1、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)與金融衍生品定價(jià)【摘要】 本文介紹分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)，建立在分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的隨機(jī)積分，以及股票價(jià)格由分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)情況下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)、隨機(jī)積分、Wick積，歐式期權(quán) 經(jīng)典的金融市場(chǎng)衍生品定價(jià)理論建立在標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)和Itô隨機(jī)積分的基礎(chǔ)上，已經(jīng)建立了較為完善的理論體系，得到了大量具有理論和實(shí)際價(jià)值的結(jié)果。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的典型特征是具有獨(dú)立增量，對(duì)應(yīng)于Hurst指數(shù)等于0.5；但是實(shí)際數(shù)據(jù)的實(shí)證結(jié)果顯示，股票價(jià)格的變動(dòng)不具備獨(dú)立增量特性，實(shí)際中股票價(jià)格的Hurst指數(shù)常常大于0.5。為使理論更加貼近實(shí)際結(jié)果，有必要以分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)

2、動(dòng)為出發(fā)點(diǎn)，研究金融市場(chǎng)衍生品定價(jià)問(wèn)題。一、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)定義及性質(zhì)定義1.1 ，一個(gè)Hurst指數(shù)為H的分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)（fBM）為一個(gè)連續(xù)的中心化的高斯過(guò)程，且滿足如下條件：.特別的，當(dāng)H=1/2時(shí)，是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。定義1.1*（fBM的積分表示）為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，為gamma函數(shù)，則是一個(gè)Hurst指數(shù)為H的分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)。分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：1. ，且，.2. 與同分布.3. 是高斯過(guò)程，且.4. 的軌道連續(xù)。5. H>0.5時(shí)，與正相關(guān)；H=0.5時(shí)，與獨(dú)立；H<0.5時(shí)，與負(fù)相關(guān)。進(jìn)一步，令，則fBM路徑的圖示H=0.1，fBM的路徑（具有負(fù)相關(guān)性）H=0.5，fBM

3、（即標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)）的路徑H=0.8，fBM的路徑（具有正相關(guān)性）H=0.1,H=0.5,H=0.8，fBM的路徑二、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分和相關(guān)結(jié)果依照不同的定義方式，分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)上可以不同的隨機(jī)積分，不同的積分定義適用于不同的情況，對(duì)同一問(wèn)題使用不同的積分定義，得到的結(jié)果也不盡相同。分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分分別有Wiener型積分、路徑（Pathwise）積分和Wick Itô Skorohod型積分（簡(jiǎn)稱Wick型積分）等，金融數(shù)學(xué)中廣泛用到的是Wick Itô Skorohod型積分，該積分可以看做是經(jīng)典Itô積分在fBM上的推廣。本文主要介紹Wick

4、Itô Skorohod型積分1. Wick積與Wick Itô Skorohod型積分令是一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，關(guān)于分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分定義為是一個(gè)確定性函數(shù)，存在一列簡(jiǎn)單函數(shù)收斂于，關(guān)于分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分定義為Gripenberg和Norros（1996）得到如下結(jié)果：（*）定義一個(gè)二元函數(shù)，在確定型函數(shù)構(gòu)成的空間上定義一個(gè)子空間，記為。上定義范數(shù)，內(nèi)積，可以證明，在上述定義下構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間。于是（*）可寫成Gripenberg和Norros（1996）得到如下結(jié)果：是一個(gè)均值為0，方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。下面引入概率空間，p可積的（）隨機(jī)變量空間記為。Du

5、ncan（2000）證明了對(duì)于，隨機(jī)變量可以被確定性函數(shù)的Wick指數(shù)的線性組合任意精度逼近，Wick指數(shù)的定義如下Wick指數(shù)有如下性質(zhì)：1.，因?yàn)槭且粋€(gè)均值為0，方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。2.3.，特別的.Duncan（2000）借助Wick指數(shù)隱式的定義了Wick積“”：Wick積具有如下性質(zhì)：1.2.3.4.5.6.其中是的Malliavin微分。Wick型Riemann和記為，為0,T上的劃分。隨機(jī)過(guò)程關(guān)于Wick Itô Skorohod型積分定義為進(jìn)一步得到第二個(gè)式子稱為“分?jǐn)?shù)維的Itô等距”。分?jǐn)?shù)維Stratonovich型積分定義為Duncan（2000）證明

6、了Wick積分和Stratonovich積分之間具有如下關(guān)系：，其中是的Malliavin微分。關(guān)于有如下結(jié)果1.2.3.（為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)）.2. 分?jǐn)?shù)維形式的Itô公式和Girsanov定理分?jǐn)?shù)維形式的Itô公式令F,G是滿足一定條件的隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于隨機(jī)過(guò)程，函數(shù)有如下等式成立特別的時(shí)，分?jǐn)?shù)維形式Girsanov定理 首先定義算子，是一個(gè)確定性函數(shù) 其中在測(cè)度下隨機(jī)過(guò)程Y具有如下表示：存在測(cè)度，使得Y在測(cè)度下具有如下表示：其中是測(cè)度下的Hurst指數(shù)為H的fBM。關(guān)于的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為三、分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)在衍生品定價(jià)中的應(yīng)用分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)情況下的套利分析1.

7、 使用路徑積分現(xiàn)有兩項(xiàng)資產(chǎn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，不妨設(shè)；構(gòu)造投資組合，稱為“自融資的”，如果下面令于是根據(jù)路徑積分的定義可計(jì)算出因此是一個(gè)“自融資”的投資策略，但是，始終可以保持正的收益，所以市場(chǎng)存在套利。2. 使用Wick型積分現(xiàn)有兩項(xiàng)資產(chǎn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，由Wick型分定義可以計(jì)算出構(gòu)造投資組合，稱為“自融資的”，如果下面令Bender（2003a）證明了，和使用路徑積分一樣，是一個(gè)“自融資”的投資策略，但是，始終可以保持正的收益，市場(chǎng)存在套利。3. 將資產(chǎn)組合推廣成Wick型沿用上面的記號(hào)，構(gòu)造新的資產(chǎn)組合，稱為”Wick自融資的”，如果現(xiàn)假設(shè)是Wick自融資的，于是定義，由分?jǐn)?shù)

8、維的Girsanov定理，存在測(cè)度使得為該測(cè)度下的fBM。于是，在測(cè)度下由分?jǐn)?shù)維的Itô公式可得由0到T積分得到在測(cè)度下兩端同時(shí)求期望由無(wú)套利理論可知是無(wú)套利的。進(jìn)一步，Hu和Øksendal（2003）證明了此時(shí)的市場(chǎng)是完備的。分?jǐn)?shù)維情況下的歐式期權(quán)定價(jià)記現(xiàn)在為0時(shí)刻，一份歐式看漲期權(quán)的期限是T，敲定價(jià)格為K，利率為r，股票收益率為，波動(dòng)率，股價(jià)的Hurst指數(shù)為H，0時(shí)刻股價(jià)為，股價(jià)服從幾何分?jǐn)?shù)維布朗運(yùn)動(dòng)該期權(quán)t時(shí)刻的價(jià)格記為，和經(jīng)典BS市場(chǎng)不同，這里的定價(jià)測(cè)度不唯一，定價(jià)測(cè)度的選擇依賴于投資者的風(fēng)險(xiǎn)暴露情況，Sottinen和Valkeila（2003）建議使用“平均

9、風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度”Q，在該測(cè)度下的條件分布是正態(tài)的，均值和方差分別是其中直接對(duì)求期望，經(jīng)過(guò)和經(jīng)典的歐式看漲期權(quán)相同的推導(dǎo)過(guò)程得到其中同樣的可以得到歐式看跌期權(quán)的定價(jià)特別的，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)果等于經(jīng)典的結(jié)果。看漲看跌平價(jià)公式成立看漲期權(quán)的希臘值：特別的，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)果收斂于經(jīng)典的結(jié)果。【參考文獻(xiàn)】1.Bender,C.(2003a):Integration with respect to Fractional Brownian Motion and Related Market Models.University of Konstanz,Department of Mathematics and Sta

10、tistics：Ph.D.thesis。2.Bender,C.(2003b):An S-transform approach to integration with respect to a Fractional Brownian Motion,Bernoulli 9(6),p.955-983.3.Bender,C.(2003c):An Itô Formula for Generalized Functionals of a Fractional Brownian Motion with arbitrage Hurst Parameter,Stoch Proc Appl 104,p.

11、81-106.4.Bender,C.,Elliott,R.J.(2004):Arbitrage in a Discrete Version of the Wick Fractional Blak-Scholes Market.Math Oper Res 29,p.935-945.5.Bender,C.,Sottinen,T.,Valkeila,E.(2006):Arbitrage with Fractional Brownian Motion?,Theory of Stochastic Process 12(28).6. Gripenberg, G., Norros, I. (1996): O

12、n the prediction of Fractional BrownianMotion, J Appl Probab 33, p. 400410.7.Hu,Y., Øksendal,B.(2003):Fractional White Noise Calculus and Applications to Finance,Infin Cimens Anal Qu6(1),p.1-32.8.Norros,I.,Vlkeila,E.,Virtamo,J.(1999): An elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motion,Bernoulli 5, p. 571587.9.Rostek,R.(2010