1、高等數學教學大綱課程名稱：高等數學 Advanced Mathematics課程性質：通識課 公共必修課 學 分：11總 學 時：170學時 理論學時：170學時適用專業：本（工）科各專業先修課程：教學目的與要求：高等數學是高等院校本科學生數學教育都應達到的合格要求，也是選學工科各專業學生的基本要求，因此該課程不僅是高等院校本科數學教育的一門通識課程，也是工科本科各專業的一門重要基礎理論課程與核心課程，它的教學目的與要求是：1. 使學生獲得高等數學的基本概念、基本理論與基本運算技能，為學習后續課程和進一步獲得數學知識奠定必要的數學基礎；2. 使學生具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象

2、能力；具有較強的自學能力；3. 使學生學習體會研究問題解決問題的一般科學方法，培養學生用數學方法解決實際問題的意識、興趣和能力。教學內容與學時分配序號章目名稱學時分配第一章函數與極限20學時第二章導數與微分10學時第三章微分中值定理與導數的應用12學時第四章不定積分12學時第五章定積分12學時第六章定積分的應用12學時第七章微分方程15學時第八章空間解析幾何與向量代數12學時第九章多元函數微分法及其應用18學時第十章重積分12學時第十一章曲線積分與曲面積分18學時第十二章無窮級數17學時合計學時數170各章節主要知識點與教學要求第一章函數與極限（20學時）第一節 映射與函數第二節 數列的極限第

3、三節 函數的極限第四節 無窮小與無窮大，第五節 極限運算法則第六節 極限存在準則 兩個重要極限第七節 無窮小的比較第八節 函數的連續性與間斷點第九節 連續函數的運算與初等函數的連續性第十節 閉區間上連續函數的性質本章重點：函數與復合函數的概念，初等函數，實際問題中的函數關系；極限概念與極限運算法則；無窮小與無窮小的比較；兩個重要極限；函數連續的概念與初等函數的連續性；間斷點的分類；閉區間上連續函數的性質。本章難點：復合函數的復合過程；極限定義的理解；兩個重要極限的靈活運用；極限存在的兩個準則的應用；閉區間上連續函數性質的應用。教學要求：（1）掌握函數的概念、表示方法與性質，并會建立簡單應用問題

4、中的函數關系式；（2）掌握基本初等函數的性質及其圖形，掌握復合函數的復合過程；（3）了解函數極限的概念，會用極限定義證明一些極簡單的極限，理解和掌握極限的運算性質；(4) 理解函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系; (5) 了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限；（6）掌握利用兩個重要極限求極限的方法；（7）掌握無窮小的有關理論，會用等價無窮小求極限；（8）掌握函數連續的定義，會判別函數間斷點的類型；（9）了解連續函數的性質和初等函數的連續性，會用閉區間上連續函數的性質解決一些簡單的有關問題。 （10）略講內容：極限存在的兩個準則的證明。第二章導數與微分(10學時)

5、第一節 導數概念第二節 函數的求導法則第三節 高階導數第四節 隱函數及由參數方程確定的函數的導數 相關變化率第五節 函數的微分本章重點：導數與微分的定義，導數運算法則；微分的概念與求法；高階導數。 本章難點：微分的概念與微分法；復合函數的求導法則；分段函數導數的求法。教學要求：（1） 理解導數和微分的概念以及導數與微分的關系；理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程；了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量；（2）理解函數的可導性與連續性之間的關系；會用定義求函數在某一點的導數；（3）掌握基本初等函數的導數公式；掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則；（4）會求分段函數的導數

6、；（5）會求隱函數和由參數方程確定的函數的一階、二階導數，會求反函數的導數；（6）會堅決一些簡單的相關變化率實際問題；（7）會求函數的微分，了解微分在近似計算中的應用；（8）了解高階導數的概念，會求某些簡單函數的n階導數。（9）略講內容： 高階導數中的萊布尼茲公式； 微分應用中的四個概念（誤差、相對誤差、相對誤差限、絕對誤差限）。第三章 微分中值定理與導數的應用（12學時）第一節 微分中值定理第二節 羅必達法則第三節 泰勒公式第四節 函數的單調性與曲線的凹凸性 第五節 函數的極值與最大值最小值第六節 函數圖形的描繪第七節 曲率第八節 方程的近似解本章重點：羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式；

7、羅必達法則；函數的單調性的判別方法；函數極值的求法，最大值和最小值的應用；函數圖形的描繪。本章難點：泰勒公式；洛必達法則；最大值、最小值的應用問題。教學要求：（1）掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；理解泰勒公式，知道泰勒公式的一些簡單應用；。（2）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法；（3）理解函數極值的概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。（4）會用二階導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點；（5）會求函數圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形；（6）理解弧微分；知道曲率和曲率半徑的概念。（7）略講內容： 曲率

8、半徑、曲率中心與曲率圓的計算； 方程的近似解。第四章不定積分（12學時）第一節 不定積分的概念與性質第二節 換元積分法第三節 分部積分法第四節 有理函數的積分第五節 積分表的使用本章重點：原函數與不定積分的概念；不定積分的性質；換元法與分部積分法；有理函數的積分。本章難點：不定積分各種方法的綜合使用；換元積分法中變量代換的選擇。 教學要求：（1）理解原函數和不定積分的概念；（2）掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質；（3）掌握不定積分的換元法與分部積分法；（4）會求簡單的有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的不定積分；（5）了解積分表的使用方法。第五章 定積分（12學時）第一節 定積分

9、的概念與性質第二節 微積分學基本公式第三節 定積分的換元法和分部積分法第四節 反常積分本章重點：定積分的概念及性質；牛頓萊布尼茨公式。本章難點：定積分的概念；積分上限函數的導數；反常積分的計算。教學要求：（1）理解定積分的概念與幾何意義；（2）掌握定積分的性質；（3）掌握積分上限函數及其求導方法；（4）掌握牛頓萊布尼茨公式；（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法，并會利用換元公式證明一些簡單命題；（6）了解反常積分的概念并會計算簡單的反常積分。（7）略講內容： 定積分的近似計算； 定積分的遞推公式。第六章 定積分的應用（12學時）第一節 定積分的元素法第二節 定積分在幾何學上的應用第三節 定

10、積分在物理學上的應用本章重點：定積分的元素法。本章難點：元素法的實際應用方法。教學要求：（1）理解和掌握定積分的元素法；（2）能利用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體體積等）和一些物理量（變力做功、引力、壓力等）。（3）略講內容：函數的平均值及其應用。第七章微分方程（15學時）第一節 微分方程的基本概念第二節 可分離變量的微分方程第三節 齊次方程第四節 一階線性微分方程第五節 可降階的高階微分方程第六節 高階線性微分方程第七節 常系數齊次線性微分方程第八節 常系數非齊次線性微分方程第九節 歐拉方程第十節 微分方程的冪級數解法本章重

11、點：微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程及一階線性方程的解法；可降階的高階微分方程的求解；二階線性微分方程解的結構；二階常系數齊次線性微分方程的解法。本章難點：線性微分方程解的性質與結構定理；二階常系數非齊次線性微分方程的特解。教學要求：（1）掌握微分方程及其解、階、通解，初始條件和特解等概念；（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法；（3）會用降階法解某些簡單的高階微分方程；（4）理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。（5）掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法；（6）會求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解； （7

12、）知道微分方程的冪級數解法。 （8）略講內容：貝努里方程； 微分方程的冪級數解法。第八章空間解析幾何與向量代數（12學時）第一節 向量及其線性運算第二節 數量積 向量積 混合積第三節 曲面及其方程第四節 空間曲線及其方程第五節 平面及其方程第六節 空間直線及其方程。本章重點：向量的坐標表達式；向量的數量積與向量積；兩向量平行、垂直的條件；平面的點法式方程；直線的對稱式方程；直線和平面的位置關系；球面方程；母線平行于坐標軸的柱面方程；旋轉曲面的方程。本章難點：兩向量的向量積；旋轉曲面的方程；空間曲線在坐標面上的投影曲線；二次曲面的方程。教學要求(1) 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示；

13、(2) 掌握向量的線性運算、數量積和向量積，了解混合積；掌握兩個向量垂直和平行的條件；(3)掌握向量的模、方向余弦與方向角；(4) 掌握平面方程和直線方程；(5) 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。(6) 會求點到直線以及點到平面的距離。(7) 理解曲面方程的概念；了解截痕法，了解常用二次曲面的方程及其圖形；會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程；(8) 了解空間曲線的參數方程和一般方程；(9) 了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。(10) 略講內容：平面束。第九章多元函數微分法及其應

14、用（18學時）第一節 多元函數的基本概念第二節 偏導數第三節 全微分第四節 多元復合函數的求導法則第五節 隱函數的求導公式第六節 多元函數微分學的幾何應用第七節 方向導數與梯度第八節 多元函數的極值及其求法第九節 二元函數的泰勒公式。本章重點：函數的偏導數和全微分；多元復合函數的一階偏導數；多元函數極值和條件極值的求法。本章難點：二元函數極限與連續性的概念；偏導數與一元函數導數之間的聯系與區別；復合函數偏導數的求法；二元函數最大值與最小值的求法；拉格朗日乘數法。教學要求：（1）理解多元函數的概念和二元函數的幾何意義。（2）了解二元函數的極限與連續性的概念，會判定二元函數在給定點處極限不存在；（

15、3）理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求偏導數與全微分；了解全微分存在的必要條件和充分條件；（4）知道二元函數中的極限、連續、可偏導、可微分、偏導連續之間的關系；（5）掌握多元復合函數的一階偏導數的求法，會求多元復合函數的二階偏導數；（6）會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數；（7）會求空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的方程；（8）理解多元函數極值和條件極值的概念；掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件；會求二元函數的極值，會用拉格郎日乘數法求條件極值；會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。（9）略講內容： 二元函數極限的-

16、定義； 全微分在近似計算中的應用； 隱函數的求導公式（二）； 方向導數與梯度； 二元函數的泰勒公式。第十章重積分（12學時）第一節 二重積分的概念與性質第二節 二重積分的計算方法第三節 三重積分第四節 重積分的應用本章重點：二重積分與三重積分的概念；二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）；重積分的應用。本章難點：多重積分化累次積分。教學要求：（1）理解二重積分與三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分的中值定理；（2）掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）；會用直角坐標與柱面坐標計算三重積分；（3）會用重積分計算一些幾何量與物理量（曲面面積、質心、轉動慣量、引力等）。第十一章曲線積分

17、與曲面積分（18學時）第一節 對弧長的曲線積分第二節 對坐標的曲線積分第三節 格林公式及其應用第四節 對面積的曲面積分第五節 對坐標的曲面積分第六節 高斯公式第七節 斯托克斯公式本章重點：兩類曲線積分的概念與計算；格林公式及其應用；兩類曲面積分的概念與計算；高斯公式；積分思想的內涵。本章難點：第二類曲線積分與第二類曲面積分；格林公式與高斯公式。教學要求：（1）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系（2）掌握兩類曲線積分的計算方法；（3）掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，求全微分的原函數；（4）了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算

18、兩類曲面積分的方法；（5）了解高斯公式，會用高斯公式計算曲面積分；知道斯托克斯公式。（6）略講內容：斯托克斯公式。第十二章 無窮級數 （17學時）第一節 常數項級數的概念和性質第二節 常數項級數審斂法第三節 冪級數第四節 函數展開成冪級數第五節 函數的冪級數展開式的應用第六節 傅立葉級數（簡介）本章重點：無窮級數收斂、發散以及級數的和等概念；無窮級數基本性質及收斂的必要條件；幾何級數和級數的收斂性；正項級數的比較審斂法、比值審斂法與根值審斂法；交錯級數的萊布尼茲審斂法；任意項級數的絕對收斂與條件收斂；冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域；幾個重要初等函數的麥克勞林展開式。本章難點：數項級數的概念和斂散性條件；任意項級數的絕對收斂與條件收斂；冪級數的收斂域與和函數的求法。教學要求：（1）掌握常數項級數的概念、性質及收斂的必要條件；（2）掌