1、雷達終端顯示器和錄取設備 8.1 8.1 數字濾波器的結構表示數字濾波器的結構表示 1 12 24 43 38.4 8.4 綜合實例綜合實例 8.3 8.3 IIR數字濾波器的網絡結構形式數字濾波器的網絡結構形式 8.2 8.2 FIR數字濾波器的網絡結構形式數字濾波器的網絡結構形式 導入實例導入實例8FPGA的的FIR抽取濾波器的設計抽取濾波器的設計 一個時域離散系統或網絡可以用差分方程、單一個時域離散系統或網絡可以用差分方程、單位脈沖響應及系統函數進行描述。位脈沖響應及系統函數進行描述。MiNiiiinybinxany01)()()(iNiiMiiizbzazH101)( 前言前言8上式為

2、上式為IIR濾波器形式，濾波器形式，bi都為都為0時就是一時就是一個個FIR濾波器。濾波器。211 . 07 . 011)(zzzH1150112011z.z.115 . 01352 . 0132zz 前言前言8上兩式可以化成不同的計算形式上兩式可以化成不同的計算形式(其中其中MN)，如，如直接計算、分解為多個有理函數相加、分解為直接計算、分解為多個有理函數相加、分解為多個有理函數相乘、交換運算次序等等。不同多個有理函數相乘、交換運算次序等等。不同的計算形式和順序也就表現出不同的計算結構。的計算形式和順序也就表現出不同的計算結構。(1) 濾波器的基本特性濾波器的基本特性(如有限長脈沖響應如有限

3、長脈沖響應FIR與無限長脈沖響應與無限長脈沖響應IIR)決定了結構上有不同決定了結構上有不同的特點。的特點。(2) 不同結構所需的存儲單元及乘法次數不同，不同結構所需的存儲單元及乘法次數不同，直接影響系統的運算速度，以及系統的復雜直接影響系統的運算速度，以及系統的復雜程度和成本。程度和成本。(3) 不同運算結構的誤差及穩定性不同。不同運算結構的誤差及穩定性不同。本章主要討論本章主要討論IIR和和FIR濾波器的結構及其性濾波器的結構及其性能。能。 研究數字濾波系統網絡結構意義研究數字濾波系統網絡結構意義8 數字濾波器有方框圖表示法和流圖表示法兩種數字濾波器有方框圖表示法和流圖表示法兩種表示方法。

4、表示方法。圖圖8.2 方框圖表示法方框圖表示法 數字濾波器結構表示數字濾波器結構表示8圖圖8.3 流圖表示法流圖表示法 數字濾波器結構表示數字濾波器結構表示8 但從運算上看，只需要加法、單位延遲、乘但從運算上看，只需要加法、單位延遲、乘常數三種運算，因此數字濾波結構中有三個基常數三種運算，因此數字濾波結構中有三個基本運算單元，即加法器，單位延時器，乘常系本運算單元，即加法器，單位延時器，乘常系數乘法器。數乘法器。例例8.1 畫出數字濾波器畫出數字濾波器 方框圖及方框圖及流圖表示法結構。流圖表示法結構。解：數字濾波器對應的差分方程為解：數字濾波器對應的差分方程為 方框圖和流程圖表示如圖所示。方框

5、圖和流程圖表示如圖所示。 211 . 07 . 011)(zzzH)2(1 . 0) 1(7 . 0)()(nynynxny 例例8(1) 輸入節點或源節點，如輸入節點或源節點，如x(n)所處的節點。所處的節點。(2) 輸出節點或阱節點，輸出節點或阱節點，y(n)所處的節點。所處的節點。(3) 分支節點，一個輸入，一個或一個以上輸分支節點，一個輸入，一個或一個以上輸出的節點。如節點、和。出的節點。如節點、和。(4) 相加器相加器(節點節點)或和點，有兩個或兩個以上輸或和點，有兩個或兩個以上輸入的節點，如節點、。入的節點，如節點、。關于流圖表示法的定義關于流圖表示法的定義8(5) 通路，從源點到

6、阱點之間沿著箭頭方向通路，從源點到阱點之間沿著箭頭方向的連續的一串支路，通路的增益是該通路上的連續的一串支路，通路的增益是該通路上各支路增益的乘積，如各支路增益的乘積，如x(n)y(n)。(6) 回路，從一個節點出發沿著支路箭頭方回路，從一個節點出發沿著支路箭頭方向到達同一個節點的閉合通路。組成回路的向到達同一個節點的閉合通路。組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益。圖所有支路增益的乘積通常叫做回路增益。圖中有兩個回路，如中有兩個回路，如。 關于流圖表示法的定義關于流圖表示法的定義81. 直接型直接型:根據差分方程式給出，根據差分方程式給出，h(n)是有限是有限長序列。長序列。級聯型級聯

7、型:系統函數系統函數H(z)按照二階因式分解后，按照二階因式分解后，以級聯方式實現。以級聯方式實現。線性相位型線性相位型:脈沖響應關于脈沖響應關于(N-1)/2呈現奇對呈現奇對稱或偶對稱，使得乘法運算次數減半，系稱或偶對稱，使得乘法運算次數減半，系統結構簡化。統結構簡化。頻率采樣型頻率采樣型:是一種基于頻率響應是一種基于頻率響應H(ej)采采樣的設計方法；樣的設計方法； FIR濾波器主要結構類型和特點濾波器主要結構類型和特點8 系統函數系統函數|H(z)|在在|z|0處收斂，極點全部在處收斂，極點全部在z=0處處(即即FIR一定為穩定系統一定為穩定系統)，結構上主要是非遞，結構上主要是非遞歸結

8、構，沒有輸出到輸入反饋，但頻率采樣結構歸結構，沒有輸出到輸入反饋，但頻率采樣結構也包含有反饋的遞歸部分。也包含有反饋的遞歸部分。 說明說明8101010)()()()()()()(NiNiNnnixinhinxihnyznhzH系統函數：系統函數：差分方程：差分方程： 根據式根據式 給定的非遞歸差分方程給定的非遞歸差分方程得出直接型結構，其實現等效于卷積和，這種結構得出直接型結構，其實現等效于卷積和，這種結構類似于橫向系統，因此直接型結構也常被稱為橫向類似于橫向系統，因此直接型結構也常被稱為橫向濾波器，其結構如圖所示。濾波器，其結構如圖所示。 圖圖8.5 FIR濾波器直接型結構濾波器直接型結構

9、Miinxihny0)()()( 1. 直接型直接型8用轉置定理（對于單個輸入、單個輸出的系統，通用轉置定理（對于單個輸入、單個輸出的系統，通過反轉網絡中的全部支路的方向，并且將其輸入和過反轉網絡中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖同樣的系統輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖同樣的系統傳輸函數。傳輸函數。 圖圖8.6 FIR濾波器直接型的轉置結構濾波器直接型的轉置結構 等價結構等價結構8已知已知FIR濾波器差分方程如下，利用直接型結構實現，濾波器差分方程如下，利用直接型結構實現，并畫出結構圖。并畫出結構圖。解：解： 根據差分方程得到相應的系統函數根據差分方程得到

10、相應的系統函數對應的直接型結構如圖所示。對應的直接型結構如圖所示。)4(4) 3(6)2(5) 1(6)(4)(nxnxnxnxnxny432146564)(zzzzzH例例8FIR濾波器直接型結構特點如下。濾波器直接型結構特點如下。(1) 實現簡單，但結構相對復雜，需要實現簡單，但結構相對復雜，需要N-1個個延時器和延時器和N個常系數乘法器。個常系數乘法器。(2) 系數量化會受到有限字長效應的影響，從系數量化會受到有限字長效應的影響，從而產生較大誤差。而產生較大誤差。 說明說明8 為了減少直接型結構誤差，有效的方法是把高階濾波器為了減少直接型結構誤差，有效的方法是把高階濾波器分解成若干個低階

11、濾波器子系統。通常分解成若干個低階濾波器子系統。通常h(n)為實數，為實數，H(z)的零的零點分布有四種可能點分布有四種可能(見第見第7章章)。每一對共軛零點可以合成一個。每一對共軛零點可以合成一個二階子系統。那么二階子系統。那么H(z)可用二階節級聯構成，每一個二階節可用二階節級聯構成，每一個二階節控制一對零點?？刂埔粚α泓c。 )()()(22110110zazaaznhzHiiiMiNnn)()()()(11012211011021zbbzazaaznhzHiiMiiiiMiNnn2. 級聯型級聯型8級聯結構級聯結構8FIR濾波器系統函數為濾波器系統函數為利用級聯型結構實現，并畫出結構圖。

12、利用級聯型結構實現，并畫出結構圖。432146564)(zzzzzH例例8)2026. 11)(7026. 21 (4)(2121zzzzzHnum=-4 6 5 6 -4; %輸入分子系數向量輸入分子系數向量den=1 0 0 0 0; %輸入分母系數向量輸入分母系數向量z,p,k=tf2zp(num,den); %求出各子系統的零極求出各子系統的零極點點sos,A=zp2sos(z,p,k); %求出各二階節乘系數求出各二階節乘系數disp(零點零點:);disp(z);disp(極點極點:);disp(p);disp(增益系數增益系數:);disp(k);disp(二階節二階節:);di

13、sp(real(sos); 程序程序8零點零點: 2.2601 -0.6013+0.7990i -0.6013-0.7990i 0.4425 極點極點: 0 0 0 0增益系數增益系數: -4二階節二階節: 1.0000 -2.7026 1.0000 1.0000 0 0 1.0000 1.2026 1.0000 1.0000 0 0 所以可以得到級聯型濾波器的系統函數為所以可以得到級聯型濾波器的系統函數為 )2026. 11)(7026. 21 (4)(2121zzzzzH運行結果運行結果8(1) 可以有效控制濾波器的傳輸零點?？梢杂行Э刂茷V波器的傳輸零點。(2) 所需要的系數乘法器比直接型

14、的多，所需要的系數乘法器比直接型的多，所以乘法運算量比較大。所以乘法運算量比較大。(3) 在不考慮零系數的情況下需要乘法器在不考慮零系數的情況下需要乘法器2M+1個個(M為濾波器的級聯子系統的個數為濾波器的級聯子系統的個數)，延時器延時器N-1個。個。 FIR濾波器級聯型結構特點濾波器級聯型結構特點8 FIR的重要特點是可設計成具有嚴格線性相位的濾的重要特點是可設計成具有嚴格線性相位的濾波器，此時波器，此時h(n) 滿足偶對稱或奇對稱條件。而且滿足偶對稱或奇對稱條件。而且零點也是對稱的。零點也是對稱的。1h(n)偶對稱時，偶對稱時，FIR濾波器線性相位結構濾波器線性相位結構(1)N為偶數時，系

15、統函數可進一步表示為為偶數時，系統函數可進一步表示為 10),1()(NnnNhnh )()()1(120nNnNnzznhzH3. 線性相位型結構線性相位型結構8h(n)偶對稱，偶對稱，N=偶數偶數8 )()()1(120nNnNnzznhzH系統函數進一步表示為系統函數進一步表示為可得到線性相位可得到線性相位FIR濾波器的結構濾波器的結構 211210)1(21)()(NNnnNnzNhzznhzH h(n)偶對稱，偶對稱，N=奇數奇數8(1) N為偶數時，為偶數時，h(n)=-h(N-1-n)，系統函數進一，系統函數進一步表示為步表示為(2) N為奇數時，系統函數為為奇數時，系統函數為h

16、(n)奇對稱時的線性相位型結構分析方法與奇對稱時的線性相位型結構分析方法與h(n)偶對稱時類似，這里不再雷述。偶對稱時類似，這里不再雷述。 120)1)()(NnnNnzznhzH（230)1)21()()21()(NnnNnNzznhzNhzH（ h(n)奇對稱奇對稱FIR濾波器線性相位結構濾波器線性相位結構8FIR濾波器濾波器利用線性相位型結構實現，畫出結構圖。利用線性相位型結構實現，畫出結構圖。解：解： 由系統函數可知，由系統函數可知，432146564)(zzzzzH4)4(, 6)3(, 5)2(, 6) 1 (, 4)0(hhhhh例例8所以所以h(n)偶對稱，對稱中心在偶對稱，對

17、稱中心在n=(N-1)/2=2處，處，且且N為奇數，其線性相位型結構如圖所示。為奇數，其線性相位型結構如圖所示。 例結果例結果84)4(, 6)3(, 5)2(, 6) 1 (, 4)0(hhhhh(1) 與前兩種結構相比結構簡化，乘法器個數與前兩種結構相比結構簡化，乘法器個數減半，仍需要減半，仍需要N-1個延時器。個延時器。(2)當當N為偶數時乘法器個數為為偶數時乘法器個數為N/2，N為奇數為奇數時為時為(N+1)/2。 FIR濾波器線性相位型結構特點濾波器線性相位型結構特點8前面討論了有限長序列系統函數前面討論了有限長序列系統函數H(z)在單位圓在單位圓上作上作N等分采樣，這個采樣值也就是

18、等分采樣，這個采樣值也就是h(n)的離的離散傅里葉變換值散傅里葉變換值H(k)，即，即)(DFT)()(nhzHkHkNwz4. 頻率采樣型頻率采樣型8根據第根據第7章的討論，用頻率采樣表達系統函章的討論，用頻率采樣表達系統函數的內插公式為數的內插公式為上式既包含極點，也包含零點，所以這時濾上式既包含極點，也包含零點，所以這時濾波器具有遞歸結構。頻率采樣型結構波器具有遞歸結構。頻率采樣型結構,是兩部是兩部分級聯而成，即分級聯而成，即 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH4. 頻率采樣型頻率采樣型8)()()(21zHzHzH其中其中H1(z) 為全零點濾波器，即其零點位于單位為全

19、零點濾波器，即其零點位于單位圓的等間隔點上圓的等間隔點上)1 ()(1NzzH4. 頻率采樣型頻率采樣型8N=7和和N=8時全零點濾波器的零點分布圖時全零點濾波器的零點分布圖濾波器濾波器H1(z)又被稱為梳狀濾波器，其頻率響應和幅頻特性表又被稱為梳狀濾波器，其頻率響應和幅頻特性表達式分別為達式分別為NNHNsinjcos1e1)(ejj12sin2)cos1 (2sin)cos1 ()(e22j1NNNNH (8.12)4. 頻率采樣型頻率采樣型H1(z)8另一個濾波器的系統函數為另一個濾波器的系統函數為 是由是由N個單極點的一階濾波器并聯構成，極點正好與個單極點的一階濾波器并聯構成，極點正好

20、與梳狀濾波器的一個零點梳狀濾波器的一個零點(i=k)相抵消，從而使頻率相抵消，從而使頻率=2k/N上的頻率響應等于上的頻率響應等于H(k)。10121)()(NkkNzWkHzH4. 頻率采樣型頻率采樣型H2(z)84. 頻率采樣型頻率采樣型H2(z)8 所有極點都是在單位圓上所有極點都是在單位圓上,由于系數量化的由于系數量化的影響，極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消，影響，極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消，系統穩定性變差。系統穩定性變差。 為了克服穩定性變差的缺點，可以首先進行修為了克服穩定性變差的缺點，可以首先進行修正，將所有諧振器的極點從單位圓向內收縮，使正，將所有諧振器的極點從單位圓

21、向內收縮，使它處在一個靠近單位圓但半徑稍小的圓上它處在一個靠近單位圓但半徑稍小的圓上r1，同，同時，梳狀濾波器的零點也移到半徑為時，梳狀濾波器的零點也移到半徑為r的圓上，也的圓上，也即將頻率采樣由單位圓移到修正半徑即將頻率采樣由單位圓移到修正半徑r的圓上的圓上 。4. 頻率采樣型結構存在問題頻率采樣型結構存在問題8 FIR數字濾波器有哪四種基本網絡結構數字濾波器有哪四種基本網絡結構 ？每種結構？每種結構的特點。的特點。 （1）直接型）直接型 （2）級聯型）級聯型 （3）線性相位型）線性相位型 （4）頻率采樣型）頻率采樣型知知 識識 點點 回回 顧顧 頻率采樣型結構頻率采樣型結構8若若N階階II

22、R數字濾波器系統差分方程為式數字濾波器系統差分方程為式同一系統函數，有各種不同的結構形式?；揪W絡同一系統函數，有各種不同的結構形式?；揪W絡結構有三種，即直接型結構有三種，即直接型(包括直接包括直接型和直接型和直接型型)、級聯型和并聯型，不同結構的穩定性、復雜程度及級聯型和并聯型，不同結構的穩定性、復雜程度及性能各不相同。性能各不相同。 NiiMiiinybinxany10)()()()()(1)(10zXzYzbzazHNiiiMiii 8.3 IIR濾波器網絡結構形式濾波器網絡結構形式8直接型結構由式直接型結構由式得到網絡結構，可以看出得到網絡結構，可以看出y(n)由兩部分組成，由兩部分

23、組成，第一部分第一部分 是一個對輸入是一個對輸入x(n)的的M節延時鏈結構，節延時鏈結構，第二部分第二部分是一個對輸出是一個對輸出y(n)的的N節延時鏈結構，是個反饋網絡。節延時鏈結構，是個反饋網絡。 NiiMiiinybinxany10)()()(Miiinxa0)(Niiinyb1)( 8.3.2 直接直接型型8 8.3.2 直接直接型型8Miiinxa0)(Niiinyb1)(1) 由兩個網絡級聯構成，第一個橫向結構由兩個網絡級聯構成，第一個橫向結構M節延時網絡實現零點，第二個有反饋的節延時網絡實現零點，第二個有反饋的N節延節延時網絡實現極點，物理概念清楚、簡單、易于時網絡實現極點，物理

24、概念清楚、簡單、易于理解。理解。(2) 需要的延遲單元太多，共需需要的延遲單元太多，共需M+N個延遲器，個延遲器，當當M=N時為時為2N個。個。(3) 系數系數ai和和bi對濾波器性能的控制不直接，一對濾波器性能的控制不直接，一個個ai和和bi的改變會影響系統的零點或極點分布，的改變會影響系統的零點或極點分布，對極、零點的控制難。對極、零點的控制難。(4) 容易出現不穩定或產生較大誤差。容易出現不穩定或產生較大誤差。 IIR濾波器直接濾波器直接型結構特點型結構特點8直接型結構中的兩部分可分別看作是兩個獨立的網直接型結構中的兩部分可分別看作是兩個獨立的網絡絡H1(z)和和H2(z),兩部分串接構

25、成總的系統函數。由于兩部分串接構成總的系統函數。由于系統是線性的，交換兩個級聯網絡的次序得兩條延系統是線性的，交換兩個級聯網絡的次序得兩條延時鏈中對應的延時單元內容完全相同時鏈中對應的延時單元內容完全相同,合并后得到直合并后得到直接接型結構。型結構。 )()()(21zHzHzH)()()( 12zHzHzH 8.3.3 直接直接型型8 zXzWzazHNiii01 zWzYzbzHiNii1211Miiinxa0)(Niiinyb1)( 8.3.2 直接直接型型8 zXzWzazHNiii01 zWzYzbzHiNii1211例例8.6 IIR濾波器系統函數濾波器系統函數分別用直接分別用直接

26、型和直接型和直接型結構實現。型結構實現。解解: 根據系統函數寫出差分方程為根據系統函數寫出差分方程為32132135613456)(zzzzzzzH)3(3)2(5) 1(6)3(3)2(4) 1(5)(6)(nynynynxnxnxnxny 例例8按照差分方程畫出如圖所示的直接按照差分方程畫出如圖所示的直接型和直型和直接接型結構。型結構。 例例8 (1) 當當M=N時，延遲單元減少一半，為時，延遲單元減少一半，為N個，個，可節省寄存器或存儲單元?？晒澥〖拇嫫骰虼鎯卧?(2) 從輸入到輸出的觀點看，兩種直接型是從輸入到輸出的觀點看，兩種直接型是等效的，所以仍不能克服直接等效的，所以仍不能克

27、服直接型的缺點。型的缺點。 IIR濾波器直接濾波器直接II型特點型特點8 通常在實際中很少采用上述直接結構實現高階通常在實際中很少采用上述直接結構實現高階系統，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統系統，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(一、二階一、二階)來實現。為了討論方便這里令來實現。為了討論方便這里令M=N，則則一個一個N階系統函數可用它的零、極點法來表示，將階系統函數可用它的零、極點法來表示，將其分子、分母都表達為因子形式，即其分子、分母都表達為因子形式，即 )1 ()1 (1)(111110zdzcAzbzazHiNiiNiNiiiNiii 8.3.4 級聯型級聯型8)1)(1

28、 ()1 ()1)(1 ()1 ()(1*11111*11112121zqzqzpzhzhzgAzHiiNiiNiiiMiiMi11211121)1 ()1 ()1 ()1 ()(2211122111NiNiMiMizbzbzpzazazgAzHiiiiii2211221111)(zbzbzazazHiiiii二階子網絡稱為二階節，一般形式為二階子網絡稱為二階節，一般形式為 8.3.4 級聯型級聯型8用若干二階網絡級聯構成濾波器，其結構如圖所示，用若干二階網絡級聯構成濾波器，其結構如圖所示，所有的二階節采用直接所有的二階節采用直接型結構實現。型結構實現。 8.3.4 級聯型級聯型8例例8.7

29、設差分方程為設差分方程為求解并畫出它的級聯結構。求解并畫出它的級聯結構。解：根據差分方程可得到相應的系統函數為解：根據差分方程可得到相應的系統函數為43214315254525121943151)(zzzzzzzzH) 4(9) 32(4) 1(3)() 4(2) 3(4) 2(2) 1(12)(5nxxnxnxnynynynyny例例8利用程序將利用程序將H(z)的分子和分母進行因式分解。的分子和分母進行因式分解。a=1 -3 0 -4 9b=5 -12 -2 4 2z,p,k=tf2zp(a,b);sos,A=zp2sos(z,p,k) 例例8LLLLLLbbbaaabbbaaabbbaa

30、asos221210221202221202121101121101程序結果程序結果sos = 這里這里L=2，所以可以得到相應的系統函數，所以可以得到相應的系統函數212121212124. 07839. 012123. 24207. 118833. 11839. 310682. 44207. 412 . 0)(zzzzzzzzzH結果結果8級聯結構如圖所示級聯結構如圖所示結果結果8(1) 實現簡化，用一個二階節，通過變換系數就實現簡化，用一個二階節，通過變換系數就可實現整個系統?？蓪崿F整個系統。(2) 極、零點可單獨控制，便于準確控制濾波器極、零點可單獨控制，便于準確控制濾波器的零極點，有效地進行濾波器性能調整。的零極點，有效地進行濾波器性能調整。(3) 級聯的次序可以互換，各二階節零、極點的級聯的次序可以互換，各二階節零、極點的搭配可互換位置，所以系統函數的級聯結構不唯搭配可互換位置，所以系統函數的級聯結構不唯一，優化組合以減小運算誤差。一，優化組合以減小運算誤差。 IIR濾波器級聯型結構特點濾波器級聯型結構特點8 將系統函數展開成部分分式之和，可用并聯將系統函數展開成部分分式之和，可用并聯方式構成濾波器。每個二階節可以用直接方式構成濾波器。每個二階節可以用直接型實型實現。所得到的并聯型結構有兩種基本類型，即并現。所得到的并聯型結構有兩種基本類型，即并