1、專題04估算法方法探究估算法一般包括范圍估算，極端值估算和推理估算，是一種快速解決數(shù)學問題的方法，也是一種高效率得出正確結(jié)論的捷徑. .對于高考數(shù)學某些問題，當我們沒有合適的解題思路或正面解析比較麻煩，特別又是針對選擇題時，不必進行準確的計算，我們可以通過適當?shù)胤糯蠡蚩s小部分數(shù)據(jù)估算出答案的大概范圍或者近似值，也可以通過對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓烙嫞隳茏鞒稣_的判斷，這就是估算法.當然，這有時也適合用在填空題中，比如比較大小時 估算法往往可以減少運算量，但是加強了思維的層次，所以我們要學會靈活運用 而對于選擇題，實在沒思路時，又不需要解題過程，我們用這種方法還是能很大程度上提高我們的

2、得分率的，比如，求某個圖形的面積或體積，當選項差距比較大時，我們只需通過計算一部分比較好計算或自己熟練掌握的，就可以通過比較各選項得出正確結(jié)論經(jīng)典示例iif 3 f 4口3【例1】（范圍估算） 已知a = ,b = ,c = ln-，則這三個數(shù)從大到小的順序是.15丿13丿5【答案】a b cAYJ心屮4占3【解折】口七J f卩七J則這三個數(shù)從犬到小的順序是abc,故答案為abc【方法點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題 解答比較大小問題時，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間（皿,0）,（0,1）,（1,畑）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性

3、直接解答 . .數(shù)值比較多的比較大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用【備考警示】本題屬于高考的常考題型，而這種用估算范圍的方法進行比較，也是我們常用的快捷方法，需要大家熟練掌握 xx【例 2 2】（極端值估算） 函數(shù)f x0的圖象大致為x2【答案】B Bi Q-i _ i ni【解析】易知TOO的定義域為（TOQUQM）,且/x-“ =n :”心杲奇函數(shù),X圖象關(guān)于原點對稱，排除山又當x0時疔1103.丁匕）6排除 6 當鼻畑時/ 排除 U 故選 0【名師點睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1 1 ）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2 2 ）從函數(shù)的單調(diào)性

4、，判斷圖象的變化趨勢；（3 3 ）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4 4）從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象 . .【備考警示】當函數(shù)在某一點處沒有定義或趨于無限時，可估算一下函數(shù)值的范圍，從而得出函數(shù)圖象的大致范圍，此類問題屬于常見題型，需要熟練掌握xM【例 3 3】（數(shù)值估算） 已知實數(shù)x, y滿足條件*yro，則目標函數(shù)z = x + y從最小值連續(xù)變化到 1 1 時,y-x0表示的可行域，如圖，平移直線y = -X + Z，從經(jīng)過點A，到與直線BC重合，目y x蘭2標函數(shù)z二x y從最小值連續(xù)變化到1，滿足條件的點x,y構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為四邊形ABCO. .C.C.2 23【答

5、案】A AI解析】方法一：易得ABC勺面積為2而三棱錐的高一定小于球的直徑2,方法一：直接計算出面積為S四邊形ABCO方法二：四邊形ABCO的面積是厶 OADOAD 去掉一個小直角三角形，陰影部分面積比1 11 1 大，比& OAH寸寸2 2X2=2 2 小，故選 C C 項.【方法點晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題. .求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1 1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）（2 2 ）找到目優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）;（3 3 ）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最

6、值【備考警示】特別是像這種求面積需要求幾部分的和的時候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下選出正確答案 【例 4 4】（推理估算） 已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為 1 1 的正三角形,SC為球O的直徑，且SC=2.2.則此棱錐的體積是B.B.36,故選 A A.4所以V :：1323，觀察選項可排除 B B, C,C, D,D,故選 A.A.346方法二：易得的外接圓的半徑為F = f ,球0的半徑 I 所臥點0對平面ABC的距離為d =二7 =,由SC為球。的直徑，可得點S到平面ABC的距離為2& =込,故此棱錐的體積33為 = -xX =3

7、3436【備考警示】方法一明顯要比方法二簡單快捷的多 熟練掌握此類方法也是很有必要的 拓展變式仁已知a =O.30.3,b =1.20.3,c HogOl，則a,b,c的大小關(guān)系為A. c : a : bB. c b：aC. a : b : cD. a : c : b【答案】A A0 30 3【解析】因為a=0.3：0,1,b =1.2.1,c = logi.203：0，所以c：a：b，故選A.【名師點睛】該題考查的是有關(guān)指數(shù)幕和對數(shù)值的比較大小的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍，借助于中介值來完成任務(wù)2 2 如圖，把周長為1的圓的圓心C放在y軸上，

8、點A 0,1在圓上，一動點M從A開始逆時針繞圓運動一周，記弧AM二x，直線AM與x軸交于點N t,0，則函數(shù)t二f X的圖象大致為45A A.6【答案】D D【解析】士從宀并并且單調(diào)遞增:當戒卩叫從宀 g 并且單調(diào)跑脫排除A.C選項，故選D-3EF/ AB EF= ,EF與面ABCD距離為22 2，則該多面體的體積為【答案】D D各選項可知選 D.D.【名師點睛】本題當然也可以通過分割或補形的方法轉(zhuǎn)化成常規(guī)幾何體進行計算可得，但遠不如上述方 法來的簡單 終極押題、選擇題1 1 設(shè)集合A二x | y二ln（6 xx2）, ,B =2,0,4, ,則ADB二A A.2,0,4B. 2,0C. 2,

9、0,1D. 2,1【答案】B BD.3 3.如圖，在多面體ABCDF中，已知面ABC是邊長為 3 3 的正方形,A A.C.C. 6 6B B. 5 5D.152【解析】 依題意可計算VE山BCDS四邊形ABCD而V多面體ABCDFEVE JBCD= =6，觀祭7【解析】由題意，知6 x -x2 0即(x 2)( x 3)：0，解得_2：x：3，所以A=x丨-2：x：3, ,又B二2,0,4, ,所以Ap|B =2,0. .故選 B.B.102 2 已知復(fù)數(shù)z滿足z(1 i)4，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于2i 1A A.第一象限C.C.第三象限【答案】B B【解析】由z(l + i) =

10、-4可得z=- = -5+i,在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)乙對應(yīng)的點為2i-l (21-lXl+i)1 +i(-5.D,位于第二象限.故選B3 3.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2,3), B(3,5), C(-1,2)，則向量CA與CB的夾角的余弦值為A A.遠B.B.衛(wèi)1010C.C.D.D.宜55CCB=L4_13=回，故選 B.B.|CA|CB| 0 5104 4.某班 5050 名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?1313 秒與 1919 秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組： 第一組，成績大于等于 1313 秒且小于 1414 秒；第二組，成績大于等于1414 秒且小于 1515 秒；第

11、六組，成績大于等于 1818 秒且小于等于 1919 秒.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于1717秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x，成績大于等于 1515 秒且小于 1717 秒的學生人數(shù)為y，則從頻率B.B.第二象限D(zhuǎn).D.第四象限【答案】B B【解析】 依題意,CA = (3,1),CB =(4,3),故CA,CB的夾角的余弦值為,CB8分布直方圖中可以分析出x和y分別為92 2 2a =2m,b =3m,c =4m，所以由余弦定理得cos B =4m 16m 9m 112 2m 4m，故選 D.D.166 6 執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的結(jié)果為A A. 9 9C.C

12、. 2727D.D. 3636【答案】C C【答案】【解析】由于成績?nèi)诘扔?7秒的頻0.06 + 0.04=04 ,所以成績丿卜于口秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為09由于犧大于等于15秒且小于17秒的頻率0.36+034 =0.7,所嘆學生人數(shù)為0.7 x 50= 35 B.5 5 .在ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若3sin A = 2sin B,4b = 3c，貝U cosB =B.B.C. 316【答案】D DA A. 0.90.9 , 4545B.B. 0.90.9 , 3535C.C. 0.10.1 , 3535D.D. 0.10.1 , 4545D.D.11

13、16【解析】因為3sin A =2sin B，所以由正弦定理得3a =2b，又因為4b=3c，所以6a =4b=3c，令B.B. 181810【解析】執(zhí)行程序框虱k=LS=l?滿足* |呃兀1+xX用可化為lg兀+兀之朋則m(gx+x)KVl=1 5當Ocxcl時,|1昌兀|+兀工戰(zhàn)可化為眩兀+兀二刑,即1g3C-x + m 0恒成立f(x)=gx-x + mf0 xl；則/() = -!+,易知當咻時，函數(shù)/WW極大值，也X是最大值故/W.3I = /Ose)=me + JgOge) 0,即mge-1e)ge).因為Ige-lg(lg=】月二=1g(e lD10)lgl0 = l,所咲實數(shù)m

14、的取值范圍為(-Jge-1 g0g e), lge故選B.二、填空題1313已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若 S)S)=99,a?=17，則數(shù)列&的公差為 【答案】3 3O _ O【解析】依題意，S)=99=9比=99= a5=11，而a?=17,故數(shù)列an的公差為-=3.7-51414已知f x =xg x是定義在 R R 上的偶函數(shù)，當X _0時，g x=2a，則不等式g (x1)3的解集是_ ._【答案】(-：,3【解析】由f x =xg x是定義在 R R 上的偶函數(shù)得y=g x為奇函數(shù)，當x=0時，g 0=20a=0,所以a=1，則令g x=2x1=3得x =2,所以g

15、2 =3，所以g (x1)3等價于g(x1) g 2,又當x _0時，g x=2x1為增函數(shù)，所以當x，R時，y =g x為增函數(shù)，所以x 1 2，解 得x 3，所以不等式的解集為(-：,3. .x y-2,x亠3v1515.已知實數(shù)x, y滿足約束條件 丿yWx+1,則- 的取值范圍為y2x +V-K-1蘭0,4【答案】-,23+31+3 6 + 3，55【解析】依題意， 乞創(chuàng)x x= =-x3 - 作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下2x + y2顯沁2 + $xxx14圖陰影部分所示(含邊界) 15【答案】y2=4x【解析】由+3tanZMON = 0OMONsin ZM0N+ -=o即COSZA/OJV(| OM | ON +- -一sin ZMON = 0 ,由題意可扣siuZMCWh 0,cosZMON所OMON+-=0, gpl OM | ON I cosZA/DV = -3?0Mcos AMON12=一3,即頁7顧=一3設(shè)”（対$）3030,則坷花 +W廠3又週二呂巧二務(wù)，所2p2p以學字+乃乃二一