1、 一隨機變量一隨機變量 任何隨機試驗的試驗結果，都可以定量化并用隨機變量表示。 例如，在燈泡壽命試驗中，令X為“燈泡壽命”(小時)，則X為一隨機變量。 X500，X1000，800X1200等表示了不同的隨機事件。1分布函數分布函數 設X是一隨機變量，x是任意實數，稱函數 F(x)=PXx (*)2分布函數的性質分布函數的性質(1)0F( x )1； x(,)(2)對任意 x1 x2，F( x1 )F( x2 )(3) 0)()(limxFFx1)()(limxFFx(4)左連續性)()(lim);()0(000 xFxFxFxFxx離散型隨機變量離散型隨機變量一離散型隨機變量的概率分布一離散

2、型隨機變量的概率分布1離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布 設離散型隨機變量X的所有可能取值為有限或可列，記 PX= xk= Pk ， k=1,2,稱上式為X的概率分布概率分布或分布律分布律，簡稱分布分布。2概率分布的性質概率分布的性質 (1) 0 Pk 1；k=1,2, (2) Pk = 1 (3)xxxkkP)F(常見離散型分布常見離散型分布1. (0 1)分布分布X 0 1P1 p p稱稱X服從服從(0 1)分布或兩點分布分布或兩點分布記為記為 X B(1, p) 其分布律為其分布律為: 對于任何一個只有兩種可能結果對于任何一個只有兩種可能結果的隨機試驗的隨機試驗E,如果用如

3、果用 = 1, 2表示其表示其樣本空間樣本空間, 總可以在總可以在 上定義一個服從上定義一個服從兩點分布的隨機變量兩點分布的隨機變量:來描述隨機試驗的結果來描述隨機試驗的結果 21 , 0 , 1 X 二項分布二項分布 將E獨立地重復進行n次，令X為“事件A發生的次數”，則knkknqpCkXP 若試驗E僅有兩個可能結果A和 , 記AP(A) = p，P( )=1-p = q ，(0 P 0 稱稱X服從參數為服從參數為 的泊松分布的泊松分布 記為記為 XP( ), 2 , 1 , 0( !)( kekxXPk 泊松分布的應用泊松分布的應用: 自然界及工程技術中的許多隨機指自然界及工程技術中的許

4、多隨機指標都服從泊松分布標都服從泊松分布 例如例如, 電話總機在某一時間間隔內電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數收到的呼叫次數; 放射物在某一時間間放射物在某一時間間隔內發射的粒子數隔內發射的粒子數; 容器在某一時間間容器在某一時間間隔內產生的細菌數隔內產生的細菌數; 某一時間間隔內來某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數到某服務臺要求服務的人數; 等等等等,在一定條件下在一定條件下,都是服從泊松分布的都是服從泊松分布的例例 設設X服從泊松分布服從泊松分布,且已知且已知 P(X=1)=P(X=2), 求求P(X=4)解解: 令令XP( ) ( 0)即即 P(X=1)=P(X=2), 2

5、, 1 , 0( !)( kekxXPk ee220902. 0! 42)4(24 eXP ( 2)=0 =2連續型隨機變量連續型隨機變量一一 連續型隨機變量的概率密度連續型隨機變量的概率密度1定義定義 對連續型隨機變量X，如果存在非負可積函數( x )，使得對任意實數 x，有xdttfxF)()( 則稱( x )為X的概率密度函數概率密度函數，簡稱概率密概率密度度或密度密度。2概率密度的性質概率密度的性質 (4)若( x )在點 x 處連續,則： 1)( dxxf (2)badxxfbXaP)( (3)()( xfxF0)( xf(1) 由(3)式可知，X的分布函數 F( x )的值，以及X

6、落在區間 ( x1，x2 上的概率，就是相應區間上概率密度曲線下的面積，見下圖所示。分布函數和密度函數的關系分布函數和密度函數的關系f (x)xx0(*)xdttfxF)()(f (x)xb0abadxxfbXaP)(幾種重要的連續型分布幾種重要的連續型分布1指數分布指數分布 若隨機變量X的概率密度為0 x; 00 ; )(xexfx0 ; 00 ; 1)(xxexFx其中0為常數，則稱X服從參數為的指指數分布數分布（Exponential distribution）。不難求得指數分布的分布函數為：指數分布的應用指數分布的應用 通常產品的無故障工作時間間服從指數分布，其參數 就是失效率失效率，

7、1/ 則是平均無平均無故障工作時間故障工作時間。 【例【例10】設某品牌彩電無故障工作時間服從=1/2000 的指數分布。求該種彩電無故障工作時間不少于1000小時的概率。 解解：設X為該彩電的無故障工作時間，則 PX1000=1-PX1000=1-F(1000) =1-(1-e-1000/2000)= e-0.5 = 0.60652正態分布正態分布設隨機變量X的概率密度為exxf222)(21)(其中、為常數，且0，則稱X服從參數為,的正態分布正態分布(Normal distribution)，記為X N( , 2)。正態分布密度函數的圖形見下圖所示。正態分布密度函數的圖形正態分布密度函數的

8、圖形xf (x)0=0.5=1=20f (x)x12(1)正態分布密度函數的性質正態分布密度函數的性質 ( x ) 在 x =處達到最大值，x 離越遠，f ( x ) 的值越小，且以 x 軸為漸近線； 曲線關于x =對稱； 越小，曲線越陡峭，反映了X取值的離散程度； 對相同的，改變值相當于曲線的平移。(2)標準正態分布標準正態分布 稱 = 0， =1 的正態分布為標準正態分布標準正態分布，記為 Z N(0,1)，其密度函數和分布函數分別記為 ( x ) 和 ( x ) 。 (3) 正態分布表的使用正態分布表的使用 正態分布表給出的是標準正態分布的分布函數的值 ( x) 。查正態分布表時常要用到

9、以下關系(*) P Za = ( a ) P Z a =1- ( a ) Pa Z b=(b)-(a) ( -a ) = 1- ( a ) 0a-a(x)(-a)1-(a)x【例【例11】設X N(0, 1)， 求 PX-2.13， P-0.97X2.35 解解： 查表可得： PX-2.13=1- (-2.13) = (2.13)=0.9834 P-0.97X2.35 = (2.35)- (-0.97) = (2.35)-(1- (0.97) = 0.9906-1+0.8340=0.8246(5)非標準正態分布的標準化變換非標準正態分布的標準化變換 設 X N(,2)，則XZ N(0,1) (

10、*)上式就稱為正態分布的標準化變換標準化變換。(6)非標準正態分布的查表非標準正態分布的查表 設X N(,2)，則計算時可運用以下關系(*)：)(XaaXPaP)(1XaaP)()(XaabbP)(1)(aaF案例保用年限應定為幾年？案例保用年限應定為幾年？ 設某廠生產的某種電子產品的壽命服從=8年，=2年的正態分布，問 (1)該產品壽命小于5年的概率是多少？ (2)壽命大于10年的概率是多少？ (3)廠方要對外承諾，若該產品在保用期內失效可免費更換，廠方希望將產品的免費更換率控制在1%以內，問保用年限最長可定為幾年？設設X為該產品的使用壽命，則為該產品的使用壽命，則X N(8,22) (3)

11、設保用年限最長可定為 n 年，則由題意0668. 0)5 . 1 (1)5 . 1()285(5 ) 1 (XP1578. 0) 1 (1)2810(110 )2(XP01. 0)28(nnXP99. 0)28()28(1 nn即查表得：(8-n) /2 2.33，得 n 3.34，取n =3，故保用年限最長可定為3年。3 法則法則【例【例12】設 X N(,2), 求：(1)P-X+， (2)P-2X+2，(3)P-3X+3解解：P-X+=(1)-(-1) =2(1)-1=0.6826 同理可得： P-2X+2=2(2)-1=0.9544 P-3X+3=2(3)-1=0.9974-3 +3 0.9974 X落在(-3,+3)內的概率為99.74%，落在該區間外的概率僅為0.26%，幾乎是不可能事件。