線有交點，求相鄰兩個交點間的最短距離.解析：（）解：因為 =， 因為 ， 所以， 所以 ， 即，其中當時，取到最大值2；當時，取到最小值， 所以函數的值域為. （）依題意，得， 所以 或 ， 所以 或 ， 所以函數的圖象與直線的兩個相鄰交點間的最短距離為.32. (文)某車間將10名

15、技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內每個技工加工的合格零件數的統計數據的莖葉圖如圖所示.已知兩組技工在單位時間內加工的合格零件平均數都為.（1）分別求出，的值；（2）分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內加工的合格零件的方差和，并由此分析兩組技工的加工水平；（3）質檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，若兩人加工的合格零件個數之和大于，則稱該車間“質量合格”，求該車間“質量合格”的概率.（注：方差，其中為數據的平均數）.解析：（1）根據題意可得：，；（2）根據題意可得：，甲乙兩組的整體水平相當，乙組更穩定一些；（3）質監部門從該車間甲、乙兩組技工中各

16、隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，設兩人加工的合格零件數分別為，則所有的有，共計個，而的基本事件有，共計個基本事件，故滿足的基本事件共有，即該車間“質量合格”的基本事件有個，故該車間“質量合格”的概率為.（理）在科普知識競賽前的培訓活動中，將甲、乙兩名學生的6次培訓成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖：()若從甲、乙兩名學生中選擇1人參加該知識競賽，你會選哪位？請運用統計學的知識說明理由；()若從學生甲的6次培訓成績中隨機選擇2個，記選到的分數超過87分的個數為，求的分布列和數學期望解析：()學生甲的平均成績，學生乙的平均成績，又，則， 說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，則乙發揮更

17、穩定，故應選擇學生乙參加知識競賽. ()的所有可能取值為0，1，2，則，的分布列為012P所以數學期望33.(文) 如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，且，點、分別為、的中點（1）求證：平面；（2）求證：面；（1）證明：連接，是的中點 ，過點，為的中點，又面，面，平面；（2）證明：連結，連接，在直角中，即，且，平面，又，故平面； (理) 如圖，已知四棱錐的底面為菱形，.（）求證：；（）求二面角的余弦值.解析：（）證明：取的中點，連接，又四邊形是菱形，且，是等邊三角形，又，又，（）由，易求得，以為坐標原點，以，分別為軸，軸，軸建立空間直坐標系，則，設平面的一個法向量為，則，設平面的一個法向量為，則

18、，二面角為鈍角，二面角的余弦值為.34.在中，角所對的邊分別為，滿足，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值時角的值.解析：（1）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，因為，所以0，從而，即.（2）由余弦定理，得，又，所以，于是，當時，取到最大值.35.如圖，、為橢圓的左、右焦點，、 是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率，若在橢圓上，則點稱為點的一個“好點”直線與橢圓交于、兩點， 、兩點的“好點”分別為、，已知以為直徑的圓經過坐標原點（）求橢圓的標準方程；（）的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由解析：（）由題意得，故， ， 故，即，所以， 故橢圓的標準方程

19、為： （）設、，則、當直線的斜率不存在時，即，由以為直徑的圓經過坐標原點可得，即，解得， 又點在橢圓上，所以，解得，所以 當直線的斜率存在時，設其方程為由，消得， 由根與系數的關系可得， 由以為直徑的圓經過坐標原點可得，即，即 故整理得，即所以 而故 而點到直線的距離，所以 綜合可知的面積為定值1 36.（文）在四棱錐中，底面是正方形，與交于點底面，為的中點.(1)求證：平面；(2)若，在線段上是否存在點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解析：（1）證明：連接由四邊形是正方形可知，點為的中點又為的中點，所以又平面，平面所以平面 (2)解法一：若平面，則必有于是作于點由底面，所以

20、，又底面是正方形所以，又，所以平面 而平面，所以又，所以平面 又，所以所以為的中點，所以 解法二：取的中點，連接，在四棱錐中，所以 又由底面，底面，所以由四邊形是正方形可知，又所以平面 而平面所以，平面平面，且平面平面因為，平面，所以平面 故在線段上存在點，使平面由為的中點，得 (理) 已知正四棱柱中，. （1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.證明：（1）因為為正四棱柱，所以平面，且為正方形. 因為平面，所以. 因為,所以平面. 因為平面,所以. （2）如圖，以為原點建立空間直角坐標系.則 所以. 設平面的法向量.

21、所以 .即 令，則.所以.由（1）可知平面的法向量為. 所以. 因為二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為. （3）設為線段上一點,且.因為.所以. 即.所以. 設平面的法向量.因為，所以 .即. 令，則.所以. 若平面平面，則.即，解得.所以當時，平面平面. 37. 設，函數，函數，. （）當時，寫出函數零點個數，并說明理由；（）若曲線與曲線分別位于直線的兩側，求的所有可能取值.解析：（）證明：結論：函數不存在零點. 當時，求導得， 令，解得. 當變化時，與的變化如下表所示：0所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，函數有最大值. 所以函數的最大值為，所以函數不存在零點. （）解：由函數

22、求導，得 ， 令，解得. 當變化時，與的變化如下表所示：0 所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，函數有最大值； 由函數，求導，得 ， 令 ，解得. 當變化時，與的變化如下表所示：0所以函數在上單調遞減，在上單調遞增， 則當時，函數有最小值. 因為，函數有最大值， 所以曲線在直線的下方，而曲線在直線的上方，所以，解得.所以的取值集合為. 38.已知數列的前項和為，（) 求證：數列是等比數列；（) 設數列的前項和為，點在直線上，若不等式對于恒成立，求實數的最大值解析：（)由，得 ，兩式相減得， 所以 （)，因為，所以，所以是以為首項，公比為的等比數列 （)由（)得，因為點在直線上，所以，故

23、是以為首項，為公差的等差數列， 則，所以，當時，因為滿足該式，所以 所以不等式，即為，令，則，兩式相減得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故當時，單調遞減；當時，；當時，單調遞增；當時，；則的最小值為，所以實數的最大值是 39.已知拋物線上一點到其焦點的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點.（I）求拋物線和橢圓的標準方程；（II）過點的直線交拋物線于、兩不同點，交軸于點，已知，求證：為定值.（III）直線交橢圓于，兩不同點，在軸的射影分別為，若點S滿足：，證明：點S在橢圓上.解析：（）拋物線上一點到其焦點的距離為；拋物線的準線為拋物線上點到其焦點的距離等于到準線的距離所以,所以拋物線的方程為

24、 橢圓的離心率,且過拋物線的焦點所以，,解得所以橢圓的標準方程為 ()直線的斜率必存在,設為,設直線與橢圓交于則直線的方程為, 聯立方程組:所以,所以 (*) 由得: 得: 所以將(*)代入上式,得 ()設所以,則由得(1) ,(2) (3)(1)+(2)+(3)得:即滿足橢圓的方程命題得證 40.（文）已知函數，其中為實數.（1）求函數的單調區間；（2）若函數對定義域內的任意恒成立，求實數的取值范圍.（3）證明，對于任意的正整數，不等式恒成立.解：（1）當時，在上遞減，在上遞增當時，在，上遞增，在上遞減當時，在上遞增當時，在，上遞增，上遞減（2）由（1）知當時當時，不恒成立綜上：（3）由（2

25、）知時，恒成立當且僅當時以“=”時，(理) 設函數（1）若函數是定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；（2）若，試比較當時，與的大小；（3）證明：對任意的正整數，不等式成立解析：（1）又函數在定義域上是單調函數. 或在上恒成立若在上恒成立，即函數是定義域上的單調地增函數，則在上恒成立，由此可得；若在上恒成立，則在上恒成立.即在上恒成立.在上沒有最小值不存在實數使在上恒成立.綜上所述，實數的取值范圍是. （2）當時，函數. 令則顯然，當時，所以函數在上單調遞減又，所以，當時，恒有，即恒成立.故當時，有 （3）數學歸納法證明：1、當時，左邊=，右邊=，原不等式成立.2、設當時，原不等式成立，即則當

26、時，左邊=只需證明即證即證由（2）知即令，即有所以當時成立由1、2知，原不等式成立補充試題1. 平面四邊形中，,將其沿對角線折成四面體,使平面平面，若四面體的頂點在同一個球面上，則該球的體積為 （ ）（A） （B） （C） （D）1.A 根據題意，如圖，可知中，在中，,又因為平面平面，所以球心就是的中點，半徑為，所以球的體積為：2.在直角梯形ABCD中，則（ ）（A） （B） （C） （D）2.B由已知條件可得圖象如下，在中，.3. 如圖是一個空間幾何體的三視圖，該幾何體的外接球的體積記為，俯視圖繞底邊所在直線旋轉一周形成的幾何體的體積記為,則（ ）（A）（B）（C）( D） 3.D 三視圖復

27、原的幾何體如圖， 它是底面為等腰直角三角形，一條側棱垂直底面的一個頂點，它的外接球，就是擴展為長方體的外接球，外接球的直徑是，該幾何體的外接球的體積=，= ， =，故選D4. 設函數的定義域為D，如果，使得成立，則稱函數為“函數” 給出下列四個函數：；, 則其中“函數”共有（ ）（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個4.C ，使得，等價于，使得成立因為是奇函數，所以，即當時，成立，故是“函數”；因為，故不成立，所以不是“函數”；時，若成立，則，整理可得即當時，成立，故是“函數”；時，若成立，則，解得即時，成立，故是“函數”5. 設直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點,若點滿足，則該雙曲線

28、的離心率是_5. 由雙曲線的方程可知，漸近線為，分別于聯立，解得，由得，設AB的中點為Q，則，PQ與已知直線垂直，故,則.6. 向面積為的內任投一點,則的面積大于的概率為_ 6. 事件“的面積大于”，由圖可知，分別是三角形的邊上的三等分點，事件構成的區域是圖中陰影部分，因為與相似，相似比，由幾何概型的概率計算公式得.7.在中，三內角，的對邊分別為，且，為的面積，則的最大值為 .7. ，設外接圓的半徑為，則，故的最大值為.8. （文）如圖,已知平面平面,且四邊形為矩形,四邊形為直角梯形,.(1)作出這個幾何體的三視圖(不要求寫作法).(2)設是直線上的動點,判斷并證明直線與直線的位置關系.(3) 求三棱錐的體積.解析：（1）該幾何體的三視圖如下圖所示：（2）連接，因為，所以平面，所以.（3）因為，所以平面，又平面平面，從而，所以點G是CE的中點.由此可得，從而平面.所以過E作.（理）如圖，在四棱錐中，側棱底面，是棱中點（1）求證：平面；（2）設點是線段上一動點，且，當直線與平面所成的角最大時，求的值解析：（1）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則則設平面PCD的法向量是，則即令，則，于是，AM/平面PCD 6分（2）因為點是線段上的一點，可設又面PAB的法向量為設與平面所成的角為則 時， 即