1、word 線性代數 復習一：選擇題1. 如果= M，那么 = A. 8M B. 2 M C. M D. 6 M2. 假設A，B都是方陣，且|A|=2，|B|=-1，那么|A-1B|= A. -2 B.2 C. 1/2 D. 1/23. 可逆方陣, 那么A= A. B. C. D. 4. 如果n階方陣A的行列式|A| =0, 那么以下正確的選項是 A. A=O B. r(A)> 0 C. r(A)< nD. r(A) =05. 設A, B均為n階矩陣, A¹O, 且AB= O , 那么以下結論必成立的是 A. BA= O B. B= O C. (A+B)(A-B)=A2-B

2、2D. (A-B)2=A2-BA+B26. 以下各向量組線性相關的是 A. a1=(1, 0, 0), a2=(0, 1, 0), a3=(0, 0, 1) B. a1=(1, 2, 3), a2=(4, 5, 6), a3=(2, 1, 0)C. a1=(1, 2, 3), a2=(2, 4, 5) D. a1=(1, 2, 2), a2=(2, 1, 2), a3=(2, 2, 1)7. 設AX=b是一非齊次線性方程組, h1, h2是其任意2個解, 那么以下結論錯誤的是 A. h1+h2是AX=O的一個解 B. 是AX=b的一個解C. h1-h2是AX=O的一個解D. 2h1-h2是AX

3、=b的一個解8. 設A為3階方陣, A的特征值為1, 2, 3,那么3A的特征值為 A. 1/6, 1/3, 1/2 B. 3, 6, 9 C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/39. 設A是n階方陣, 且|A|=2, A*是A的伴隨矩陣, 那么|A*|= A. B. 2n C. D. 2n-110. 假設正定, 那么x, y, z的關系為 A. x+y=z B. xy=z C. z>xy D. z>x+y參考答案:1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 設，那么取值為 A. =0或=-1/3B. =3 C. 0

4、且-3D. 02. 假設A是3階方陣，且|A|=2，是A的伴隨矩陣，那么|A|= A. -8 B.2 C.8 D. 1/23. 在以下矩陣中, 可逆的是 A. B. C. D. 4. 設n階矩陣A滿足A2-2A+3E=O, 那么A-1= A. E B. C. D. A 5. 設A, 假設r(A)=1, 那么a= A.1 B.3 C.2 D.46. 假設齊次線性方程組有非零解, 那么常數l= A.1 B.4 C. -2 D. -17. 設A, B均為n階矩陣, 那么以下結論正確的選項是 A. BA= AB B. (A-B)2=A2-BA- AB +B2C. (A+B)(A-B)=A2-B2 D.

5、 (A-B)2=A2-2 AB +B28. a1=(1, 0, 0), a2=(-2, 0, 0), a3=(0, 0, 3), 那么以下向量中可以由a1, a2, a3線性表示的是 A. (1, 2, 3) B. (1, -2, 0) C. (0, 2, 3)D. (3, 0, 5)9. n階方陣A可對角化的充分條件是 A. A有n個不同的特征值 B. A的不同特征值的個數小于nC. A有n個不同的特征向量 D. A有n個線性相關的特征向量10. 設二次型的標準形為，那么二次型的正慣性指標為 A.2 B.-1 C.1 D.3參考答案: 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A

6、 7. B 8. D 9. A 10. A1. 設A是4階方陣，且|A|=2，那么|-2A|= A. 16 B. -4 C. -32 D. 322. 行列式中元素k的余子式和代數余子式值分別為 A. 20，-20 B. 20，20 C. -20，20 D. -20，-203. 可逆方陣, 那么= A. B. C. D. 4. 如果n階方陣A的行列式|A| =0, 那么以下正確的選項是 A. A=O B. r(A)> 0 C. r(A)< n D. r(A) =05. 設A, B均為n階矩陣, 那么以下結論中正確的選項是 A. (A+B)(A-B)=A2-B2 B. (AB)k=Ak

7、BkC. |kAB|=k|A|×|B| D. |(AB)k|=|A|k×|B|k6. 設矩陣A n´n的秩r(A)=n, 那么非齊次線性方程組AX=b A. 無解 B. 可能有解 C. 有唯一解D. 有無窮多個解7. 設A為n階方陣, A的秩 r(A)=r<n, 那么在A的n個列向量中 A. 必有r個列向量線性無關 B. 任意r個列向量線性無關C. 任意r個列向量都構成最大線性無關組D. 任何一個列向量都可以由其它r個列向量線性表出8. 矩陣的四個特征值為4，2，3，1，那么= A.2 B.3 C.4 D.249. n階方陣A可對角化的充分必要條件是 A.

8、A有n個不同的特征值 B. A為實對稱矩陣C. A有n個不同的特征向量 D. A有n個線性無關的特征向量10. n階對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是 A. A的秩為n B. |A|>0C. A的特征值都不等于零 D. A的特征值都大于零參考答案: 1.D 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 9. D 10. D 1. 行列式中元素的余子式和代數余子式值分別為 A. 2，-2 B. 2，2 C. 2，2 D. -2，-22. 設A, B均為n(n³2)階方陣, 那么以下成立是 A. |A+B|=|A|+|B| B. AB=BAC. |AB|=|B

9、A| D. (A+B)-1=B-1+A-13. 設n階矩陣A滿足A2-2A= E , 那么(A-2E )-1= A. A B. 2 A C. A+2E D. A-2E4. 矩陣的秩為 A.1 B.3 C.2 D.45. 設n元齊次線性方程組AX=O的系數矩陣A的秩為r, 那么方程組AX=0的基礎解系中向量個數為 A. r B. n- r C. n D. 不確定6. 假設線性方程組無解, 那么l 等于 A.2 B.1 C.0 D. -17.n階實方陣A的n個行向量構成一組標準正交向量組，那么A是 A.對稱矩陣 B.正交矩陣 C.反對稱矩陣D.|A|=n 8. n階矩陣A是可逆矩陣的充要條件是 A

10、. A的秩小于n B. A的特征值至少有一個等于零C. A的特征值都等于零 D. A的特征值都不等于零9. 設h1, h2是非齊次線性方程組Ax=b的任意2個解, 那么以下結論錯誤的選項是 A. h1+h2是Ax=0的一個解 B. 是Ax=b的一個解C. h1-h2是Ax=0的一個解 D. 2h1-h2是Ax=b的一個解10. 設二次型的標準形為，那么二次型的秩為 A.2 B.-1 C.1 D.3參考答案: 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. A 7.B 8. D 9.A 10. D1. 設，那么a，b取值為 A. a=0，b0 B. a=b=0 C. a0，b=0 D.

11、a0，b02. 假設A、B為n階方陣, 且AB= O , 那么以下正確的選項是 A. BA=O B. |B|=0或|A|=0C. B= O 或A= O D. (A-B)2=A2+B23. 設是3階方陣，且|=-2，那么|-1|等于 A. -2 B. C.2 D. 4. 設矩陣A, B, C滿足AB=AC, 那么B=C成立的一個充分條件是 A. A為方陣 B. A為非零矩陣 C. A為可逆方陣D. A為對角陣5. 如果n階方陣A¹O 且行列式|A| =0, 那么以下正確的選項是 A. 0<r(A) < n B. 0r(A) n C. r(A)= n D. r(A) =06.

12、 假設方程組存在非零解, 那么常數b= A.2 B.4 C.-2 D.-47. 設A為n階方陣, 且|A|=0, 那么 A. A中必有兩行(列)的元素對應成比例B. A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合C. A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合D. A中至少有一行(列)的元素全為零8. 設A為3階方陣, A的特征值為1, 2, 3,那么3A的特征值為 A. 1/6, 1/3, 1/2 B. 3, 6, 9 C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/39. 如果3階矩陣A的特征值為-1,1,2，那么以下命題正確的選項是 A. A不能對角化 B. C. A的特征

13、向量線性相關D. A可對角化10. 設二次型的標準形為，那么二次型的正慣性指標為 A.2 B.-1 C.1 D.3參考答案: 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C1. 如果=M，那么= A. -4M B. 0 C. -2 M D. M2. 設Aij是n階行列式D=|aij|中元素aij的代數余子式, 那么以下各式中正確的選項是 A. B. C. D. 3. ，那么|AB|= A.18 B.12 C.6 D.364. 方陣A可逆的充要條件是 A. A¹O B. |A|¹0 C. A*¹O D. |A|=

14、15. 假設A、B為n階方陣, A為可逆矩陣, 且AB= O , 那么 A. B¹ O , 但r(B)<n B. B¹ O , 但r(A)<n, r(B)<nC. B= O D. B¹ O , 但r(A)=n, r(B)<n 6. 設b1, b2是非齊次線性方程組AX=b的兩個解, 那么以下向量中仍為方程組解的是 A. b1+b2 B. b1-b2 C. D. 7. n維向量組a1, a2, ××× , as線性無關, b為一n維向量, 那么 A. a1, a2, ××× , as

15、, b線性相關 B. b一定能被a1, a2, ××× , as線性表出C. b一定不能被a1, a2, ××× , as線性表出 D. 當s=n時, b一定能被a1, a2, ××× , as線性表出8. 設A為三階矩陣, A的特征值為-2, 1, 2, 那么A-2E 的特征值為 A. -2, 1, 2 B. -4, -1, 0 C. 1, 2, 4D. 4, 1, -49.假設向量=1，-2，1與=2， 3，t正交，那么t= A.-2 B.0 C.2 D.410. 假設正定, 那么x, y, z的關系

16、為 A. x+y=z B. xy=z C. z>xy D. z>x+y參考答案: 1.A 2.C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. B 9.D 10. C1. 行列式中元素的余子式和代數余子式值分別為 A. 9，-9B. 9，9 C. 9，-9D. 9，92. = A.2 B.4 C.0 D.13. 設A為4階矩陣, |A|=3, 那么其伴隨矩陣A*的行列式|A*|= A.3 B.81 C.27 D.94. 設A, B均為n階可逆矩陣, 那么以下各式中不正確的選項是 A. (A+B)T=AT+BT B. (A+B)-1=A-1+B-1C. (AB)-1=B-1

17、A-1 D. (AB)T=BTAT5. 設n階矩陣A滿足A2+A+E=O, 那么(A+E )-1= A. A B. -(A+E) C. A D. -(A2+A ) 6. 設n階方陣A, B , 那么以下不正確的選項是 A. r(AB)r(A) B. r(AB)r(B)C. r(AB)min r(A)，r(B) D. r(AB)>r(A)7. 方程組AX=b對應的齊次方程組為AX=O， 那么以下命題正確的選項是 A. 假設AX=O只有零解, 那么AX=b有無窮多個解 B. 假設AX=O有非零解, 那么AX=b一定有無窮多個解C. 假設AX=b有無窮解, 那么AX=O一定有非零解D. 假設A

18、X=b有無窮解, 那么AX=O一定只有零解8. 矩陣的一個特征值是0, 那么x= A.1 B.2 C.0 D.39. 與相似的對角陣是 A. B. C. D. 10. 設A為3階方陣, A的特征值為1, 0, 3,那么A是 A.正定 B.半正定 C.負定 D.半負定參考答案: 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10.B1. 設A, B都是n階方陣, k是一個數, 那么以下 是正確的。A. 假設|A|=0, 那么A= OB. |kA|=|k|×|A| C. |A+B|=|A|+|B|D. |AB|=|A|×|B|2. 設

19、, 那么4A41+3A42+2A43+A44= A.0 B.1 C.2 D.33. 假設n階方陣A的行列式為a, 那么A的伴隨陣的行列式|A*|= A. B. an C. D. an-14. 設A, B, C 都是n階方陣, 且C可逆, 那么以下命題中 是錯誤的。A. 假設AB=C, 那么A與B都可逆 B. 假設AC=BC, 那么A=BC. 假設ABC=O, 那么A= O或B= OD. 假設AC=B, 那么A與B有相同的秩5. 設n階矩陣A滿足A3-A2+A-E=O, 那么A-1= A. A2-A +E B. -(A+E) C. A2-A D. -(A2-A +E)6. 矩陣的秩為 A.1 B

20、.3 C.2 D.47. 設AX=b是一非齊次線性方程組, h1, h2是其任意2個解, 那么以下結論錯誤的是 A. h1+h2是AX=O的一個解 B. 是AX=b的一個解C. h1-h2是AX=O的一個解 D. 2h1-h2是AX=b的一個解8. 設A為3階方陣, A的特征值為1, 2, 3,那么A -1的特征值為 A. 2, 1, 3 B. 1/2, 1/4, 1/6 C. 1, 1/2, 1/3D. 2, 1, 69. n階矩陣A可對角化的充分必要條件是 A. A的不同特征值的個數小于n B. A的線性無關特征向量個數小于nC. A有n個線性無關的特征向量 D. 上述命題都不對10. 設

21、二次型的標準形為，那么二次型的秩為 A.2 B.-1 C.1 D.3參考答案: 1.D 2.A 3. D 4. C 5. A 6. C 7. A 8. C 9. C 10. A 11. 行列式的值為0。12. 設a=(1, 0, -1)T, 那么lE-aaT=。13. 設方陣A滿足A2-A-2E=O, 那么A-1=。14. 向量a=(6, -2, 0, 4)， b=(-3, 1, 5, 7)，2a+g =3b，那么g=(-21,7,15,13) 15. 設b是非齊次方程組Ax=b的一個解向量, a1, a2, ×××, an-r是對應的齊次方程組Ax=0的一個根底

22、解系, 那么向量組b, a1, a2, ×××, an-r線性無關。16. a1, a2, a3線性相關, a3不能由a1, a2線性表示, 那么a1, a2線性相關。17. 設齊次線性方程組的根底解系中向量個數為2, 那么a= 1 。18. 設A為3階方陣, 其特征值為3, -1, 2, 那么|A|=-6。19. 假設Q為正交矩陣，那么與的關系是。20. 如果二次型的標準形為，那么二次型的正慣性指標為 2 。填空題11. 設, 那么A41+2A42+A43+A44=0 。12. 設a=(1, 0, -1)T, 那么|aaT|=0 。13. 設, , 假設X滿足A

23、+X=B , 那么X T。14. ，那么B的伴隨矩陣B。15. 假設向量a=(1, 1, k)T, b=(2, -3k, 4)T正交, 那么k=-2。16. 假設向量(1, 2, 0)與(x, y, 0)線性相關, 那么x與y滿足y=2x。17. 設A是n階方陣, X1, X2均為方程組AX= b的解, 且X1¹X2, 那么|A|=0。18. 假設方陣A相似于, 那么|A-1|3=-1/64 。19. 假設向量組a1, a2, a3與向量組b1, b2, b3等價, 其中b1=(1, 0, 0, 0)T, b2=(0, 1, 0, 0)T, b3=(1, 1, 0, 0)T, 那么向

24、量組a1, a2, a3的秩為2。20. 二次型的矩陣A= 。11. 假設, =0。12. = 。13. 設n階方陣A滿足: A2-A+E=O, 那么A-1=E-A 。14. a=(1 2 3), b, 設A=a b T , 那么An=3n 。15. 假設向量組a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 2, 3)T, a3=(1, 3, t)T線性無關,那么t的取值為 t¹5。16. 假設齊次線性方程組存在非零解, 那么系數a1/3 。17. 向量組a1, a2, a3線性無關, 那么a1_一定不_(一定, 不一定, 一定不)能由a1, a2線性表示。18. 設向量a1=(1, 1

25、, 0)T和a2=(1, 0, 1)T都是矩陣A對應特征值l=2的特征向量, 且向量b=a1-2a2, 那么向量Ab=。19. 向量組a1=(1, 2, 1, 3)T, a2=(1, 1, 2, 1)T，那么內積a1， a2=8。20. 對稱矩陣A=對應的二次型是的 。11. 3階矩陣A的行列式|A|=m, 那么|-mA|= -m4。12. , ,那么=。13. 設A=，那么A-1=。14. 如果矩陣的秩為r(A)=1，那么a=9。15. a=(1 , 2 , 3), 那么(aTb )2=。16. 假設向量(1, 2, 0)與(x, y, 0)線性無關, 那么x與y滿足y¹2x。17

26、. 線性方程組的根底解系中向量個數為n-2。18. 設l=2是可逆矩陣A的一個特征值, 那么矩陣的一個特征值為3/2。19.在R3中a =(a,b,c)與任意向量均正交，那么|a|=0。20. 為正定二次型，那么k >2 。11. 設4階行列式D的第二行的元素分別為a21=2, a22=1, a23=3, a24=1, 它們的余子式分別為M21=-6, M22=100, M23=4, M24=16, 那么D的值為116。12. A=(1 -1 2), , 那么BTAT=。13. 設, 為A的伴隨矩陣，那么AA*=。14. =。15. 矩陣的秩為r(A)=1。16. 向量組a1=(2, 3

27、, 0)T , a2=(-1, 4, 0), a3=(0, 0, 2)是線性無關 。17. 設, , 其中a1, a2是非齊次線性方程組Ax=b的解, A為2´3矩陣, 且R(A)=2, 那么方程組Ax=b的通解為或。18. 三階方陣A的三個特征值分別為1, 2, 3, 那么|A2-2E|=-14 。19. 假設為正交矩陣，那么也是=正交 矩陣。20. 假設實對稱矩陣與矩陣合同，那么二次型的標準形為 。11. 設A為n階方陣, |A|=2, k為常數, 那么|kA|=2kn。12. 設, 那么An=。13. 設矩陣, 那么BT(E-A)T=。14. 設, 那么A-1=。15. 設,

28、假設R(A)=2, 那么k=3 。16. 量組a1=(-1, 3, 1)T , a2=(2, 1, 0), a3=(1, 4, 1)是線性相關 。17. 設A是3×4矩陣, 其秩為3, 假設h1, h2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解, 那么它的通解為或。18. 設向量a1=(1, 1, 0)T和a2=(1, 0, 1)T都是矩陣A對應特征值l=2的特征向量, 且向量b=2a1-3a2, 那么向量Ab=(-2, 4, -6)T。19. 設n階矩陣A的n個列向量兩兩正交且均為單位向量, 那么ATA=E。20. 二次型秩為3，正慣性指標為2，那么二次型的標準形為 。11. ，那么

29、|AB|=-144 。12. 設A=，那么A-1=。13. 矩陣的秩為r(A)= 2 。14. 設, , 滿足2A+X=B-2X, 那么X=。15. a=(1, 2, 3), b, 那么aTb =。16. 向量組a1=(1, 3, 1), a2=(0, 1, 1), a3=(1, 4, k)線性相關, 那么k=2 。17. 線性方程組Am´nX=b有無窮多解的充要條件是r(A)=r(A, b)<n。18. 設a1, a2是n(n3)元齊次線性方程組Ax=0的根底解系, 那么R(A)=n-2 。19. 假設Q為正交矩陣，那么 。20. 二次型的矩陣是11. 四階行列式D中第三列元

30、素依次為-1, 2, 0, 1, 它們的余子式依次分別為5, 3, -7, 4, 那么D=-15 。12. 設, , 那么AB=。13. ，那么|A A T |=9 。14. 設A=，那么A-1 =。15. 4維向量a=(1, 5, -2, 3), b=(-1, 5, 0, 7), 假設3a+2g =7b, 那么g =。16. 假設向量組a1, a2, a3與向量組b1, b2, b3等價, 其中b1=(1, 0, 0, 0)T, b2=(0, 1, 0, 0)T, b3=(1, 1, 0, 0)T, 那么向量組a1, a2, a3的秩為2 。17. 線性方程組AX=O解向量的一個最大無關組為

31、X1, X2, ×××,Xt, 那么AX=O的通解X=k1X1+k1X2+ ××× +ktXt。18. 矩陣的一個特征值是0, 那么x=0 。19. 假設向量a=(1, 1, k)T, b=(2, -3k, 1)T正交, 那么k=1 。20. 二次型f(x1, x2, x3)的標準形為 。計算與應用題一21. 設線性無關，證明，也線性無關。22. 計算行列式。23. 利用逆矩陣解矩陣方程。24. ，求a的值，使得2。25. 求向量組， 的秩和一個極大線性無關組，并把其余向量用此極大線性無關組線性表示。26. 求矩陣A=的特征值與特征向

32、量。27. 討論當l取何值時，齊次線性方程組有非零解，并在有非零解時求其通解。參考答案：21. 如果 ， ，于是 ，由線性無關知 此方程組只有零解，因此線性無關。22.= =- =-3 23. 故 24. 當a=0時，2。25. 記， 向量組的秩所以是向量組的一個極大線性無關組，且=+，=。26. 由特征方程 =0得A的特征值。對于特征值，解方程組， 求得一個根底解系，故A的屬于的全部特征向量為，為任意非零數。對于特征值，解方程組，即， 求得一個根底解系，故A的屬于的全部特征向量為，為任意非零數。27. 對增廣矩陣作初等行變換得 ,當l=-3時, r(A)=2<3, 方程組有非零解。此時

33、對應方程組為 ，根底解系為=(-1, 1, 1)T ，所求通解為， k為任意常數。二21. 設l1, l2為n階方陣A的兩個互不相等的特征值, 與之對應的特征向量分別為X1, X2, 證明X1+X2不是矩陣A的特征向量。22. 設函數, 求方程f(x)=0的根。23. 解矩陣方程。24. 假設向量組1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 3)T, 3=(1, 3, t)T線性相關,求1t的值；2將3表示為1和2的線性組合。25. 求方程組的一個根底解系和通解。26. 二次型f =2x1x2+2x2x3+2x3x1. (1)求出二次型f 的矩陣A的特征值; (2)寫出二次型f 的標準形。2

34、7. 當l取何值時, 方程組有唯一解，并求解。參考答案: 21. 假設X1+X2是矩陣A的屬于l特征向量，即A(X1+X2)= =lX1+X2因為 AX1=l1X1， AX2=l2X2，所以 A(X1+X2)=AX1+AX2=l1X1+l2X2，消減 l-l1X1+l-l2X2=O因為屬于不同特征值的特征向量線性無關，所以X1， X2線性無關，得l-l1=l-l2=0既l=l1=l2，矛盾。22. ，得方程f(x)=0的根為x=±1, x=±2。23. 因為 , , 所以 = 24. (1)記，因為 因為向量組線性相關充分必要條件是，所以當t=5時,向量組線性相關)2由x1

35、1+x22=3, 因為增廣矩陣=得方程組的解為x1=-1, x2=2,從而3=-1+22。25. 方程組的一個根底解系為X1=(-7/2, 1/2, 1)T,方程組的通解X=k X1 (k為任意常數)。26. (1) 二次型f 的矩陣為 因為, 所以A的特征值為 l1=l2=-1, l3=2。(2) 二次型f化為標準形為 27. 對增廣矩陣進行初等行變換得 當l=3或l=1時r(A b)=r(A)=3, 方程組有唯一解；當l=3時，解為；當l=1時，解為。三21. 假設Ak=O(k是正整數), 求證: (E-A)-1=E+A+A2+ + +Ak-1。22.計算行列式。23. 。24. a=(1

36、 2 3), , 設A=aTb, 求A及An25. 求向量組，的秩和一個極大線性無關組，并把其余向量用此極大線性無關組線性表示。26. 求解線性方程組的通解。27. 判斷矩陣是否可對角化？假設可對角化，求可逆矩陣使之對角化。參考答案: 21. 由Ak=O, 得 E-Ak=E-O=E, 而 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ + +Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+ + +Ak-1)=E, 因此(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ + +Ak-1 22. =- 23. = , = 24. baT=3(baT是個數), An=(aTb)(aTb) ×

37、5;× (aTb)=aT(baT)(baT) ××× (baT)b =aT(baT)n-1b 25. 記， =C，所以向量組的秩；因為是列向量組的一個極大線性無關組，所以是向量組的一個極大線性無關組，(2分)并且 ，。26. 對增廣矩陣作初等行變換得 , 對應的方程組為 取x3=0，得方程組的一個特解為=(-8, 13, 0, 2)T ;取x3=1，得導出組的一個根底解系=(-1, 1, 1, 0)T ，所求方程組的通解為 ，其中為任意常數。27. 由 =0，得A的特征值，。對，解方程組，得其一個根底解系；對，解方程組，得其一個根底解系；因為矩陣A有兩個

38、線性無關的特征向量，所以A可相似對角化取 ， 那么=。四21. 設方程組：，證明方程組有解的充分必要條件是。22. 計算行列式。23. 設, , 滿足AX=2X+B, 求X。24. 設， (1)驗證線性無關；2將用線性表示。26. 求矩陣的特征值和特征向量。27. 設, 試討論k為何值時,1r(A)=1；2 r(A)=2；3r(A)=3。參考答案:21. 方程組的增廣矩陣因為方程組有解的充分必要條件是r(A b)=r(A) 。所以方程組有解的充分必要條件是。22. =10=10=20 =20=160 23. (A-2E)X=B,因為 , ,所以 X=(A-2E)-1B 24. 記，因為，或者只

39、有零解，所以線性無關。 或因為，所以線性無關。由 ，即 =，得惟一解：故 2。25. 方程組的一個根底解系為X1=(1/2,0,-1/2,1)T,方程組的通解X=k X1 (k為任意常數)。26. 由 =0，得A的特征值二重，。對，將方程組化簡為 ，它的一個根底解系為 ， 。 A的屬于的全部特征向量為+(,不全為零)。對，解方程組，即 它的一個根底解系為。A的屬于的全部特征向量為()。27. =B 。 (1)當k=1時，B =,1; (2)當k=-2時，B =,2; (3) 當時，3。 五21. 如果方陣A滿足，那么A的特征值只有0或者1。22. 計算行列式。23. , 其中, 求，A11。2

40、4. 設3階方陣A, B, C滿足方程 C(2A-B)=A, 求矩陣A, 其中 , 。25. 求向量組1= (-1, 1, 4)T, 2=(-2, 1, 5)T, 3=(-4，2, 10)T, 4= (1, 0, -1)T的一個極大無關組, 并把其余向量用極大無關組線性表示。26. 二次型. (1)求出二次型f 的矩陣A的特征值; (2)寫出二次型f 的標準形。27. 討論a、b為何值時非齊次線性方程組有無窮多解, 并求其通解。參考答案:21. 設為A的任一特征值，為A的屬于的特征向量，即，所以 ，而，故，得=0或1，因此A的特征值只有0或者.2 23. ，A= A2.=P2P-1= A11=

41、 24. (2C-E)A=CB, CB=， (2C-E)可逆并且(2C-E)-1=得A=(2C-E)-1(CB)= 25. 因為 所以向量組的秩r()=2因為線性無關, 所以是一個極大無關組. 并且3=22，4=1-2。26. 二次型的矩陣為, 因為 所以A的特征值為l1=2, l2=5, l3=-1. (2) 二次型f的標準形為 27. 對增廣矩陣進行初等行變換得 , 當a=-2且b=-1時, r(A)=r(A, b)=2<3, 方程組有無窮多組解,此時 , 對應的方程組為取x3=0，得方程組的一個特解為=(3, 1, 0)T ;取x3=1，得導出組的一個根底解系=(-2, -1, 1

42、)T，所求方程組的通解為，其中為任意常數。六21. 設方陣A滿足A2-3A+E=O, 證明(A- 2E)可逆, 并求(A- 2E)-1。22. 計算n階行列式。23. 解矩陣方程AX+B=X, 其中, 。24. 求一個非零向量，使得與向量，都正交。25. 確定的值，使方程組有無窮多個解，求出它的通解。26. 求矩陣的特征值及特征向量。27. 設， 能否用線性表示？假設能，表示法是否惟一？參考答案:21. 由A2-3A+E=O可知A2-3A+2E=E, 即 (A-2E)(A-E)=E, 所以(A- 2E)可逆, 且(A- 2E)-1=A-E 22.把第二列加到第一列，再把第三列加到第一列一直到把

43、第n列加到第一列，得 = = 23. 由AX+B=X得 (E-A)X=B,因為 , 所以 24. 設=，由題意 ，即 方程組的根底解系為(2分)取即可。25. ,當a=1時，R(A)=R(A, b)=1<3, 方程組有無窮多解。當a=1時，(A, b)取x2=x3=0，得方程組的一個特解為=(1, 0, 0)T ;分別取x2=1，x3=0，和x2=0，x3=1，得導出組的一個根底解系=(-1, 1, 0)T ，=(-1, 0, 1)T .方程組的通解為，其中為任意常數。26. 由特征方程 =0得A的特征值對于特征值，解方程組，即 -求得一個根底解系，故A的屬于的全部特征向量為，為任意非零數。對于特征值，解方程組，即-2， 求得一個根底解系，故A的屬于的全部特征向量為，為任意非零數。27. 由 ，即 =，得惟一解：故 2，(1分)且表示法惟一。七21. 如果向量組a1, a2, ×××, as線性無關, 證明向量組a1, a1+a2, ××× , a1,+a2+ ××× +as線性無關。22. 設, 求x。23. 設，且AB+E=A2+B，求B。24. 設向量組1=(1, 1, 3, 1)T, 2=(3, -1, 2, 4)T, 3=(