1、第六章.樣本及抽樣分布概率論是數理統計的基礎，而數理統計是概率論的重要應用 數理統計學：收集數據-統計模型-數據分析-估計，判斷。§ 1。隨機樣本總體:研究對象的某項數量指標的植的全體.(有限和無限總體)個體：總體中的每個元素樣本：總體中抽出的部分個體例：1) 華北電力大學全體大學生的高數成績2) 華北電力大學全體大學生的身高總體 X :相同條件下對總體 X進行n次獨立的觀察一一實驗次序 X1,X2 + Xn -Xi,X2,Xn是與隨機變量 X同分布的幾個相互獨立的隨機變量 -Xi,X2,Xn是來自 總體的一個簡單隨機樣本，n為樣本容量。Xi,X2,Xn的觀察值一一Xi,X2,Xn

2、一樣本值個體總數N，樣本容量n。當N 10n時，不放回抽樣 放回抽樣定義：設X是具有同分布函數 F(x)的隨機變量，當 X1,X2 Xn是具有同一分布函數F(x)的相互獨立的隨機變量，則稱 XX2,Xn是從分布函數F (或總體F，或總體X)得到的容量為 n的簡單隨機樣本，簡稱樣本。它的觀察值XX2,Xn稱為樣本值又稱為X的n個獨立的觀察值。注：若X1,X2,Xn為F的一個樣本則X1,X2,Xn的聯合分布函數為nF*(X1,X2，Xn)Fi(Xi)i 1又若X的概率密度為f,則x1,x2 xn的聯合概率密度為nf*(X1,X2，Xn)fi(X)-i 1§ 2。抽樣分布定義：總體X，X1

3、,X2,Xn是來自總體X的樣本，g(X1,X2,Xn)是連續且無任何參數，則g(X1, x2，,xn)是一統計量。的觀察值。、幾個常用的統計量:總體X，樣本Xi,X2，Xn,觀察值Xi,X2，Xn觀察值1 .樣本平均值:nXii 12 .樣本方差:2X)n2 2Xi nX,n2 2Xi nx i 1樣本標準差:.S1 2. n (Xi X)2,1 i 1nx2樣本k階(原點)矩:kXi , k 1,2,ak5.樣本的k階中心矩：Bk ni1(Xi X)k, k 1,2,bk(X x)k1命題1。若總體X的k階矩E(Xk) =k存在，則Ak(n解XX2，Xn獨立同分布X'X；,X:獨立同

4、分布E(X：)E(X：)n1,2,辛欣Th 1kXin i 1命題2.若g連續，則g(A,A2,A) pg(k). (n例，設總體N( ,2).2已知， 未知,X1, X2, X3是樣本，則以下不是統計量的有1(X1 X2 X3)， X131.2分布定義：若X1,X2，Xn是來自正態總體 N(0,1)的樣本,則稱統計量服從自由度為n的2分布,記為概率密度的共同形:2 x12 X；2( n).(P46)nf2f(y)x：1.e y2其他()=°t "etdt)性質：A。：-2(n 1),2 - 2(“2),21 ,2獨立2212 B。2 - 2(n)E( 2)=n,D2)=2

5、n事實上B.Xi -N(0,1),E(Xi2) D(Xi)E(XJ21 0 1242 2421 今dx 1D(Xi )E(Xi)E(Xi)x-=e 202(ni n2)(可推廣)1 3dTrxde三丨13盲xe3D(X) 1Tdx 1nX2)=i=1i=1nnD( 2)=D(X2)=i=1i=1E( 2)=E(E(X2)=n.D(X2)=2n2分布的上分位點：1稱滿足:P 22(n)2(n)f(y)dy的點2(n)為2(n)的上分位點。n冷1 時，2(n)-(Z 2n 1)2, Z是標準正態分布上上2位點。例：0., (25) 34.382器5(50)- (1.64599)2 67.22122

6、. t分布1 )定義：設 X N(0,1), Y -2(n)。且X與Y相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t分布，記為tt(n)(學生氏(Student分布)概率密度及其圖形 R49(n 1)2 h帀孑(n12) 分布的上 分位點:0 t 1稱滿足:Pt t(n)t (n)h(t)dt的點t (n)為tt(n)分布的上分位點。4)性質:A：1Xim h(t) g(t)-2=1, t(n) N(0,1)B：h(t)的圖形關于縱軸對稱:t1t (n)C：n 冷 1時 t (n) Zn3. F分布:1）定義：設（U2（m）, V2（nh），且U,V相互獨立，則稱隨機變量F%服從自由度為（口2）的F

7、分布，記為F-F（nn?）2）概率密度及其圖形p502叫心） 1P F F1 g,n2)(y)(篤)(n22)10,其它3）F分布的上分位點:01稱滿足：PF Fgm)fz(y)dy的F （口，n2）為Fg, n2）分布的上 分位點。4）性質:1A : FF（n）廠汗（門2小1）1b: F1(九壓)F (n2, nJC: x N(0,1), y 2(n),獨立t2F(1, n),n,1)B.若 F F (n-i, n2)則iPF Fi (ni, n2)咋1 1F1 (n 1,n2)1 咋 R (n 仆啓)又丄- FF(n2, nJ，從而P 1 F-i仇，nJ所以Fi(n1,n2)上：F

8、6;.95(12,9)1F1 0.95(9,12)10.3572.80(P377表)4.正態總體的某些常用統計量的分布定理1 : 總體X-N( , 2)，樣本X1,X2 - ,Xn, X,S2分別是樣本的均值與方差，則:21)X與S相互獨立;2)X - N(2-)norx-N(0,1);n23)S_2(n1);4) X - t(n 1)。 S.n4) 2), 3)定理2:第,Y2，,丫呢X-N(0,1)(n 1)S221)n1n,，總體 丫 N( 2,，相互獨立,X,s22(n 1)，樣本(Xi X)2： Y, s；1 n2hi1(丫Y)2S/21)Fg1,n；1);2) 當(X Y) (1 2)“5 n2 2)，1n2其中Sw(口1)S21)S|證明:)由 Th12)Sw'Swi1小2由s2, S2獨立可知,X Y -N(12,n1(n1 1)S21)S；2可證U,V獨立(附錄2)因此:3)1)，2(n2 1金x2(n2 1).1)-F (n1 1, n2 1)2322)n2(XY) ( 12)-N(0,1)(nin22)(可加性)(X Y)(2)_t( ni設XN(1,22), X1,X2- ,Xn是其樣本，則(3)正確亍N(0,1)，X 12 二 N(0,1),、n設總體XN