1、弟一早大氣運動方程大氣運動方程應遵循牛頓第二定律（運動方程）、質量守恒定律（連續方程）、能量守恒定律（熱力學 或能量方程）、氣體試驗定律（狀態方程）、水汽守恒定律（水汽方程） 運動方程dV/T T T二Vp - 2 jQx JZ+ g+ Fdtp連續方程狀態方程p = pRT熱力學方程且不訂一旦坐義aCpP 由 CP水汽方程務魯+ = S球坐標下的大氣運動方程組 球坐標 經度入、緯度小，地心到空間點的距離r球坐標下6 x是沿緯圈的微小位移、6星沿經圈的微小位移、6顯垂直方向的微小位移S x=r*cos d * S 入8 y=r* 8（|）8 z= 8 ru是緯向速度u=r* cos小*d入/d

2、tv是經向速度v= r*d小/dt w是垂直速度w=dr/dtr球坐標下加速度dV/dt的展開rrrrdVdurdv rdw ,rdidjdki j k u v wdtdtdtdtdtdtdt局地直角坐標系下坐標與球坐標的關系 局地直角坐標系是球坐標系的簡化形式，保留了球坐標的框架，忽略了球面曲率的影響 區分球坐標方程和局地直角指標方程du uvfgfp 1 dp-=- 十六 + 乙dt a p a cos tpc jldp ( cttc va+ p11-1克甲 =0dr 7cos (pcX actp & aP坐標系下大氣運動方程組P坐標系下的垂直速度力p/dt區分P坐標方程與Z坐標方程答沖一

3、用八匕+耳dw I金 廠1- fv + .虹at p s(T坐標坐標系是與氣壓相聯系的坐標系，具有下邊界簡單，便于引進地形的動力作用等特點坐標的定義0坐標的邊界條件P坐標系通常應用于天氣尺度的大氣運動，具有準靜力平衡的特點，滿足方程邊界條件:CT = O,cr = 0(T = l.cr 0區分P坐標方程和（T坐標方程p = pRTOTT=狀態方程 卬+Pj= V# （p*/今垂直運動方程數值模式的分類 過濾模式只能模擬準地轉演變過程，而原始方程模式既能模擬準地轉演變過程又能模擬地轉適應過程。原始方程模式分為正壓原始方程模式（垂直方向一層）和斜壓原始方程模式（垂直方向有多層）地圖投影的概念 地圖

4、投影是按照一定的數學條件，把球形的地球表面展繪于平面地圖上。或者說把地球表面投影到一 個簡單的曲面上。投影的誤差距離誤差、面積誤差、角度（形狀）誤差投影類型 等角投影、等面積投影、任意投影且在投影面任意一點的各個方向等角投影中，經過投影后地球表面的任意兩條交線的夾角保持不變， 上長度放大或縮小的倍數相等，投影之后不產生角度或者形狀的誤差 按地圖投影面的性質分類型方位投影或平面投影、圓錐投影、圓柱投影地圖投影的基本概念及幾個重要因子映像面：投影的投射面、投影面映像平面：映像面沿某一條經線切開所展成的平面地圖：映像平面按地圖比例尺縮小后的圖切投影：映像面與地球表面相切于某一點的投影割投影：映像面與

5、地球表面相割的投影標準緯度：映像面與地球表面相交的緯度（標準緯度上，映像面的距離等于地球表面上相應的距離）映像比例尺m：映像平面上的距離除以地球表面上相應的距離。又稱地圖放大因子。標準緯度上m=1地小比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以映像平面上相應的距離實際比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以地球表面上相應的距離正形投影正形投影的光源位于球心，映像面為圓錐面，映像面圓錐角為a,標準緯度為g0地圖放大系數的計算sin 6n fH =sin 0其中k為單位經度所張的圓錐角，表示了圓錐的幾何特征，成為圓錐常數;0 0是標準緯度的余角。極射赤面投影是一種正形割投影，其光源位于南極，映像面為一個與地球相割

6、于北緯60度的平面,標準緯度為60 N。根據網格坐標計算放大系數(+柯氏參數的計算l-. r -rf = 2Qsin p 2Q-ri； _ I蘭伯托投影是一種正形投影，其光源位于地球球心，映像面為一個與地球表面相割與30 N和60N的圓錐面，圓錐角為90。sin q0x8sinh sin 6 In sin 02l 4 1 a, hi 七一|nfgh= 0.7156kl麥卡托投影光源位于球心，映像面是與地球表面相割于南北緯22。5的圓柱面，標準緯度為22.5N 和 225 S投影后，經線為等距平行的直線，緯線為與經線垂直的直線，正形圓錐投影的極限情形。k=0所以不能采用普遍的正形投影中的關系式來

7、對之進行討論。而是從地圖放大系數入手求有關表達式(co$2251+(7/)2aJe為網格點相對于赤道的坐標。放大系數是關于赤道成緯向軸對稱。普遍正交曲線坐標系中的方程組qj是正交曲線的坐標，dqj是相應的坐標變元，dlj是空間點沿坐標線所移動的距離，稱為坐標線元 dlj=Hj*dqj其中Hj成為拉密系數。坐標線元不等于坐標變元而是等于坐標變元與拉密系數的乘積正交曲線坐標下的常用關系式 氣壓梯度力=_（JL里；_L型；_L身；）渦度T 3Vxr = y-樂”心砥小川- 1VAI7 =散度V7 71V1 I l =IZf此G風速矢量平流絕對溫度平流普遍地圖投影坐標系中的方程組 設X和Y軸地圖投影放

8、大系數為 m和n, Z方向的地圖投影放大系數為1 拉密系數%=%； 小乙=1要求可以利用給出的關系式得到普遍地圖投影坐標系中的大氣方程組表達式例如根據連續方程表達式和散度在正交曲線坐標系下的表達式，得到地圖投影坐標下的連續方程表達 式，要求將求和符號展開成各項相加的形式氏/乩句J X 從= % = _； H、=HZ=1 fi第一步將H的表達式代入散度表達式，寫出mnWmnru第二步寫出 d V) mnX nV WY m Z mn第三步寫出差分方法和差分格式 離散化的概念=(為)=市Arj7AHu(x,t)是連續函數，u(i?x,n?t)是u(x,t)經離散化后的形式。所謂離散化，即把連續的x以

9、i?x代替，連續的t以n?t代替，其中i和n為整數。均是以一維線性平流方程為例差分格式基本都是通過泰勒展開式來構造的。Clf;/(.r + AyJ) = h(-S) + Ar +A(ZV)2 3也 (Ay;1-；H253.cit r2u (AxK 戶 (2如二.+工丁一下人 +前差格式:CM H(x+ dx, t) H( A, t ).= + KAx后差格式cu x, Z) (x - dxf t) =+ KexAx中央差格式:二階微分的差分格式Clfexat x f /ixf r)- 2m x, /) - jf(x - /ixf t)s+ A(jX廠拉普拉斯的差分格式154 $A* erA _

10、l j _ 44. 4(X?1 A -J7FT J + TI _ 1 J ,f-lj拉普拉斯的差分格式涉及到的格點截斷誤差上面差分格式中的R被成為截斷誤差。意思是用差商來近似代替偏微商時，將會因舍去 R所代表的 項而造成的誤差。一般用R中最大的項來表示截斷誤差的大小。如果R中最大的項是？x，則R=O（?x）c如果是？x2,則R=O （?x2）。（注：所謂最大的項指的是偏導階數最小的一項，一階偏導項大于二階偏 導項）R反映了差分方程代替微分方程時的截斷誤差，它在一定程度上代表了差分格式的精度，R的階次越高，則差分格式的精度越高，誤差越小。這個的精度就是R=O （?x2）相容性（一致性）當空間步長

11、 x和時間步長t很小時，差分方程是否逼近微分方程，這就是差分格式的相容性（一 致性）問題。收斂性在一定的定解條件下，差分方程的解是否逼近微分方程的解的問題，稱之為差分格式的收斂性問題。穩定性在時間積分過程中，由于舍入誤差的影響，差分解的誤差是否隨時間增長的問題， 即差分格式的計算 穩定性問題。拉克斯（Lax）等價定理：如果差分方程逼近微分方程，即差分格式與微分方程是相容的，或者差分格式滿足相容性條件, 差分格式的穩定性，保證了其收斂性（計算穩定性是收斂性的充分必要條件）。用Von-Neumann穩定性判別方法來證明差分格式的計算穩定性時的主要步驟為:1設解的波動形式，代入差分方程。2得出其對應

12、的增幅因子Go3討論G| 1時的情況。4判斷格式穩定性及滿足格式穩定性的條件。RRCFL判據增幅因子G: A，t+i = GAn其中A n+1和An分別是n+1時刻和n時刻的振幅微分方程波動形式解：差分方程形式解:各個差分格式穩定性丈二K十仁或二心二0時間前差，空間后差條件穩定啟7 rtn k二2l = o時間前差，空間前差XAa.0WQW1條件穩定空間中央差= 4飛1】二和1時顯式格式會出現不穩定，隱式格式的頻率解隨f?t增加而減小顯式格式與隱式格式的頻率解與真值的比值空間的截斷誤差（波數誤差）用中央差格式展開時，波數k的數值解為:, sink x k x差分近似精度隨k或？x的減小而增大，

13、這也就是說對于波長較短的波，其產生的波數誤差較大；而 波長較長的波，則差分方程可以比較精確地表示其空間微商，波數誤差很小，精度較高。相速度和群速度誤差空間差分格式的波數誤差和時間積分格式的頻率誤差會造成相速度和群速度的誤差，從而引起計算頻散。差分格式在波的移動和能量傳播方面均可造成誤差。而且：（1）由于相速度誤差，減慢了平流過程；（2）造成虛假的計算頻散，且對短波尤為明顯。（1）波長越長，誤差越小；波長減小，其誤差也就更為嚴重；（2）提高網格分辯率，使？x取得足夠小，可以提高相速度的準確率。差分格式誤差特征總結：1、三層時間積分格式存在計算解問題：計算解對差分解的影響依賴于網格分辨率和波長。2

14、、時間積分格式引起頻率誤差：顯式格式使其頻率明顯增加，振動加快；隱式格式使其頻率明顯減小，振動減慢。3、空間差分格式引起波數誤差：高階差分格式所引起的波數誤差要比低階格式小；波長較短的波，誤差尤為嚴重。4、空間差分格式會引起計算頻散：尤其對于短波，相速度和群速度均會產生很大的誤差。通常可采用提高網格分辯率的方法減小各種誤差。非線性不穩定對于非線性偏微分方程， 線性偏微分方程的穩定性條件， 只能給出其計算穩定性的必要條件， 即使滿足這一條件，也可能會因為差分方程的邊界條件和非線性項的不正確表示而產生計算的不穩定現象，我們把這種由于非線性作用而產生的不穩定，稱為非線性不穩定。混淆誤差差分方法是用有

15、限的自由度系統來代替原來的連續介質系統的。 而有限格點上的函數值只能分解有限的波數，其最短波長為 2?x， 對于非線性作用產生的波長小于2?x 的波動，網格系統不能正確地將它表示出來，而把它錯誤地表示成為某種波長大于2?x 的波，從而產生了誤差，我們把這種波的誤差稱之為混淆誤差。對于網格數為I的網格，假設Ui中包含兩個波，波數分別為ki和k2,當這兩個波發生非線性作用而產生k1+k2 的波時，如果k1+k2I/2 ，則網格將把這個波的波數識別為S=I- （ k1+k2）自激反饋假設k1和k2 相互作用，能量反饋到上k1 ， 則有：k1=I（- k1+k2）， 或 2k1=I-k2。 由于k2=

16、I/4因此，發生能量反饋的波其波長必在 2?x 和 4?x 之間，也就是說只有對波長很短的波才發生能量反饋；非線性不穩定的產生主要是由于短波能量的虛假增長所造成的。抑制和克服非線性計算不穩定的做法通常有：? 空間和時間平滑，濾去短波分量（濾除波長小于 4 倍 格距的波動） ；? 在方程中加入擴散項；? 構造具有隱式平滑和某種選擇性衰減作用的差分格式? 構造守衡的差分格式，使差分方程盡可能保持原來的物理規律和能量關系；? 采用譜變換方法 （可避免非線性不穩定問題） 。正壓原始方程模式以下在 3 個假設的基礎上導出正壓原始方程模式的預報方程組第一、假設大氣均勻不可壓，密度p為一常數。第二、假設模式

17、滿足靜力平衡。第三 、假設模式大氣是正壓的，初始時刻水平風速不隨氣壓變化正壓原始方程模式的預報方程組注意區分正壓原始方程和P系方程 正壓原始方程重要積分性質：全球總質量、總能量、總絕對渦度、總渦度和總絕對角動量守恒等性質。正壓原始方程線性穩定性判據注意這個判據，除了與相速度有關，還與最大風速有關。如果不采用附加的平滑運算，一次守恒差分格式的計算穩定性能較差，原因在于物理量 F的平均值 守恒并不能保證其絕對值不無限增長。為此，需要進一步來設計能使物理量 F2守恒的所謂的二次守 包差分格式。空間平滑的意義在數值模式積分過程中，非線性相互作用會產生波長為2-4倍格距的短波擾動，而短波系統能量的迅速增

18、長，會引起不穩定現象，有時甚至會使數值積分中斷。為了濾除數值模式積分過程中的短波擾動， 有效地抑制非線性計算不穩定，通常采用空間平滑濾波的方法。三點平滑片=5+1（57 2 +產皿）響應函數K(S,Z)3 =1-S(1- cos A-4v) = 1 - 25 sin如果取S=1/2,則有接 乂 =cos: C Jj S=1/2（下方實線）和S=-1/2 （上方實線）的濾波曲線L很大的波并未受到影響波長為L=2 x的波動完全濾除L 2 x的波用不同程度的衰減而多重平滑多次平滑對波長較長的波具有相當嚴重的衰減作用。利用空間平滑所具有的特性，可以構造出一種所謂的芷逆平滑”運算，既過濾短波，又使長波的衰減很小。正、逆平滑系數分別取為 S=1/2和S=-1/2對要素場進行連續兩次的平滑 五點平滑7 =小+W + 琲人-片山 + Kg -4/；J4涉及到的格點響應