1、分式的概念和性質（提高）【學習目標】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件. 2掌握分式的基本性質，并能利用分式的基本性質將分式恒等變形，進而進行條件計算.【要點梳理】【高清課堂403986 分式的概念和性質 知識要點】要點一、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要點詮釋：（1）分式的形式和分數類似，但它們是有區別的.分數是整式，不是分式，分式是兩個整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分數的分子、分母中都不含字母. （2）分式與分數是相互聯系的：由于分式中的字母可以表示不同的數，所以分式比分

2、數更具有一般性；分數是分式中字母取特定值后的特殊情況. （3）分母中的“字母”是表示不同數的“字母”，但表示圓周率，是一個常數，不是字母，如是整式而不能當作分式. （4）分母中含有字母是分式的一個重要標志，判斷一個代數式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結果.要點二、分式有意義，無意義或等于零的條件 1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.要點詮釋：（1）分式有無意義與分母有關但與分子無關，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零

3、. （2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零. （3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.要點三、分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要點詮釋：（1）基本性質中的A、B、M表示的是整式.其中B0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調；M0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質時，必須重點強調M0這個前提條件. （2）在應用分式的基本性質進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發生變化.

4、例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點四、分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數.要點詮釋：根據分式的基本性質有，.根據有理數除法的符號法則有.分式與互為相反數.分式的符號法則在以后關于分式的運算中起著重要的作用.要點五、分式的約分，最簡分式與分數的約分類似，利用分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.要點詮釋：（1）約分的實質是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與

5、分母再沒有公因式.（2）約分的關鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數的最大公約數與相同因式最低次冪的積；當分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.要點六、分式的通分與分數的通分類似，利用分式的基本性質，使分式的分子和分母同乘適當的整式，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.要點詮釋：（1）通分的關鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母. （2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數的最小公倍數與相同字母

6、的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母. （3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.【典型例題】類型一、分式的概念【高清課堂403986 分式的概念和性質 例1】1、指出下列各式中的整式與分式：，【思路點撥】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式【答案與解析】解：整式有：，；分式有：，【總結升華】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母此題判斷容易出錯的地方有兩處：一個是把也看作字母來判斷，沒有弄清是一個常數；另一個就是將分式化簡成整式后再判斷，如和，前一個是整式，

7、后一個是分式，它們表示的意義和取值范圍是不相同的類型二、分式有意義，分式值為0【高清課堂403986 分式的概念和性質 例2】2、 當取什么數時，下列分式有意義？當取什么數時，下列分式的值為零？（1）；（2）；（3）【答案與解析】解：（1）當，即時，分式有意義 為非負數，不可能等于1， 對于任意實數，分式都有意義；當時，分式的值為零（2）當即時，分式有意義；當即時，分式的值為零（3）當，即時，分式有意義；當時，分式的值為零，由得時，由得，互相矛盾 不論取什么值，分式的值都不等于零【總結升華】分母不為零時，分式有意義；分子的值為零，而分母的值不為零時，分式的值為零舉一反三：【變式1】若分式的值為

8、0，則的值為_.【答案】2； 提示：由題意，所以.【變式2】當取何值時，分式的值恒為負數？【答案】 解： 由題意可知或解不等式組該不等式組無解解不等式組得所以當時，分式的值恒為負數類型三、分式的基本性質【高清課堂403986 分式的概念和性質 例4】3、不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項的系數是正數. (1) ； (2)； (3) .【答案與解析】解：(1)；(2) ；(3).【總結升華】(1)、根據分式的意義，分數線代表除號，又起括號的作用；(2)、添括號法則：當括號前添“”號，括號內各項的符號不變；當括號前添“”號，括號內各項都變號.舉一反三：【變式】下列分式變形正確的是（

9、）A BC D【答案】D；提示：將分式變形時，注意將分子、分母同乘（或除以）同一個不為0的整式這一條件其中A項分子、分母乘的不是同一整式，B項中這一條件不知是否成立，故A、B兩項均是錯的C項左邊可化為：，故C項亦錯，只有D項的變形是正確的類型四、分式的約分、通分4、約分：（1）；（2）；通分：（3）與；（4），【答案與解析】解：（1）；（2）；（3）最簡公分母是，（4）最簡公分母是，【總結升華】如果分子、分母都是單項式，那么可直接約去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系數的最大公約數與相同字母的最低次冪通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母，若分母是多項式，則要因式分解，要防止遺漏只在一個分母

10、中出現的字母以及符號的變化情況 類型五、分式條件求值5、若，求的值【思路點撥】本題可利用分式的基本性質，采用整體代入法，或把分式的分子與分母化成只含同一字母的因式，使問題得到解決【答案與解析】解法一：因為，可知，所以解法二：因為，所以，且，所以【總結升華】本題的整體代入思想是數學中一種十分重要的思想一般情況下，在條件中含有不定量時，不需求其具體值，只需將其作為一個“整體”代入進行運算，就可以達到化簡的目的舉一反三：【變式】已知，求的值【答案】解： 設，則， 【鞏固練習】一.選擇題1若分式的值為0，則的值為（ ）A3B3C±3D22.把分式中的都擴大倍（0），則分式的值（ ）A擴大倍B

11、縮小倍C不變D不能確定3若分式有意義，則滿足的關系是（ ）AB CD4若分式的值是負數，則滿足（ ）A0B1 C1D15下面四個等式：其中正確的有（ ）A0個B1個C2個D3個6化簡的正確結果是（ ）ABCD二.填空題7.使分式有意義的條件為_8.分式有意義的條件為_9當_時，分式的值為零10填空：11填入適當的代數式，使等式成立（1）（2）12. 分式約分的結果是_三.解答題13.若的值為零，求的值14.已知，求的值15.（1）閱讀下面解題過程：已知求的值解：即（2）請借鑒（1）中的方法解答下面的題目：已知求的值【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】B； 【解析】由題意且，解得.2. 【答案】C； 【解析】.3. 【答案】D； 【解析】由題意，所以.4. 【答案】D； 【解析】因為所以即1.5. 【答案】C； 【解析】正確.6. 【答案】B； 【解析】.二.填空題7.