1、第23講特殊的平行四邊形«（陜西考情分析»>陜西中考 說明陜西2012 2014年中考試題分析考點歸納考試要求年份題型題號分值考查內容分值比重考點1矩 形1.掌握矩形 的概念和性 質；2.掌握 并探索矩形 的有關性質 和四邊形是 矩形的條件2014解答題2512矩形、圓、 止方形、二 角形結合的 綜合探究題2013選擇題93矩形與菱形 的性質應用4.2%考點2菱 形1.掌握菱形 的概念和性 質；2.掌握 并探索菱形 的有關性質 和四邊形是 菱形的條件2014選擇題93菱形的性質2012選擇題73利用菱形的 性質求角度 數(shù)1.7%考點3 正 方形3.掌握正方 形的概念和

2、 性質；2.掌 握并探索正 方形的有關 性質和四邊 形是止方形的條件2013解答題2512圓、止方形、 三角形的性 質等探究綜 合題2012解答題2512以三角形與 止方形為基 礎圖形，以 問題探究的 形式綜合考 查尺規(guī)作圖、止方形6.7%i性質及最值 問題在近幾年的陜西中考試題中， 特殊的平行四邊形是考查的重點， 一般考查的是與特 殊平行四邊形有關的開放性、探索性問題，或是與三角形全等和相似、 圓、函數(shù)等知識結合 構建的綜合題，每年都會在選擇 (填空)和解答題中對本節(jié)內容考查.預計 2015年對此部分 的考查仍會是一個重點，可能會在選擇或填空題中考查特殊四邊形相關計算， 在解答題中結 合開放

3、性問題來考查.wsc要點梳理X1.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.矩形的四個角都是直角，對角線相等且互相平分； 獲而對稱圖形，又是中心對稱圖形，有 兩 條對而L矩形的判定方法:一(1)有三個角是一直角的四邊形；(2)是平行四邊形且看二個角是一直角一(3)_對角線相等_的平行四邊形；對角線相等且互相平分的四邊形.2.有一組 鄰邊相等 的平行四邊形叫做菱形.菱形的四條邊都相等，對角線互相垂直平分 ,且每一條又角線 平分一組對角 ;既是軸對稱圖形，女畫心對稱圖形， 有囪一條對稱軸.菱形的判定方法：(1)四條邊者B .相等 ;(2)有一組邊相等的平行四邊形；(3)對角線一互相垂直的平行四邊形；(4)

4、對角線 互相垂直平分的四邊形.3.有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形的四個角都是_直角一四條邊都 _相等一兩條對角線 _相等一并且_互相垂直平分一每一條對角 線 平分一組對角；既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有 四 條對稱軸.正方形的判定方法：(1)鄰邊相等的矩形_;(2)有一角是直角的 菱形 .學法器導J 一個防范在判定矩形、菱形或正方形時，要明確是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎之 上來求證的.要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解題時要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法.三種聯(lián)系(1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎上，

5、增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎上，則需有三個角是直角(第四個角必是直角)則可判定為矩形.(2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可為菱 形；若在四邊形的基礎上，需有四邊相等則可判定為菱形.(3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系：正方形的判定可簡記為： 菱形+矩形=正方形， 其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形， 再證明它有一個角是直角或對角線相等 (即矩形)；或先證四邊形是矩形， 再證明它有一組鄰 邊相等或對角線互相垂直(即菱形).總結：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系歸納如下：注：學好本部分內容的方

6、法是：弄清楚平行四邊形，矩形、菱形和正方形之間的聯(lián)系和區(qū)別，以整體的的觀點看待本部分內容.陜西中考）1.攀足蛆1拓鐘）1.垂足為（2014-陜西）如圖，在菱形 ABCD43, E,則AE的長為（C ）AB= 5,對角線 AC= 6.若過點 A作AUBC ,A.1224C-T2.BM DN，第1題圖（2013 陜西）如圖，在矩形若四邊形MBN星菱形，則ABCD43, AM MD于（C）連接3a8b-3 c-5 d53. （2012 陜西）如圖，在菱形ABC邛，對角線 AC與BD相交于點 O, OEL AB,垂足為E,若/ADC= 130° ,則/AOE的大小為（B ）A 75°

7、;B. 65°C. 55°D. 50°4. （2014 陜西）問題探究圖圖圖（1）如圖，在矩形 ABCD, AB= 3, BC= 4,如果BC邊上存在點 巳 使 APD為等腰三 角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形 APD并求出此時BP的長；（2）如圖，在4ABC中，/ABC= 60° , BC= 12, AD是BC邊上的高，E, F分別為邊 AB, AC的中點，當 AD= 6時，BC邊上存在一點 Q 使/ EQF= 90° ,求此時 BQ的長；問題解決（3）有一山莊，它的平面圖為如圖的五邊形ABCDE山莊保衛(wèi)人員想在線段 CD上選一點M安

8、裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB,現(xiàn)只要使/ AMB大約為60。，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳，已知/ A= /E= /D= 90° , AB= 270 mi AE= 400 m ED= 285 m CD= 340 m 問在線段CD上是否存在點 M,使/AMB= 600 ?若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由.解：（1）作AD的垂直平分線交 BC于點巳如圖，則PA= PD；/PAD是等腰三角形.四邊形 ABCD是矩形，AB= DC, Z B= Z C= 90° .PA= PD, AB= DC /. RtAABF RtA DCPHD .BP= CP.,. BC=

9、 4, BP= CP= 2 以點D為圓心，AD為半徑畫弧，交 BC于點P',如圖，則 DA= DP .P' AD是 等腰三角形.二.四邊形 ABCD矩形，.二AD= BC, AB= DC / C= 90° . -. AB= 3, BC= 4, . DC= 3, DP =4.，CP = 42-32 =J.，BP = 47.點A為圓心，AD為半徑畫弧，交 BC于點P，如圖，則 AD= AP' . AD 是等腰三角形.同理可得：BP'= 干.綜上所述：在等腰三角形 ADP中，若PA= PD,則BP =2;若 DP= DA 貝U BP= 4 甲；若 AP= A

10、D,貝U BP=巾1_ _(2)E, F 分別為邊 AB, AC的中點，EF/ BC, EF= -BC. / BC= 12, . EF= 6.以 EF 為直徑作。O,過點 O作OQLBC垂足為Q連接EQFQ,如圖.ADLBCAD= 6,. EF與BC之間的距離為 3.，OQ= 3.OQ= OE= 3.與BC相切，切點為QEF為。0的直徑， ，/EQF= 90° .過點 E 作 EGL BC 垂足為 G,如圖.EGL BQ OQL BC, . EG/ OQ.EO / GQ EG/ OQ / EGQ= 90° , OE= OQ .四邊形 OEGQ1正方形. GQ= EO= 3,

11、 EG= OQ= 3. ./B= 60° , /EGB= 90° , EG= 3, . BG= 3. BQ= GQb BG= 3+ /.當 / EQF= 90° 時，BQ的長為3 + 3 (3)在線段CD上存在點 M使/AMB= 60° .理由如下：以 AB為邊， 在AB的右側作等邊三角形 ABG彳GPLAB,垂足為 巳彳Ah BG垂足為 K.設GP與AK交 于點O,以點O為圓心，OA為半徑作。O,過點O作O也CD垂足為H,如圖.則。0 >AABG 1 _的外接圓， ABG 是等邊二角形， GPL AR . AP= PB= 2AB./AB= 270

12、, . AP= 135.ED = 285, OH= 285 135=150. . ABG是等邊三角形， AKL BG . . / BAK= Z GAK= 30° . OP= AP- tan30° =135X 乎=45寸3. . OA= 2OP= 90. .OKOA./.OO 與 CD相交，設交點為 M 連接 MA MB 如圖.，/AMB= /AGB= 60° , OM= OA= 90，3.OHLCD OH= 150, OM= 90小， . HM= >JoM OH =, (905)2 1502 = 30-2. ,. AE= 400, OP= 453, . DH

13、= 40045艱.若點 M在點 H的左邊，貝U DM= DH+ HM= 400-45+302. .-400- 45木+3仇/2 >340,，DM>CD.,點 M不在線段 CD上，應舍去.若點 M在點H的右邊，則 DM= DH- HM=400-45/3-303. ,400-45>/3-30>/2<340, . DM< CD.,點 M在線段 CD上.綜上所述:5. (2013 陜西)問題探究圖圖圖(1)請在圖中作出兩條直線，使它們將圓面積四等分；(2)如圖，M是正方形ABCD內一定點，請在圖中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過點M)#它們將正方形ABCM面積四

14、等分，并說明理由. 問題解決(3)如圖，在四邊形 ABC邛,AB/ CD AB+ CD= BC點P是AD的中點，如果 AB= a, CD= b,且b>a,那么在邊BC上是否存在一點 Q,使PQ所在直線將四邊形 ABCD勺面積分成 相等的兩部分？如若存在，求出 BQ的長；若不存在，說明理由.解：(1)如圖1所示(2)連接AG BD交于O,作直線 OM分另校 AD于P,交BC于Q過O作EF，OM交DC 于F,交AB于E,則直線EF、OM將正方形的面積四等份，理由是：二點O是正方形ABCD的對稱中心，.-.AP= CQ EB= DF,在4AOP和EOB中，. /AOP= 90° /

15、AOE / BOE= 90 ° -Z AOE / AOP= Z BOE 1 OA= OB Z OAP= Z EBO= 45° , .AO陣 EOB，AP= BE1 _1 _ _1 _ _1= (PD+DF)d,= DF= CQ 設 O到正萬形 ABCD-邊的距離是 d,則(AP+AE)d =(BE+BQ)d= -(CCJ+ CF)d S四邊形AEO尸 S四邊形BEO產 S四邊形CQO尸 S四邊形DPO5 直線EF, OMW正方形ABC而積四等份(3)存在，當BQ= CD= b時，PQ將四邊形ABCM面積二等份，理由是：如圖，連接 BP并延長交 CD的延長線于點 E,AB/

16、CD,/ A=/EDP :在 ABP 和4DEP中, 無 A= / EDP,AP= DP,.AB國DEP(ASA,BP= EP,連接 CP, .BPC 的邊 BP 和 EPC 的上 APB= / DPE邊 EP上的高相等，又; BP= EP,Sabpc= Saepc,彳PF±CD PG, BC 貝U BC= AB+ CD= DE+歸類探究CD= CE,由三角形面積公式得： PF= PG在CB上截取 CQ= DE= AB= a,則 Scqp= Sdep= Saabf), Sa bpl Sacqp-|- Saabf= Sacpe一 Sa dep-|- Sacqp 即：S 四邊形ABQP=

17、 S四邊形CDPQ BC= AB+ CD= a + b, BQ= b, .當BQ= b時，直線PQ將四邊形ABCD勺面積分成相等的兩部分考點呈現(xiàn)_ 考鼐B矩形【例1】(2014-棗莊)如圖，四邊形 ABCD的對角線 AC, BD交于點O,已知O是AC 的中點，AE= CF, DF/ BE.(1)求證： BO國 ADOF41(2)若OD= 'AC,則四邊形ABCD什么特殊四邊形？請證明你的結論.DCAB證明：(1) -. DF/ BE, / FDO= /EBQ / DFO= / BEQ ; O為 AC 的中點，即 OA= OC 2FDO= / EBO又.二£= CF,OA- A

18、E= OC- CF,即 OE= OF,在 BOE 和 ADOF 中，i Z DFO= / BEQ ，oe= OF,BO監(jiān) DOF(AAS _1(2)若OD= 'AC則四邊形 ABC虛矩形，理由為：. BO陵ADOFOB= OD，OA=OB= OC= OD 即 BD= AC, .四邊形 ABCM矩形【點評】利用平行線的相關性質找到對應角相等，再結合已知條件來證三角形的全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了對角線的判定方法，有時會比邊與角更直接簡便.對應訓噓 三'后疝由察二這三二：1. (2013 聊城)如圖，四邊形 ABCDK / A= Z BCD= 90° , BC

19、= CD, CEL AD,垂足為E.求證：AE= CE.證明：過點 B作 BHCE于 F,CE1 AR，/ 計 / DCE= 90° , / BCD= 90° , . /t BCF= / D,BCR Z DCE= 90° ,BCF= / D,在 ABCF 和 CDE 中，/ CED- Z BFC= 90° , .BCFBC= CD/CDEAA$, BF= CE,又一/ A= 90° , CE± AD BF± CE .四邊形 AEFB是矩形, AE = BF, .1. AE= CE考點吩菱形【例2】（2013-黃岡）如圖，四邊

20、形 ABC皿菱形，對角線 AC, BD相交于點Q DHU AB于 H,連接 QH 求證：/ DHQ= / DCQ.DB證明：.四邊形 ABC虛菱形，0& QB /CQ氏 90° , / DH1 AB, . O+ QB./OHB = /QBH 又AB/ CD -/ QBH= / ODC 在 RtACQD, Z QDCF Z DCQ= 90° ,在 RtA DHB 中，/ DHO- /OHB= 90° , . DHQ= / DCQ【點評】 本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質， 以及等角的余角相等， 熟記各性質并

21、理清圖中角度的關系是解題的關 鍵.對應訓練匚3n4畝'2. （2014 廈門）如圖，在四邊形 ABC邛,AD/ BC, AML BC垂足為 M, AN DC垂足 為N,若/BAD- /BCD A隹AN,求證：四邊形 ABCD菱形.證明：AD/ BC .1 / B+ /BAD- 180° , / D+ Z C= 180° , / BAD- /BCD，/ B = /D, .四邊形 ABC比平行四邊形，.AML BC ANL DC / AMB= ZAND- 90° ,在 ABM 和ADN中，B= ZD,4/AMB= /AN由 90° , .ABM AD

22、N（AA$ ,，AB= AD, .四邊形 ABC比菱形AMh AN考點&正方形【例3】（2013-畢節(jié)）如圖，四邊形 ABC皿正方形，E, F分別是DC CB的延長線 上的點，且 DE= BF,連接 AE, AF, EF.（1）求證： AD9 AABF（2）填空： ABF可以由 ADE繞旋轉中心 A點,按順時針方向旋轉90度得到:若BC= 8, DE= 6,求4AEF的面積.D 證明：四邊形 ABC比正方形，AA AB, /D-/ABG= 90° ,而F是CB的延長2B= AD,線上的點，/ ABF= 90° , ADE 和 4ABF 中/ ABF= Z ADE .

23、ADM ABF(SAS、BF= DE,(2) A； 90 解析：.AD且 AABF. / BAF= / DAE 而 / DA4 / EAB= 90° ,/ BAF+ZEAB= 90° ,即/ FAE= 90° ,. ABF可以由 ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉 90度得到，故答案為:A, 90(3)解：BG= 8, ，AD= 8,在 RtADE中，DE= 6, AD= 8, . AE= .AD+ dE =10, ABF可以由 ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉 90度得到，AE= AF, / EAF= 90° ,1 2 1.AEF 的面積

24、=2AE" = 2>< 100= 50【點評】 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質，它們之間既有聯(lián) 系又有區(qū)別，其各自的性質和判定是中考的熱點.對應訓崎匚琳訐關畝軍二'三：3. (2014 揚州)如圖，已知 RDABC中，/ ABC= 90° ,先把 ABC繞點B順時針旋轉 90°至4DBE后，再把 ABC沿射線平移至 FEG DE, FG相交于點 H.(1)判斷線段DE FG的位置關系，并說明理由；(2)連接CG求證：四邊形 CBEG正方形.CA B F E解：(1)FG，ED.理由如下：ABC繞點B順時針旋轉90°

25、至ADBE后,. / DEB= / ACB.把 ABC 沿射線平移至 FEG / GFE= /A, / ABC= 90° ,/ A+ Z ACB= 90° ,DC G/DEB+ Z GFE= 90° , . . / FHE= 90° ,. FG± ED(2)證明：根據(jù)旋轉和平移可得/EB, / BCO /CB9 180。, / 形CBE端正方形A B F EGEF= 90° , Z CBE= 90° , CG/ EB, CB= BE, CG/BCG= 90° ,四邊形 BCGE矩形，: CB= BE,四邊考西特殊平

26、行四邊形綜合題【例4】(2014 牡丹江)如圖，在RtABC中，ZACB= 90° ,過點C的直線 MN/ AB,D為AB邊上一點，過點 D作DHBG交直線 MNF E,垂足為F,連接CD BE.求證：CE= AD(2)當D在AB中點時，四邊形 BEC虛什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為AB中點，則當/A的大小滿足什么條件時，四邊形BEC皿正方形？請說明你的理由.M C E (1)證明：.DEL BC / DFB= 90° , / ACB= 90° , / ACB= /DFB AC/ DE, MN/ AB,即CE/ AD，四邊形 ADE%平行四邊形，CE=

27、 AD (2)解：四邊形 BEC虛菱 形，理由是：為 AB中點，. AD= BD,CE= AD,. BD= CE, / BD/ CE .四邊形 BECD是平行四邊形，/ACB= 90° , D為AB中點，CD= BD二.四邊形BEC皿菱形 (3)當/A = 45° 時，四邊形 BEC比正方形，理由是：ACB= 90° , / A= 45° ,/ ABC= / A= 45° , AC= BC, . D 為 BA中點，. CDL AB, . / CDB= 90° , 四邊形 BEC皿菱形， 四邊形BECD正方形，即當/ A= 45

28、6;時，四邊形 BECD正方形【點評】在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認真審題， 通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法.不寸應訓練 定荷*'二A M;：4. (2014 隨州)如圖，在矩形 ABC邛，M, N分別是邊AD, BC的中點，E, F分別是線 段BM CM勺中點.(1)求證： AB陣 ADCMAMD(2)填空：當AB： AD=1 ： 2 時,四邊形 MENE正方形.B N C(1)證明：四邊形 ABC比矩形,AB= DC / A= /D= 90° , < M為AD的中點，AM= DM 在 ABMA DCM中 < / A= / D, /. AB陣 DCM$ASAB= DC(2)1 ：2 解析：當AB： AD= 1： 2時，四邊形 MEN陛正方形，理由是：:AB： AD= 1 ： 2, AM= DM AB= CD AB= AM= DM= DC