1、SCIbird 博士數(shù)學(xué)論壇原創(chuàng)論壇上朋友們的請求,說說我自己的數(shù)分學(xué)習(xí)經(jīng)歷和心得,以供大家參考.首先聲明:世上沒有萬能的方法,任何一種方法都有其局限性和適用范圍,所以對SCIbird說的話要辯證的看,取其精華.類似的,如果你在某本書里看到類似"放之四海皆真理的話"那么你基本可以考慮把這本書扔到垃圾桶里了.正如題目所寫的,本文講述的是"如何提高自身數(shù)學(xué)分析水平"也就是說,本文是針對已經(jīng)學(xué)過數(shù)分,但苦于數(shù)分水平提高緩慢的朋友們的.一點(diǎn)個(gè)人心得,希望能給需要幫助的人指引下方向.說是對數(shù)分的,但其實(shí)對其它數(shù)學(xué)科目也有參考意義.只是我對分析比較熟悉,故舉的例子多

2、是分析方面的.首先,我們要端正一個(gè)態(tài)度,即對于一個(gè)定理或一個(gè)問題,我們不應(yīng)該用做考試題的態(tài)度來對待,而應(yīng)該用研究數(shù)學(xué)問題的態(tài)度來對待.盡量挖掘出新的東西,而不局限于問題中的結(jié)論本身.具體說來,如下:研究問題,籠統(tǒng)說多是關(guān)于存在性,唯一性,條件充不充分,必不必要,有無充要條件等等.這些泛泛的說法大家也許都知道,也有道理,不過就是不知道具體該怎樣做.下面我就詳細(xì)說下這些年自己的心得體會,以供參考.1. 以幾何直觀做啟發(fā),大膽想象,嚴(yán)密論證.分析界目前有這種不好的傾向,認(rèn)為幾何直觀不嚴(yán)密,于是排斥幾何直觀而代之以抽象的分析論證,有的書上甚至一張圖都沒有.誠然,大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)是高度抽象性,而且?guī)缀?/p>

3、直觀確實(shí)不能代替嚴(yán)密的證明.但一味的強(qiáng)調(diào)抽象性,容易迷失方向,尤其是初學(xué)者,往往一頭霧水,不知所云.其實(shí),幾何直觀對許多分析定理有啟發(fā)作用.很多定理可以從幾何直觀中觀察出來,加以提煉,最后嚴(yán)格證明而上升為定理.舉個(gè)例子:考慮費(fèi)馬引理,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0.幾何直觀上,一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的切線應(yīng)該是水平的,而且似乎不一定要求導(dǎo)函數(shù)連續(xù),然后通過分析嚴(yán)格證明我們的猜想.但是,問題就結(jié)束了嗎? 我們能不能走的遠(yuǎn)點(diǎn),上面說可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0,那么我們可以問導(dǎo)數(shù)為0是否就是極值點(diǎn)?什么時(shí)候有極值點(diǎn)? 前一個(gè)問題是否定的,導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)未必就是極值點(diǎn). 至于后一個(gè)問題,條件可能不止一個(gè).其中

4、有一個(gè)比較特殊,我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值.而對于非常數(shù)函數(shù),如果最值在區(qū)間內(nèi)部取得,它也是極值,如果f可導(dǎo),則f'(x0)=0.于是我們轉(zhuǎn)到什么時(shí)候可以有內(nèi)部最值(也是極值).一個(gè)條件是非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的兩端點(diǎn)相等,則區(qū)間內(nèi)部必有最值點(diǎn),因而有內(nèi)點(diǎn)x0滿足f'(x0)=0,于是就有了羅爾定理.我們又問了,這個(gè)條件必要嗎?可以舉出反例,這說明羅爾定理的條件只是充分條件. 類似的幾何直觀還很多,比如把圖象旋轉(zhuǎn)一下,羅爾定理就變成了拉格朗日定理,如果用參數(shù)形式表示拉格朗日定理,則就變成了柯西定理.當(dāng)然,以上只是從幾何直觀做出的猜想,接下來必須嚴(yán)格的給予證明.2. 可

5、以從多角度思考問題.我們解決了一個(gè)好的問題后,不必立刻走開.可以再挖掘一下,看有沒有新的發(fā)現(xiàn)比如我把條件和結(jié)論對調(diào)一下,結(jié)論還成立嗎?原題條件是P1,我換個(gè)條件P2,結(jié)論還成立嗎? 或者說,若不滿足條件P1,結(jié)論還成立嗎?原問題條件太苛刻了,我削弱一下條件,結(jié)論成立否.原問題是3維的,換成n維情況還成立嗎? 原問題要求函數(shù)f連續(xù),我換成Riemann可積后,結(jié)論如何? 或者說原問題是與三角函數(shù)(涉及周期性)有關(guān),我換成一般的周期函數(shù)后,結(jié)論如何? 或者說原命題是否有推廣的可能.舉兩個(gè)例子,比如關(guān)于積分號下取極限(or積分運(yùn)算與極限過程互換),通常要求是一致收斂.但一致收斂這個(gè)條件太強(qiáng)了,能否換

6、成更一般的條件.于是阿爾澤拉定理就出現(xiàn)了,其用一致有界和點(diǎn)態(tài)收斂條件來替換一致收斂.(可參考南開數(shù)學(xué)分析or謝惠民的書or微積分學(xué)教程)所謂阿爾澤拉定理(也稱為Riemann積分理論中的控制收斂定理)是如下形式:所謂一致有界,即存在正數(shù)M>0,使得任取n,xa,b有|fn(x)|<=M.阿爾澤拉定理斷言只需要可積函數(shù)列fn(x)點(diǎn)點(diǎn)收斂,即fn(x)f(x),和一致有界,及f(x)Riemann可積,便能推出 lim a,bfn(x)dx = a,bf(x)dx (極限運(yùn)算與積分運(yùn)算交順序)熟悉Lebesgue積分的朋友們會發(fā)現(xiàn),此定理就是實(shí)變中Lebesgue控制收斂定理的特例.

7、相比之下多出的條件是要求"f(x)Riemann可積",這是因?yàn)闃O限函數(shù)未必是Riemann可積的.這一要求在Lebesgue積分理論中可以去掉,因?yàn)榭蓽y函數(shù)的極限也是可測函數(shù).(這從某個(gè)角度表現(xiàn)了L積分相對于R積分的優(yōu)越性).其實(shí)從實(shí)變角度考察數(shù)分會有新的收獲的,比如:揭示點(diǎn)態(tài)收斂與一致收斂之間關(guān)系的葉果洛夫定理.另一個(gè)例子,我想舉下傅立葉級數(shù)理論中的Riemann引理,即傅立葉系數(shù)趨于0的推廣形式, 為f(x)sin(x)dx=0,當(dāng)時(shí). 我們可以猜想,如果我們用更一般的周期函數(shù)g(x)來代替sinx,結(jié)果如何,即a,bf(x)g(x)dx 1/T 0,Tg(x)dxa

8、,bf(x)dx (T為g(x)的周期)這就是后來稱為Riemann-Lebesgue引理的東西.08年北大的第9題考察的就是這個(gè)推廣后的Riemann-Lebesgue引理.(簡單情況可以取=n)其實(shí),傅立葉級數(shù)有許多精彩的理論,大家可以嘗試用一般的周期函數(shù)代替三角函數(shù)推廣下.(這種推廣不一定都行的通,只是提供一種可能的思路)我這個(gè)帖子是談如何提高數(shù)學(xué)修為的,而不是針對考研的(雖然考研的朋友們可以借鑒),這個(gè)帖子只是給考研人一個(gè)參考而已.坦白說,研究數(shù)學(xué)與考研經(jīng)常是矛盾的,這也是不少高手或老師不屑考研的一個(gè)原因.關(guān)于考研,我在局外人看北大那個(gè)帖子里談了我的看法(那個(gè)是針對考研的).另外,提高

9、數(shù)學(xué)水平確實(shí)費(fèi)時(shí)間,數(shù)學(xué)王國無皇家大道.除非你在數(shù)學(xué)方面天賦異稟,否則還是自己多花些功夫?yàn)楹?我自己覺得我在微積分方面是個(gè)數(shù)分先天者了,但我今天的數(shù)學(xué)修為也是苦修來的.比如說,我經(jīng)?？吹接械娜吮г箯堉蠋煂懙?lt;數(shù)學(xué)分析新講>太難了,后來我都懶的回帖爭論了.我大二買的"新講",前后反反復(fù)復(fù)看了能有20遍,雖然不是每次都仔細(xì)研讀吧,但有幾人像我這樣.我對新講中的定理具體在哪塊(甚至頁碼)已經(jīng)十分熟悉了,就差把這套書背下來了.我覺得任何人只要把一本數(shù)分書看上20遍,就不怕水平不提高.我的信條是:重復(fù)是記憶的最佳方法,熟能生巧.倘若不是我把新講看上20遍,現(xiàn)在的SCI

10、bird的數(shù)分水平仍然是個(gè)半吊子,看北大的題仍然覺得是看天書. 我是自學(xué)數(shù)分的,從沒受過哪個(gè)人指導(dǎo),與數(shù)學(xué)系出身的相比是走了不少冤枉路,浪費(fèi)了不少時(shí)間.但我從不后悔看新講那20遍,沒那20遍我就不能打下扎實(shí)的基礎(chǔ),就不可能在2個(gè)月內(nèi)利用業(yè)余時(shí)間自學(xué)完了實(shí)變函數(shù).看過我寫過的試題證明的朋友們,會覺得我寫的筆墨比較多,但還算比較通俗,而且使用的方法也很樸素(以致于被一些朋友認(rèn)為方法俗套,sigh!).這是因?yàn)?quot;新講"對我的風(fēng)格影響很大,說實(shí)話,以前的我風(fēng)格與現(xiàn)在完全相反.講一段真實(shí)的故事:高中時(shí)代的我搞過奧賽,那時(shí)的我崇尚證明的華麗和玄乎,喜歡玩技巧!-我稱之為浪漫主義風(fēng)格.對

11、一些很樸實(shí)的方法,反到認(rèn)為羅唆和水平低.常以擅長華麗的技巧和高深的理論(相對高中來說,主要是競賽方面)而自居,重證明,輕計(jì)算.其直接后果是高考數(shù)學(xué)考的一塌糊涂.上了大學(xué)后,尤其是看了張筑生老師的<新講>后我的認(rèn)識有了改變:證明簡潔不代表深刻, 證明技巧性很強(qiáng)因而短,不代表具有一般性.寫的少,未必就是一個(gè)好的證明. 而現(xiàn)在的我有點(diǎn)"重劍無鋒"的味道了,呵呵,這與新講的風(fēng)格很相近.至于挖掘新東西費(fèi)時(shí)間,這是正常的,等你念研究生就能深刻體會到了.屬于自己的東西才能理解的更深刻.發(fā)現(xiàn)的結(jié)果與前人撞車不要緊,可以這樣YY:當(dāng)年Newton,Gauss,Euler也發(fā)現(xiàn)過,

12、我和他們當(dāng)年一樣.而且一段時(shí)間以后發(fā)覺自己連親自發(fā)掘的東西都記不清了的時(shí)候，真是好郁悶-你缺乏總結(jié), 很多人不喜歡歸納總結(jié)甚至鄙視歸納總結(jié),這是不對的.當(dāng)你歸納總結(jié)知識(不論是別人的還是自己的)后,你會有一個(gè)整體的認(rèn)識.一味的做題而不總結(jié),每一次都是局部的,只見樹木不見森林,久而久之,反倒迷失了方向.最后,祝你和其他朋友們金榜題名!Bless All!越來越感到張筑生老師生前的話了,寫數(shù)學(xué)書不容易啊(寫數(shù)學(xué)文章何嘗不是呢).寫深了點(diǎn)兒,有的人覺得難;寫淺了點(diǎn)兒,有人覺得太簡單;寫專業(yè)點(diǎn)兒,版上有不少和我一樣本身不是數(shù)學(xué)專業(yè)的,看不懂;寫多了,有人覺得羅唆;寫少了,有人往往不知所云.要照顧到不同

13、層次讀者真是一件很困難的事情,確實(shí),讓別人明白自己在說啥是個(gè)難題!畢竟咱不是大師,不可能三言兩語就把問題說清楚,因此多說還是比少說不說好些.至于,舉例子,采取這樣的方式,我一般舉兩個(gè)例子,一個(gè)難的,一個(gè)簡單的.簡單的我盡量限制在數(shù)分范圍內(nèi),而且盡量舉比較容易理解的例子.由于例子是現(xiàn)想的,可能不是最恰當(dāng)?shù)?3. 勤動(dòng)手算,勤動(dòng)手推導(dǎo),在算例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.目前有一個(gè)糟糕的現(xiàn)象,工科的生偏愛計(jì)算,見到證明題就頭大;數(shù)學(xué)系的偏愛證明,對計(jì)算不屑.其結(jié)果是走兩個(gè)極端,工科的證明水平比較低,數(shù)學(xué)系的計(jì)算能力比較差.記得上研究生數(shù)值分析A時(shí),身邊一個(gè)mm抱怨老師"講那么多理論干嘛,只要告訴我怎么算就

14、行了",而且很理直氣壯,很強(qiáng)大.(聽的我直冒汗) . 又驚聞某實(shí)驗(yàn)班學(xué)數(shù)學(xué)分析,結(jié)果有的學(xué)生算個(gè)定積分做不出來.我覺得十分有必要扭轉(zhuǎn)這種不好的現(xiàn)象.證明和計(jì)算是統(tǒng)一的,而不應(yīng)該人為的割裂開.很多數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)或者證明確實(shí)是算出來的,即便將來打算搞基礎(chǔ)數(shù)學(xué),適當(dāng)加強(qiáng)自己計(jì)算能力也是有好處的.有些東西你不親自動(dòng)手算算,你是看不出規(guī)律的.你不積累,如何爆發(fā)!回顧歷史,許多大數(shù)學(xué)家都是擅長計(jì)算的,比如偶的偶像Gauss吧,后半輩子在搞天文.那時(shí)沒計(jì)算機(jī),基本靠手算.天文數(shù)字,很好算嗎? 不過后人整理Gauss的手稿時(shí),發(fā)現(xiàn)他很少有算錯(cuò)的.Gauss自己說過他當(dāng)初如何發(fā)現(xiàn)被后人稱為"

15、素?cái)?shù)定理"的東西,他說他當(dāng)時(shí)計(jì)算了3000000以內(nèi)(好像是這個(gè)數(shù),記不清了)的所有素?cái)?shù),然后猜出來的結(jié)果.素?cái)?shù)定理:記(x)表示不超過x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù),Gauss猜想 lim (x) / (x/ ln x) = 1.這個(gè)定理是漸進(jìn)(x+)意義下的,近似程度不是很高(不實(shí)用).我們一方面驚嘆Gauss驚人的洞察力的同時(shí),還需要看到:如果不是Gauss事先計(jì)算了大量的素?cái)?shù),他也不可能發(fā)現(xiàn)觀察出素?cái)?shù)分布頻率來.再舉個(gè)大家熟悉的例子,比如微分學(xué)中兩個(gè)函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式.這個(gè)公式證明不是很復(fù)雜,結(jié)論也不是很難記.不知大家有沒有算過?對uv求n階導(dǎo)數(shù)(uv)(n):首先,我們知道

16、(uv)'=u'v+uv',反復(fù)應(yīng)用這個(gè)公式就能求出任意階導(dǎo)數(shù).如果你有耐心,計(jì)算次數(shù)比較多(如3次,4次,5次.),合并結(jié)果中的同類項(xiàng)后,你會發(fā)現(xiàn)兩個(gè)規(guī)律.(1)各項(xiàng)系數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)(or楊輝三角);(2)u,v導(dǎo)數(shù)階數(shù)之和都為n. 如果你記憶力足夠好或高中學(xué)的扎實(shí),你會立刻發(fā)現(xiàn)這很像二項(xiàng)式展開式.so 你可以大膽的猜想結(jié)果是 (uv)(n)= C_nk u(k)v(n-k), C_nk為二項(xiàng)式系數(shù). 這就是后來的萊布尼茨的公式.然后你可以嘗試用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明它.并不是所有的數(shù)學(xué)定理都隱藏的很深,很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律.數(shù)學(xué)有時(shí)候也很簡單."我覺得跟你看張筑生的書

17、關(guān)系不大，主要還是你的數(shù)學(xué)水平提高了。"-呵呵,竟然有比我自己還了解自己的. 事實(shí)上,肯定與我自身水平提高有關(guān),因?yàn)槲艺f過數(shù)學(xué)是一個(gè)整體.新講對我的影響太大了,已經(jīng)滲透到我的方法,思想,甚至精神當(dāng)中了!因此我說新講對我的水平影響最大不為過.至于兩個(gè)月自學(xué)實(shí)變,是這樣的.我實(shí)變是奧運(yùn)期間自學(xué)的,學(xué)的不是特別深,也沒怎么做題.這里多說兩句,分享一些心得.當(dāng)初主要感覺從傳統(tǒng)角度學(xué)數(shù)分遇到了瓶頸,聽說實(shí)變從一種新的角度看微積分,而且很本質(zhì).當(dāng)時(shí)清華這邊有實(shí)變函數(shù)學(xué)實(shí)變之說,所以還是很小心的看的.也不指望一遍能看懂,因?yàn)槲覍Ψe分論那部分更感興趣,測度論簡單看看,記了下主要性質(zhì)就過去了.我多次在

18、文章中說過,數(shù)學(xué)是一個(gè)整體的,不同學(xué)科是相通的.就測度這塊吧,為啥研究它.最初是為了研究積分而自然提出的,a,bf(x)dx = ?結(jié)果是多少先不管,首先這個(gè)積分得有意義.從幾何上看積分的幾何直觀就是曲線與x軸所圍成的"曲邊梯形"的面積.于是就提出什么時(shí)候"有面積"? 于是我們必須先澄清"面積"這個(gè)概念,推廣面積就得到了測度.如果你數(shù)分學(xué)的比較好,應(yīng)該學(xué)過約當(dāng)測度,它初步探討了面積.在我看來,約當(dāng)測度是一種外測度和內(nèi)測度,Lebesgue測度的思想可以看成是約當(dāng)測度的推廣.既然是測度是面積的一種推廣,它就應(yīng)該有兼容性,即常見的規(guī)則圖形

19、長度,面積,體積結(jié)果都成立.比如:區(qū)間0,1長度為1,長方形面積為S=ab等等.Lebesgue要建立自己的理論,就要推廣約當(dāng)測度.我想最初大致思路是這樣的:1)承認(rèn)外測度和內(nèi)側(cè)度仍然有效;2)推廣外測度的可加性,由有限可加性到無限可加性,這種推廣為啥只到可數(shù)可加性呢? 這樣想,首先單點(diǎn)集的測度為0,若是不可數(shù)可加性,你就得到區(qū)間a,b的測度也為0,這與最初設(shè)計(jì)測度的兼容性想法相矛盾!于是無限只能到可數(shù)可加性為止.但這樣就OK了嗎? 如果你學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)多留心的話,你發(fā)現(xiàn)有的概念定義很怪,有的條件貌似很煩人.這多半是為了排除一些bt的反例而人為加上的.我們記約當(dāng)測度為J測度,Lebesgue測度為L

20、測度.J測度是用外壓和內(nèi)擠來定義的(外測度=內(nèi)測度),很類似達(dá)布上和與下和,這實(shí)際上是逼近的思想(數(shù)分的核心思想).但有一個(gè)問題,有的圖形它沒有內(nèi)部,你無法從內(nèi)部逼近.那只考慮外測度行不? 不行,因?yàn)橛蟹蠢?存在兩個(gè)不交的集合A,B.其并集的外測度不等于外測度之和,這與我們通常的認(rèn)識相違. 于是,退而求其次,即"改造"內(nèi)測度.我們定義點(diǎn)集E(含于區(qū)間a,b內(nèi))的外側(cè)度,考慮其覆蓋(一堆區(qū)間)面積的下確界,外測度記為m(E),這無論E有無內(nèi)部都能做到.在考慮E的相對補(bǔ)集Ec = a,b-E的外測度,內(nèi)測度定義為n(E) = (b-a)-m(Ec).當(dāng)m(E) = n(E)時(shí),

21、就稱E為Lebesgue可測的,其測度為公共值m(E).這說明內(nèi)測度是用外測度誘導(dǎo)出來的(間接調(diào)用外測度),一舉兩得.上面的關(guān)于外測度和內(nèi)測度引入思想還是比較自然的,關(guān)于lebesgue測度的那些基本性質(zhì)也很顯然.但是這些基本性質(zhì)的證明卻很晦澀.我采取的方式是承認(rèn)這些測度的基本性質(zhì)(會用),以后再補(bǔ)上證明.相當(dāng)于某種程度上避開了令初學(xué)者恐懼的測度論.接著說點(diǎn)Lebesgue積分理論心得吧.<可測函數(shù)>我們的目標(biāo)是研究積分,當(dāng)然要研究那些能"圍出"面積(測度)的積分了,這樣就自然走到了可測函數(shù)這塊.其實(shí),實(shí)變并不那么玄乎,關(guān)鍵在于你能否抓住主線.英國著名數(shù)學(xué)家Li

22、ttlewood曾經(jīng)提出了實(shí)變函數(shù)論中有名的"小木頭三原理", 直觀上,大致內(nèi)容如下:1) .測度與有限個(gè)區(qū)間的并集相差不多;(外測度定義,L測度是外測度的子集)2) .可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)相差不多;(魯津定理)3) .一致收斂與點(diǎn)點(diǎn)收斂相差不多.(葉果洛夫定理)注意,上面的三原理中"與"字右邊的都是數(shù)分中我們熟悉的東西.如果我們承認(rèn)這三個(gè)基本原理,確實(shí)實(shí)變中不少結(jié)論可由"小木頭三原理"推出來.其中最有用的恐怕要屬葉果洛夫定理了,因?yàn)閿?shù)分中關(guān)于一致收斂有很多結(jié)論的,而葉果洛夫定理中那個(gè)測度任意小的集合(不一致收斂的點(diǎn)的集合)在積分理論中

23、可以控制(積分值可以任意小).當(dāng)然可測函數(shù)這里還有其他的定理,就不多說了.<Lebesgue積分>這才是我最感興趣的地方.熟悉Riemann積分的知道,Riemann積分研究的函數(shù)變化不能太劇烈,連續(xù)性得比較好.我們研究Riemann積分是分定義域,而Lebesgue積分是分值域(以克服函數(shù)變化劇烈造成的困難).可是后者我們在效仿Riemann和時(shí)會發(fā)現(xiàn)y_i到y(tǒng)_i+1對應(yīng)的x的集合,可能不是一些區(qū)間,可能是一些點(diǎn)集,可能很復(fù)雜.幸虧我們有測度(可測集可以為一些點(diǎn)集),以前我們只能在區(qū)間上積分(or約當(dāng)可測集上),現(xiàn)在我們可以在L可測集上積分.當(dāng)然可能會有一些很bt的積分出現(xiàn),這

24、是數(shù)分中沒有的.Lebesgue積分的一個(gè)很NB的性質(zhì)是它與Riemann積分兼容,即凡是Riemann可積函數(shù)必Lebesgue可積,而且積分值相等.Lebesgue積分的好處不僅僅是擴(kuò)大了可積函數(shù)范圍,它放寬了許多極限條件.這可從Lebesgue控制收斂定理,列維定理,法圖定理等看出.有意思的是:Lebesgue控制收斂定理 對應(yīng)著數(shù)分中的 阿爾澤拉定理列維定理 對應(yīng)著數(shù)分中的 迪尼定理通過對比,即方便記憶,又加深了理解.至于后面的微分與不定積分可看作是數(shù)分的深化:我們常見的函數(shù)多數(shù)都能寫成分段單調(diào)形式,從實(shí)變角度通過對單調(diào)函數(shù)的研究,得到了許多深刻的結(jié)論.而對有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的

25、研究在某種程度上解決了許多微積分上的基本問題.如曲線可求長,NL公式的應(yīng)用等等.而L2理論可以與數(shù)分中Fourier級數(shù)理論緊密聯(lián)系,進(jìn)而有許多深刻的結(jié)論,如:L2中的Fourier級數(shù)幾乎處處收斂等,進(jìn)而連續(xù)函數(shù)的Fourier級數(shù)幾乎處處收斂.4.注重一題多解.與前面不同的是,這里我們不是從老問題中挖掘出新問題,而是考慮使用多種不同的方法來證明問題,或者說一題多解.在我看來:一種觀點(diǎn),一個(gè)概念,一種方法等,這都是數(shù)學(xué)思想.不同的方法體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想.我們每看到一種新的方法,都要學(xué)會從中吸收對自己有用的東西.這里我特別要提醒大家的是,對于一個(gè)問題,不要只看簡潔的方法,而方法長了,繁瑣了,

26、就不看了.要知道簡潔不代表深刻,有的方法很長,但可能是更一般或典型的方法,有的方法很短,但也許只針對這道題有效(有的競賽題就是這樣),不具有一般性.大數(shù)學(xué)家Gauss就特別重視一題多解,他一生中給出了代數(shù)基本定理的4個(gè)不同的證明,這四個(gè)證明風(fēng)格不同很有特色.我在論壇上發(fā)過"SCIbird搜集的分析中的幾個(gè)大問題"那帖子里給出了其中的兩個(gè).古語有云"溫故而知新",學(xué)數(shù)學(xué)不是模特走秀,一味的追求最新,趕時(shí)髦,弄不好就把自己變成空中樓閣.想想"大躍進(jìn)"的慘痛教訓(xùn)!數(shù)學(xué)中一些寶貴的思想是有傳承性的,她不會隨著時(shí)間而磨滅.一時(shí)的新穎,時(shí)髦,有可

27、能如煙花一般,短暫的絢麗過后,便是消亡.這里我想說下"維爾斯特拉斯"的那個(gè)有名的逼近定理:即閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可由多項(xiàng)式一致逼近.這一定理十分重要而有用,一般數(shù)分教材上都有,多數(shù)書上都轉(zhuǎn)引伯恩斯坦那個(gè)初等證明,他構(gòu)造了一個(gè)叫伯恩斯坦多項(xiàng)式的東西,然后證明它一致收斂于連續(xù)函數(shù).這一構(gòu)造性的證明十分巧妙,堪稱神來之筆!至于是如何想出來的,可參看托德的<函數(shù)構(gòu)造論導(dǎo)引>,或者是"SCIbird搜集的分析中的幾個(gè)大問題"這個(gè)帖子.不過<數(shù)學(xué)分析新講>第三冊里給出的另外兩個(gè)證明,也很巧妙!而且更深刻!其中一個(gè)證明思路是這樣的:先證明y=|x

28、|可由多項(xiàng)式一致逼近,再證明折線函數(shù)(|x|的某種變形和組合)可由多項(xiàng)式一致逼近,最后證明連續(xù)函數(shù)可由折線函數(shù)一致逼近,進(jìn)而證明了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可由多項(xiàng)式一致逼近. 思路清晰自然,而且體現(xiàn)了分析中的核心思想-逼近思想.事實(shí)上,分析中的許多定理,都是用簡單情形來逼近復(fù)雜情形這種思路來證明的.新講中還給出了,另外的一種證明-核函數(shù)法.看過Fourier級數(shù)收斂性證明的人應(yīng)該對于核函數(shù)法不陌生,那里討論Fourier級數(shù)前n項(xiàng)和時(shí),出現(xiàn)了一個(gè)叫狄利克雷核的東西(Dn(t),然后把Fourier級數(shù)前n項(xiàng)和化成一個(gè)積分,對收斂性只需討論n趨近于無窮時(shí)積分的變化.后面討論費(fèi)歇求和法時(shí)還出現(xiàn)了費(fèi)歇核.

29、學(xué)過數(shù)理方程的人也許還記得再求解Laplace方程時(shí),出現(xiàn)了泊松積分(泊松核).總之與核函數(shù)有關(guān)的積分核是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想.上面說的可能深了點(diǎn)兒, 再說個(gè)簡單的一題多解的例子吧.求極限!想想求極限的各種不同的方法.羅必達(dá)法則,施烏茲定理,泰勒展開,視作某冪級數(shù)的系數(shù)等等.這些方法每個(gè)都有其特點(diǎn),可以說是百家爭鳴!這些內(nèi)容初學(xué)數(shù)分的人未必都能再同一時(shí)間內(nèi)碰到,但你學(xué)完數(shù)分之后卻需要把這些零散的求極限方法整理歸納下,你會有一個(gè)全新的整體的認(rèn)識.5.重視練習(xí)自己的舉反例能力,平時(shí)多看些數(shù)學(xué)上有名的反例.為什么提出這一點(diǎn)呢? 因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.真正做研究時(shí),你碰到一個(gè)數(shù)學(xué)問題,你就

30、要考慮是證明它,還是構(gòu)造一個(gè)反例否定它.坦白說,舉反例是中國數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié),有的學(xué)生幾乎都沒有舉反例這個(gè)概念.因?yàn)槲覀兤匠６际亲鰟e人設(shè)計(jì)好的問題,而不是自己發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.當(dāng)你證明一個(gè)問題百思不得其解時(shí),你就應(yīng)該考慮是不是造一個(gè)反例否定它.不要以為這題是來自XX書后習(xí)題,或是XX大學(xué)真題,就一定正確.數(shù)學(xué)是拿證明說話的,不是看你是哪來的.關(guān)鍵時(shí)刻要膽子大些,數(shù)學(xué)證明才是終極法官!中國傳統(tǒng)的教育模式導(dǎo)致學(xué)生思維特點(diǎn)是方向單一,大家總愛從正面考慮問題,而構(gòu)造反例所采用的思維一般比較怪異.受傳統(tǒng)影響我們總覺得怪異的東西不好,甚至排擠它.但數(shù)學(xué)是不以我們的意志為轉(zhuǎn)移的,不論你覺得它怪異與否

31、,它確實(shí)是客觀存在的.寫到這我想把話題寫遠(yuǎn)一些,談?wù)剶?shù)學(xué)中的"怪招"!如果我們仔細(xì)分析過一些天才數(shù)學(xué)大師的證明,看過關(guān)于他們的一些成長故事,你會發(fā)現(xiàn)大師們的思維有一個(gè)特點(diǎn),那就是所謂的"不走尋常路!" 有一個(gè)關(guān)于Gauss的傳說,說他小時(shí)候上小學(xué),有一天老師不知什么原因很生氣,后果很嚴(yán)重.這位老師出了一道比較bt的算術(shù)題,1+2+3+99+100 = ? 這題如果不限時(shí)間的話,不是很難,就是數(shù)太多,而且中間容易算錯(cuò).一般人做此題就是,一項(xiàng)挨一項(xiàng)的硬算.如果你計(jì)算能力強(qiáng),還很有耐心,那么堅(jiān)持到底還是有希望的.但Gauss就獨(dú)辟蹊徑,他觀察到(就是倒排相加法

32、)1. 2 3 4 . 99 100100 99 98 97 . 2 1同一列之和都是101101 101 101 101 . 101 101總共有100個(gè),而且倒排后和不變, 這樣1+2+3+99+100 = 101×100÷2 = 5050.這種后來被稱之為"倒排相加法"的方法是求等差數(shù)列和的典型方法.我們還可以思維再發(fā)散下,用幾何方法來求解上面的算術(shù)問題.考慮下面的"階梯圖形",用"×"表示單位正方形.××××××××&

33、#215;×.×××.××其中第k層恰有k個(gè)單位正方形"×",共100層.容易看出1+2+3+99+100 = "×"的個(gè)數(shù) = 階梯圖形的面積. 從階梯圖形的左上角到右下角連一條主對角線,剛好把圖形分成一個(gè)大的等腰直角三角形和100個(gè)小的等腰直角三角形,而我們是知道等腰直角三角形的面積公式的,于是因?yàn)樵瓐D形被分割成了一個(gè)100×100的大等腰直角三角形,和100個(gè)1×1小等腰直角三角形.所以 1+2+3+99+100 = 階梯圖形面積 = 100

34、5;100÷2 + 1×1÷2×100 = 5050 !當(dāng)然,如果如果把階梯圖形看成一個(gè)殘缺的圖形,而假設(shè)把它的另一半補(bǔ)全(拼成一個(gè)矩形).這與Gauss那個(gè)倒排相加法本質(zhì)一樣.類似的思維方式還是很多的,比如"逆向思維",如司馬光砸缸的故事;"聯(lián)想思維",如上面那個(gè)階梯圖形的例子.要想學(xué)好數(shù)學(xué)必須使自己的思維活躍起來,這樣才能提高創(chuàng)造性.但切忌:不要把自己變成"詭辯論者"或"常有理".學(xué)數(shù)學(xué)不能圖一時(shí)口舌之快,那樣最終吃虧的還是你自己.上面說了半天似乎有點(diǎn)跑題了,還是回到反例

35、上來吧.其實(shí)反例能幫我們澄清許多似是而非的事情,加深我們對概念的理解,也從某種程度上促進(jìn)數(shù)學(xué)的完善.我為什么建議數(shù)學(xué)上有名的反例,因?yàn)檫@些反例不好想,而且我們在分析反例的過程中會學(xué)到新的思想,也多學(xué)一招.歷史上反例的一個(gè)經(jīng)典代表例子是維爾斯特拉斯構(gòu)造的那個(gè)處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù),此前大多數(shù)數(shù)學(xué)家相信連續(xù)函數(shù)在絕大部分點(diǎn)是可導(dǎo)的.后來人們利用泛函分析中的貝爾綱定理證明了處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)(第二綱集)比可導(dǎo)函數(shù)多的多,這又是一個(gè)令人驚奇的事情.數(shù)學(xué)總是充滿著驚奇!我們在驚訝的同時(shí)別忘了把他們的證明方法學(xué)來.順便說下,處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)f(x)也是一個(gè)無處單調(diào)的連續(xù)函數(shù).證明很簡單,反

36、證法假設(shè)f(x)在一個(gè)小區(qū)間上單調(diào),而由實(shí)變函數(shù)中的Lebesgue定理知"單調(diào)函數(shù)是幾乎處處可導(dǎo)的",這就產(chǎn)生了矛盾! 事實(shí)上,有人估計(jì)人們之所以認(rèn)為續(xù)函數(shù)在絕大部分點(diǎn)是可導(dǎo)的,多半受直觀的誤導(dǎo),因?yàn)槿藗兺ǔＯ胂蟮暮瘮?shù)都是分段單調(diào)的.在分形幾何中有一種很漂亮的曲線叫"雪花曲線"(也稱科赫曲線),這條曲線也是處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的.有興趣的人可以在網(wǎng)上搜一搜.6.見多識廣,博覽百家之長!我見過這樣一些人學(xué)數(shù)學(xué),他們認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是玩技巧和拼智商.如果被某個(gè)問題卡住了,就認(rèn)為自己腦子不好使,沒想到"那個(gè)技巧"(真的是技巧的原因嗎?).從來不

37、肯承認(rèn)(包括潛意識的)問題不會可能因?yàn)樽约褐R的"貧乏".這樣的人學(xué)數(shù)學(xué),多半是閉門造車就著一本書不放手,其它參考書不去看.結(jié)果可能這樣,例如:我在我們學(xué)校數(shù)分考了90+(百分制),做北大題怎么連題都看不懂啊,150分最多也就能得到50分.于是類似北大題技巧性太強(qiáng)了這樣的抽象難度論就出現(xiàn)了.數(shù)學(xué)考試與數(shù)學(xué)研究的區(qū)別是,前者限制時(shí)間,比的是思維的敏捷.后者一般不限制時(shí)間,而且允許你查閱文獻(xiàn),比的是深刻!搞數(shù)學(xué)早已進(jìn)入"現(xiàn)代"了,不是武俠中那種不管外事,閉門修煉,單打獨(dú)斗的時(shí)代了.名校里講課,好的老師一般會挑一本適當(dāng)?shù)臅鳛榻滩?然后指定了若干本同類參考書,

38、并且告訴你如果想學(xué)好這一門課,只看教材是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.對每個(gè)人來說時(shí)間都是有限的,誰也不可能把每門課都精通了,能精通兩三門就不錯(cuò)了.大家仔細(xì)觀察一下會發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)高手的一個(gè)特點(diǎn)是見多識廣,不少大師都在數(shù)學(xué)的好幾個(gè)分支里有建樹,可謂全能型高手.學(xué)數(shù)學(xué)此路不通,可另尋別路.但前提是你知道的知識要多,比如你只會數(shù)學(xué)分析,那么你被一道分析難題卡住了,你就只能繼續(xù)用分析的方法試.對于高手,他可能會考慮代數(shù),幾何,拓?fù)涞确椒?在數(shù)學(xué)中,許多著名定理的解決往往是不同分支共同作用的結(jié)果.這里我想舉的20世紀(jì)數(shù)學(xué)中的一個(gè)大名鼎鼎的定理-Atiyah-Singer指標(biāo)定理.關(guān)于Atiyah-Singer指標(biāo)定理,用白

39、話說是:解析指標(biāo) = 拓?fù)渲笜?biāo).現(xiàn)在,定理本身有許多種表現(xiàn)形式,而且做了推廣.我所知道的一種比較原始的簡單形式如下:dim kerD - dim cokerD = _T*MCh(D)Td(M)- (*)這里M是一個(gè)緊致光滑的可定向黎曼流形, D是橢圓微分算子.(*)式左邊是解析指標(biāo)(學(xué)過泛函的應(yīng)該不會陌生,在Fredholm理論里定義過);(*)式右邊是拓?fù)渲笜?biāo),用上同調(diào)形式給出,很復(fù)雜.大意是說陳類與托德類作用,然后在余切從上做積分.Atiyah-Singer指標(biāo)定理把解析量與拓?fù)淞窟@兩個(gè)看起來毫不相干的東西聯(lián)系起來,而且該定理還能把其它的一些NB定理統(tǒng)一起來,做為它的特例.實(shí)際上Atiya

40、h-Singer指標(biāo)定理,告訴我們兩件事:1)解析指標(biāo)(與D有關(guān))是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?2)如何計(jì)算出解析指標(biāo).熟悉指標(biāo)定理的人可能知道,關(guān)于dim kerD - dim cokerD 與D的選取無關(guān)這一事實(shí)早就被蓋爾芳德所發(fā)現(xiàn),dim kerD 和 dim cokerD 單拿出來都與D有關(guān),但它們的差卻與D無關(guān),是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?這是一個(gè)驚人的結(jié)論!可是dim kerD 和 dim cokerD 形式上雖然簡單,但對一般的D卻很難算出來.蓋爾芳德雖然知道了dim kerD - dim cokerD 是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?但卻不知道具體怎么算出來.分析的道路看來是走不通了,那么是否可以從其它道路來解決

41、呢?可以!Atiyah后來給出了如何計(jì)算拓?fù)渲笜?biāo)的方法(一種情形可參看(*)式),證明了Atiyah-Singer指標(biāo)定理.回頭再看看(*)式,解析指標(biāo)雖然簡單,卻很難求出;拓?fù)渲笜?biāo)雖然復(fù)雜,卻能夠算出來.這也從哲學(xué)上引發(fā)我們的沉思.(當(dāng)然復(fù)雜是相對的,對數(shù)學(xué)家來講,計(jì)算拓?fù)渲笜?biāo)不是難事.)這件事給我們的啟迪是,要解決一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的難題,僅有本領(lǐng)域的知識是不夠的,見多識廣,才能獨(dú)辟蹊徑,柳暗花明!關(guān)于指標(biāo)定理有一個(gè)兒童版的特殊形式,比較容易理解.設(shè)V,W是兩個(gè)有限維的線性空間,D:V -> W是線性算子,則指標(biāo)定理可以寫成:dim kerD - dim cokerD = dimV - di

42、mW7. 學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該包括數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)證明兩部分!如標(biāo)題所言,這是我長久以來我的一貫觀點(diǎn).這也是我在各種場合強(qiáng)烈推薦張筑生老師的<數(shù)學(xué)分析新講>的緣由. 我不指望數(shù)學(xué)書能把所有定理如何發(fā)現(xiàn)都寫出來,但至少應(yīng)該盡可能多些一些吧.因?yàn)閿?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是數(shù)學(xué)的重要組成部分!我個(gè)人認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)其實(shí)應(yīng)該包括兩部分,即數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)證明. 不過可惜的是目前的教材多以嚴(yán)密性為理由,把數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)給丟掉了.其結(jié)果是教材很可能寫成這個(gè)樣子:定義1,定義2,證明1,證明2,例題1,定義3,定義4,我稱之為字典式寫法.這樣寫從數(shù)學(xué)邏輯上講沒問題,很嚴(yán)密. 但是,寫書面向的對象是人,多數(shù)是初學(xué)者,字典式的形式化寫法后

43、果多半是一頭霧水,看了半天不知所云.結(jié)果很可能對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼,反感,甚至厭惡.眾所周知,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到了大學(xué)階段,如果一個(gè)人對數(shù)學(xué)沒有興趣甚至排斥數(shù)學(xué),那么他幾乎是不可能學(xué)好數(shù)學(xué)的.很多人學(xué)了很多人數(shù)學(xué),卻發(fā)現(xiàn)自己只會做別人設(shè)計(jì)好的題.到了自己研究數(shù)學(xué)時(shí),不會發(fā)現(xiàn)問題,感到很迷茫.沒思路,沒方向,沒靈感等等. 結(jié)果多半慨嘆自己數(shù)學(xué)天資太差,IQ太低.說實(shí)話,除了極少數(shù)天才外,人與人的智商真的差距那么大嗎? 同一個(gè)家族,彼此之間血緣很近,智商應(yīng)該差不多吧.可數(shù)學(xué)水平差距可不是一個(gè)量級的.就SCIbird自己來說吧,在現(xiàn)在他的家族中,他不是最聰明的.但我父親那邊和我母親那邊的親戚中沒有一個(gè)人數(shù)學(xué)水平及

44、的上我的.而且我從初中在數(shù)學(xué)上就確立了遙遙領(lǐng)先的優(yōu)勢.我從來不認(rèn)為這個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)勢是天生的.我總結(jié)了自己的經(jīng)驗(yàn):勤奮+態(tài)度+方法.首先是勤奮,如果說是天才是天生的,我們無法改變.那么勤奮卻可以改變.其次是態(tài)度,低調(diào),虛心,進(jìn)取.不要貪一時(shí)口舌之快,而自命不凡.學(xué)數(shù)學(xué)想提高水平,"自命不凡"要不得.與其在口舌上討便宜,不如坐下來多看看書.方法,那可能話就長了.我只說一條:學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該包括數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)證明兩部分.下面我就談?wù)剶?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn):見過一些數(shù)學(xué)系的和非數(shù)學(xué)系的人,他們的一些想法很讓我費(fèi)解.證明寫的長了,計(jì)算多了,他就認(rèn)為"不專業(yè)",似乎他假定一定存在一個(gè)簡單

45、的證明方法(如何證明存在性?).誰都想得到一個(gè)簡單優(yōu)美的方法,但是一來無法證明這種"簡單優(yōu)美"的方法一定存在;二來獲得一個(gè)簡單優(yōu)美方法不容易.我們要做的是先證明出來,再去尋找有沒有更好的方法.了解數(shù)學(xué)史的人都知道,數(shù)學(xué)講究首創(chuàng)性!但是數(shù)學(xué)定理的第一個(gè)嚴(yán)格證明往往既不那么簡單通俗,也不那么優(yōu)美.簡潔優(yōu)美的證明往往是后來人給出的,收錄進(jìn)教科書的那些經(jīng)典的證明方法,多數(shù)不是第一個(gè)證明方法,那很可能是經(jīng)過n多人之手加工的.甚至與最初的證明相比,可能面目全非.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)往往也不像很多人想象那樣很優(yōu)美.進(jìn)行使用發(fā)現(xiàn)的方法可能很費(fèi)解,枯燥,不嚴(yán)密,甚至很暴力!但創(chuàng)造就是這樣,不拘常理,不

46、受約束,甚至天馬行空亦可!解決問題才是首要的,至于嚴(yán)密,專業(yè),優(yōu)美等可稍后去解決.我想這方面最好的例子恐怕算是Fourier級數(shù)是如何發(fā)現(xiàn)的:一般工科對數(shù)學(xué)要求高的專業(yè)都會開數(shù)理方程這門課程,也就是講偏微分方程了.里面有個(gè)經(jīng)典的解法叫分離變量法.但是大家可能沒想到的是名震千古的Fourier級數(shù)就是當(dāng)年傅立葉在用分離變量法硬解熱傳導(dǎo)方程過程中發(fā)現(xiàn)的!下面我講簡要說下大致發(fā)現(xiàn)過程,至于求解熱傳導(dǎo)方程的細(xì)節(jié)可參考任何一本數(shù)理方程教材.采用TeX語言的下標(biāo)記法,用u_x = u_x(x,t), 表示函數(shù)u(x,t)對x的偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù)記為u_xx.考慮熱傳導(dǎo)方程如下:熱方程: u_xx = u_

47、t (0<x<,t>0)初值條件:u(x,0) = f(x)邊值條件:u(0,t) = u(,t)=0傅立葉硬假設(shè)u(x,t)能分離變量, 即 u(x,t) = U(x)T(t)代入熱方程,得U"(x)T(t) = U(x)T'(t)所以 U"(x)/U(x) = T'(t)/T(t) = const := -因此可化為兩個(gè)常微分方程U"(x) + U(x) = 0U(0) = U(pi)=0和 T'(t) + T(t) = 0通過討論,得知 >0解上面的方程再把解疊加到一起(細(xì)節(jié)參考數(shù)理方程教材)得到級數(shù)解 u(x

48、,t) = bn*(expWn*t)*sin(nx)再由u(x,0) = f(x),得到 f(x) = bn*sin(nx) -(*)這似乎意味著f(x)能展開成三角級數(shù).注意到(*)右邊每一項(xiàng)都是奇函數(shù)(矛盾了嗎?)同樣的程序,能導(dǎo)出 f(x) = a0/2 + an*cos(nx)如果我們一開始,把x的定義域取為關(guān)于原點(diǎn)對稱的,再考慮到任何一個(gè)函數(shù)都能拆成"一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和(Why?)".于是傅立葉大膽猜測,對于一般的函數(shù)應(yīng)該有.f(x) = a0/2 + an*cos(nx)+bn*sin(nx)這就是名震千古的Fourier級數(shù).傅立葉也找出了系數(shù)an與b

49、n的表達(dá)式,就是現(xiàn)在教材上的那個(gè)表達(dá)式.當(dāng)然之后的問題還很多,諸如何時(shí)可以展開,收斂性如何,收斂到f(x)自身嗎等等,問題一堆.不過這是后話了.我這里只想說的是,數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)需要大膽, 過分的強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密反而容易壓制創(chuàng)造."大膽猜測,嚴(yán)格證明!"-這才是學(xué)數(shù)學(xué)的正確方法!8.注重不同分支之間的聯(lián)系.學(xué)數(shù)學(xué)想提高修為不但要修身,練得一身好本領(lǐng),也要修心,提高思想境界!何為思想境界,這里指看問題要看的長遠(yuǎn),不但能看出本分支的內(nèi)容,更能看到不同分支之間的聯(lián)系,相互促進(jìn).這方面的典型代表要首推幾何!回憶起我們高中學(xué)習(xí)歐幾里得的經(jīng)典平面幾何,那些問題和證明方法十分優(yōu)美,可以說比較好的體現(xiàn)了數(shù)

50、學(xué)美! 但若我們仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn),其絕大部分內(nèi)容都于圓有關(guān),若走出圓外似乎方法就不多了. 但即使限制到與圓有關(guān)的平幾問題,證明也是很困難的,最典型的代表是連輔助線,相當(dāng)技巧!后來解析幾何的引入才打破了這種技巧性的局面,而且確實(shí)提供了一般的程序化通用方法.也許平面解析幾何優(yōu)勢不那么顯然,那么用空間解析幾何(含空間向量)來解決立體幾何問題絕對是一個(gè)實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步,我相信很多人都有這種體會.也許有人會說,解析幾何很難看很暴力,破壞了幾何美.我覺得大可不比這樣抱怨,因?yàn)榻馕龅姆椒ú⒉慌懦鈧鹘y(tǒng)的方法,兩種方法都可以使用,而且有時(shí)解決問題可能比數(shù)學(xué)美更重要.所以,兩者都有存在的意義.在一個(gè)分支的基礎(chǔ)上引入其它分支的工具往往能開辟出新的天地,把解析方法引入幾何創(chuàng)造了解析幾何,把微積分搬到幾何上出了微分幾何,進(jìn)而