1、軸對稱軸對稱 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)（上冊）人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)（上冊） 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條路可供選地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？什么？ 兩點之間兩點之間,線段最短線段最短FEDCBA已知：如圖，已知：如圖，A，B在直線在直線L的兩側(cè)，在的兩側(cè)，在L上求一上求一點點P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P連接連接AB,線段線段AB與直線與直線L的交點的交點P ，就是所求。，就是所求。思考？思考？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：根據(jù)：兩點之間

2、線段最短兩點之間線段最短.如圖，要在燃氣管道如圖，要在燃氣管道L L上修建一個泵站，分別向上修建一個泵站，分別向A A、B B兩鎮(zhèn)兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？最短？P所以泵站建在點所以泵站建在點P P可使輸氣管線最短可使輸氣管線最短應(yīng)用ABl B/P 點點P P的位置即為所求的位置即為所求. .M 作法：作法： 作點作點B B關(guān)于直線關(guān)于直線l l的對稱點的對稱點B B/ /. . 連接連接ABAB/ /, ,交直線交直線l l于點于點P.P.已知：如圖已知：如圖,A,A、B B在直線在直線L L的同一側(cè)，在的同一側(cè)

3、，在L L上上求一點，使得求一點，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 為什么這樣做就能得為什么這樣做就能得到最短距離呢？到最短距離呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意兩邊之和大于第三邊三角形任意兩邊之和大于第三邊 問題：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，問題：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)向居民區(qū)A A、B B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從才能使從A A、B B到它的距離之和最短到它的距離之和最短 練習(xí)練習(xí)請你自己動手 試一試！ 只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最小作點A關(guān)于直線“街道”的對稱點

4、A，然后連接AB，交“街道”于點C，則點C就是所求的點 D已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點，在內(nèi)部任意一點，在MON的兩的兩邊邊OM，ON上各取一點上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周，組成三角形，使三角形周長最小長最小.BCDE分析：當(dāng)分析：當(dāng)ABAB、BCBC和和ACAC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小一條直線上時，三角形的周長最小 已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點，在內(nèi)部任意一點，在MON的兩的兩邊邊OM，ON上各取一點上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周，組成三角形，使三角形周長最小長最小

5、.分別作點分別作點A關(guān)于關(guān)于OM，ON的對稱的對稱點點A，A；連接；連接A，A，分別交，分別交OM，ON于點于點B、點、點C，則點，則點B、點點C即為所求即為所求1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）ABMNE作法：作法：1.1.將點將點B B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E E， 2. 2.連接連接AEAE交河對岸與點交河對岸與點M,M, 則點則點M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得證明：由平移的性質(zhì)

6、，得 BNEM BNEM 且且BN=EM, MN=CD, BN=EM, MN=CD, BDBDCE, BD=CE,CE, BD=CE,所以所以A.BA.B兩地的距兩地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在若橋的位置建在CDCD處，連接處，連接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,則則ABAB兩地的距離為：兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+

7、CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以橋的位置建在所以橋的位置建在CDCD處，處，ABAB兩地的路程最短。兩地的路程最短。ABMNECD 2. 如圖，如圖，A A、B B是兩個蓄水池，都在河流是兩個蓄水池，都在河流a a的同側(cè)，為了的同側(cè)，為了方便灌溉作物，方便灌溉作物， 要在河邊建一個抽水站，將河水送到要在河邊建一個抽水站，將河水送到A A、B B兩地，問該站建在河邊什么地方，兩地，問該站建在河邊什么地方， 可使所修的渠道最短可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點。，試在圖中確定該點。作法：作法：作點作點B B關(guān)于直線關(guān)于

8、直線 a 的對稱點點的對稱點點C,C,連接連接ACAC交直線交直線a于點D，則點D為建抽水站的位置。抽水站的位置。證明：在直線證明：在直線 a 上另外任取一點上另外任取一點E E，連接，連接AE.CE.BE.BD,AE.CE.BE.BD,點B.C關(guān)于直線 a 對稱,點D.E在直線 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB 所以抽水站應(yīng)建在河邊的點抽水站應(yīng)建在河邊的點D D處，處， CDABEa3.3.某班舉行晚會，桌子擺成兩直條某班舉行晚會，桌子擺成兩直條( (如圖中的如圖中的AOAO，BO)BO)

9、，AOAO桌面上擺滿了桔子，桌面上擺滿了桔子，OBOB桌面上擺滿桌面上擺滿了糖果，坐在了糖果，坐在C C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計一條行果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點C關(guān)于直線 OA 的 對稱點點D, 2. 作點C關(guān)于直線 OB 的對稱點點E, 3.連接DE分別交直線OA.OB于點M.N，則CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 證明：在直線OA 上另外任取一點G，連接點D,點C關(guān)于直線OA對稱， 點G.H在OA上，DG=CG, DM=CM, 同理N

10、C=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（兩點之間，線段最短），即CG+GH+HCCM+CN+MN即CM+CN+MN最短AOB. .EDMNGH4. 如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。作法：1.作點C關(guān)于直線 OA 的 對稱點點F, 2. 作點D關(guān)于直線 OB 的對稱點點E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD CEGHABA/B/PQ最短路線：最短路線：A P Q BA P Q BlMN證明：在直線OA 上另外任取一點G，連接點F