湖北省部分重點中學2024春季高二數學五月聯考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據一元二次不等式、一元一次不等式的解法分別解集合A，B，結合交集的定義與運算即可求解.【詳解】或，，所以，即.故選：A2.已知，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據導數的運算求導函數，由解方程，即可求得的值.【詳解】，因為，所以，解得.故選：B.3.已知隨機變量服從正態分布，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7【答案】A【解析】【分析】根據正態分布曲線的對稱性即可求解.【詳解】因隨機變量服從正態分布，，所以.故選：A.4.隨機變量的分布列如下：12若，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據分布列概率之和為1以及期望值列方程組，解方程組求得a、b的值，進而求得方差.詳解】由題意可知，，所以.故選：B5.某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為A.42 B.30 C.20 D.12【答案】A【解析】【詳解】原定的5個節目之間有6個位．當插入的這兩個新節目在一起時，有插法；當插入的這兩個新節目不在一起時，有插法，所以總的不同插法的種數為種．故選：A．【點睛】關于排列和組合的題目，常用到捆綁法和插位法．捆綁法是將一些對象看作一個對象進行排列；插位法是將一些對象進行排列后，再對剩下的對象進行排列．6.某學校有，兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學第2天去餐廳用餐的概率（）A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根據題意結合全概率公式可直接求得.詳解】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學第2天去餐廳用餐的概率為0.5.故選：C.7.如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質點每次移動一個單位長度，設經過5次移動后，該質點位于的位置，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意當時，的可能取值為1,3,5，且，根據二項分布的概率公式計算即可求解.【詳解】依題意，當時，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．8.已知函數，對任意，，且，都有成立，則實數a的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據已知條件構造新函數，再由函數的單調性，求出a的取值范圍.【詳解】當時，易知函數在上是增函數，不妨設，則．由，所以．所以，即．設，則在區間上是減函數．所以在時恒成立，因為，所以在時恒成立，即在時恒成立，即．而在區間上是增函數，所以的最大值為，所以，又，所以．故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則（

）A. B.C.二項式系數和為256 D.【答案】ACD【解析】【分析】令可判斷A選項；令可判斷B選項；求出二項式系數和可判斷C選項；由兩邊求導，令得可判斷D選項.【詳解】由，對于A，令得，A選項正確；對于B，令得，所以，B選項錯誤；對于C，二項式系數和為，C選項正確；對于D，由，兩邊求導得，令得，所以D選項正確.故選：ACD.10.甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結論正確的是（）A.兩兩互斥 B.C.事件B與事件相互獨立 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】對于A，因為每次取一球，所以是兩兩互斥的事件，故A項正確；對于B，因為，，故B項正確；對于C，從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變為5個，取出黑球概率發生變化，所以事件B與事件不相互獨立，故C項錯誤.對于D，又，所以，故D項正確.故選：ABD11.已知函數，則（）A.有兩個極值點B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】ACD【解析】【分析】求導，利用導數研究函數的單調性、極值和零點，即可判斷A，B；根據函數的對稱性判斷C；利用導數的幾何意義求的的切線方程，即可判斷D.【詳解】由得，令得：，令得或；令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以有兩個極值點為極大值點，為極小值點，故A正確；又，，而趨向于負無窮大時也趨向于負無窮大；趨向于正無窮大時也趨向于正無窮大；所以僅有1個零點如圖所示，故B錯誤；又，所以，所以關于對稱，故C正確；對于D，設切點，在P處的切線為，即，若是其切線，則，則，此時切點為時，切線方程直線，所以D正確.故選：ACD【點睛】思路點睛：涉及函數零點個數問題，可以利用導數分段討論函數的單調性，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某種商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應數據：134571520304045根據表中數據得到關于的經驗回歸方程為，則當時，殘差為__________.（殘差觀測值-預測值）【答案】【解析】【分析】首先求樣本點中心，并代入回歸方程，求，并代入后，即可求解殘差.【詳解】，因為回歸直線過點，代入，可得，當時，，所以殘差為.故答案為：13.如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列：1，2，3，3，6，4，10，記這個數列前n項和為，則______.【答案】111【解析】【分析】由“楊輝三角”的性質，得，前半部分用等差數列求和，后半部分用組合數的性質可得結果，再由即可得解.【詳解】由“楊輝三角”的性質，得，所以.故答案為：14.已知函數，當時，函數在點處的切線方程為________；若對恒成立，則實數a的最大值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】①運用導數幾何意義求得斜率，進而求得切線方程.②將問題轉化為，恒成立，構造函數，，研究其單調性進而得到，恒成立．運用導數求的最小值即可.【詳解】①當時，，則，∴，，所以函數在點處的切線方程為，即．②因為，，即，則，恒成立．令，，則在上恒成立，故在上單調遞減，故，得，即，恒成立．記，則．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故的最小值是，故，即實數a的最大值是e．故答案為：①.②e.【點睛】同構法的三種基本模式：①乘積型，如可以同構成，進而構造函數；②比商型，如可以同構成，進而構造函數；③和差型，如，同構后可以構造函數f或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知在二項式展開式中，第項為常數項.（1）求；（2）求的展開式中所有奇數項的二項式系數之和；（3）在的展開式中，求含的項.【答案】（1）；（2）32；（3）.【解析】【分析】（1）寫出展開式的第項，再令的指數為，即可求出；（2）根據二項式系數的性質計算可得；（3）由，寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【小問1詳解】由題意得第項為，則，解得.【小問2詳解】所有奇數項的二項式系數之和為.【小問3詳解】由（1）知，其中展開式的通項為（且），則的展開式中，含的項為，含的項為，所以在的展開式中含的項為.16.設函數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，證明：當時，．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，分類討論函數的單調性；（2）由（1）可知函數的單調性，可求函數的最小值，從而得證.【小問1詳解】由題知，函數的定義域為，所以求導得，若，由得或，由得，所以函數在，和上單調遞增，在上單調遞減，若，恒有，當且僅當時取等號，因此函數在上單調遞增，若，由得或，由得，所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在，上單調遞增，在上單調遞減．【小問2詳解】當時，，由（1）可知，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以當時，.17.某學校號召學生參加“每天鍛煉1小時”活動，為了解學生參加活動的情況，統計了全校所有學生在假期每周鍛煉的時間，現隨機抽取了60名同學在某一周參加鍛煉的數據，整理如下列聯表：性別不經常鍛煉經常鍛煉合計男生7女生1630合計21注：將一周參加鍛煉時間不小于3小時的稱為“經常鍛煉”，其余的稱為“不經常鍛煉”．（1）請完成上面列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生鍛煉的經常性有關系；（2）將一周參加鍛煉為0小時的稱為“極度缺乏鍛煉”．在抽取的60名同學中有5人“極度缺乏鍛煉”.以樣本頻率估計概率.若在全校抽取20名同學，設“極度缺乏鍛煉”的人數為X，求X的數學期望和方差；（3）將一周參加鍛煉6小時以上的同學稱為“運動愛好者”．在抽取的60名同學中有10名“運動愛好者”，其中有7名男生，3名女生．為進一步了解他們的生活習慣，在10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數為Y，求Y的分布列和數學期望．附：，0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格見解析，性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系（2），（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先根據題意完成列聯表，代入公式可得，即可得到結論；（2）依題意可得X近似服從二項分布，先求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率為，從而可得，即可求得和；（3）依題意可得Y的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布公式求得概率，進而即可得到Y的分布列和期望值．【小問1詳解】根據題意可得列聯表如下；性別不經常鍛煉經常鍛煉合計男生72330女生141630合計213960零假設為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學生體育鍛煉的經常性無關；根據列聯表的數據計算可得，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1．【小問2詳解】因學?？倢W生數遠大于所抽取的學生數，故X近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，即可得，故，．【小問3詳解】易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得18.中國新能源汽車企業在10余年間實現了“彎道超車”，使我國一躍成為新能源汽車產量連續7年居世界第一的全球新能源汽車強國.某新能源汽車配件企業積極加大科研力度，生產效益逐步攀升.該企業在今年1月份至5月份的生產利潤（單位：億元）關于月份的數據如下表所示：月份12345生產利潤（億元）268910（1）試求y與x之間的相關系數r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關關系；（若，則認為兩個變量具有較強的線性相關性）（2）為擴大生產，該企業在M大學啟動了校園招聘，分別招聘A、B兩個工程師崗位，兩個崗位都各設有3門筆試科目.M大學的碩士畢業生張無忌決定參加這次應聘，且每門科目考試是否通過相互獨立.若張無忌報考A崗位，每門筆試科目通過的概率依次為，，，其中；若張無忌報考B崗位，每門筆試科目通過的概率均為.且張無忌只能報考A，B兩個崗位中的一個.若以筆試中通過科目數的數學期望為依據作出決策，得出張無忌更有希望通過A崗位的筆試，試求的取值范圍.附：參考數據：，，.相關系數.【答案】（1），y與x具有較強的線性相關關系（2）【解析】【分析】（1）計算相關系數r，再進行判斷即可；（2）分別計算通過A，B兩個崗位的科目數學期望，再比較大小判斷即可.【小問1詳解】由題意，，故y與x具有較強的線性相關關系.【小問2詳解】由題意，因為每門科目考試是否通過相互獨立，故張無忌通過A崗位的3門筆試門數的數學期望為，通過B崗位的3門筆試門數的數學期望為，故若張無忌更有希望通過A崗位的筆試，則，又，解得.即的取值范圍19.五一假期后，高二年級籃球賽進入白熱化階段，甲、乙、丙三支種子隊在進入半決賽之前不會相遇.他們都需要在最后一輪小組賽中戰勝對手從而進入淘汰賽，然后在淘汰賽中勝出才能進入半決賽.已知甲隊在小組賽最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為和；乙隊在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為和；丙隊在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為和，其中.（1）甲、乙、丙三隊中，誰進入半決賽的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三隊中恰有兩隊進入半決賽的概率為，求的值；（3）在（2）的條件下，設甲、乙、丙三隊中進入半決賽的隊伍數為，求的分布列及期望.【答案】（1）乙進入半決賽的可能性最大（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據題意，利用相互獨立事件的概率乘法公式，分別求得甲乙丙進入半決賽