1、7-5-4.組合之插板法詐 教學(xué)目標(biāo)1 .使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2 .了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；3 .掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4 .會分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合 技巧，如排除法、插板法等.m置噸知識要點(diǎn)、組合問題日常生活中有很多分組”問題.如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某 項(xiàng)活動等等.這種分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我

2、們將著重研究有多少種分組方法的 問題.一般地，從n個不同元素中取出 m個（mWn）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從 n個不同元 素中取出m個元素的一個組合.從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān).如果兩個組合中的元素完 全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的 組合.從n個不同元素中取出 m個元素（m Wn）的所有組合的個數(shù)，叫做從 n個不同元素中取出 m個不同元素的 組合數(shù).記作Cnm .一般地，求從n個不同元素中取出的 m個元素的排列數(shù) Pm可分成以下兩步：第一步：從n個不同元素中取出 m個元素組成

3、一組，共有 Cnm種方法；第二步：將每一個組合中的 m個元素進(jìn)行全排列，共有 Pm種排法.根據(jù)乘法原理，得到 pm=CmMpm.因此，組合數(shù) Cm =Pm = n（nT），（n-2）W（n-m*1）.n Pmm m （m-1） （m-2） III GZI這個公式就是組合數(shù)公式.二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：Cm =Cn.（mHn）這個公式的直觀意義是：Cm表示從n個元素中取出m個元素組成一組的所有分組方法. Cnn市表示從n個 元素中取出（n-m）個元素組成一組的所有分組方法. 顯然，從n個元素中選出m個元素的分組方法恰是從 n個 元素中選m個元素剩下的（n-m）個元素的

4、分組方法.例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即C5=C5 .規(guī)定 Cn =1 , C0 =1 .目憚1厄例題精講插板法一般用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個要求：所要分解的物體一般是相同的： 所要分解的物體必須全部分完： 參與分物體的組至少都分到 1個物體，不能 有沒分到物體的組出現(xiàn).在有些題目中，已知條件與上面的三個要求并不一定完全相符，對此應(yīng)當(dāng)對已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?使得它與一般的要求相符，再適用插板法.使用插板法一般有如下三種類型：m個人分n個東西，要求每個人至少有一個. 這個時(shí)候我們只需要把所有的東西排成一排

5、，在其中的（n1）個空隙中放上（m-1）個插板，所以分法的數(shù)目為cm.m個人分n個東西，要求每個人至少有a個.這個時(shí)候，我們先發(fā)給每個人（a1）個，還剩下nm（a1） 個東西，這個時(shí)候，我們把剩下的東西按照類型來處理就可以了.所以分法的數(shù)目為cmm（a）.m個人分n個東西，允許有人沒有分到.這個時(shí)候，我們不妨先借來m個東西，每個人多發(fā)1個，這樣就和類型一樣了，不過這時(shí)候物品總數(shù)變成了（n+m）個，因此分法的數(shù)目為 CM.例1 將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有種不同的放法。【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第 18

6、題【解析】四盆黃花擺好后，剩下 5個位子可插進(jìn)紅花，選三個位置將三盆紅花插入，覺=5父4父3=10 ,所以3 2 1有10種選擇.【答案】10種例2在1, 2, 3,，7, 8的任意排列中，使得相鄰兩數(shù)互質(zhì)的排列方式共有 種.【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析】 這8個數(shù)之間如果有公因子，那么無非是2或3.8個數(shù)中的4個偶數(shù)一定不能相鄰，對于這類多個元素不相鄰的排列問題，考慮使用插入法”即首先忽略偶數(shù)的存在，對奇數(shù)進(jìn)行排列，然后將偶數(shù)插入但在偶數(shù)插入時(shí)，還要考慮 3和6相鄰的情況.奇數(shù)的排列一共有4! =24種對任意一種排列 4個數(shù)形成5個空位，將6插入，可以

7、有符合條件的 3個位置可以插再在剩下的四個位置中插入 2、4、8, 一共有4父3父2=24種所以一共有24M3父24 =1728種.【答案】1728【例3】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】2星 【題型】解答【解析】如圖：|將|10糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個空，從頭開始吃,若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有9乂8。2=36種方法.【答案】36【鞏固】小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【

8、難度】3星【題型】解答【解析】 分三種情況來考慮： 當(dāng)小紅最多一天吃 4塊時(shí)，其余各每天吃1塊，吃4塊的這天可以是這七天里的任何一天，有7種吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃3塊時(shí)，必有一天吃2塊，其余五天每天吃1塊，先選吃3塊的那天，有7種選 擇，再選吃2塊的那天，有6種選擇，由乘法原理，有 7 M6 = 42種吃法；當(dāng)小紅最多一天吃 2塊時(shí)，必有三天每天吃2塊，其四天每天吃 1塊，從7天中選3天，有37 6 5 c 5C3 =-7 =35（種）吃法. 3 2 1根據(jù)加法原理，小紅一共有 7+42+35 =84（種）不同的吃法.另外還可以用擋板法來解這道題，10塊糖有9個空，選6個空放擋板，有C6 =

9、C；=84（種）不同的吃法.【答案】84【鞏固】有12塊糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一塊，問共有 種吃法.【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析】將12塊糖排成一排，中間共有 11個空，從11個空中挑出5個空插擋板，把12塊糖分成6堆，則 這樣的每一種分法即對應(yīng)一種吃法，所以共有C51:11""9- =462種.1 2 3 4 5【答案】462【鞏固】把5件相同的禮物全部分給 3個小朋友，要使每個小朋友都分到禮物，則分禮物的不同方法一共有 種.【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】十三分，小升初，入學(xué)測試【解析】把5件相同的

10、禮物排成一列，中間有 4個間隔，現(xiàn)在用兩個板去隔，每個間隔最多放一個板.這 2 個板的每一種放法都把 5件禮物分成3份，所以這兩個板的每一種放法都對應(yīng)一種分禮物的方法.而板的放法有C2 =6種，所以分禮物的不同方法有6種.【答案】6【鞏固】把7支完全相同的鉛筆分給甲、乙、丙 3個人，每人至少1支，問有多少種方法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】將鉛筆排成一排，用兩塊擋板將這一排鉛筆隔開成三份，然后分與甲、乙、丙，擋板可插入的位置 一共有7-1=6個，6個位置中安插兩個不分次序的擋板一共有6黑5+2=15種方法.處理分東西的問題用隔板（擋板）法可以順利解決.【答案】15【鞏固

11、】學(xué)校合唱團(tuán)要從 6個班中補(bǔ)充8名同學(xué)，每個班至少1名，共有多少種抽調(diào)方法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答76【解析】插板法，8名同學(xué)之間有7個空，插5塊板，一共有C5 =C2 =昔=21（種）方法.【答案】21例4 10只無差別的橘子放到 3個不同的盤子里，允許有的盤子空著.請問一共有多少種不同的放法？ 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】把10只無差別的橘子放到 3個不同的盤子里，允許有的盤子空著， 然后在每個盤子里再另加一個橘 子，這就變成了把13只無差別的橘子放到 3個不同的盤子里，不允許任何一個盤子空著.反過來也 是一樣，把13只橘子放到3個盤子里，不允

12、許任何一個盤子空著， 再從每一個盤子中取出一個橘子， 這就變回題目中的放法.所以把10只無差別的橘子放到 3個不同的盤子里且允許有的盤子空著的放法數(shù)目，和把13只無差別的橘子放到 3個不同的盤子里且不允許任何一個盤子空著的放法數(shù)目相同. 我們現(xiàn)在來計(jì)算把 13只無差別的橘子放到 3個不同的盤子里且不允許任何一個盤子空著的放法數(shù) 目.這時(shí)我們用隔板地方法，把這13只橘子排成一列，則這 13只橘子之間有12個空隙.我們只要選定這12個空隙中的2個空隙，再這兩個空隙中分別放一塊隔板，這樣就分成了3組，就相當(dāng)于把這13只橘子分成了 3堆，如下圖.所以只要求出從12個空隙中選出2個空隙有多少種方法就可以

13、了.2 =12父11+2=66,所以題目中所求的不同的放法有66種.【答案】66【鞏固】將13個相同的蘋果放到 3個不同的盤子里，允許有盤子空著。一共有 種不同的放法。【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，第8題【解析】C2 =105種。【答案】105種例5 把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分 3個，可以有多少種不同的分法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3【題型】解答【解析】先給每人2個，還有14個蘋果，每人至少分一個，13個空插2個板，有C!3=78種分法.【答案】78【鞏固】三所學(xué)校組織一次聯(lián)歡晚會，共演出14個節(jié)目，如果每校至少演出 3個節(jié)目，那么這三

14、所學(xué)校演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】由于每校至少演出3個節(jié)目，所以可以由每所學(xué)校先分別出2個節(jié)目，剩下的8個節(jié)目再由3所學(xué)校分，也就是在8個物體間插入2個擋板，8個物體一共有7個間隔，這樣的話一共有7黑6 0 (2父1)=21 種方法.【答案】21 例6 (1)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法 ？(2)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法 ？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】將10拆成8個自然數(shù)的和，有兩種拆法，10=1+1 + 1 + 1+1+1 + 1+3=1+

15、1 + 1 + 1+1+1+2+2 .若8天中有7天每天吃一塊，另外一天吃三塊，有 8種吃法.若8天中有6天每天吃一塊，另外 2天每天吃兩塊，有 8>7e=28種吃法.8+28=36 ,所以共有36種吃法.(2)考慮有n塊糖，每天至少吃1塊，n天之內(nèi)吃完的情況.將 n塊糖排成一行，這樣在 n塊糖之間就產(chǎn)生了 n-1個空隙.可以在這些空隙中插入豎線，如果一條豎線都沒有插，就代表著1天把所有的糖吃完.如果每個空隙都插入豎線，就代表著每天吃一塊糖，n天吃完.每個空隙都可以選擇插或者不插，這樣每一種插法都代表著一種吃法.由于每個空隙都有插或者不插兩個選擇，所以n-1個空隙就有2n-1種插法，即n

16、塊糖每天至少吃1塊，一共有2n-1種不同的吃法.當(dāng)有 10塊糖時(shí)，10 天之內(nèi)吃完共有 29=512種吃法.10塊糖9天吃完時(shí)，其中1天要吃2塊，其余8天每天吃1塊，共有9種吃法.10塊糖10天吃完 時(shí)，每天吃1塊，有1種吃法.512-9-1=502 ,所以10塊糖8天或8天之內(nèi)吃完，共有 502種吃法.【答案】502 【鞏固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數(shù)進(jìn)行分類枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10=1+9=2+8=9+1;當(dāng)枚舉到3天吃完

17、的時(shí)，情況就有點(diǎn)錯綜復(fù)雜了，叫人無所適從所以我們必須換一種角度來思考.不妨從具體的例子入手來分析，比如這10塊糖分4天吃完：第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊.我們可以將10個 P弋表10粒糖，把10個“3E成一排，“C之間共有9個空位，若相鄰兩塊糖是 分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線（如下圖）.|OOO | O | OOOO比如上圖就表示第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊.”這樣一來，每一種吃糖的方法就對應(yīng)著一種在9個空位中插入若干個»方法”，要求有多少個不同的吃法，就是要求在這 9個空位中插入若干個 “|方法數(shù).由于每個空位都有畫 巧不畫甲

18、種可能：每個空位都有畫“ |”與不畫“ |”兩種可能根據(jù)乘法原理，在這9個空位中畫若干個 “巾方法數(shù)有： "2承|卜2=29 =512 ,這也就說明吃完910顆糖共有512種不同的吃法.【答案】512【例7】 馬路上有編號為1, 2, 3,，10的十只路燈，為節(jié)約用電又能看清路面，可以把其中的三只燈 關(guān)掉，但又不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法 有多少種？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】10只燈關(guān)掉3只，實(shí)際上還亮7只燈，而又要求不關(guān)掉兩端的燈和相鄰的燈，此題可以車t化為在7只亮著的路燈之間的6個空檔中放入3只熄滅的燈，有C

19、3 =20種方法.【答案】20【鞏固】 學(xué)校新修建的一條道路上有 12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中2盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞燈，那么熄燈的方法共有多少種？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】要熄滅的是除兩端以外的 2盞燈，但不相鄰.可以看成有 10盞燈，共有9個空位，在這9個空位中找2個空位的方法數(shù)就是熄滅 2盞燈的方法數(shù)，那么熄燈的方法數(shù)有酋=史q =36 (種).2 1【答案】C<2 =36【例8】 在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)原四位數(shù)為ABCD ,

20、按照題意，我們有 A + B+C + D=4,但是對A、B、C、D要求不同，因 為這是一個四位數(shù)，所以應(yīng)當(dāng)有A00,而其他三個字母都可以等于 0,這樣就不能使用我們之前的插板法了，因此我們考慮將 B、C、D都加上1,這樣B、C、D都至少是1,而且這個時(shí)候它們 的和為4+3=7,即問題變成如下表達(dá)： 一個各位數(shù)字不為 0的四位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為7,這樣的四位數(shù)有多少個？采用插板法，共有 6個間隔，要插入 3個板，可知這樣的四位數(shù)有 C3= 20個，對應(yīng)著原四位數(shù)也應(yīng) 該有20個.【答案】20【鞏固】大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于 9的數(shù)共有多少個？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之插板法【難度】3星【題型】解答【解析】大于2000小于3000的四位數(shù)，首位數(shù)字只能為 2,所以后三位數(shù)字之和為 7,后三位數(shù)字都有可能 為0,為使用隔板法，先將它們變成至少為1的數(shù)，可以將每個數(shù)都加上1,